Définitions Transformée de Laplace FT & Syst. asservi Analyse temporelle Analyse harmonique 1ère année Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc 1 Structure d’un SLCI Définitions Définitions Chaîne d’action ou directe Transformée de Laplace Tâche à réaliser Réflexion Tâche réalisée Action Observation FT & Syst. asservi Chaîne de retour Perturbations Analyse temporelle Consigne Analyse harmonique 1ère année Comparateur + - Partie opérative Correcteur Sortie Capteur Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc 2 Performances d’un SLCI Définitions Définitions Transformée de Laplace Rapidité : caractérisée par le temps de réponse à 5% s 1+n% FT & Syst. asservi 1 1- n% Analyse temporelle Analyse harmonique 1ère année O t t n% Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc 3 Définitions Définitions Transformée de Laplace Performances d’un SLCI Précision : caractérisée par un écart entre l’entrée et la sortie (ou l’entrée et une image de la sortie de même nature) FT & Syst. asservi Analyse temporelle Analyse harmonique 1ère année Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc 4 Définitions Définitions Transformée de Laplace Performances d’un SLCI Stabilité : Un système est stable si à une entrée bornée correspond une sortie bornée FT & Syst. asservi Analyse temporelle Analyse harmonique 1ère année Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc 5 Définition d’un SLCI Définitions Définitions e(t) S.L.C.I. Transformée de Laplace Système Continu : FT & Syst. asservi Système Linéaire : Les variations des grandeurs physiques e(t) et s(t) sont des fonctions continues du temps e(t) e1(t) Analyse temporelle Analyse harmonique 1ère année e2(t) Système Invariant : s(t) S.L.C.I. S.L.C.I. S.L.C.I. s(t) s1(t) s2(t) .e(t) e1(t) + e2(t) S.L.C.I. S.L.C.I. .s(t) s1(t) + s2(t) on suppose que les caractéristiques du système ne varient pas au cours du temps ("le système ne vieillit pas"). Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc 6 Définitions Exemple d’un SLCI Transformée de Laplace FT & Syst. asservi Analyse temporelle Analyse harmonique 1ère année Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc 7 Exemple de SLCI Définitions Transformée de Laplace uL u Ri FT & Syst. asservi L u R u i i i M F q C Analyse harmonique I C I q 1ère année F k x F M x Analyse temporelle u kew c kt i x F C q moteur u di dt k x C w x f F F f x k C k q Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc C q f C f q 8 Définition de SLCI Définitions q Transformée de Laplace P1 P1 h FT & Syst. asservi . q R P0 R représente la résistance hydraulique de la restriction de la canalisation réservoir de section S P1 - P0 Rq P1 - P0 rgh Analyse temporelle R C Q Q q Analyse harmonique 1ère année P0 q1 q2 débit de chaleur Q capacité calorifique C température q résistance thermique R Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc 9 Équation différentielle Définitions Définitions e(t) S.L.C.I. s(t) Transformée de Laplace Le comportement du système est régi par une équation différentielle FT & Syst. asservi Analyse = temporelle Analyse harmonique 1ère année d ns(t) d m e(t ) an ... a0 s(t ) bm ... b0 e(t ) n m dt dt Dans les cas réels, m n : système causal: la cause e(t) précède l'effet s(t). L’objectif est de déterminer s(t) connaissant e(t) Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc 10 Transformée Transformée de de Laplace Laplace Méthode de résolution L’objectif est la résolution de l’équation différentielle Domaine temporel 1 Variable : t FT & Syst. asservi Analyse = temporelle Domaine symbolique Transformée de Laplace Variable : p Équation différentielle Fraction rationnelle e(t) → s(t) = ? E(p) → S(p) = ? 2 Résolution : S(p) = ? Définitions Transformée inverse 3 Analyse harmonique La résolution de l’équation différentielle se fait en 3 étapes 1ère année Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc 11 Définition et théorèmes Définitions Transformée Transformée de de Laplace Laplace Définition : FT & Syst. asservi Théorèmes : t Analyse temporelle Analyse harmonique 1ère année 1[fF((t)] p .p ) p g( 0 ) ddfn f n Linéarité : L [f (t) + f (t)] = L +.F( (t)] Facteur d’échelle : Unicité : à f(t) correspond F(p) unique, Th. Si les de la =valeur 0: : : initiale Les du dérivées retard L’intégrale Th. deCI lavaleur finale lim L( pf))(.F( ))1lim L( u( ).du )tf L)[f)p.F( )(p)t p.F( p) )=pF)1(p) + F2(p) at .F( L( p.F( p f( 0 L(L(1ffn::()f()tlim )) 2lim 2p 0L [f(t)] p t dt àà savoir !! ! àL F(p) savoir à savoir p0F(p) dt [ =t correspond f(t) a =punique. a p 0 f(t)] t 2 d f u ).du ) 2 F( p ) L( f ( L( 2 ) p .F( p ) p. f ( 0 ) f ' ( 0 ) p 0dt e Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc 12 Définitions Transformée des fonctions courantes Transformée Transformée de de Laplace Laplace Fonction d’Heaviside : (échelon) Fonction exponentielle Dirac: : (impulsion) : Fonction de rampe FT & Syst. asservi (t) 11 1 a.t L( ( t )) 1 ) eu( t)).u( à savoir L( )) t ))2((à (ààsavoir savoir L(t.u( savoir p pa Analyse temporelle u(t) t f(t)=e f(t) t tt Analyse harmonique 1ère année Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc 13 Résolution de l’équation différentielle Transformée Transformée de de Laplace Laplace Transformée de Laplace Définitions d 2 s( t ) ds( t ) 5 6 s( t ) e( t ) 2 dt dt avec s(0) = 2, s'(0) = 2 et e(t) = 6 u(t) p² S(p) – p s(0) – s'(0) + 5 [p S(p) – s(0)] + 6 S(p) = E(p) Résolution dans le domaine symbolique Analyse temporelle 2 p 2 12 p 6 1 5 4 S( p ) p( p 2 5 p 6 ) p p2 p3 Analyse harmonique 1ère année Transformée inverse FT & Syst. asservi Décomposition en élts simples s(t) = (1 + 5 e-2t – 4 e-3t ). u(t) Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc 14 Définitions Transformée de Laplace Fonction de Transfert d n s( t ) d m e( t ) an ... a0 s( t ) bm ... b0 e( t ) n m dt dt an pn S(p) + … a0 S(p) = bm pm E(p) + … + b0 E(p) S( p ) bm p m ... b0 H( p ) E( p ) an p n ... a0 FT & & FT Syst. asservi asservi S(p) E(p) H(p) Analyse temporelle Forme canonique : Analyse harmonique 1ère année K( 1 ... bm' p m' ) H( p ) p ( 1 ... an' p n' ) •K • •n Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc Gain statique de la FT Classe de la FT Ordre de la FT (n = n’+ ) 15 Système asservi Définitions Transformée de Laplace La structure d’un système asservi pourra toujours se mettre sous la forme du schéma-bloc ci-dessous : consigne + FT & & FT Syst. asservi asservi - chaîne directe (ou d'action) sortie chaîne de retour (ou d'observation) Analyse temporelle Analyse harmonique 1ère année Les chaînes d'action et de retour sont caractérisées par leur fonction de transfert. + est la différence entre : - la consigne et une image de la sortie de même nature que la consigne Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc 16 Exemple de système asservi Définitions perturbations consigne Transformée de Laplace e(t) Pré-actionneur + - actionneur effecteur processus s(t) sortie capteur s(t) s(t) Erreur = entrée - sortie (t) = e(t) - S(t) FT & Syst. asservi Analyse temporelle Commande Analyse harmonique s(t) réponse • la sortie est élaborée à partir de la mesure de l ’erreur (t) • l’erreur est une soustraction entre deux grandeurs de même nature • l’erreur est la soustraction entre l’entrée et une image de la sortie vitesse de • Si la consigne suit une loi connue : le système est un asservissement rotation bras • Si la consigne est constante : le système est un régulateur Moteur + - Montage d ’A.O. . électrique tension moteur codeur Réducteur et transmetteur bras Angle du bras vitesse de rotation moteur tension image de l ’angle mesuré 1ère année Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc 17 Le schéma-bloc Définitions Transformée de Laplace en série FTFT enFT Boucle Fermée Le sommateur en parallèle E1 FT & & FT Syst. asservi asservi E E2 H1 E + -E 1 S1 H1E3 H 2 H + + S2 H2 G- Analyse temporelle E1 E E E3 S H3 S S + S+ = E1-E2+E3 E2 S H= H1.H2.H3 S H H' S H = H1+H 12G.H Analyse harmonique 1ère année Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc 18 Définitions Transformée de Laplace FT & Syst. asservi Analyse Analyse temporelle temporelle L’analyse temporelle des systèmes fondamentaux La fonction de transfert de nombreux systèmes est une composition de fonctions de transfert de systèmes élémentaires qu'on va étudier en détail. On va soumettre chacun de ces systèmes élémentaires à des signaux d'entrée tests e(t) et on va calculer la réponse s(t) : e(t) = (t) = impulsion de Dirac s(t) = réponse impulsionnelle e(t) = u(t) = échelon unitaire s(t) = réponse indicielle Analyse harmonique 1ère année e(t) = t.u(t) = rampe s(t) = réponse à une rampe. Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc 19 Définitions Système à action proportionnelle H(p) = K Transformée de Laplace FT & Syst. asservi Analyse Analyse temporelle temporelle Analyse harmonique 1ère année réponse impulsionnelle S(p) = K.1 s(t) = K.δ(t) 1 S(p) S( p )=K.1/p K. p s(t) = K.u(t) réponse indicielle réponse à une rampe S( p ) K. 1 p2 s(t) = K.t.u(t) Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc 20 Système intégrateur K H( p ) p Définitions Transformée de Laplace réponse impulsionnelle indicielle FT & Syst. asservi K 1 pp p K . S(p) K.1/p S( pp=))= S(p) K.1 S( .1 e(t) Analyse Analyse temporelle temporelle K 1 s(t) s(t)==K.t.u(t) K.u(t) s(t) s(t) e(t) t t Analyse harmonique 1ère année Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc 21 Système du 1er ordre Définitions K H( p ) 1 .p Gain statique Constante de temps Transformée de Laplace réponse àindicielle une rampe KK 1 S(S(p p)S(p) ) =2 K.1/p . 1 p.( 1.p .pp) FT & Syst. asservi K 0,95K e(t) Analyse Analyse temporelle temporelle K=1 s(t) t t s(s(ts(t) )t s(t) ) =KKK.u(t) 1te ).u( ) t) .e t ).u( =.(.( K.t.u(t) K<1 K>1 0,63K t Analyse harmonique 1ère année Pente à l’origine : K/τ 3 Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc 22 Système du 2nd ordre Définitions H( p ) Coefficient d’amortissement K 2.m p2 1 .p 2 w0 Transformée de Laplace Gain statique Pulsation propre w0 réponse indicielle impulsionnelle Si m > 1 : 2 racines réelles FT & Syst. asservi KwK0w0 ( e e )].u( t ) s( t s( ) t[)K .( ).u( t ) 2m 2 1e p2 e p1 2 2 m 1 p2 .t p2 .t p1 .t p1 .t K Si m < 1 : 2 racines complexes 1 t w0t w0 1 m2 .t arccos( s( t ) K.( 1 K w0 e mw m ))).u( t ) s( t ) 1 m2 .e sin( .s in( w0 1 m 2 .t m).u( t) 2 1 m .m 2D1 1 m2 T e 2 K w 1 m 0 0 Analyse Analyse temporelle temporelle Analyse harmonique 1ère année T Pente à l’origine nulle s(t) Régime amorti Régime amorti 2 w0 . 1 m 2 enveloppe exponentielle Régime pseudo-périodique Régime pseudo-périodique Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc 23 Définitions Transformée de Laplace FT & Syst. asservi Analyse Analyse temporelle temporelle Analyse harmonique 1ère année Démarche d’identification On ne peut pas toujours déterminer un modèle mathématique (donc calculer une fonction de transfert) pour un système réel à partir des lois physiques qui régissent son comportement (système trop complexe ou mal connu). L'approche expérimentale consiste à soumettre le système à des entrées connues puis à rechercher une fonction de transfert (par identification) qui approche au mieux la relation observée entre l'entrée et la sortie. On peut se fixer à priori l'ordre du modèle étudié : plus l'ordre sera élevé, plus la précision du modèle sera grande mais la fonction de transfert sera plus lourde à manipuler. D'autre part, les mesures étant entachées d'erreurs inévitables et les caractéristiques du système pouvant évoluer dans le temps, il ne sert à rien de rechercher un modèle trop fin. Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc 24 Analyse temporelle et harmonique Définitions Transformée de Laplace FT & Syst. asservi Analyse Temporelle e(t) = δ (t) e(t) = u(t) H(p) ? H(p) ? Précision Rapidité e(t) = t.u(t) H(p) ? H(p) ? Analyse Analyse harmonique harmonique 1ère année Analyse harmonique Analyse Analyse temporelle temporelle e(t) = e0 sin (w.t) Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc Stabilité 25 Analyse fréquentielle ou harmonique Définitions Définition : Transformée de Laplace FT & Syst. asservi e(t) = e0 sin (w.t) On pose et Analyse temporelle Analyse Analyse harmonique harmonique 1ère année On étudie la réponse d'un système soumis en entrée à un signal sinusoïdal en régime permanent. jwt e = e0 e s = s0 e j(wt+) : H(p) s(t) = s0 sin (w.t + ) m s b 0 ... b m ( jw) H( jw) n e a 0 ... a n ( jw) On remplace « p » par « jw » Le module de H(jw) donne donc le gain G du système : rapport entre les amplitudes d'entrée et de sortie L'argument de H(jw) donne le déphasage entre l'entrée et la sortie : retard de la sortie sur l’entrée Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc 26 Le diagramme de Bode Définitions On représente H(jw) sur 2 courbes alignées en fonction de w L’échelle est semi-logarithmique : abscisses gradué en log(w) Transformée de Laplace G = 20 log | H(jw)| - le gain GdB en décibels (dB) : G = 20 log | H(jw)| FT & Syst. asservi Analyse temporelle Analyse Analyse harmonique harmonique 1 log w 2 - la phase en degrés ou radians : = Arg (H(jw)) 1 décade = Arg (H(jw)) Intérêt : si H = H1 . H2 alors 0 1 2 3 log w w = 1000 rad.s-1 20 log |H| = 20 log |H1| + 20 log |H2| et 1ère année 0 w = 100 rad.s-1 w = 10 rad.s-1 Arg (H) = Arg (H1) + Arg (H2) Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc 27 Définitions Transformée de Laplace Le diagramme de Black (ou Black-Nichols) On représente : GdB le gain G de H(jw) en dB FT & Syst. asservi en fonction de ° la phase exprimée en degrés Analyse temporelle et on gradue la courbe en w. sens des w croissants Analyse Analyse harmonique harmonique 1ère année Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc 28 Définitions Transformée de Laplace Le diagramme de Nyquist Pour chaque valeur de w, on représente H(jw) dans le plan complexe et on gradue la courbe en w. Im(H(jw)) FT & Syst. asservi Analyse temporelle Re(H(jw)) O Le gain (OA) et le déphasage sont directement lisibles pour chaque valeur de w. sens des w croissants A Analyse Analyse harmonique harmonique 1ère année Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc 29 Système à action proportionnelle Définitions GdB = 20.log K H(jw) = K Transformée de Laplace ° = 0 G FT & Syst. asservi Analyse temporelle 20 log K w Im(H(jw)) G 20 log K w K Re(H(jw)) Analyse Analyse harmonique harmonique Bode 1ère année Black Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc Nyquist 30 Système intégrateur pur Définitions K H ( jw) jw Transformée de Laplace GdB = 20.log K – 20.log w ° = - 90° (-1) : pente de -20dB / décade FT & Syst. asservi G 20 log K 10 G w Im(H(jw)) K Re(H(jw)) Analyse temporelle Analyse Analyse harmonique harmonique 20 log K-20 w w w -90° Bode 1ère année -90° w=K Black Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc Nyquist 31 Système dérivateur pur Définitions GdB = 20.log K + 20.log w H(jw) = jKw ° = Transformée de Laplace 90° G FT & Syst. asservi G Im(H(jw)) w 1/K Analyse temporelle 90° w=K w Re(H(jw)) 90° w w Analyse Analyse harmonique harmonique Bode 1ère année Black Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc Nyquist 32 Système retard pur Définitions H(jw) = e-jw Transformée de Laplace FT & Syst. asservi ° = - w G G Im(H(jw)) w 1 Analyse temporelle GdB = 0 w Re(H(jw)) w 1 w Analyse Analyse harmonique harmonique Bode 1ère année Black Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc Nyquist 33 Système du 1er ordre Définitions GdB 20 log K H( jw ) 1 j w Transformée de Laplace ° = K 1 w 2 2 - arc tan (w) G 20 log K FT & Syst. asservi 3 dB 1 G w w = 1/ 1/ w = 0 20 log K 20 log K - 3 Im w= Analyse temporelle 1/ w -90° Bode 1ère année -45° K w=0 w - 45° Analyse -90° Analyse harmonique harmonique K/2 w = 1/ -45° Black Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc Nyquist 34 Système du 2nd ordre Définitions H( jw) Transformée de Laplace K w2 2mw (1 2 ) j w0 w0 GdB m m<0,7 FT & Syst. asservi 20 log K Analyse temporelle 2 2 2 2 G dB Bode m>0,7 H( p ) w wr w0 log wr w0 . 1 2 m2 -180° Si m > 1 : Im w w0 w avec u w0 2 mu arctan 1 u2 20 log K m 1 GdB = 20 log K - 10 log[(1-u2)2 + 4m2u2] w K 1 . K Re 1 1 p 1 w2 p= 0 1 1 log 2 log w0 2 m1 (-1) w0 (-2) Analyse Analyse harmonique harmonique m -180° 1ère année 1/1 w0 1/2 -90° Black Nyquist Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc 35
