Corrigé

Anneaux et corps Bachelor Semestre 4
Prof. E. Bayer Fluckiger 23 mars 2016
Quiz 4
Question 1.
Soit Kun corps et P∈K[X]. Montrer que α∈Kest une racine de Psi et
seulement si (X−α) divise P.
Solution.
On a P= (X−α)·Q+R, avec R∈K. Donc P(α) = (α−α)·Q(α) + R=R.
Ainsi P(α) = 0 si et seulement si R= 0. 
Question 2. Est-ce qu’un diviseur de z´ero peut ˆetre inversible ?
Solution.
Non. En effet, si αest inversible alors αβ = 0 implique β= 0. 
Question 3.
Soient Aet Bdeux anneaux tels que A'B.
(1) Si Aest un corps, est-ce que Best un corps ?
(2) Si Aest int`egre, est-ce que Best int`egre ?
Solution. Soit φl’isomorphisme de Adans B.
Si Aest commutatif, alors Best commutatif. En effet,
b1b2=φ(φ−1(b1))φ(φ−1(b2)) = φ(φ−1(b1)φ−1(b2)) =
=φ(φ−1(b2)φ−1(b1)) = φ(φ−1(b2))φ(φ−1(b1)) = b2b1.
Clairement φ(a)6= 0 si a6= 0, et vice versa.
(1) Si tout ´el´ement dans A−{0}est inversible, alors tout ´el´ement dans B−{0}
est inversible. En effet, soit al’inverse de φ−1(b), alors
1 = φ(φ−1(b)a) = bφ(a).
(2) Si Bn’est pas int`egre, alors b1b2= 0 pour certains b1, b2∈B− {0}. Ainsi
φ−1(b1) est clairement un diviseur de z´ero de A.

Anneaux et corps Bachelor Semestre 4
Prof. E. Bayer Fluckiger 23 mars 2016
S´erie 4
Exercice 1. (les r´esultats de cet exercice sont `a retenir).
Soient Kun corps et f, g ∈K[X] deux polynˆomes.
(1) Montrer l’existence d’une relation de B´ezout entre fet gi.e. de deux
polynˆomes r, s ∈K[X] tels que
fr +gs = (f, g).
(2) Traduire l’existence d’une relation de B´ezout en termes d’id´eaux de K[X].
Solution.
(1) Dans l’Ex.2, S´erie 3, nous avons montr´e qu’une division euclidienne ´etait
possible dans K[X]. Par cons´equent, on peut proc´eder exactement de la
mˆeme mani`ere qu’`a l’Ex.5 de la S´erie 1, Th´eorie de groupes, pour mon-
trer qu’il existe des relations de B´ezout dans K[X], avec un algorithme
constructif pour d´eterminer celles-ci ainsi que les plus grands diviseurs
communs. Pour une autre d´emonstration, voir le point suivant.
(2) En fait, on peut aussi donner une d´emonstration (non-constructive) de
l’existence de relations de B´ezout dans K[X] en termes d’id´eaux, fournis-
sant une seconde interpr´etation du plus grand diviseur commun. Soient
f, g ∈K[X] deux polynˆomes, dont on d´enote par hle pgcd. Consid´erons
l’id´eal (f, g) de K[X] engendr´e par fet g. Comme K[X] est principal
(voir le cours), il existe l∈K[X] tel que
(f, g) = (l).
De cette relation, on tire que ldivise fet g, et que tout diviseur commun
de fet gdivise l. Ainsi, comme le pgcd est unique `a multiplication par
une unit´e pr`es, on trouve que (l) = (h). En d’autres termes, le plus grand
diviseur commun de fest gest ´egal `a tout g´en´erateur de l’id´eal de K[X]
engendr´e par ceux-ci, d’o`u la double notation (f, g) pour le pgcd de fet g
ou l’id´eal engendr´e par ces derniers. Finalement, puisque h∈(h) = (f, g),
il existe r, s ∈K[X] tels que
h=rf +sg,
ce qui est la relation de B´ezout cherch´ee.

3
Exercice 2.
Calculer une relation de B´ezout entre les deux polynˆomes `a coefficients ration-
nels suivants : X4+X3+ 3X+ 1 et X2−2.
Est-ce qu’ils ont des racines communes dans Q?
Solution.
On utilise l’algorithme (Ex.5 de la S´erie 1, Th´eorie de groupes).
— It´eration 1 : La division euclidenne du premier polynˆome par le second
donne
X4+X3+ 3X+ 1 = (X2−2)(X2+X+ 2) + 5X+ 5.
— It´eration 2 :
X2−2 = (5X+ 5)(1/5)(X+ 1) −1
En combinant ces deux ´equations, on trouve que X4+X3+ 3X+ 1 et X2−2
sont premiers entre eux, avec la relation de B´ezout
−5 = (1 −X)(X4+X3+ 3X+ 1) + (X3+X+ 3)(X2−2).
Par le Quiz 1., αest une racine commune de X4+X3+ 3X+ 1 et X2−2 si et
seulement si (X−α) divise le pgcd de X4+X3+ 3X+ 1 et X2−2. Les deux
polynˆomes sont premiers entre eux, donc ils n’ont pas de racines communes. 
Exercice 3.
On note M2(Z) l’anneau des matrices `a coefficients dans Zet
T:=  a b
0d∈M2(Z) : a, b, c, d ∈Z
I:=  9a b
0 9d∈M2(Z) : a, b, d ∈Z.
Montrer que Test un sous-anneau de M2(Z), que Iest un id´eal bilat`ere de T, et
que T/I est isomorphe `a Z/9Z×Z/9Z.
Solution.
La v´erification que Test un sous-anneau de M2(Z) est ordinaire. Pour la se-
conde partie de la question, consid´erons l’application
f:T→(Z/9Z)2
a b
0d7→ (a, d).
Notons que f(( 0 0
0 0 )) = (0,0), f(( 1 0 0 1 )) = (1,1) et que pour tous a, b, d, a0, b0, d0∈
Z, on a
a b
0d+a0b0 0d0=a+a0b+b0 0d+d0,

4
a b
0da0b0 0d0=aa0ab0+bd0 0dd0.
Par cons´equent, il suit que fest un homomorphisme d’anneaux, qui est de plus
clairement surjectif. Or, ker f=I, donc Iest un id´eal bilat`ere de Tet par le
premier th´eor`eme d’isomorphisme pour les anneaux, on a T/I ∼
=(Z/9Z)2comme
souhait´e. 
Exercice 4.
Soit Cl’ensemble des fonctions continues de Rdans R.
(1) Montrer que Cest un anneau commutatif, avec les op´erations (f+g)(x) :=
f(x) + g(x) et (f·g)(x) := f(x)g(x).
(2) Soit M:= {f∈C|f(2) = 0}. Montrer que Mest un id´eal de Cet que
C/M 'R.
(3) Montrer que si I6=Cest un id´eal tel que M⊂I, alors M=I.
Solution.
(1) La v´erification que Cest un anneau commutatif est ordinaire. Le z´ero de
Cest la fonction constante f:x7→ 0 et l’identit´e de Cest la fonction
constante f:x7→ 1.
(2) Soit φ:C→Rla fonction defini´ee par φ(f) := f(2). On a clairement que
φest un homomorphisme surjectif d’anneaux. En effet,
φ(f+g) = (f+g)(2) = f(2) + g(2) = φ(f) + φ(g)
et
φ(fg) = (fg)(2) = f(2)g(2) = φ(f)φ(g).
En plus, φest surjectif parce que pour obtenit φ(f) = c∈Ril est suffisant
de prendre la fonction constante f:x7→ c.
On a que M= ker φ, donc Mest un id´eal et C/M 'Rpar le premier
th´eor`eme d’isomorphisme.
(3) On a que I/M est un id´eal de C/M, qui est un corps. Donc I/M =M/M
ou I/M =C/M. Mais I6=C, donc I=M.
Exercice 5.
Montrer que les anneaux R[X]/(X2+ 1) et Csont isomorphes.
Solution.
Premi`erement, on montre que pour tout f∈R[X], il existe un couple (a, b)∈
R2unique tel que [f] = [aX +b] dans R[X]/(X2+ 1).
En effet, pour f∈R[X], il existe par division euclidienne des polynˆomes g, r ∈
R[X] tels que f=g(X2+ 1) + ravec deg r < 2, c’est-`a-dire que [f]=[r] avec r
lin´eaire, comme souhait´e.
De plus, s’il existe a, b, c, d ∈R, avec (a, b)6= (c, d), tels que [aX +b]=[cX +d],

5
alors [(a−c)X+(b−d)] = [0]. En d’autres termes, X2+1 divise (a−c)X+(b−d)
ce qui est impossible `a cause des degr´es, d’o`u l’unicit´e de l’´ecriture.
Notons que pour a, b, c, d ∈R, on a
[aX +b][cX +d] = [(aX +b)(cX +d)] = [acX2+ (ad −bc)X+bd] =
= [ac(X2+ 1) + (ad −bc)X+ (bd −ac)] = [(ad −bc)X+ (bd −ac)].
Par cons´equent, R[X]/(X2+ 1) s’identifie isomorphiquement `a C.
Notons que cet isomorphisme est explicitement donn´e par l’homomorphisme
evi:R[X]/(X2+ 1) →C,[f]7→ f(i)
qui est bien-d´efini puisque i2+ 1 = 0. 