09 equations differentiellles physique

DERNIÈRE IMPRESSION LE 19 juin 2017 à 15:40
Équations différentielles
appliquées à la physique
Table des matières
1 Introduction 2
2 Méthode de résolution 2
3 Premier ordre 2
3.1 Résultat mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.2 Notation physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3.3 Interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.4.1 Décharge d’un condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.4.2 Chute libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4 Second ordre 6
4.1 Résultats mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.2 Notations physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.3 Identification graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.3.1 Régime apériodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.3.2 Régime pseudo périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.4.1 Système mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.4.2 Système harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.4.3 Système RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.4.4 Analogie entre un système mécanique et un circuit RLC . . 11
PAUL MILAN 1VERS LE SUPÉRIEUR

1. INTRODUCTION
1 Introduction
On se limitera aux équations différentielles linéaires de degré 1 et 2 à coefficients
et second terme constants. C’est à dire les équations qui peuvent s’écrire sous la
forme :
y′+a0y=bet y′′ +a1y′+a0y=b
ou encore avec la notation différentielle de variable t:
dy
dt+a0y=bet d2y
dt2+a1dy
dt+a0y=b
2 Méthode de résolution
Comme on a pu le voir dans la résolution de mathématiques :
•On résout l’équation homogène c’est à dire sans second membre :
y′+a0y=0 et y′′ +a1y′+a0y=0
•On détermine une solution particulière de l’équation avec second membre.
Comme celui-ci est constant, on peut prendre ypart =b
a0
•La solution générale est alors la somme des solutions de l’équation homogène
et de la solution particulière : y=yhom +ypart
•On utilise ensuite la ou les conditions initiales pour trouver la solution qui
convient.
Remarque : Dans la majorité des cas les coefficients a0,a1et bseront positifs.
3 Premier ordre
3.1 Résultat mathématique
Théorème 1 : Les solutions de l’équation différentielle y′+a0y=bsont les
fonctions yde la forme :
y(t) = λe−a0t+b
a0
Remarque : Je vous invite à lire la démonstration dans le cours de mathéma-
tiques au paragraphe 1.5.
3.2 Notation physique
On préfère écrire en physique l’équation de premier ordre sous la forme :
y′+1
τy=bavec τ=1 a0
τcorrespond au temps caractéristique facilement évaluable graphiquement.
Les solutions sont alors : y(t) = λe−t
τ+bτ
On détermine λà l’aide d’une condition initiale souvent avec y(0).
PAUL MILAN 2VERS LE SUPÉRIEUR

3. PREMIER ORDRE
3.3 Interprétation graphique
On obtient une fonction croissante ou décroissante selon le signe de λ
La solution particulière fixe le régime permanent et la solution homogène fixe le
régime transitoire.
•λ<0 et y(0) = 0 on a alors y(t) = A1−e−t
τ
τ3τ5τ
A
0, 63A
O
régime permanent
régime transitoire
T0
T0représente la tangente à la courbe en 0.
Elle coupe l’asymptote du régime permanent au point d’abscisse τ.
On peut retenir τ3τ5τ
63 % 95 % 99 %
•λ>0 et y(0) = Aon a alors y(t) = A e−t
τ
τ3τ5τ
A
0, 37A
Orégime permanent
régime transitoire
T0
T0représente la tangente à la courbe en 0.
Elle coupe l’asymptote du régime permanent (ici l’axe des abscisses) au point
d’abscisse τ.
On peut retenir τ3τ5τ
37 % 5 % 1 %
Remarque : τreprésente l’ordre de grandeur de la durée du régime transitoire.
PAUL MILAN 3VERS LE SUPÉRIEUR

3. PREMIER ORDRE
3.4 Exemples
3.4.1 Décharge d’un condensateur
Considérons un condensateur dont les armatures initialement chargées à ±q0
comme dans la figure ci-dessous.
Il n’y a aucun mouvement de charges
tant que l’interrupteur est ouvert. On
ferme l’interrupteur à t=0, il y a un
mouvement de charges qui crée un cou-
rant idans le circuit. La somme des ten-
sions aux bornes du condensateur et de
la résistance étant nulle, on a :
+q0
−q0
R
C
q
C+Ri =0⇔q C+Rdq dt=0⇔dq dt+1 RC q=0 donc τ=RC
La solution générale est q(t) = λet
RC or q(0) = 0 donc q(t) = q0et RC .
RC 3RC 5RC
q0
0, 37q0
O
q(t)
t
3.4.2 Chute libre
On cherche à déterminer l’expression de la vitesse d’un corps dans l’air, c’est à
dire dans notre environnement habituel. Lorsqu’on lâche un corps M de masse m
dans cet environnement, il est soumis à trois forces :
•son poids : m−→ g,
•une force de frottement : −k−→ v
qui s’oppose au mouvement et qui
est proportionnelle à la vitesse
kdépend de la forme du corps et de
la composition de l’atmosphère.
•la poussée d’Archimède : −→ Π
que l’on négligera en raison de sa
faible influence.
On oriente l’axe du déplacement vers le
bas
M
m−→ g
−k−→ v
−→
Πnégligeable
axe du déplacement
PAUL MILAN 4VERS LE SUPÉRIEUR

3. PREMIER ORDRE
D’après le second principe de la dynamique on a :
m−→ a=∑−−→
Fext =m−→ g−k−→ v
en projetant sur l’axe du mouvement et en remarquant que l’accélération est la
dérivée de la vitesse, on obtient :
mdv
dt=mg −kv ÷m
⇔dv
dt=g−k mv⇔dv dt+k mv=gdonc τ=m k
•La solution de l’équation homogène est : λe−k
mt
•Une solution particulière est : b
a0=mg k.
•La solution générale est : v(t) = λe−k
mt+mg
kor v(0) = 0 donc v(t) = mg k1−e−k
mt
m
k
3m
k
5m
k
mg
k
0, 63 mg
k
O
v(t)
t
Remarque : Un corps lâché en chute libre possède une vitesse limite v∞=mg
k
PAUL MILAN 5VERS LE SUPÉRIEUR