Corrigé

Cours d’Alg` ebre II Bachelor Semestre 4
Prof. E. Bayer Fluckiger 1 mai 2013
S´erie 21
Exercice 1.
Soit Aun anneau commutatif. Montrer que Aest un corps si et seulement si
les seuls id´eaux de Asont {0A}et A.
Solution.
Remarquons premi`erement que tout id´eal Ide Acontenant une unit´e a∈A∗est
´egal `a A. En effet, il existe alors b∈Atel que 1 = a·b, d’o`u 1 ∈I. Pour tout
c∈A, on a alors c=c·1∈I, ce qui montre l’affirmation.
Si Iest un id´eal non-nul d’un corps, alors il contient donc un ´el´ement inversible
(tout ´el´ement non-nul), d’o`u I=A. Ainsi, les seuls id´eaux d’un corps sont les
deux id´eaux triviaux.
R´eciproquement, supposons que Aposs`ede {0A}et Acomme seuls id´eaux et
montrons que tout ´el´ement a∈Anon-nul est inversible. En effet, l’id´eal (a) est
alors non-nul, d’o`u (a) = Apar hypoth`ese. En particulier, 1 ∈(a), c’est-`a-dire
qu’il existe b∈Atel que ab = 1. 
Exercice 2.
Soient Kun corps et Pun id´eal premier non nul de K[X]. Montrer que Pest
maximal dans K[X].
Solution.
Rappelons que l’anneau K[X] est principal, donc il existe f∈K[X] tel que
P= (f). Pour montrer que Pest maximal, supposons que Msoit un id´eal de
K[X] contenant P. A nouveau, nous pouvons supposer que M= (g) pour un
certain g∈K[X] non-nul. L’inclusion ci-dessus implique alors que g|f, i.e. il
existe h∈K[X] tel que f=gh. Comme Pest premier, nous obtenons que g∈P
ou h∈P. Le premier cas implique que P=M. D’autre part, si h∈P, alors
il existe ˆ h∈K[X] tel que h=fˆ h. Or, f=gh, d’o`u gˆ h= 1. Par la remarque
faite dans la solution du premier exercice, ceci implique que M=K[X]. Ainsi,
Pn’est contenu strictement dans aucun id´eal propre de K[X], c’est-`a-dire qu’il
est maximal. 

2
Exercice 3.
Soient Kun corps et f∈K[X]. Montrer que si K[X]/(f) est un corps, alors f
est irr´eductible. Est ce encore vrai si on suppose seulement K[X]/(f) int`egre ?
Solution.
Par le premier exercice, les seuls id´eaux de K[X]/(f) sont les deux id´eaux tri-
viaux. Or, on sait que les id´eaux de K[X]/(f) sont en correspondance bijective
avec les id´eaux de K[X] contenant (f). Il en r´esulte que les seuls id´eaux de K[X]
contenant (f) sont (f) et K[X] (notons que ceci est ´equivalent au fait que (f) soit
un id´eal maximal). Supposons qu’il existe g, h ∈K[X] tels que f=gh. Il vient
alors que (f)⊂(g), d’o`u (g) = (f) ou (g) = K[X]. Le premier cas implique, en
consid´erant les degr´es, que h∈K. Le second cas implique que g∈(K[X])∗=K.
Ainsi, fest irr´eductible.
Si K[X]/(f) est int`egre, alors on obtient que (f) est premier. En effet, si gh ∈(f)
pour g, h ∈K[X], alors [gh] = [0] dans K[X]/(f), donc [g] = 0 ou [h] = 0 par
hypoth`ese. En d’autres termes, g∈(f) ou h∈(f), ce qui montre l’affirmation.
Par l’exercice 2, le fait que (f) soit premier implique qu’il est un maximal. Par le
paragraphe pr´ec´edent, on obtient `a nouveau que fest irr´eductible.
En examinant les solutions de cet exercice et du pr´ec´edent, on remarque que l’on
a en fait d´emontr´e que pour f∈K[X] non-nul,
(f) maximal ⇔(f) premier ⇔firr´eductible.
Il sera vu au cours que ces ´equivalences ne sont pas vraies en g´en´eral, mais que
l’argument ci-dessus est g´en´eralisable pour une certaine classe d’anneaux. 
Exercice 4.
On note M2(Z) l’anneau des matrices `a coefficients dans Zet
T:=  a7b
0d∈M2(Z) : a, b, c, d ∈Z
I:=  7a7b
0 7d∈M2(Z) : a, b, d ∈Z.
(1) Montrer que Test un sous-anneau de M2(Z), que Iest un id´eal bilat`ere
de T, et que T/I est isomorphe `a (Z/7Z)2.
(2) On note
J:=  a7b
0 7d∈M2(Z) : a, b, d ∈Z.
Calculer le cardinal de J/I. En d´eduire que T/J est isomorphe `a Z/7Z.

3
Solution.
(1) La v´erification que Test un sous-anneau de M2(Z) est triviale. Pour la
seconde partie de la question, consid´erons l’application
f:T→(Z/7Z)2
a7b
0d7→ (a, d).
Notons que f(( 0 0
0 0 )) = (0,0), f(( 1 0 0 1 )) = (1,1) et que pour tous a, b, d, a′, b′, d′∈
Z, on a
a7b
0d+a′7b′
0d′=a+a′7(b+b′)
0d+d′,
a7b
0da′7b′ 0d′=aa′7(ab′+bd′) 0dd′.
Par cons´equent, il suit que fest un homomorphisme d’anneaux, qui est
de plus clairement surjectif. Or, ker f=I, donc Iest un id´eal bilat`ere
de Tet par le premier th´eor`eme d’isomorphisme pour les anneaux, on a
T/I ∼
=(Z/7Z)2comme souhait´e.
(2) En d´efinissant l’homomorphisme de groupes ab´eliens
J→Z/7Z
a7b
0 7d7→ a,
on voit de la mˆeme mani`ere qu’au point pr´ec´edent que J/I ∼
=Z/7Zen
tant que groupes, ce qui implique que |J/I|= 7. Par le troisi`eme th´eor`eme
d’isomorphisme pour les anneaux, on a que
T/J ∼
=(T/I)/(J/I),
donc |T/J|= 72/7 = 7. Par cons´equent, (T/J, +) ∼
=(Z/7Z,+), mais il
s’agit seulement d’un isomorphisme de groupes. Pour montrer que T/J et
Z/7Zsont aussi isomorphes en tant qu’anneaux, on montre le fait suivant :
tout anneau fini (avec 1) d’ordre premier pest isomorphe `a Z/pZ.
En effet, on a alors (R, +) ∼
=(Z/pZ,+), donc il existe r∈Rnon-nul tel
que R=hri. Montrons que Rest int`egre. Soient a, b ∈Rnon-nuls et
´ecrivons
a=m·r:= r+···+r
|{z }
mfois
, b =n·r,
pour m, n ≥1 non-divisibles par p. On a alors ab =mn ·r2. Notons que si
r2= 0, alors le produit de n’importe quels ´el´ements est nul, donc r26= 0

4
puisque 1 ·1 = 1. Puisque p∤m, n est premier, on en tire que ab 6= 0, d’o`u
l’affirmation.
Consid´erons maintenant l’homomorphisme d’anneaux ϕ:Z→Rd´efini
par
ϕ(n)7→
1 + ···+ 1
|{z }
nfois
si n > 0
−1− · · · − 1
|{z }
nfois
si n < 0
0 si n= 0.
Comme Zest principal, il existe m > 0 tel que ker ϕ=mZ. On pr´etend
que mest premier. En effet, s’il existe a, b > 1 tels que m=ab, alors on
a que
f(a)f(b) = f(ab) = f(m) = 0.
Comme Rest int`egre, cela implique que f(a) = 0 ou f(b) = 0, ce qui est
contradictoire avec la d´efinition de met le fait que a, b < m.
Ainsi, on obtient un homomorphisme d’anneaux injectif Z/pZ→R.
Comme Rest de cardinalit´e p, on peut finalement conclure que R∼
=R/pZ
en tant qu’anneaux.
Note : Bien sˆur, on aurait ´egalement pu utiliser le premier th´eor`eme d’isomor-
phisme comme en (1) pour aboutir au r´esultat imm´ediatement, en d´efinissant
un homomorphisme d’anneaux surjectif T→Z/7Zavec noyau J. Le but de
cette question ´etait n´eanmoins d’illustrer le troisi`eme th´eor`eme d’isomorphisme
et de caract´eriser au passage les anneaux (avec 1) d’ordre premier.