cour2

Définitions
Transformée
de Laplace
FT &
Syst. asservi
Analyse
temporelle
Analyse
harmonique
1ère année
Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc
1
Structure d’un SLCI
Définitions
Définitions
Chaîne d’action ou
directe
Transformée
de Laplace
Tâche à
réaliser
Réflexion
Tâche
réalisée
Action
Observation
FT &
Syst. asservi
Chaîne de retour
Perturbations
Analyse
temporelle
Consigne
Analyse
harmonique
1ère année
Comparateur

+
-
Partie
opérative
Correcteur
Sortie
Capteur
Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc
2
Performances d’un SLCI
Définitions
Définitions
Transformée
de Laplace
Rapidité : caractérisée par le temps de réponse à 5%
s
1+n%
FT &
Syst. asservi
1
1- n%
Analyse
temporelle
Analyse
harmonique
1ère année
O
t
t n%
Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc
3
Définitions
Définitions
Transformée
de Laplace
Performances d’un SLCI
Précision : caractérisée par un écart entre l’entrée et la sortie
(ou l’entrée et une image de la sortie de même nature)
FT &
Syst. asservi
Analyse
temporelle
Analyse
harmonique
1ère année
Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc
4
Définitions
Définitions
Transformée
de Laplace
Performances d’un SLCI
Stabilité :
Un système est stable si à une entrée bornée
correspond une sortie bornée
FT &
Syst. asservi
Analyse
temporelle
Analyse
harmonique
1ère année
Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc
5
Définition d’un SLCI
Définitions
Définitions
e(t)
S.L.C.I.
Transformée
de Laplace
Système Continu :
FT &
Syst. asservi
Système Linéaire :
Les variations des grandeurs physiques e(t) et s(t)
sont des fonctions continues du temps
e(t)
e1(t)
Analyse
temporelle
Analyse
harmonique
1ère année
e2(t)
Système Invariant :
s(t)
S.L.C.I.
S.L.C.I.
S.L.C.I.
s(t)
s1(t)
s2(t)
.e(t)
e1(t) + e2(t)
S.L.C.I.
S.L.C.I.
.s(t)
s1(t) + s2(t)
on suppose que les caractéristiques du système
ne varient pas au cours du temps
("le système ne vieillit pas").
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6
Définitions
Exemple d’un SLCI
Transformée
de Laplace
FT &
Syst. asservi
Analyse
temporelle
Analyse
harmonique
1ère année
Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc
7
Exemple de SLCI
Définitions
Transformée
de Laplace
uL
u  Ri
FT &
Syst. asservi
L
u
R
u
i
i
i
M
F
q
C
Analyse
harmonique
I
C  I q
1ère année
F  k x
F  M x
Analyse
temporelle
u  kew c  kt i
x
F
C
q
moteur
u
di
dt
k
x
C w
x
f
F
F   f x
k
C  k q
Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc
C
q
f
C   f q
8
Définition de SLCI
Définitions
q
Transformée
de Laplace
P1
P1
h
FT &
Syst. asservi
.
q
R
P0
R représente la résistance hydraulique
de la restriction de la canalisation
réservoir de
section S
P1 - P0  Rq
P1 - P0  rgh
Analyse
temporelle
R
C
Q
Q
q
Analyse
harmonique
1ère année
P0
q1
q2
débit de chaleur Q
capacité calorifique C
température q
résistance thermique R
Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc
9
Équation différentielle
Définitions
Définitions
e(t)
S.L.C.I.
s(t)
Transformée
de Laplace
Le comportement du système est régi par une équation différentielle
FT &
Syst. asservi
Analyse
=
temporelle
Analyse
harmonique
1ère année
d ns(t)
d m e(t )
an
 ... a0 s(t )  bm
 ... b0 e(t )
n
m
dt
dt
Dans les cas réels, m  n : système causal: la cause e(t) précède l'effet s(t).
L’objectif est de déterminer s(t) connaissant e(t)
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10
Transformée
Transformée
de
de Laplace
Laplace
Méthode de résolution
L’objectif est la résolution de l’équation différentielle
Domaine temporel
1
Variable : t
FT &
Syst. asservi
Analyse
=
temporelle
Domaine symbolique
Transformée de Laplace
Variable : p
Équation
différentielle
Fraction
rationnelle
e(t) → s(t) = ?
E(p) → S(p) = ?
2
Résolution : S(p) = ?
Définitions
Transformée inverse
3
Analyse
harmonique
La résolution de l’équation différentielle se fait en 3 étapes
1ère année
Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc
11
Définition et théorèmes
Définitions
Transformée
Transformée
de
de Laplace
Laplace
Définition :
FT &
Syst. asservi
Théorèmes :

t
Analyse
temporelle
Analyse
harmonique
1ère année
1[fF((t)]
p
.p ) p g( 0 )
ddfn f
n
Linéarité
:
L
[f
(t)
+
f
(t)]
=
L
+.F(
(t)]
Facteur
d’échelle
:
Unicité
:
à
f(t)
correspond
F(p)
unique,
Th.
Si
les
de
la
=valeur
0: : : initiale
Les
du
dérivées
retard
L’intégrale
Th.
deCI
lavaleur
finale
lim
L(
pf))(.F(
))1lim
L(
u(
).du
)tf
L)[f)p.F(
)(p)t
p.F(
p) )=pF)1(p) + F2(p)
at
.F(
L(
p.F(
p
f( 0
L(L(1ffn::()f()tlim
))
2lim
2p
0L [f(t)]
p 
t 
dt
àà savoir
!! ! àL F(p)
savoir
à savoir
p0F(p)
dt
[
=t 
correspond
f(t)
a =punique.
a p
0 f(t)]
t 2
d
f u ).du ) 2 F( p )
L(
f
(
L(  2 )  p .F( p )  p. f ( 0 )  f ' ( 0 )
p
0dt

e
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12
Définitions
Transformée des fonctions courantes
Transformée
Transformée
de
de Laplace
Laplace
Fonction
d’Heaviside
: (échelon)
Fonction
exponentielle
Dirac: : (impulsion)
:
Fonction de
rampe
FT &
Syst. asservi
(t)
11 1
 a.t
L(

(
t
))

1
)
eu( t)).u(
à savoir
L(
)) t ))2((à
(ààsavoir
savoir
L(t.u(
savoir
p pa
Analyse
temporelle
u(t) t
f(t)=e
f(t)
t
tt
Analyse
harmonique
1ère année
Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc
13
Résolution de l’équation différentielle
Transformée
Transformée
de
de Laplace
Laplace
Transformée
de Laplace
Définitions
d 2 s( t )
ds( t )

5
 6 s( t )  e( t )
2
dt
dt
avec s(0) = 2, s'(0) = 2 et e(t) = 6 u(t)
p² S(p) – p s(0) – s'(0) + 5 [p S(p) – s(0)] + 6 S(p) = E(p)
Résolution dans le domaine symbolique
Analyse
temporelle
2 p 2  12 p  6 1
5
4
S( p ) 



p( p 2  5 p  6 ) p
p2
p3
Analyse
harmonique
1ère année
Transformée
inverse
FT &
Syst. asservi
Décomposition
en élts simples
s(t) = (1 + 5 e-2t – 4 e-3t ). u(t)
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14
Définitions
Transformée
de Laplace
Fonction de Transfert
d n s( t )
d m e( t )
an
 ...  a0 s( t )  bm
 ...  b0 e( t )
n
m
dt
dt
an pn S(p) + … a0 S(p) = bm pm E(p) + … + b0 E(p)
S( p ) bm p m ... b0
H( p ) 

E( p ) an p n ... a0
FT &
&
FT
Syst. asservi
asservi
S(p)
E(p)
H(p)
Analyse
temporelle
Forme canonique :
Analyse
harmonique
1ère année
K( 1  ...  bm' p m' )
H( p )  
p ( 1  ...  an' p n' )
•K
•
•n
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Gain statique de la FT
Classe de la FT
Ordre de la FT (n = n’+ )
15
Système asservi
Définitions
Transformée
de Laplace
La structure d’un système asservi pourra toujours se mettre
sous la forme du schéma-bloc ci-dessous :

consigne
+
FT &
&
FT
Syst. asservi
asservi
-
chaîne directe
(ou d'action)
sortie
chaîne de retour
(ou d'observation)
Analyse
temporelle
Analyse
harmonique
1ère année
Les chaînes d'action et de retour sont caractérisées par leur fonction de transfert.
+
 est la différence entre :
-
la consigne et une image de la sortie
de même nature que la consigne
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16
Exemple de système asservi
Définitions
perturbations
consigne
Transformée
de Laplace
e(t)
Pré-actionneur
+ -
actionneur
effecteur
processus
s(t)
sortie
capteur
s(t)
s(t)
Erreur = entrée - sortie
(t) = e(t) - S(t)
FT &
Syst. asservi
Analyse
temporelle
Commande
Analyse
harmonique
s(t)
réponse
• la sortie est élaborée à partir de la mesure de l ’erreur (t)
• l’erreur est une soustraction entre deux grandeurs de même nature
• l’erreur est la soustraction entre l’entrée et une image de la sortie
vitesse de
• Si la consigne suit une loi connue : le système est un asservissement
rotation bras
• Si la consigne est constante
: le système est un régulateur
Moteur
+ -
Montage
d ’A.O.
.
électrique
tension
moteur
codeur
Réducteur et
transmetteur
bras
Angle du bras
vitesse de
rotation moteur
tension image de l ’angle mesuré
1ère année
Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc
17
Le schéma-bloc
Définitions
Transformée
de Laplace
en
série
FTFT
enFT
Boucle
Fermée
Le
sommateur
en
parallèle
E1
FT &
&
FT
Syst. asservi
asservi
E
E2
H1
E
+

-E
1
S1
H1E3 H
2
H
+
+
S2
H2 G-
Analyse
temporelle
E1
E E
E3
S
H3
S
S
+
S+ = E1-E2+E3
E2
S
H= H1.H2.H3
S
H
H' 
S
H = H1+H
12G.H
Analyse
harmonique
1ère année
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18
Définitions
Transformée
de Laplace
FT &
Syst. asservi
Analyse
Analyse
temporelle
temporelle
L’analyse temporelle des systèmes fondamentaux
La fonction de transfert de nombreux systèmes est une composition
de fonctions de transfert de systèmes élémentaires qu'on va étudier en détail.
On va soumettre chacun de ces systèmes élémentaires
à des signaux d'entrée tests e(t) et on va calculer la réponse s(t) :
e(t) = (t) = impulsion de Dirac  s(t) = réponse impulsionnelle
e(t) = u(t) = échelon unitaire  s(t) = réponse indicielle
Analyse
harmonique
1ère année
e(t) = t.u(t) = rampe  s(t) = réponse à une rampe.
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19
Définitions
Système à action proportionnelle
H(p) = K
Transformée
de Laplace
FT &
Syst. asservi
Analyse
Analyse
temporelle
temporelle
Analyse
harmonique
1ère année
réponse impulsionnelle
S(p) = K.1

s(t) = K.δ(t)
1
S(p)
S(
p )=K.1/p
K.
p

s(t) = K.u(t)
réponse indicielle
réponse à une rampe
S( p )  K.
1
p2

s(t) = K.t.u(t)
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20
Système intégrateur
K
H( p ) 
p
Définitions
Transformée
de Laplace
réponse impulsionnelle
indicielle
FT &
Syst. asservi
K 1
pp p
K .
S(p)
K.1/p
S(
pp=))=
S(p)
K.1
S(
.1
e(t)
Analyse
Analyse
temporelle
temporelle
K
1

s(t)
s(t)==K.t.u(t)
K.u(t)
s(t)
s(t)
e(t)
t
t
Analyse
harmonique
1ère année
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21
Système du 1er ordre
Définitions
K
H( p ) 
1 .p
Gain statique
Constante de temps
Transformée
de Laplace
réponse àindicielle
une rampe
KK 1
S(S(p p)S(p)
)  =2 K.1/p
.
1 p.( 1.p .pp)
FT &
Syst. asservi
K
0,95K
e(t)
Analyse
Analyse
temporelle
temporelle
K=1


s(t)

t
t
s(s(ts(t)
)t s(t)
) =KKK.u(t)
1te  ).u(
) t)
.e t ).u(
=.(.(
K.t.u(t)
K<1


K>1
0,63K
t
Analyse
harmonique
1ère année
Pente à l’origine :
K/τ

3
Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc
22
Système du 2nd ordre
Définitions
H( p ) 
Coefficient
d’amortissement
K
2.m
p2
1
.p  2
w0
Transformée
de Laplace
Gain statique
Pulsation propre
w0
réponse indicielle
impulsionnelle
Si m > 1 : 2 racines réelles
FT &
Syst. asservi
KwK0w0 ( e  e )].u( t )
s( t s(
) t[)K

.(

).u( t )
2m 2  1e p2 e p1
2
2 m 1
p2 .t
p2 .t
p1 .t
p1 .t
K
Si m < 1 : 2 racines complexes
1
t
w0t w0 1 m2 .t  arccos(
s( t )  K.( 1  K w0 e mw m
))).u( t )
s( t )  1 m2 .e sin(
.s in( w0 1  m 2 .t m).u(
t)
2
1 m
 .m
2D1  1 m2
T
e
2
K
w 1 m
0
0
Analyse
Analyse
temporelle
temporelle
Analyse
harmonique
1ère année
T
Pente à l’origine nulle
s(t)
Régime amorti
Régime amorti
2
w0 . 1  m 2
enveloppe exponentielle
Régime pseudo-périodique
Régime pseudo-périodique
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23
Définitions
Transformée
de Laplace
FT &
Syst. asservi
Analyse
Analyse
temporelle
temporelle
Analyse
harmonique
1ère année
Démarche d’identification
On ne peut pas toujours déterminer un modèle mathématique (donc calculer une
fonction de transfert) pour un système réel à partir des lois physiques qui
régissent son comportement (système trop complexe ou mal connu).
L'approche expérimentale consiste à soumettre le système à des entrées connues
puis à rechercher une fonction de transfert (par identification) qui approche au
mieux la relation observée entre l'entrée et la sortie.
On peut se fixer à priori l'ordre du modèle étudié : plus l'ordre sera élevé, plus la
précision du modèle sera grande mais la fonction de transfert sera plus lourde à
manipuler.
D'autre part, les mesures étant entachées d'erreurs inévitables et les
caractéristiques du système pouvant évoluer dans le temps, il ne sert à rien de
rechercher un modèle trop fin.
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24
Analyse temporelle et harmonique
Définitions
Transformée
de Laplace
FT &
Syst. asservi
Analyse Temporelle
e(t) = δ (t)
e(t) = u(t)
H(p)
?
H(p)
?
Précision
Rapidité
e(t) = t.u(t)
H(p)
?
H(p)
?
Analyse
Analyse
harmonique
harmonique
1ère année
Analyse
harmonique
Analyse
Analyse
temporelle
temporelle
e(t) = e0 sin (w.t)
Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc
Stabilité
25
Analyse fréquentielle ou harmonique
Définitions
Définition :
Transformée
de Laplace
FT &
Syst. asservi
e(t) = e0 sin (w.t)
On pose
et
Analyse
temporelle
Analyse
Analyse
harmonique
harmonique
1ère année
On étudie la réponse d'un système soumis en entrée à un
signal sinusoïdal en régime permanent.
jwt
e = e0 e
s = s0 e j(wt+) :
H(p)
s(t) = s0 sin (w.t +  )
m
s b 0  ... b m ( jw)

 H( jw)
n
e
a 0  ... a n ( jw)
On remplace « p » par « jw »
Le module de H(jw) donne donc le gain G du système :
rapport entre les amplitudes d'entrée et de sortie
L'argument de H(jw) donne le déphasage  entre l'entrée et la sortie :
retard de la sortie sur l’entrée
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26
Le diagramme de Bode
Définitions
On représente H(jw) sur 2 courbes alignées en fonction de w
L’échelle est semi-logarithmique : abscisses gradué en log(w)
Transformée
de Laplace
G = 20 log | H(jw)|
- le gain GdB en décibels (dB) :
G = 20 log | H(jw)|
FT &
Syst. asservi
Analyse
temporelle
Analyse
Analyse
harmonique
harmonique
1
log w
2
- la phase  en degrés ou radians :
 = Arg (H(jw))
1 décade
 = Arg (H(jw))
Intérêt :
si H = H1 . H2 alors
0
1
2
3
log w
w = 1000 rad.s-1
20 log |H| = 20 log |H1| + 20 log |H2|
et
1ère année
0
w = 100 rad.s-1
w = 10 rad.s-1
Arg (H) = Arg (H1) + Arg (H2)
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27
Définitions
Transformée
de Laplace
Le diagramme de Black (ou Black-Nichols)
On représente :
GdB
le gain G de H(jw) en dB
FT &
Syst. asservi
en fonction de
°
la phase exprimée en degrés
Analyse
temporelle
et on gradue la courbe en w.
sens des w
croissants
Analyse
Analyse
harmonique
harmonique
1ère année
Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc
28
Définitions
Transformée
de Laplace
Le diagramme de Nyquist
Pour chaque valeur de w,
on représente H(jw)
dans le plan complexe
et on gradue la courbe en w.
Im(H(jw))
FT &
Syst. asservi
Analyse
temporelle
Re(H(jw))
O

Le gain (OA) et le déphasage
sont directement lisibles
pour chaque valeur de w.
sens des w
croissants
A
Analyse
Analyse
harmonique
harmonique
1ère année
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29
Système à action proportionnelle
Définitions
GdB = 20.log K
H(jw) = K
Transformée
de Laplace
° = 0
G
FT &
Syst. asservi
Analyse
temporelle
20 log K
w
Im(H(jw))
G

20 log K
w

K
Re(H(jw))
Analyse
Analyse
harmonique
harmonique
Bode
1ère année
Black
Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc
Nyquist
30
Système intégrateur pur
Définitions
K
H ( jw) 
jw
Transformée
de Laplace
GdB = 20.log K – 20.log w
° = - 90°
(-1) : pente de -20dB / décade
FT &
Syst. asservi
G
20 log K
10
G
w
Im(H(jw))
K
Re(H(jw))
Analyse
temporelle
Analyse
Analyse
harmonique
harmonique
20 log K-20

w

w
w
-90°
Bode
1ère année
-90° w=K
Black
Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc
Nyquist
31
Système dérivateur pur
Définitions
GdB = 20.log K + 20.log w
H(jw) = jKw
° =
Transformée
de Laplace
90°
G
FT &
Syst. asservi
G
Im(H(jw))
w
1/K
Analyse
temporelle
90° w=K 

w
Re(H(jw))
90°
w
w
Analyse
Analyse
harmonique
harmonique
Bode
1ère année
Black
Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc
Nyquist
32
Système retard pur
Définitions
H(jw) =
e-jw
Transformée
de Laplace
FT &
Syst. asservi
° =
- w
G
G
Im(H(jw))
w
1
Analyse
temporelle
GdB = 0
w

Re(H(jw))

w
1
w
Analyse
Analyse
harmonique
harmonique
Bode
1ère année
Black
Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc
Nyquist
33
Système du 1er ordre
Définitions
GdB  20 log
K
H( jw ) 
1  j w
Transformée
de Laplace
° =
K
1  w 2 2
- arc tan (w)
G
20 log K
FT &
Syst. asservi
3 dB
1
G
w
w = 1/
1/
w = 0 20 log K
20 log K - 3
Im
w=
Analyse
temporelle

1/
w

-90°
Bode
1ère année
-45°
K
w=0
w
- 45°
Analyse
-90°
Analyse
harmonique
harmonique
K/2
w = 1/
-45°
Black
Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc
Nyquist
34
Système du 2nd ordre
Définitions
H( jw) 
Transformée
de Laplace
K
w2
2mw
(1 2 )  j
w0
w0
GdB
m
m<0,7
FT &
Syst. asservi
20 log K
Analyse
temporelle
2
2
2
2
G dB
Bode
m>0,7
H( p ) 
w
wr w0
log
wr  w0 . 1  2 m2
-180°
Si m > 1 :
Im
w


w0
w
avec u 
w0
2 mu
   arctan
1  u2

20 log K
m
1
GdB = 20 log K - 10 log[(1-u2)2 + 4m2u2]
w
K
1
. K Re
1  1 p 1   w2 p= 0
1
1
 log
 2 log w0


2
m1
(-1)
w0
(-2)
Analyse
Analyse
harmonique
harmonique
m
-180°
1ère année
1/1 w0 1/2
-90°
Black
Nyquist
Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc
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