CHAPITRE III

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CHAPITRE III
III.1- Éléments cardinaux d’un système centré
Les points cardinaux sont l’ensemble de points dont la connaissance permet la
détermination complète des propriétés d’un système centré. Ils permettent donc de définir
parfaitement ce système. Ce sont les foyers, les points principaux et antiprincipaux, les
points nodaux et antinodaux. Certains de ces points sont situés dans un même plan, appelé
plan cardinal. Les points et les plans cardinaux constituent les éléments cardinaux d’un
système optique centré.
1) Foyers principaux – Plans focaux
Le foyer principal objet F (ou image F’) est un point de l’axe optique tel qu’à tout
rayon passant par ce point correspond un émergent (ou un incident) parallèle à l’axe
optique. Le conjugué de F (ou F’) est donc situé à l’infini sur l’axe (Fig. III.1).
Les plans focaux PFet PF’ sont les plans de front passant par F et F’.
Les foyers secondaires φ et φ’ sont les points de PFet PF’ autres que F et F’.
Le système est dit focal si F et F’ sont à distances finies. Il est afocal si ces points sont
rejetés à l’infini.
SYSTÈMES CENTRÉS DANS
L’APPROXIMATION DE GAUSS
Fig. III.1

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2) Plans principaux – Points principaux
Les plans principaux P et P’ sont deux plans de front conjugués correspondant à un
grandissement transversal égal à l’unité :
t
A 'B' 1
AB
Le plan P est le lieu de rencontre de rayons émergents parallèles à l’axe optique et des
incidents correspondants (Fig. III.2).
Le plan P’ est le lieu de rencontre des incidents parallèles à l’axe optique et des
émergents correspondants.
Pour avoir un grandissement égal à l’unité, on choisit l’émergent [2] suivant le support de
l’incident [1] ; on a bien :
t
H 'K ' 1
HK
.
Les points principaux (H, H’) sont les points d’intersection des plans P et P’ avec l’axe
optique. La distance :
e HH '
est appelée interstice du système.
Conséquence : A tout rayon passant par un point K de P correspond un rayon émergent
passant par un point K’ de P’ situé à la même distance que K. On représente donc le
système par le schéma équivalent suivant (Fig. III. 3) :
Les distances focales objet et images s’écrivent :
f HF
et
f ' H 'F'
Fig. III.2
Fig. III.3

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Exemple du dioptre sphérique : les points principaux H et H’ sont confondus et très
proches du sommet S dans l’approximation de Gauss; ainsi H = H’ # S.
3) Points nodaux
Ce sont deux points (N, N’) de l’axe optique tel qu’à tout rayon incident passant par N
correspond un émergent parallèle à l’incident et passant par N’ (Fig. III.4).
Ce sont aussi des points tel que le grossissement (ou grandissement angulaire) du
système est égal à l’unité :
'
G 1
Considérons un objet AB = FB du plan focal objet (Fig. III.5) ; B étant un foyer
secondaire, le faisceau émergent est cylindrique.
Considérons aussi des rayons passants par les points nodaux N et N’.
Fig. III.4
Fig. III.5

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On en déduit :
e HH ' NN ' 
l’interstice du système.
Les triangles
FBN
et
H 'F'K '
sont égaux :
f ' H 'F' FN 
Le principe de retour inverse permet d’écrire :
f HF F ' N ' 
Or
e NN ' NH HH ' H ' N ' HH '    
; d’où
H ' N ' HN
H ' N ' H 'F' F' N ' f ' f   
La figure III.5 montre aussi que :
KH KH
tg #
BK FH
et
H 'K ' HK
tg ' # '
F'H ' F'H '
D’où :
f '
' f
Or d’après la loi des sinus d’Abbe :
nHK sin n ' H 'K 'sin  
ou
n n '  
D’où la vergence du système :
et le théorème de Lagrange :
«Le rapport des distances focales d’un système centré est égal au rapport des
indices des milieux extrêmes changé de signe ».
4) Plans antiprincipaux – Points antinodaux
Les plans antiprincipaux sont tel que le grandissement : γt= -1. Les points antinodaux
sont tel que le grossissement G = -1.
III.2- Relations de conjugaison
1) Origines en H et H’
Considérons un objet AB et son image A’B’ par rapport à un système optique centré
SO (Fig. III.6).
n ' n
Vf ' f
f n
f ' n '

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Les triangles
FHL
et
BLK
sont semblables :
KL HL A ' B'
tg AH FH FH
ou
A 'B' HL f
p
KL KL
(a)
De même :
K 'L ' K 'H ' BA
tg ' H ' A ' H 'F' H 'F'
ou
BA KH f '
p '
KL KL
(b)
(a) + (b) donne la relation de conjugaison du système avec origines des abscisses aux
points principaux H et H’ :
avec :
p HA
et
p ' H 'A '
Ou d’après la relation donnant la vergence du système :
(a) / (b) donne le grandissement transversal:
On montre de même que le grossissement:
p
Gp'
d’où :
f n
G. tf ' n '
f ' f 1
p ' p
n ' n n ' n V
p ' p f ' f
n f
p' p'
tp p
n ' f '
Fig. III.6