Compilation de questions pour l`agrégation Énoncés

Compilation de questions pour
l’agrégation
Cette compilation regroupe des questions et des exercices sur le pro-
gramme de l’agrégation de mathématiques. L’ensemble du programme n’est
pas couvert. Les questions sont de difficulté très variable, mais cette diffi-
culté n’est volontairement pas affichée : apprendre à distinguer les questions
élémentaires (et ne pas se laisser dérouter) des questions difficiles fait partie
des objectifs de la formation. Ne vous laissez pas trop influencer par la clas-
sification : il faut souvent faire appel à une autre partie du programme pour
résoudre un exercice d’une section donnée.
Le texte est organisé en trois parties : d’abord les énoncés, puis des indi-
cations brèves, enfin des solutions plus détaillées.
Première partie
Énoncés
1 Algèbre linéaire
2 Groupes et géométrie
3 Anneaux, corps, polynômes et fractions ra-
tionnelles
4 Formes bilinéaires et quadratiques sur un es-
pace vectoriel
Énoncé 4.1. Déterminer la signature de la forme quadratique de R3définie
par
Q(x, y, z, t) = xy +yz +zt +tx
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5 Géométries affine, projective et euclidienne
6 Analyse à une variable réelle
Énoncé 6.1. Soit θun nombre réel qui n’est pas un multiple rationnel de π.
Est-ce que l’ensemble 2πZ+θNest dense dans R?
Remarque : si α, β sont des réels et A, B des parties de R, on note
αA +βB := {x∈R|∃a∈A, ∃b∈B, x =αa +βb}.
Énoncé 6.2. On considère la suite un= (cos n)n. Est-ce que 0est valeur
d’adhérence ? Est-ce que unconverge ?
Énoncé 6.3. Le théorème de Weierstrass est-il vrai sur R, c’est-à-dire :
peut-on approcher uniformément toute fonction continue de Rdans Rpar
des applications polynomiales ?
Énoncé 6.4. Existe-t-il une suite croissante de fonctions fn: [0,1] →R
convergeant simplement vers une fonction fcontinue, mais ne convergeant
pas uniformément ?
Énoncé 6.5. Soit fn:]0,1[→Cune suite de fonctions continues telle que
PnR1
0|fn(t)|dt converge. Montrer que Pnfnconverge presque partout.
Énoncé 6.6. Soit f:R→Rune fonction. On suppose qu’il existe un
nombre mtel que |f(x+y)−f(x)−f(y)| ≤ mpour tous x, y. Montrer que
pour tout x∈R, la suite un(x) = f(2nx)
2nconverge.
Énoncé 6.7. Déterminer la limite presque partout de
Zn
−n
sin x
xeitx dx
quand n→+∞.
Énoncé 6.8. Soit µune mesure signée sur [0,1] telle que R1
0tnµ(dt)=0
pour tout n∈N. Que peut-on dire de µ?
7 Analyse à une variable complexe
8 Calcul différentiel
9 Calcul intégral et probabilités
Énoncé 9.1. Soient X, Y, Z des variables aléatoires deux à deux indépen-
dantes. Sont elles globalement indépendantes ?
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10 Analyse fonctionnelle
Énoncé 10.1. Donner un exemple de normes non-équivalentes sur un espace
vectoriel réel.
Énoncé 10.2. Existe-t-il une norme sur R[X]telle que l’application de dé-
rivation P7→ P0soit continue ?
Énoncé 10.3. On considère sur l’espace vectoriel
E=f:]0,1[→R∃M≥0,|f(t)| ≤ M
t∀t∈]0,1[
la norme
N(f) = sup
0<t<1|tf(t)|.
Montrer que l’application linéaire
ϕ:E→E
f7→ ϕf =t7→ f(t/2) + f(t/3)
est continue et calculer sa norme.
Énoncé 10.4. Soit El’espace vectoriel des suites réelles indexées par Zet
bornées, muni de la norme supérieure k·k∞. Soit Pla partie de Eformée
des suites périodiques. Est-ce que Pest un sous-espace vectoriel fermé ?
Énoncé 10.5. Étant donnée f∈L1(R), on considère l’endomorphisme
T:L2(R)→L2(R)
g7→ f∗g
dont on sait bien qu’il vérifie kT gk2≤ kfk1kgk2. Ainsi, |||T||| ≤ kfk1. A-t-on
égalité ?
Énoncé 10.6. Montrer que dans un espace vectoriel réel normé de dimension
finie, la boule unité est compacte. On n’utilisera pas l’équivalence des normes
en dimension finie (qui en est une conséquence).
11 Géométrie différentielle
Énoncé 11.1. Soit Mune sous-variété compacte et xun point de Rn. Mon-
trer qu’il existe un point yde Mtel que pour une équation gde Mau
voisinage de y, on a ~yx ⊥ker dg(y). On appelle ici équation de Mune fonc-
tion gdéfinie sur un ouvert Ude Rn, à valeurs dans Rdoù dest la dimension
de M, telle que U∩M=g−1(0) et dg(z)est surjective en tout point.
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Deuxième partie
Indications
??. Il est plus efficace ici de remarquer une factorisation que d’appliquer la
réduction de Gauss aveuglément.
6.1. Il est classique que 2πZ+θZest dense dans R. La réponse à la question
présente est également positive, mais est un peu délicate. On peut chercher
à montrer que l’on peut trouver des nombres strictement positifs mais arbi-
trairements près de 0dans l’ensemble considéré et en déduire la densité.
6.2. La première question est facile : il existe des entiers arbitrairement
grands tels que cos nsoit plus petit que 1/2, on en déduit que 0est valeur
d’adhérence. La seconde est nettement plus difficile, on admettra le théorème
de Dirichlet pour la résoudre : pour tout nombre réel θ, il existe une suite de
couples d’entiers (pk, qk)k≥0telle que pk, qk→+∞quand k→+∞et pour
tout k,
pk
qk−θ
<1
q2
k
.
Ce théorème est une très belle application du principe des tiroirs, soit dit en
passant.
6.3. C’est une question simple. Comme souvent, enlever une hypothèse à
un théorème le rend faux, et la réponse est ici négative.
6.4. Cet énoncé est à comparer aux théorèmes de Dini : l’un d’eux stipule
que si les fnsont de plus continues, alors la convergence est uniforme. Sans
l’hypothèse, ce n’est pas toujours le cas et le contre-exemple n’est pas com-
pliqué à trouver. Attention à bien comprendre que la suite fnest croissante,
c’est-à-dire que pour tout x∈[0,1] et tous entiers n≤mon a fn(x)≤fm(x),
mais que les fonctions fnne sont pas supposées croissantes.
6.5. C’est un exercice simple d’intervertion limite-intégrale.
6.6. C’est un exercice de majoration un tout petit peu fin. Il faut avoir
le réflexe d’utiliser la complétude de R, car l’énoncé ne demande pas de
déterminer la limite. Si on bloque, on peut commencer par considérer le cas
m= 0 :fest alors additive, et la suite considérée est constante. Dans le cas
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général, fest « presque » additive, mais cela suffit pour obtenir que la suite
est de Cauchy.
6.7. C’est un résultat plus ou moins classique, mais qui ne s’invente pas :
il s’agit d’utiliser le calcul des résidus. On peut tout de même signaler que
d’après le théorème d’inversion L2, il y a convergence L2(et donc convergence
presque partout d’une sous-suite) vers la transformée de Fourier (inverse) de
sinc.
6.8. C’est une question simple si on pense au théorème d’approximation de
Weierstrass.
9.1. C’est une question élémentaire, et la réponse est non. Il suffit donc de
trouver un contre-exemple.
10.1. C’est une questions aux bases du programme ; le premier réflexe est
bien sûr de chercher en dimension infinie. Il y a alors deux approches clas-
siques : sur un espace de suites, ou sur un espace de séries. Attention à
bien choisir l’espace vectoriel : il faut que les deux normes y soient définies
simultanément.
10.2. Cette question n’est pas difficile quand on la prend bien, mais peut
être assez déroutante sinon. La réponse est positive ; le problème est que la
dérivation multiplie les coefficients par le degré du monôme correspondant,
qui n’est pas universellement borné. Il faut donc construire une norme qui
compense ceci en prenant en compte le degré pour compenser.
10.3. Il est bien sûr sous(entendu qu’on cherche la norme subordonnée de
ϕ, c’est-à-dire Ns(ϕ) = supfN(ϕf)/N(f)où fparcourt E\{0}. La méthode
habituelle marche très bien ici : chercher à majorer N(ϕf )par un multiple
aussi petit que possible de N(f)(ce qui montre la continuité puisque ϕest
linéaire), puis montrer que l’égalité est réalisée.
10.4. Cette question est un peu délicate. Tout d’abord Pest bien un sous-
espace vectoriel (attention, la somme de fonctions périodiques n’est pas né-
cessairement périodique !). Il est facile de voir que le sous-espace PTformée
des suites T-périodiques est fermé quel que soit T. Toutefois, Pn’est lui
pas fermé, et c’est donc sur la variation de la période qu’il faut jouer pour
construire une suite convergente de fonctions périodiques dont la limite n’est
pas périodique. Utiliser la complétude (c’est-à-dire, construire une suite de
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