Corrigé

Cours d’Algèbre II
Prof. E. Bayer Fluckiger
Bachelor Semestre 4
1 mai 2013
Série 21
Exercice 1.
Soit A un anneau commutatif. Montrer que A est un corps si et seulement si
les seuls idéaux de A sont {0A } et A.
Solution.
Remarquons premièrement que tout idéal I de A contenant une unité a ∈ A∗ est
égal à A. En effet, il existe alors b ∈ A tel que 1 = a · b, d’où 1 ∈ I. Pour tout
c ∈ A, on a alors c = c · 1 ∈ I, ce qui montre l’affirmation.
Si I est un idéal non-nul d’un corps, alors il contient donc un élément inversible
(tout élément non-nul), d’où I = A. Ainsi, les seuls idéaux d’un corps sont les
deux idéaux triviaux.
Réciproquement, supposons que A possède {0A } et A comme seuls idéaux et
montrons que tout élément a ∈ A non-nul est inversible. En effet, l’idéal (a) est
alors non-nul, d’où (a) = A par hypothèse. En particulier, 1 ∈ (a), c’est-à-dire
qu’il existe b ∈ A tel que ab = 1.
Exercice 2.
Soient K un corps et P un idéal premier non nul de K[X]. Montrer que P est
maximal dans K[X].
Solution.
Rappelons que l’anneau K[X] est principal, donc il existe f ∈ K[X] tel que
P = (f ). Pour montrer que P est maximal, supposons que M soit un idéal de
K[X] contenant P . A nouveau, nous pouvons supposer que M = (g) pour un
certain g ∈ K[X] non-nul. L’inclusion ci-dessus implique alors que g | f , i.e. il
existe h ∈ K[X] tel que f = gh. Comme P est premier, nous obtenons que g ∈ P
ou h ∈ P . Le premier cas implique que P = M . D’autre part, si h ∈ P , alors
il existe ĥ ∈ K[X] tel que h = f ĥ. Or, f = gh, d’où g ĥ = 1. Par la remarque
faite dans la solution du premier exercice, ceci implique que M = K[X]. Ainsi,
P n’est contenu strictement dans aucun idéal propre de K[X], c’est-à-dire qu’il
est maximal.
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Exercice 3.
Soient K un corps et f ∈ K[X]. Montrer que si K[X]/(f ) est un corps, alors f
est irréductible. Est ce encore vrai si on suppose seulement K[X]/(f ) intègre ?
Solution.
Par le premier exercice, les seuls idéaux de K[X]/(f ) sont les deux idéaux triviaux. Or, on sait que les idéaux de K[X]/(f ) sont en correspondance bijective
avec les idéaux de K[X] contenant (f ). Il en résulte que les seuls idéaux de K[X]
contenant (f ) sont (f ) et K[X] (notons que ceci est équivalent au fait que (f ) soit
un idéal maximal). Supposons qu’il existe g, h ∈ K[X] tels que f = gh. Il vient
alors que (f ) ⊂ (g), d’où (g) = (f ) ou (g) = K[X]. Le premier cas implique, en
considérant les degrés, que h ∈ K. Le second cas implique que g ∈ (K[X])∗ = K.
Ainsi, f est irréductible.
Si K[X]/(f ) est intègre, alors on obtient que (f ) est premier. En effet, si gh ∈ (f )
pour g, h ∈ K[X], alors [gh] = [0] dans K[X]/(f ), donc [g] = 0 ou [h] = 0 par
hypothèse. En d’autres termes, g ∈ (f ) ou h ∈ (f ), ce qui montre l’affirmation.
Par l’exercice 2, le fait que (f ) soit premier implique qu’il est un maximal. Par le
paragraphe précédent, on obtient à nouveau que f est irréductible.
En examinant les solutions de cet exercice et du précédent, on remarque que l’on
a en fait démontré que pour f ∈ K[X] non-nul,
(f ) maximal ⇔ (f ) premier ⇔ f irréductible.
Il sera vu au cours que ces équivalences ne sont pas vraies en général, mais que
l’argument ci-dessus est généralisable pour une certaine classe d’anneaux.
Exercice 4.
On note M2 (Z) l’anneau des matrices à coefficients dans Z et
a 7b
∈ M2 (Z) : a, b, c, d ∈ Z
T :=
0 d
I :=
7a 7b
0 7d
∈ M2 (Z) : a, b, d ∈ Z .
(1) Montrer que T est un sous-anneau de M2 (Z), que I est un idéal bilatère
de T , et que T /I est isomorphe à (Z/7Z)2 .
(2) On note
a 7b
∈ M2 (Z) : a, b, d ∈ Z .
J :=
0 7d
Calculer le cardinal de J/I. En déduire que T /J est isomorphe à Z/7Z.
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Solution.
(1) La vérification que T est un sous-anneau de M2 (Z) est triviale. Pour la
seconde partie de la question, considérons l’application
f : T → (Z/7Z)2
a 7b
7→ (a, d).
0 d
Notons que f (( 00 00 )) = (0, 0), f (( 10 01 )) = (1, 1) et que pour tous a, b, d, a′ , b′ , d′ ∈
Z, on a
′
a 7b′
a 7b
a + a′ 7(b + b′ )
+
=
,
0 d′
0
d + d′
0 d
′
′
a 7b′
aa 7(ab′ + bd′ )
a 7b
=
.
0 d
0 d′
0
dd′
Par conséquent, il suit que f est un homomorphisme d’anneaux, qui est
de plus clairement surjectif. Or, ker f = I, donc I est un idéal bilatère
de T et par le premier théorème d’isomorphisme pour les anneaux, on a
T /I ∼
= (Z/7Z)2 comme souhaité.
(2) En définissant l’homomorphisme de groupes abéliens
J → Z/7Z
a 7b
7→ a,
0 7d
on voit de la même manière qu’au point précédent que J/I ∼
= Z/7Z en
tant que groupes, ce qui implique que |J/I| = 7. Par le troisième théorème
d’isomorphisme pour les anneaux, on a que
T /J ∼
= (T /I)/(J/I),
donc |T /J| = 72 /7 = 7. Par conséquent, (T /J, +) ∼
= (Z/7Z, +), mais il
s’agit seulement d’un isomorphisme de groupes. Pour montrer que T /J et
Z/7Z sont aussi isomorphes en tant qu’anneaux, on montre le fait suivant :
tout anneau fini (avec 1) d’ordre premier p est isomorphe à Z/pZ.
En effet, on a alors (R, +) ∼
= (Z/pZ, +), donc il existe r ∈ R non-nul tel
que R = hri. Montrons que R est intègre. Soient a, b ∈ R non-nuls et
écrivons
a = m · r := r| + ·{z
· · + r}, b = n · r,
m fois
pour m, n ≥ 1 non-divisibles par p. On a alors ab = mn · r2 . Notons que si
r2 = 0, alors le produit de n’importe quels éléments est nul, donc r2 6= 0
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puisque 1 · 1 = 1. Puisque p ∤ m, n est premier, on en tire que ab 6= 0, d’où
l’affirmation.
Considérons maintenant l’homomorphisme d’anneaux ϕ : Z → R défini
par

1| + ·{z
· · + 1}
si n > 0




 n fois
ϕ(n) 7→ −1
· · · − 1} si n < 0
| −{z



n fois


0
si n = 0.
Comme Z est principal, il existe m > 0 tel que ker ϕ = mZ. On prétend
que m est premier. En effet, s’il existe a, b > 1 tels que m = ab, alors on
a que
f (a)f (b) = f (ab) = f (m) = 0.
Comme R est intègre, cela implique que f (a) = 0 ou f (b) = 0, ce qui est
contradictoire avec la définition de m et le fait que a, b < m.
Ainsi, on obtient un homomorphisme d’anneaux injectif Z/pZ → R.
Comme R est de cardinalité p, on peut finalement conclure que R ∼
= R/pZ
en tant qu’anneaux.
Note : Bien sûr, on aurait également pu utiliser le premier théorème d’isomorphisme comme en (1) pour aboutir au résultat immédiatement, en définissant
un homomorphisme d’anneaux surjectif T → Z/7Z avec noyau J. Le but de
cette question était néanmoins d’illustrer le troisième théorème d’isomorphisme
et de caractériser au passage les anneaux (avec 1) d’ordre premier.