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Chap 1 2017-2018

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Introduction à la Régulation Industrielle et Rappel
sur les Performances des Systèmes
Plan du chapitre
I.
Introduction
II. Notion de performances
1. La stabilité des systèmes
2. La précision des systèmes
3. La rapidité des systèmes
4. La notion du dépassement
2017 – 2018
I. Introduction
Objectif : Régulation de la température de l’eau procédée.
Maintenir la température de l’eau procédée
constante malgré les perturbations.
Grandeur Contrôlée : T° de sortie de l’eau procédée.
Grandeur Manipulée : Q (Débit) de l’eau chauffante.
Perturbations : T° de l’eau chauffante, T° d’entrée de l’eau
procédée, Débit de l’eau procédée … etc.
2
I. Introduction
Exemple 1
3
I. Introduction
Exemple 2
4
I. Introduction
Exemple 3
5
II. Notion de performances
1. La stabilité des systèmes
Théorème de la stabilité
Un système est stable si, pour toute entrée bornée, la
sortie est bornée.
Théorème de la stabilité
Un système est stable si et seulement si tous
les pôles de sa fonction de transfert sont aux
parties réelles strictement négatives.
Critère de Routh
Critère de Revers
Critère algébrique qui se base sur le
dénominateur de la fonction de transfert.
Critère graphique qui se base sur un
diagramme de réponse fréquentielle.
Il permet de compter le nombre de pôles
instables.
Il permet de mettre en évidence les marges
de stabilité.
La marge de phase :
La marge de Gain :
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II. Notion de performances
1. La stabilité des systèmes
Exemple
Considérons un système de fonction de transfert en boucle ouverte:
1.
2.
3.
4.
Quelle est la condition sur k pour que le système soit stable en boucle fermée?
Pour k = 1, quelles sont les marges de stabilité?
Pour quelle valeur de k, le système aurait une marge de phase égale à 50°?
Quelle sera la marge de gain pour cette valeur?
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II. Notion de performances
2. La précision des systèmes
2.1. Définitions
L’erreur de position d’un système est définie comme étant
l’écart permanent entre la mesure et la consigne lorsque
cette dernière est un échelon unitaire.
εp = limt→+∞ ε(t) quand e(t) = u(t) (l’échelon unitaire).
L’erreur de vitesse d’un système est définie comme étant
l’écart permanent entre la mesure et la consigne lorsque
cette dernière est une rampe unitaire.
εv = limt→+∞ ε(t) quand e(t) = r(t) (la rampe unitaire).
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II. Notion de performances
2. La précision des systèmes
2.2. Calcul des erreurs
L’erreur de position
L’erreur de vitesse
2.3. Relation Ecarts – Classe du système en boucle ouverte
Entrée
Classe du système en boucle ouverte (nombre de pôles nuls)
α=0
α=1
α=2
Echelon unitaire
1/(1+k)
0
0
Rampe unitaire
∞
1/k
0
9
II. Notion de performances
3. La rapidité des systèmes
3.1. Définitions
La rapidité d'un système de régulation automatique peut être évaluée sur la base de sa réponse
indicielle en boucle fermée. Pour la caractériser deux indices sont, le plus souvent, utilisés :
Le temps de montée
Le temps de montée d’un système est défini
comme étant le temps qui correspond à la
première intersection de sa réponse indicielle
avec la valeur permanente. Il est défini
uniquement pour les systèmes présentant
une réponse pseudopériodique.
Sf
Autrement dit : tm = min(t / s(t) = Sf )
tm
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II. Notion de performances
3. La rapidité des systèmes
3.1. Définitions
Le temps de réponse à n%
Le temps de réponse à n% (d’erreur) d’un
système est défini comme étant la durée
nécessaire pour que la réponse indicielle ne
s'écarte plus de ±n% autour de sa valeur
finale : sf.
Sf (1 + n/100)
Sf
Sf (1 - n/100)
Autrement dit : ∀ t > trn% on a :
Sf (1 – n/100) < s(t) < Sf (1 + n/100)
trn%
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II. Notion de performances
3. La rapidité des systèmes
3.2. Le système du premier ordre
Sa réponse indicielle est donnée par :
Si t = tr5% alors :
D’où :
tr5% = 3.T
Exemple:
T = 1s

tr5% = 3s
12
II. Notion de performances
3. La rapidité des systèmes
3.3. Le système du second ordre
Un système du 2nd ordre est caractérisé par une fonction de transfert de la forme :
13
II. Notion de performances
4. La notion du dépassement
4.1. Définition
4.2. Relation avec le coefficient d’amortissement
14
II. Notion de performances
4. La notion du dépassement
4.3. Exemples
Considérons un système de fonction de transfert en boucle ouverte:
1.
2.
3.
4.
Quelle est le temps de réponse de ce système en boucle fermée?
Pour k = 1, quelle est la valeur de l’erreur de position ?
Quelle est la valeur de l’erreur de vitesse ?
Pour quelles valeurs de k, a-t-on simultanément : tr5% ≤ 0.1s et εp ≤ 5% ?
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II. Notion de performances
4. La notion du dépassement
4.3. Exemples
Considérons un système de fonction de transfert en boucle ouverte:
1.
2.
3.
4.
Quelle est le temps de réponse de ce système en boucle fermée?
Pour k = 1, quelle est la valeur de l’erreur de position ?
Quelle est la valeur de l’erreur de vitesse ?
Pour quelles valeurs de k, a-t-on simultanément : tr5% ≤ 0.1s et εp ≤ 5% ?
Considérons un système de fonction de transfert en boucle ouverte:
1.
2.
3.
4.
Quels sont le coefficient d’amortissement et la pulsation normale ce système en boucle fermée?
Pour quelle valeurs de k, a-t-on : d ≤ 10 % ?
Quelle est la valeur de l’erreur de vitesse pour klim?
Quelle est le temps de réponse de ce système, si l’on suppose que k est suffisamment élevé?
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II. Notion de performances
4. La notion du dépassement
4.3. Exemples
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