BANQUE PROBABILITES

Banque épreuve orale de mathématiques session 2018, CCP-MP Mise à jour : 18/09/17
BANQUE PROBABILITÉS
EXERCICE 95 probabilités
Une urne contient deux boules blanches et huit boules noires.
1. Un joueur tire successivement, avec remise, cinq boules dans cette urne.
Pour chaque boule blanche tirée, il gagne 2 points et pour chaque boule noire tirée, il perd 3 points.
On note Xla variable aléatoire représentant le nombre de boules blanches tirées.
On note Yle nombre de points obtenus par le joueur sur une partie.
(a) Déterminer la loi de X,sonespéranceetsavariance.
(b) Déterminer la loi de Y,sonespéranceetsavariance.
2. Dans cette question, on suppose que les cinq tirages successifs se font sans remise.
(a) Déterminer la loi de X.
(b) Déterminer la loi de Y.
EXERCICE 96 probabilités
On admet, dans cet exercice, que : 8q2N,X
k>q✓k
q◆xkqconverge et 8x2]1,1[,
+1
X
k=q✓k
q◆xkq=1 (1 x)q+1 .
Soit p2]0,1[ et r2N⇤.
On dépose une bactérie dans une enceinte fermée à l’instant t=0(le temps est exprimé en secondes).
On envoie un rayon laser par seconde dans cette enceinte.
Le premier rayon laser est envoyé à l’instant t=1.
La bactérie a la probabilité pd’être touchée par le rayon laser.
Les tirs de laser sont indépendants.
La bactérie ne meurt que lorsqu’elle a été touchée rfois par le rayon laser.
Soit Xla variable aléatoire égale à la durée de vie de la bactérie.
1. Déterminer la loi de X.
2. Prouver que Xadmet une espérance et la calculer.
EXERCICE 97 probabilités
Soit (X, Y )un couple de variables aléatoires à valeurs dans N2dont la loi est donnée par :
8(j, k)2N2,P((X, Y )=(j, k)) =
(j+k)✓1
2◆j+k
ej!k!.
1. Déterminer les lois marginales de Xet de Y.
Les variables Xet Ysont-elles indépendantes ?
2. Prouver que E⇥2X+Y⇤existe et la calculer.
EXERCICE 98 probabilités
Une secrétaire effectue, une première fois, un appel téléphonique vers ncorrespondants distincts.
On admet que les nappels constituent nexpériences indépendantes et que, pour chaque appel, la probabilité
d’obtenir le correspondant demandé est p(p2]0,1[).
Soit Xla variable aléatoire représentant le nombre de correspondants obtenus.
1. Donner la loi de X.Justifier.
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2. La secrétaire rappelle une seconde fois, dans les mêmes conditions, chacun des nXcorrespondants qu’elle
n’a pas pu joindre au cours de la première série d’appels. On note Yla variable aléatoire représentant le
nombre de personnes jointes au cours de la seconde série d’appels.
(a) Soit i2J0,nK.Déterminer,pourk2N,P(Y=k|X=i).
(b) Prouver que Z=X+Ysuit une loi binomiale dont on déterminera le paramètre.
Indication :onpourrautiliser,sanslaprouver,l’égalitésuivante:✓ni
ki◆✓n i◆=✓k i◆✓n k◆.
(c) Déterminer l’espérance et la variance de Z.
EXERCICE 99 probabilités
1. Rappeler l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
2. Soit (Yn)une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes, de même loi et admettant un
moment d’ordre 2. On pose Sn=
n
X
k=1
Yk.
Prouver que : 8a2]0,+1[,P✓
Sn
nE(Y1)
>a◆6V(Y1)
na2.
3. Application
On effectue des tirages successifs, avec remise, d’une boule dans une urne contenant 2 boules rouges et 3
boules noires.
Àpartirdequelnombredetiragespeut-ongarantiràplusde95%quelaproportiondeboulesrouges
obtenues restera comprise entre 0,35 et 0,45 ?
Indication :considérerlasuite(Yi)de variables aléatoires de Bernoulli où Yimesure l’issue du ième tirage.
EXERCICE 100 probabilités
Soit 2]0,+1[.
Soit Xune variable aléatoire discrète à valeurs dans N⇤.
On suppose que 8n2N⇤,P(X=n)= 
n(n+ 1)(n+ 2).
1. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle Rdéfinie par R(x)= 1
x(x+ 1)(x+ 2).
2. Calculer .
3. Prouver que Xadmet une espérance, puis la calculer.
4. Xadmet-elle une variance ? Justifier.
EXERCICE 101 probabilités
Dans une zone désertique, un animal erre entre trois points d’eau A,Bet C.
Àl’instantt=0,ilsetrouveaupointA.
Quand il a épuisé l’eau du point où il se trouve, il part avec équiprobabilité rejoindre l’un des deux autres points
d’eau.
L’eau du point qu’il vient de quitter se régénère alors.
Soit n2N.
On note Anl’événement «l’animal est en Aaprès son nième trajet».
On note Bnl’événement «l’animal est en Baprès son nième trajet».
On note Cnl’événement «l’animal est en Caprès son nième trajet».
On pose P(An)=an,P(Bn)=bnet P(Cn)=cn.
1. (a) Exprimer, en le justifiant, an+1 en fonction de an,bnet cn.
(b) Exprimer, de même, bn+1 et cn+1 en fonction de an,bnet cn.
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2. On considère la matrice A=0
B
B
@
01
2
1
2
1
201 2
1
2
1
20
1
C
C
A
.
(a) Justifier, sans calcul, que la matrice Aest diagonalisable.
(b) Prouver que 1
2est valeur propre de Aet déterminer le sous-espace propre associé.
(c) Déterminer une matrice Pinversible et une matrice Ddiagonale de M3(R)telles que D=P1AP .
Remarque :lecalculdeP1n’est pas demandé.
3. Montrer comment les résultats de la question 2. peuvent être utilisés pour calculer an,bnet cnen fonction
de n.
Remarque : aucune expression finalisée de an,bnet cnn’est demandée.
EXERCICE 102 probabilités
Soit N2N⇤.
Soit p2]0,1[.Onposeq=1p.
On considère Nvariables aléatoires X1,X
2,···,X Ndéfinies sur un même espace probabilisé (⌦,A,P),
mutuellement indépendantes et de même loi géométrique de paramètre p.
1. Soit i2J1,NK.Soitn2N⇤.
Déterminer P(Xi6n),puisP(Xi>n).
2. On considère la variable aléatoire Ydéfinie par Y=min
16i6N(Xi)
c’est-à-dire 8!2⌦,Y(!)=min(X1(!),···,X
N(!)),min désignant « le plus petit élément de ».
(a) Soit n2N⇤. Calculer P(Y>n).
En déduire P(Y6n),puisP(Y=n).
(b) Reconnaître la loi de Y.EndéduireE(Y).
EXERCICE 103 probabilités
Remarque :lesquestions1.et2.sontindépendantes.
Soit (⌦,A,P)un espace probabilisé.
1. (a) Soit X1et X2deux variables aléatoires définies sur (⌦,A,P).
On suppose que X1et X2sont indépendantes et suivent des lois de Poisson, de paramètres respectifs 1
et 2.
Déterminer la loi de X1+X2.
(b) En déduire l’espérance et la variance de X1+X2.
2. Soit Xet Ydeux variables aléatoires définies sur (⌦,A,P).
On suppose que Ysuit une loi de Poisson de paramètre .
On suppose que X(⌦) = Net que, pour tout m2N,laloiconditionnelledeXsachant (Y=m)est une loi
binomiale de paramètre (m, p).
Déterminer la loi de X.
EXERCICE 104 probabilités
Soit nun entier naturel supérieur ou égal à 3.
On dispose de nboules numérotées de 1ànet d’une boîte formée de trois compartiments identiques également
numérotés de 1 à 3.
On lance simultanément les nboules.
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Elles viennent toutes se ranger aléatoirement dans les 3 compartiments.
Chaque compartiment peut éventuellement contenir les nboules.
On note Xla variable aléatoire qui à chaque expérience aléatoire fait correspondre le nombre de compartiments
restés vides.
1. Préciser les valeurs prises par X.
2. (a) Déterminer la probabilité P(X= 2).
(b) Finir de déterminer la loi de probabilité de X.
3. (a) Calculer E(X).
(b) Déterminer lim
n!+1E(X). Interpréter ce résultat.
EXERCICE 105 probabilités
1. Énoncer et démontrer la formule de Bayes pour un système complet d’événements.
2. On dispose de 100 dés dont 25 sont pipés (c’est-à-dire truqués).
Pour chaque dé pipé, la probabilité d’obtenir le chiffre 6 lors d’un lancer vaut 1
2.
(a) On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé et on obtient le chiffre 6.
Quelle est la probabilité que ce dé soit pipé ?
(b) Soit n2N⇤.
On tire un dé au hasard parmi les 100 dés. On lance ce dé nfois et on obtient nfois le chiffre 6.
Quelle est la probabilité pnque ce dé soit pipé ?
(c) Déterminer lim
n!+1pn. Interpréter ce résultat.
EXERCICE 106 probabilités
Xet Ysont deux variables aléatoires indépendantes et à valeurs dans N.
Elles suivent la même loi définie par : 8k2N,P(X=k)=P(Y=k)=pqkoù p2]0,1[ et q=1p.
On considère alors les variables Uet Vdéfinies par U= sup(X, Y )et V=inf(X, Y ).
1. Déterminer la loi du couple (U, V ).
2. Déterminer la loi marginale de U.
On admet que V(⌦) = Net que, 8n2N,P(V=n)=pq2n(1 + q).
3. Prouver que W=V+1suit une loi géométrique.
En déduire l’espérance de V.
4. Uet Vsont-elles indépendantes ?
EXERCICE 107 probabilités
On dispose de deux urnes U1et U2.
L’urne U1contient deux boules blanches et trois boules noires.
L’urne U2contient quatre boules blanches et trois boules noires.
On effectue des tirages successifs dans les conditions suivantes :
on choisit une urne au hasard et on tire une boule dans l’urne choisie.
On note sa couleur et on la remet dans l’urne d’où elle provient.
Si la boule tirée était blanche, le tirage suivant se fait dans l’urne U1.
Sinon le tirage suivant se fait dans l’urne U2.
Pour tout n2N⇤,onnoteBnl’événement « la boule tirée au nième tirage est blanche » et on pose pn=P(Bn).
1. Calculer p1.
2. Prouver que : 8n2N⇤,pn+1 =6
35pn+4 7.
3. En déduire, pour tout entier naturel nnon nul, la valeur de pn.
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EXERCICE 108 probabilités
Soient Xet Ydeux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé (⌦,A,P)et à valeurs dans N.
On suppose que la loi du couple (X, Y )est donnée par :
8(i, j)2N2,P((X=i)\(Y=j)) = 1
e2
i+1j!
1. Déterminer les lois de Xet de Y.
2. (a) Prouver que 1+Xsuit une loi géométrique et en déduire l’espérance et la variance de X.
(b) Déterminer l’espérance et la variance de Y.
3. Les variables Xet Ysont-elles indépendantes ?
4. Calculer P(X=Y).
EXERCICE 109 probabilités
Soit n2N⇤.Uneurnecontientnboules blanches numérotées de 1 à net deux boules noires numérotées 1 et 2.
On effectue le tirage une à une, sans remise, de toutes les boules de l’urne.
On note Xla variable aléatoire égale au rang d’apparition de la première boule blanche.
On note Yla variable aléatoire égale au rang d’apparition de la première boule numérotée 1.
1. Déterminer la loi de X.
2. Déterminer la loi de Y.
EXERCICE 110 probabilités
Soit (⌦,A,P)un espace probabilisé.
1. Soit Xune variable aléatoire définie sur (⌦,A,P)et à valeurs dans N.
On considère la série entière XtnP(X=n)de variable réelle t.
On note RXson rayon de convergence.
(a) Prouver que RX>1.
On pose GX(t)=
+1
X
n=0
tnP(X=n)et note DGXl’ensemble de définition de GX.
Justifier que [1,1] ⇢DGX.
Pour tout réel tfixé de DGX,exprimerGX(t)sous forme d’une espérance.
(b) Soit k2N.Exprimer,enjustifiantlaréponse,P(X=k)en fonction de G(k)
X(0).
2. (a) On suppose que Xsuit une loi de Poisson de paramètre .
Déterminer DGXet, pour tout t2DGX,calculerGX(t).
(b) Soit Xet Ydeux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé, indépendantes et suivant
des lois de Poisson de paramètres respectifs 1et 2.
Déterminer, en utilisant les questions précédentes, la loi de X+Y.
EXERCICE 111 probabilités
On admet, dans cet exercice, que : 8q2N,X
k>q✓k
q◆xkqconverge et 8x2]1,1[,
+1
X
k=q✓k
q◆xkq=1
(1 x)q+1 .
Soit p2]0,1[.
Soit (⌦,A,P)un espace probabilisé.
Soit Xet Ydeux variables aléatoires définies sur (⌦,A,P)et à valeurs dans N.
On suppose que la loi de probabilité du couple (X, Y )est donnée par :
8(k, n)2N2,P((X=k)\(Y=n)) = 8
<
:✓n
k◆✓1 2◆n
p(1 p)nsi k6n
0sinon
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