Pythagore

Chapitre 4
Le théorème de Pythagore et sa réciproque
1. Vocabulaire
a. Définition
Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle droit.
Exemple
Soit ABC un triangle rectangle en A.
BC  est
 AC  et  AB sont
b. Découverte
Comment différencier entre les cathètes et l’hypoténuse.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
_________
Nous retenons
Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit.
L’hypoténuse est toujours le côté le plus long des trois côtés dans un triangle rectangle.
c. Activité : hypoténuse et cathètes
a) Nommer l’hypoténuse des triangles NMR et STP.
b) Compléter les phrases suivantes.
Mes réponses :
a) (1)
(2)
est l’hypoténuse du triangle NMR, rectangle en
.
est l’hypoténuse du triangle STP, rectangle en
.
b) (1)
GH  est
du triangle GHF.
(2)
GH  est
du triangle GHI.
(3)
GH  est
du triangle AGH.
Réponses classe :
a) (1)
(2)
est l’hypoténuse du triangle NMR, rectangle en
.
est l’hypoténuse du triangle STP, rectangle en
.
b) (1)
GH  est
du triangle GHF.
(2)
GH  est
du triangle GHI.
(3)
GH  est
du triangle AGH.
2
d. Exercices
Exercice 1 : Imagination
Nommer l’hypoténuse des triangles ART et BUS.
i.
ART est rectangle en A.
ii.
[BU] et [SB] sont les côtés de l’angle droit.
Exercice 2 : Construction
Tracer, si possible :
i.
un triangle ABC rectangle en A dont un côté de l’angle droit mesure 4cm et dont
l’hypoténuse mesure 7cm.
ii.
un triangle MNP rectangle en M dont un côté de l’angle droit mesure 7cm et dont
l’hypoténuse mesure 4cm.
Exercice 3 : Observation
Nommer tous les triangles rectangles de la figure et, pour chacun, nommer son hypoténuse.
3
2. Théorème de Pythagore
a. Motivation
Dans un triangle quelconque, la somme des amplitudes des angles
intérieurs vaut
. Ainsi, si on connaît les amplitudes
de deux angles, on peut facilement calculer l’amplitude du 3e angle.
Exemple : Dans le triangle ABC ci-contre, on a :
Quand on connaît les longueurs de deux côtés dans un triangle, sait-on alors calculer la
longueur du 3e côté ? Dans la suite, on va résoudre ce problème dans le cas d’un triangle
rectangle.
b. Activités : Découvertes expérimentales
i.
Calcul de longueur
Voici trois triangles ABC rectangles en A.
2
1
3
4
1) Mesure les côtés de ces trois triangles, puis complète le tableau suivant.
Triangle
AC 2
AB2
AB 2 + AC 2
BC 2
1
2
3
2) Qu’est-ce que tu constates ?
3) Quelle conjecture (Vermutung) peut-on formuler ?
4) Mesure les côtés de ce triangle, puis complète le tableau suivant.
A
4
B
Triangle
C
AB2
AC 2
AB 2 + AC 2
BC 2
4
5) Qu’est-ce que tu constates ?
Mesure l’angle en A :
6) Complète ta conjecture (Vermutung).
5
ii.
Calcul d’aire
Pour cet exercice l’unité est d’aire un est un carreau.
1) Compte le nombre de carreaux de chaque carré.
_______________________________________________________________
_
_______________________________________________________________
_
_______________________________________________________________
_
2) Peux-tu trouver une relation entre les aires ? Pourquoi ?
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
6