Pendules Couplés : TP Physique - Analyse des Oscillations

TP : Etude des Pendules Couplés par une barre de Torsion
Pr. S. Balaska et Dr M. Menaa, Dpt de Physique. Université d’Oran
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Département De Physique
Domaine Science de la Matière, Filière Physique – Semestre 3
Etude des Pendules Couplés par une barre de
Torsion
I- BUT DU TRAVAIL :
Le but de l’expérience est de mesurer les différentes périodes de deux pendules couplés par
une barre de torsion. Pour cela on étudiera leurs oscillations selon les deux modes propres
(oscillation en phase et oscillation en opposition de phase) et selon le mode de battement. A
travers les mesures effectuées on voudrait voir si la pratique coïncide avec la théorie.
II- RAPPEL THEORIQUE :
Nous allons considérer ici un système de deux pendules pesant identiques (voir figure 1) de
moment d’inertie (J) couplés par une barre de constante de torsion C. G1 et G2 sont les
centres de gravité des deux pendules (situés à la distance l du point de fixation du pendule).
On suppose qu’à la position verticale des deux pendules la barre de torsion n’est pas tordue.
Les équations de mouvement des deux pendules s’écrivent :
 sin0
 sin 0

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Dans l’approximation des petites oscillations 0 : sin   et les équations du
mouvement deviennent :
  /
 0 (1)
  /
0 (2)
La solution de ce système d’équations différentielles couplées est :
sin
′ ′sin′′ ′′
sin′ ′sin′′ ′′ 
Où les constantes :
′
 ; ′′ 
Sont les pulsations propres du système. Les constantes ,,′ ′′ sont déterminées par les
conditions initiales.
On voit que le mouvement de chacun des pendules s’écrit comme une superposition de deux
mouvements oscillatoires qu’on appelle modes propres avec des pulsations propre w’ et w’’.
On sait que la superposition de deux mouvements oscillatoires quelconques avec des
pulsations différentes a pour résultat dans le cas général, un mouvement oscillatoire avec
l’amplitude modulée (mouvement de battement) -voir figure 2 - où l’expression théorique de
la période des battements est donnée par :
′′′ ′.′′ ′′′ (3)
Ou T’ et T’’ sont les périodes des oscillations dans les deux modes propres.
III- Manipulation et mesures à faire:
Le principe de la méthode est de mesurer les périodes T’ et T’’ en isolant successivement les
modes propres de vibration (c'est-à-dire quand l’amplitude de l’autre mode est nulle), puis
mesurer la valeur expérimentale Tb, exp de la période des battements du mouvement d’un des
deux pendules lorsque le mouvement du système est quelconque. Ensuite on vérifie si les
valeurs expérimentales de ces périodes satisfont à la relation(3), c’est à dire si la valeur
théorique de la période de battement, calculée à partir de la relation (3), est égale à la valeur
expérimentale déterminée par la mesure directe.

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Le Compte Rendu
TP : Etude des Pendules Couplés par une
barre de Torsion Etudiant 1
TP fait le : Etudiant2
TP rendu le : Etudiant3
Pour isoler les deux modes, ainsi que pour obtenir le mouvement général avec des
battements on doit choisir, des conditions initiales particulières.
1- Obtention du Mode 1 et Mesure de la période T’ :
Le mode 1 est obtenu en annulant la constante B avec les conditions initiales suivantes :
Les positions initiales : 0 0 
Les vitesses initiales : 0 00
Où >0 est une constante choisie.
Alors :
 ′ 
 2
 0 ′′ 
Les deux fonctions (2) oscillent avec une seule pulsation w’.
  ′  2
⁄
  ′  2
⁄
Tableau N°1
Pour ces conditions initiales mesurer le temps mis par le système pour réaliser 5 périodes.
Essai 5 T’ T’
∆T’=T’-’ (∆T’)2
1
2
3
4
5
Moyenne de la période T’ ’=
2- Obtention du Mode 2 et Mesure de la période T’’:
(4)

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Le mode 2 est obtenu en annulant la constante A avec les conditions initiales suivantes :
0 
0 
0 0 0
Alors :  0 ′
 ′′ 
 2
Et les fonctions (2) oscillent avec une seule pulsation w’’.
  ′′  2
⁄
  ′′  2
⁄
Donc elles représentent le deuxième mode propre. Les deux pendules oscillent maintenant en
opposition de phase.
Tableau N°2
Pour ces nouvelles conditions initiales mesurer le temps mis par le système pour réaliser 5
périodes.
Essai 5 T’’ T’’
∆T’’=T’’-’’ (∆T’’)2
1
2
3
4
5
Moyenne de la période T’’ ’’=
3- Mouvement générale de battement et mesure de Tb
Pour le mouvement général avec des battements on prend les conditions initiales suivantes :
0 0
0 
0 0 0
Alors d’après (2) :  
/2 ′
 2
 /2 ′′  
 2
Les deux solutions deviennent
  /2 ′  2
⁄  /2 ′′  2 ⁄
cos"′
cos ′"
  /2 ′  2
⁄   /2 ′′   2 ⁄
sin "′
sin ′"
Pour ces nouvelles conditions initiales mesurer le temps mis par le système pour réaliser 3
battements.
(6)

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Tableau N°3 :
Nombre de
mesures 3Tb T
b ∆Tb=Tb-b,exp (∆Tb)2
1
2
3
4
5
Moyenne de la période Tb,exp , 
Conclusion :
• Comparer les valeurs obtenues (théorique et expérimentale) de la période
de battement.
• Est-il possible de déterminer la valeur du moment d’inertie J des
pendules ? Si oui calculer sa valeur.