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Fonctions polynomiales du second degré
Fiche
Les fonctions trinômes du second degré ont pour représentation graphique une parabole. Leur étude permet
de connaître leur sens de variation, leur maximum ou minimum et la position de leur courbe par rapport à
l'axe des abscisses. Ces propriétés se retrouvent algébriquement grâce à la résolution d'équations et
d'inéquations du second degré que l'on met au point de manière systématique en classe de première.
1. Qu'est-ce qu'une fonction trinôme du second degré ?
• C'est une fonction f définie sur
par :
, où a, b et c sont trois réels et
• Lorsque f est mise sous la forme
f est sous une forme canonique.
.
où
et
sont des réels dépendants de a, b et c, on dit que
 Exercice n°1
2. Quel est le sens de variation d'une fonction trinôme du second degré ?
• La forme canonique de
si a > 0
si a < 0
, où
, permet de montrer les résultats suivants :
• La courbe de f dans un repère du plan est une parabole ayant pour axe de symétrie la droite d'équation
pour sommetle point
et
.
3. Comment résout-on une équation du second degré du type ax2 + bx + c = 0, où a est non
nul ?
• Si c = 0, on factorise
par x et on est ramené à un produit de facteurs nuls.
Si b = 0, l'équation
qui se résout facilement selon les signes dec et a.
se ramène à l'équation
Si
est une identité remarquable évidente, on factorise le trinôme et on est ramené à un produit de facteurs nuls.
• Dans les autres cas, laforme canonique de
discriminant
du trinôme
, où
, permet de montrer qu'en calculant le
, on a :
– si Δ< 0,
n'a pas de solution dans
;
– si Δ= 0,
a pour unique solution
;
– si Δ> 0,
a deux solutions distinctes :
et
.
 Exercice n°2
• Démonstration :
On a
– Si Δ < 0 alors
et ainsi
donc ax2 + bx + c > 0 donc l'équation ax2 + bx + c = 0
n'admet aucune solution réelle.
– Si Δ = 0 alors
. Ainsi l'équation ax2 + bx + c = 0 est équivalente à l'équation
(or
)
L'équation de départ ax2 + bx + c = 0 admet donc une seule solution
– Si Δ > 0, alors
.
.
On a ax2 + bx + c = 0
ou
. Or
.
…
4. Quel algorithme pour résoudre une équation du second degré ?
Algorithme
Variables a, b, c , D, x, y : nombres réels
Début
Lire a, b, c
D
b2 − 4ac
Écrire D
Si D < 0 Alors
Écrire « Pas de solution »
Sinon
Écrire x
y
/(2a)
Écrire y
Fin Si
Fin
Sur TI 82
Sur Graph 25
Input A
?→A
Input B
?→B
Input C
?→C
B2 − 4*A*C → D
2
B − 4*A*C Sto D
Disp D
If D < 0
If D < 0
Then “PAS DE
SOLUTION“
Else (−B +
)/(2A)
Then
(−B +
Disp “PAS DE SOLUTION”
Else
/(2A)
Disp X
/(2A)
Disp Y
Y
X Ifend
)/(2A) → Y
X
End
5. Comment détermine-t-on le signe d'un trinôme du second degré du type ax2 + bx + c, où a
est non nul ?
• Si l'équation
n'a pas de solution dans
(Δ< 0), alors
ne se factorise pas et est du signe de a pour tout réel x.
• Si l'équation
a une unique solution
et est du signe de a pour tout
, alors
et nul en x0.
• Si l'équation
a deux solutions distinctes x1 et x2
, alors
, et un tableau de signes
donne le résultat suivant :
Remarque
On résout ainsi tout type d'inéquation du second degré.
 Exercice n°4
 Exercice n°5
 Exercice n°6
6. Quel est le lien entre les solutions d'une équation ou inéquation du second degré et l'allure
de la parabole associée ?
• Soit f la fonction définie sur
par
et C f sa courbe représentative dans un repère du plan.
où
Résoudre l'équation
revient à lire graphiquement les abscisses des points d'intersection de C f et de l'axe des abscisses.
• Le signe de
est lié à la position de C f par rapport à l'axe des abscisses.
Voici les différents cas possibles :
a < 0 et Δ< 0
a < 0 et Δ= 0
a < 0 et Δ> 0
a > 0 et Δ< 0
a > 0 et Δ= 0
a > 0 et Δ> 0
 Exercice n°7
 Exercice n°8
À retenir
• Toute fonction trinôme du second degré du type
parabole de sommet
, où
, a pour représentation graphique une
, d'axe de symétrie la droite d'équation
, dont les branches sont
« orientées vers le haut » si a > 0 et « orientées vers le bas » sia < 0.
• Le signe du discriminant
, où
du trinôme
, donne le nombre de solutions à l'équation
et permet de savoir si le trinôme est factorisable ou non :
– si Δ> 0,
– si Δ= 0,
, où
où
– si Δ< 0,
ne se factorise pas, et est du signe de a sur
et
;
;
.
Exercices
Exercice 1
Cochez la bonne réponse.
Quelle est la forme canonique du trinôme du second degré
?
Cochez la bonne réponse.
Exercice 2
Cochez la bonne réponse.
L'équation
, où
:
Cochez la bonne réponse.
n'a aucune
solution
a une unique
solution
a deux solutions
distinctes
Exercice 3
Cochez la bonne réponse.
Quelles sont les solutions de l'inéquation
Cochez la bonne réponse.
?
Exercice 4
Cochez la bonne réponse.
Quel est l'ensemble des solutions de l'inéquation
Cochez la bonne réponse.
Exercice 5
Cochez la bonne réponse.
Pour quelles valeurs de m l'équation
a-t-elle deux solutions distinctes ?
Cochez la bonne réponse.
pour tout
pour tout
pour tout
?
Exercice 6
Cochez la bonne réponse.
Laquelle des équations proposées est une équation de la parabole P représentée ci-dessous ?
Cochez la bonne réponse.
Exercice 7
Cochez la bonne réponse.
Pour quelles valeurs de k la parabole d'équation
est-elle entièrement au-dessus ou sur l'axe des abscisses ?
Cochez la bonne réponse.
pour
pour
ou
pour
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