CHAPITRE III

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CHAPITRE III
SYSTÈMES CENTRÉS DANS
L’APPROXIMATION DE GAUSS
III.1- Éléments cardinaux d’un système centré
Les points cardinaux sont l’ensemble de points dont la connaissance permet la
détermination complète des propriétés d’un système centré. Ils permettent donc de définir
parfaitement ce système. Ce sont les foyers, les points principaux et antiprincipaux, les
points nodaux et antinodaux. Certains de ces points sont situés dans un même plan, appelé
plan cardinal. Les points et les plans cardinaux constituent les éléments cardinaux d’un
système optique centré.
1) Foyers principaux – Plans focaux
Le foyer principal objet F (ou image F’) est un point de l’axe optique tel qu’à tout
rayon passant par ce point correspond un émergent (ou un incident) parallèle à l’axe
optique. Le conjugué de F (ou F’) est donc situé à l’infini sur l’axe (Fig. III.1).
Fig. III.1
Les plans focaux PF et PF’ sont les plans de front passant par F et F’.
Les foyers secondaires φ et φ’ sont les points de PF et PF’ autres que F et F’.
Le système est dit focal si F et F’ sont à distances finies. Il est afocal si ces points sont
rejetés à l’infini.
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2) Plans principaux – Points principaux
Les plans principaux P et P’ sont deux plans de front conjugués correspondant à un
grandissement transversal égal à l’unité :  t 
A ' B'
 1
AB
Le plan P est le lieu de rencontre de rayons émergents parallèles à l’axe optique et des
incidents correspondants (Fig. III.2).
Fig. III.2
Le plan P’ est le lieu de rencontre des incidents parallèles à l’axe optique et des
émergents correspondants.
Pour avoir un grandissement égal à l’unité, on choisit l’émergent [2] suivant le support de
l’incident [1] ; on a bien :  t 
H 'K '
 1 .
HK
Les points principaux (H, H’) sont les points d’intersection des plans P et P’ avec l’axe
optique. La distance : e  HH ' est appelée interstice du système.
Conséquence : A tout rayon passant par un point K de P correspond un rayon émergent
passant par un point K’ de P’ situé à la même distance que K. On représente donc le
système par le schéma équivalent suivant (Fig. III. 3) :
Fig. III.3
Les distances focales objet et images s’écrivent : f  HF et f '  H ' F '
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Exemple du dioptre sphérique : les points principaux H et H’ sont confondus et très
proches du sommet S dans l’approximation de Gauss; ainsi H = H’ # S.
3) Points nodaux
Ce sont deux points (N, N’) de l’axe optique tel qu’à tout rayon incident passant par N
correspond un émergent parallèle à l’incident et passant par N’ (Fig. III.4).
Fig. III.4
Ce sont aussi des points tel que le grossissement (ou grandissement angulaire) du
système est égal à l’unité : G 
'
 1

Considérons un objet AB = FB du plan focal objet (Fig. III.5) ; B étant un foyer
secondaire, le faisceau émergent est cylindrique.
Fig. III.5
Considérons aussi des rayons passants par les points nodaux N et N’.
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On en déduit :
e  HH '  NN ' l’interstice du système.
 et H

Les triangles FBN
'F'K ' sont égaux : f '  H 'F'  FN
Le principe de retour inverse permet d’écrire : f  HF  F' N '
Or e  NN '  NH  HH '  H ' N '  HH ' ; d’où H ' N '  HN
H ' N '  H 'F'  F' N '  f ' f
La figure III.5 montre aussi que :
tg 
KH KH
H 'K ' HK

#  et tg ' 

#'
BK FH
F'H ' F' H '
D’où :

f'

'
f
Or d’après la loi des sinus d’Abbe : nHK sin   n ' H ' K 'sin  ou n  n ' 
D’où la vergence du système :
V
n'
n

f'
f
et le théorème de Lagrange :
f
n

f'
n'
« Le rapport des distances focales d’un système centré est égal au rapport des
indices des milieux extrêmes changé de signe ».
4) Plans antiprincipaux – Points antinodaux
Les plans antiprincipaux sont tel que le grandissement : γt = -1. Les points antinodaux
sont tel que le grossissement G = -1.
III.2- Relations de conjugaison
1) Origines en H et H’
Considérons un objet AB et son image A’B’ par rapport à un système optique centré
SO (Fig. III.6).
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Fig. III.6
 et BLK
 sont semblables :
Les triangles FHL
tg 
KL HL A 'B'
A 'B' HL f


ou
(a)


AH FH
FH
KL
KL p
De même :
tg ' 
K ' L ' K ' H ' BA
BA KH f '


ou
(b)


H ' A ' H ' F' H ' F'
KL KL p '
(a) + (b) donne la relation de conjugaison du système avec origines des abscisses aux
points principaux H et H’ :
f' f
 1
p' p
avec :
p  HA et p '  H ' A '
Ou d’après la relation donnant la vergence du système :
n' n n'
n
   V
p' p f '
f
(a) / (b) donne le grandissement transversal:
t 
n p'
f p'

n' p
f' p
On montre de même que le grossissement:
G
d’où :
p
p'
G. t  
f
n

f ' n'
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2) Origines en F et F’
 et FHL
 sont semblables :
Les triangles FAB
tg 
HL AB
HL
HF
f

ou



FH FA
AB
FA
avec   FA


Les triangles H
'F'K ' et F'A
'B' sont semblables :
H 'K ' A 'B'
H 'K '
H ' F'
f'

ou


'
F'H ' F'A '
A ' B'
F' A '
avec  '  F'A '
Puisque H ' K '  HK  AB et A ' B '  HL , on en déduit la relation de Newton :
. '  f .f '
On en déduit aussi le grandissement :
t  
'
f

f'
III.3- Association de deux systèmes centrés
1) Construction géométrique
Considérons l’association de deux systèmes centrés (I) et (II) limitant un milieu
d’indice N (Fig. III.7).
Fig. III.7
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On pose :   H '1 H 2 ;   F'1 F2 l’intervalle optique du système.
2) Éléments cardinaux
La figure montre que :
-
F’ est le conjugué de F1’ par rapport au système (II) ;
-
F est le conjugué de F2 par rapport au système (I).
D’où :
f ' .f
f ' .f
F2' F'   2 2 et F1 F  1 1




Les triangles F'H
'K ' et J '2 H '2 F2' sont semblables :
H1' K1' H 1' F1'
f1'



F22
F2 F1'


Les triangles F22 F1' et F1' K1' H1' sont semblables :
Puisque H1' K1'  H 'K ' et H1' J '2  F22 , d’où :
f1' .f 2'
f .f
f '  H 'F'  
et f  HF  1 2


3) Vergence
La vergence du système s’écrit : V 
n'
n

f'
f
Or les vergences des systèmes (I) et (II) sont : V1 
N
f1'

n
n'
N
et V2   
f1
f2
f 2'
et   F1' F2  F1' H1'  H1' H 2  H 2 F2  f1'    f 2 ; d’où la formule de Gullstrand:
V  V1  V2 

V1.V2
N
III.4- Application aux lentilles
1) Définition
Une lentille est un système réfringent limité par deux surfaces sphériques (Fig. III.8),
ou par une face sphérique et une face plane. C’est donc une association de deux systèmes
optiques.
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Fig. III.8
La distance entre les sommets S1 et S2 est appelée épaisseur de la lentille: e  S1S2 .
Une lentille est dite :
- mince si l’épaisseur e est négligeable devant les rayons de courbure des dioptres ;
- épaisse si e n’est pas négligeable.
On distingue les lentilles :
- convexe si R < 0 ;
- concave si R > 0 ;
R  SC étant le rayon du dioptre rencontré le premier par la lumière et le sens positif
étant celui du trajet de la lumière.
Les six formes possibles des lentilles sont (Fig. III.9) :
Fig. III.9
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2) Éléments cardinaux
a- Foyers
Considérons une lentille d’indic n, plongée dans l’air d’indice unité (Fig. III.10).
Fig. III.10
D’après le tracé :
-
F’ est le conjugué de F1’ par rapport au second dioptre.
-
De même, F est le conjugué de F2 par rapport au premier dioptre ;
d’où : F' F'  
2
f 2' .f 2
f ' .f
et F1 F  1 1


avec Δ = f2 + ε – f’1 ;   S1S2 = e : épaisseur de la lentille,
puisque dans
l’approximation de Gauss, les points principaux H et H’ d’un dioptre sont confondus
avec son sommet S.
b- Centre optique
C’est un point O de l’axe optique tel qu’à tout rayon intérieur dont le support passe par
O correspondent un incident et un émergent parallèles (Fig. III.11). C’est donc le
conjugué des points nodaux par rapport aux deux dioptres.
Fig. III.11
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Dans l’approximation de Gauss, les rayons sont paraxiaux, on peut donc considérer


que les rayons C2I2 et I1C1 sont parallèles. Les angles C
1C2 I 2 et I1C1C 2 sont donc
égaux.
SI
S I
SI
S I
tg # 1 1  2 2 ou tg # 1 1  2 2
OS1 C2S2
C1S1 C2S2
; d’où la relation donnant le centre optique
O de la lentille :
OS1 S1C1 R1


OS2 S2C2 R 2
relation valable si les milieux extrêmes sont identiques.
3) Cas d’une lentille mince
a- Centre optique
Dans quelles conditions la lentille est considérée comme mince, c’est-à-dire que les
sommets S1 et S2 sont confondus ?
OS1 S1C1 R1
eR 2


et e  S1S2  S1O  OS2 ; d’où : OS2 
R 2  R1
OS2 S2C2 R 2
Ainsi, e est négligeable si O # S2 = S ; soit si OS2 est très faible ou : e << |R2 – R1|.
Dans ce cas, on a la conséquence suivante :
« Un rayon passant par le centre optique O n’est pas dévié pour une lentille mince ».
b- Points principaux et foyers
Pour une lentille mince, puisque O = S1 = S2, les points principaux (H, H’) de la
lentille sont confondus avec le centre optique O. En effet :
-
la lentille est plongée dans l’air : f’ = -f soit FN  F' N ' ou FO  F'O ,
les foyers F et F’ sont donc symétriques par rapport au centre O.
-
or f '  FN  FO  H 'F'   F'O  f   HF ; H et H’ sont donc en O.
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C’est ainsi que l’on représente une lentille mince par un segment vertical (Fig. III.12).
Fig. III.12
Pour distinguer une lentille mince convergente d’une lentille mince divergente, on
représente les bords d’une lentille par deux prismes dont :
-
les bases sont en regard pour une lentille convergente;
-
les arêtes sont en regard pour une lentille divergente.
c- Relations de conjugaison
On pose : p '  OA ' et p  OA ; et puisque e = 0 , on obtient les relations
suivantes :
-
1 1 1
1
   V
p' p f '
f
-
t 
-
. '  f .f '  f 2  f '2
-
V  (n  1)(
p'
p
1
1

)
R1 R 2
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