Introduction à la Régulation Industrielle et Rappel sur les Performances des Systèmes Plan du chapitre I. Introduction II. Notion de performances 1. La stabilité des systèmes 2. La précision des systèmes 3. La rapidité des systèmes 4. La notion du dépassement 2017 – 2018 I. Introduction Objectif : Régulation de la température de l’eau procédée. Maintenir la température de l’eau procédée constante malgré les perturbations. Grandeur Contrôlée : T° de sortie de l’eau procédée. Grandeur Manipulée : Q (Débit) de l’eau chauffante. Perturbations : T° de l’eau chauffante, T° d’entrée de l’eau procédée, Débit de l’eau procédée … etc. 2 I. Introduction Exemple 1 3 I. Introduction Exemple 2 4 I. Introduction Exemple 3 5 II. Notion de performances 1. La stabilité des systèmes Théorème de la stabilité Un système est stable si, pour toute entrée bornée, la sortie est bornée. Théorème de la stabilité Un système est stable si et seulement si tous les pôles de sa fonction de transfert sont aux parties réelles strictement négatives. Critère de Routh Critère de Revers Critère algébrique qui se base sur le dénominateur de la fonction de transfert. Critère graphique qui se base sur un diagramme de réponse fréquentielle. Il permet de compter le nombre de pôles instables. Il permet de mettre en évidence les marges de stabilité. La marge de phase : La marge de Gain : 6 II. Notion de performances 1. La stabilité des systèmes Exemple Considérons un système de fonction de transfert en boucle ouverte: 1. 2. 3. 4. Quelle est la condition sur k pour que le système soit stable en boucle fermée? Pour k = 1, quelles sont les marges de stabilité? Pour quelle valeur de k, le système aurait une marge de phase égale à 50°? Quelle sera la marge de gain pour cette valeur? 7 II. Notion de performances 2. La précision des systèmes 2.1. Définitions L’erreur de position d’un système est définie comme étant l’écart permanent entre la mesure et la consigne lorsque cette dernière est un échelon unitaire. εp = limt→+∞ ε(t) quand e(t) = u(t) (l’échelon unitaire). L’erreur de vitesse d’un système est définie comme étant l’écart permanent entre la mesure et la consigne lorsque cette dernière est une rampe unitaire. εv = limt→+∞ ε(t) quand e(t) = r(t) (la rampe unitaire). 8 II. Notion de performances 2. La précision des systèmes 2.2. Calcul des erreurs L’erreur de position L’erreur de vitesse 2.3. Relation Ecarts – Classe du système en boucle ouverte Entrée Classe du système en boucle ouverte (nombre de pôles nuls) α=0 α=1 α=2 Echelon unitaire 1/(1+k) 0 0 Rampe unitaire ∞ 1/k 0 9 II. Notion de performances 3. La rapidité des systèmes 3.1. Définitions La rapidité d'un système de régulation automatique peut être évaluée sur la base de sa réponse indicielle en boucle fermée. Pour la caractériser deux indices sont, le plus souvent, utilisés : Le temps de montée Le temps de montée d’un système est défini comme étant le temps qui correspond à la première intersection de sa réponse indicielle avec la valeur permanente. Il est défini uniquement pour les systèmes présentant une réponse pseudopériodique. Sf Autrement dit : tm = min(t / s(t) = Sf ) tm 10 II. Notion de performances 3. La rapidité des systèmes 3.1. Définitions Le temps de réponse à n% Le temps de réponse à n% (d’erreur) d’un système est défini comme étant la durée nécessaire pour que la réponse indicielle ne s'écarte plus de ±n% autour de sa valeur finale : sf. Sf (1 + n/100) Sf Sf (1 - n/100) Autrement dit : ∀ t > trn% on a : Sf (1 – n/100) < s(t) < Sf (1 + n/100) trn% 11 II. Notion de performances 3. La rapidité des systèmes 3.2. Le système du premier ordre Sa réponse indicielle est donnée par : Si t = tr5% alors : D’où : tr5% = 3.T Exemple: T = 1s tr5% = 3s 12 II. Notion de performances 3. La rapidité des systèmes 3.3. Le système du second ordre Un système du 2nd ordre est caractérisé par une fonction de transfert de la forme : 13 II. Notion de performances 4. La notion du dépassement 4.1. Définition 4.2. Relation avec le coefficient d’amortissement 14 II. Notion de performances 4. La notion du dépassement 4.3. Exemples Considérons un système de fonction de transfert en boucle ouverte: 1. 2. 3. 4. Quelle est le temps de réponse de ce système en boucle fermée? Pour k = 1, quelle est la valeur de l’erreur de position ? Quelle est la valeur de l’erreur de vitesse ? Pour quelles valeurs de k, a-t-on simultanément : tr5% ≤ 0.1s et εp ≤ 5% ? 15 II. Notion de performances 4. La notion du dépassement 4.3. Exemples Considérons un système de fonction de transfert en boucle ouverte: 1. 2. 3. 4. Quelle est le temps de réponse de ce système en boucle fermée? Pour k = 1, quelle est la valeur de l’erreur de position ? Quelle est la valeur de l’erreur de vitesse ? Pour quelles valeurs de k, a-t-on simultanément : tr5% ≤ 0.1s et εp ≤ 5% ? Considérons un système de fonction de transfert en boucle ouverte: 1. 2. 3. 4. Quels sont le coefficient d’amortissement et la pulsation normale ce système en boucle fermée? Pour quelle valeurs de k, a-t-on : d ≤ 10 % ? Quelle est la valeur de l’erreur de vitesse pour klim? Quelle est le temps de réponse de ce système, si l’on suppose que k est suffisamment élevé? 16 II. Notion de performances 4. La notion du dépassement 4.3. Exemples 17