electromagn eleve 16-06

cpge TSI
Établissement St Joseph - LaSalle
Lorient
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electromagn_eleve_16-06
2 juin 2016
É le tromagnétisme
Version Élève
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
Marc Beutier
[email protected]
http://obelix56.free.fr
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
CPGE TSI
Saint Joseph - LaSalle
3
TABLE DES MATIÈRES
Électromagnétisme
P13 Électromagnétisme - introduction . . . . . . . . . . .
13.1 Compétences du chapitre . . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.1 Action sur une particule . . . . . . . . . . . . . .
13.2.2 Le champ électromagnétique, entité indissociable
13.2.3 Régime stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3 Charge électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4 Distribution de charges . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4.1 Distribution volumique . . . . . . . . . . . . . .
13.4.2 Distribution surfacique et linéique . . . . . . . . .
13.4.3 Loi de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4.4 Principe de superposition . . . . . . . . . . . . .
13.5 Courant électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.5.1 Intensité électrique . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.5.2 Distribution volumique de courant . . . . . . . .
13.5.3 Force de Lorentz volumique . . . . . . . . . . . .
13.6 Exercices : Électromagnétisme - Introduction . . . .
13.6.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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P14 Électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.1 Compétences du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2 Champ électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.1 Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle . . . . . . .
14.2.2 Champ électrostatique créé par un ensemble de charges ponctuelles
14.2.3 Champ créé par une distribution continue de charges . . . . . . . .
14.2.3.1 Distribution volumique de charge . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.3.2 Distribution surfacique de charges . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2.3.3 Distribution linéique de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3 Symétries et invariances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.0.1 Principe de Curie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.0.2 Éléments de symétrie du champ électrique . . . . . . . . . . . .
14.4 Circulation du champ électrostatique, potentiel électrostatique . . . .
14.4.1 Circulation d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4.2 Circulation du champ électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4.3 Potentiel électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4.4 Lignes de champ et surfaces équipotentielles . . . . . . . . . . . .
14.4.5 Théorème de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.5 Flux du champ électrostatique : Théorème de Gauss . . . . . . . . .
14.5.1 Flux d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.5.2 Relation de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.5.3 Conditions d’application du théorème de Gauss . . . . . . . . . .
14.6 Distributions à haut degré de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.6.1 Méthode générale pour le théorème de Gauss . . . . . . . . . . . .
14.6.2 Sphère uniformément chargée en volume . . . . . . . . . . . . . .
14.6.2.1 Symétries et invariances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.6.2.2 Choix de la surface de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.6.2.3 Application du théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . .
14.6.3 Cylindre uniformément chargé en volume . . . . . . . . . . . . . .
14.6.3.1 Symétries et invariances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.6.3.2 Choix de la surface de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
Table des matières
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TABLE DES MATIÈRES
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
14.6.3.3 Application du théorème de Gauss . . . . . . . . .
14.6.4 Plan infini uniformément chargé en surface . . . . . .
14.6.4.1 Symétries et invariances . . . . . . . . . . . . . . .
14.6.4.2 Choix de la surface de Gauss . . . . . . . . . . . .
14.6.4.3 Application du théorème de Gauss . . . . . . . . .
14.7 Condensateur plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.7.1 Dispositif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.7.2 Expression du champ entre les armatures . . . . . . .
14.7.3 Capacité d’un condensateur plan . . . . . . . . . . .
14.7.4 Complément : conducteur en équilibre électrostatique
14.8 Analogie avec la gravitation . . . . . . . . . . . . . . .
14.8.1 Analogies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.8.2 Potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.8.3 Énergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.8.4 Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.9 Exercices : Électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . .
14.9.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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P15 Magnétostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.1 Compétences du chapitre . . . . . . . . . . . . . . .
15.2 Théorème de superposition . . . . . . . . . . . . . .
15.3 Symétries et invariances . . . . . . . . . . . . . . .
15.4 Caractère conservatif . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.5 Théorème d’Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.5.1 Orientation d’une surface et du contour associé . .
15.5.2 Forme globale ou intégrale du théorème d’Ampère
15.5.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.5.4 Divergence et rotationnel du champ magnétique .
15.5.4.1 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.5.4.2 Rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.6 Distributions à haut degré de symétrie . . . . . . . .
15.6.1 Méthode générale pour le théorème d’Ampère . .
15.6.2 Fil rectiligne infini . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.6.2.1 Symétries et invariances . . . . . . . . . . . . .
15.6.2.2 Choix du contour d’Ampère . . . . . . . . . . .
15.6.2.3 Application du théorème d’Ampère . . . . . . .
15.6.3 Câble cylindrique . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.6.3.1 Symétries et invariances . . . . . . . . . . . . .
15.6.3.2 Choix du contour d’Ampère . . . . . . . . . . .
15.6.3.3 Application du théorème d’Ampère . . . . . . .
15.6.4 Solénoïde infini . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.6.4.1 Symétries et invariances . . . . . . . . . . . . .
15.6.4.2 Choix du contour d’Ampère . . . . . . . . . . .
15.6.4.3 Application du théorème d’Ampère . . . . . . .
15.7 Ordres de grandeur du champ magnétique . . . . . .
15.8 Exercices : Magnétostatique . . . . . . . . . . . . .
15.8.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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P16 Équations de Maxwell . . . . . . .
16.1 Compétences du chapitre . . . . .
16.2 Forme locale . . . . . . . . . . .
16.3 Relations annexes . . . . . . . .
16.3.1 Champ et potentiel électriques .
16.3.2 Loi d’Ohm locale . . . . . . .
16.3.3 Conservation de la charge . . .
16.3.3.1 Démonstration mathématique
16.3.3.2 Démonstration physique . . .
16.4 Forme intégrale . . . . . . . . . .
16.4.1 Flux magnétique . . . . . . . .
16.4.2 Équation de Maxwell-Faraday .
16.4.3 Équation de Maxwell-Gauss . .
16.4.4 Équation de Maxwell-Ampère .
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CPGE TSI
16.4.4.1 Explication de la modification . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4.4.2 Forme intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.5 Équations de propagation des champs . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.5.1 Expression générale du champ électrique . . . . . . . . . . . . . .
16.5.2 Champ électrique dans une région sans charge ni courant . . . . .
16.5.3 Expression générale du champ magnétique . . . . . . . . . . . . .
16.5.4 Champ magnétique dans une région sans charge ni courant . . . .
16.6 Potentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.6.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.6.1.1 Potentiel-vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.6.1.2 Potentiel scalaire V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.6.1.3 Flux du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.6.2 Conditions de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.6.2.1 Équations vérifiées par le potentiel-vecteur et le potentiel scalaire
16.6.2.2 La jauge de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.6.2.3 La jauge de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.7 Régimes quasi-stationnaire et stationnaire . . . . . . . . . . . . . . .
16.7.1 Régime quasi-stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.7.2 Régime stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.7.3 Récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.8 Application : l’induction électromagnétique . . . . . . . . . . . . . .
16.9 Équations de Poisson et de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.9.1 Équation de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.9.2 Équation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.10 Exercices : Équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.10.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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P18 Propagation des ondes électromagnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.1 Compétences du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.2 Équations de propagation des champs en dehors des sources . . . . . . . . . .
18.2.1 Équations de Maxwell dans le vide, en l’absence de charges et de courants .
18.3 Équation de propagation (rappels) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.3.1 Pour le champ électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.3.2 Pour le champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.3.3 Équation de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.4 Structure de l’onde plane progressive monochromatique . . . . . . . . . . . .
18.4.1 Solution générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.4.2 Onde plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.4.3 Onde plane progressive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.4.3.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.4.3.2 Validité du modèle de l’onde plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.4.3.3 Structure imposée à l’onde plane progressive par les équations de Maxwell
18.4.4 Onde plane progressive monochromatique . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.4.4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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P17 Énergie électromagnétique . . . . . . . . . . . . .
17.1 Compétences du chapitre . . . . . . . . . . . . .
17.2 Puissance cédée par le champ électromagnétique
17.2.1 Cas d’une particule ponctuelle . . . . . . . . .
17.2.2 Distribution volumique de charge . . . . . . .
17.3 Densité volumique d’énergie électromagnétique
17.3.1 Expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3.2 Calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.3.3.1 Condensateur plan . . . . . . . . . . . . . .
17.3.3.2 Solénoïde illimité . . . . . . . . . . . . . .
17.4 Vecteur de Poynting et puissance rayonnée . . .
17.4.1 Vecteur de Poynting . . . . . . . . . . . . . .
17.4.2 Bilan local de l’énergie électromagnétique . .
17.5 Cas particulier d’un conducteur ohmique . . . .
17.6 Exercices : Énergie électromagnétostatique . . .
17.6.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Saint Joseph - LaSalle
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CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
5
TABLE DES MATIÈRES
6
TABLE DES MATIÈRES
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
18.4.4.2 Équation de dispersion . . . . . . . . . . . . . .
18.4.4.3 Double périodicité . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.4.4.4 Vitesse de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18.4.4.5 Représentation complexe . . . . . . . . . . . . .
18.5 Exercices : Propagation des ondes électromagnétiques
18.5.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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P19 Polarisation des ondes électromagnétiques . . . . . . .
19.1 Compétences du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . .
19.2 Onde plane progressive monochromatique : rappels . .
19.3 Les différents états de polarisation . . . . . . . . . . .
19.3.1 Polarisation elliptique . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3.2 Polarisation circulaire . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3.3 Polarisation rectiligne . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3.3.1 Description à z fixé . . . . . . . . . . . . . . . .
19.3.3.2 Description à un instant t fixé . . . . . . . . . . .
19.4 Aspect énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.5 Polarisation de la lumière . . . . . . . . . . . . . . .
19.5.1 La lumière naturelle . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.5.2 Polariseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.5.3 Effet d’un polariseur . . . . . . . . . . . . . . . . .
19.6 Exercices : Polarisation des ondes électromagnétiques
19.6.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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104
104
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107
107
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110
110
P20 Réflexion d’une onde sur un métal parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.1 Compétences du chapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2 Relations de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.1 Pour le champ électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.1.1 Discontinuité de la composante normale du champ électrique . . . . . . . . . . . . .
20.2.1.2 Continuité de la composante tangentielle du champ électrique . . . . . . . . . . . . .
20.2.1.3 Relation vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.2 Pour le champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.2.1 Continuité de la composante normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.2.2 Discontinuité de la composante tangentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.2.2.3 Relation vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.3 Réflexion d’une onde : approche qualitative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4 Réflexion normale d’une onde plane progressive monochromatique sur un plan conducteur
parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4.1 Onde incidente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4.2 Onde réfléchie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4.3 Onde stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4.3.1 Champ électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4.3.2 Caractéristiques de l’onde stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4.3.3 Courant et densité de charges surfaciques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.4.3.4 Aspect énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5 Cavité résonante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.1 Dispositif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.2 Champ électrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.3 Modes propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.5.4 La résonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20.6 Exercices : Réflexion d’une onde sur un métal parfaitement conducteur . . . . . . . . . .
20.6.1 Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
111
111
112
112
112
112
112
113
113
113
113
114
Saint Joseph - LaSalle
115
115
115
116
116
117
119
119
120
120
120
121
122
123
123
CPGE TSI
13. 1
13. 2
13. 3
14. 1
14. 2
14. 3
14. 4
14. 5
14. 6
14. 7
14. 8
14. 9
14. 10
14. 11
14. 12
14. 13
14. 14
14. 15
15. 1
15. 2
15. 3
15. 4
15. 5
15. 6
15. 7
15. 8
16. 1
16. 2
16. 3
17. 1
17. 2
17. 3
17. 4
17. 5
18. 1
18. 2
18. 3
18. 4
18. 5
18. 6
19. 1
19. 2
19. 3
20. 1
20. 2
20. 3
Feuille d’aluminium chargée . . . . . . . .
Fil électrique . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ruban d’aluminium . . . . . . . . . . . . .
3 charges positives . . . . . . . . . . . . . .
6 charges positives . . . . . . . . . . . . . .
2 charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Circulation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Segment infini . . . . . . . . . . . . . . . .
Théorème de Coulomb . . . . . . . . . . . .
Capacité de la Terre . . . . . . . . . . . . .
Champ entre 2 cylindres . . . . . . . . . . .
Atome d’hydrogène . . . . . . . . . . . . .
Plan percé . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distribution inhomogène . . . . . . . . . .
Une sphère creuse . . . . . . . . . . . . . .
Champ en un point d’une distribution . . . .
Noyau atomique . . . . . . . . . . . . . . .
Ressort gravitationnel . . . . . . . . . . . .
Lignes de champ magnétique ? . . . . . . .
4 fils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fil de cuivre . . . . . . . . . . . . . . . . .
Étude d’un tore . . . . . . . . . . . . . . . .
Lame métallique . . . . . . . . . . . . . . .
Conducteur cylindrique . . . . . . . . . . .
Un solénoïde . . . . . . . . . . . . . . . . .
Champ magnétique terrestre . . . . . . . . .
Cylindre uniformément chargé . . . . . . .
Focalisation d’électrons . . . . . . . . . . .
Résolution de l’équation de Laplace . . . . .
Un solénoïde . . . . . . . . . . . . . . . . .
Câble coaxial . . . . . . . . . . . . . . . . .
Deux circuits couplés . . . . . . . . . . . .
Circuit électrique . . . . . . . . . . . . . . .
Roue à rayons . . . . . . . . . . . . . . . .
Puissance d’un laser . . . . . . . . . . . . .
Des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . .
Étude d’un laser . . . . . . . . . . . . . . .
Onde plane progressive . . . . . . . . . . .
Étude d’une onde plane harmonique parfaite
Flux magnétique . . . . . . . . . . . . . . .
Lumière non polarisée . . . . . . . . . . . .
Polariseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Détection de lumière . . . . . . . . . . . . .
Réflexion sur un plan . . . . . . . . . . . .
Voile solaire . . . . . . . . . . . . . . . . .
Onde stationnaire dans une cavité . . . . . .
Saint Joseph - LaSalle
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11
11
34
34
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36
36
36
36
36
36
37
37
37
37
38
38
54
55
55
55
56
56
56
56
71
71
72
83
83
83
84
84
98
98
98
99
99
100
110
110
110
123
123
124
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
Liste des exercices
8
É LECTROMAGNÉTISME -
INTRODUCTION
P 13
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
Électromagnétisme - introduction
13.1
Compétences du chapitre
Notions et contenus
Courant électrique. Vecteur densité
de courant volumique. Distributions
de courant électrique filiformes.
Saint Joseph - LaSalle
Capacités exigibles
• Calculer l’intensité du courant électrique traversant une
surface orientée. Justifier la modélisation d’une distribution de courant par une distribution filiforme.
CPGE TSI
13.2 Généralités
9
En première année a été étudiée l’interaction gravitationnelle. C’est une force qui s’exerce à distance mais
ce n’est pas la seule. En effet, la force de Lorentz s’exerce également à distance. Celle-ci a été utilisée
aussi en première année pour décrire le mouvement de particules chargées dans un champ électrique ou
magnétique. En deuxième année, nous allons expliquer comment sont créés ces champs.
13.2.1
Généralités
Action sur une particule
−
Comme déjà vu en première année, une particule de charge q placée en M et animée d’une vitesse →
v,
→ −
−
→
placée dans un champ électromagnétique [ E , B ], subit une force :
−
→
→
−
→
−
→
FL = q E (M,t) + q −
v ∧ B (M,t)
Cette force est appelée force de Lorentz.
13.2.2
Le champ électromagnétique, entité indissociable
Une distribution D de charges et de courants crée en tout point M de l’espace un champ électromagnétique
→
−
→
−
→ −
−
→
[ E (M,t) , B (M,t) ]. Ce couple [ E , B ] constitue une entité indissociable.
13.2.3
Régime stationnaire
→
−
→
−
En régime variable, les champs électrique E et magnétique B dépendent à la fois de l’espace et du temps.
En régime stationnaire (ou permanent), ces champs sont indépendants du temps. Il apparaît alors un découplage et on peut alors étudier séparément les deux champs électrique et magnétique. C’est ce que l’on fera
→
−
→
−
dans les chapitres sur l’électrostatique (pour E ) et sur la magnétostatique (pour B ).
13.3
Charge électrique
La matière est électriquement neutre. Cette neutralité résulte d’une fine compensation entre les charges
positives et les charges négatives dans la matière.
La charge électrique est une grandeur extensive, conservative (non créée et non détruite) et quantifiée.
— Charge
é le
trique
—
Une charge électrique est dite ponctuelle quand on peut concentrer la totalité de la charge en un point.
On la note q.
13.4
Distribution de charges
Si la charge électrique ne peut pas être concentrée en un seul point (ou en différents points), on envisage une
modélisation de même nature que pour les fluides : une modélisation continue (par opposition à discrète).
On distingue alors trois types de distributions de charges :
• distribution volumique,
• distribution surfacique,
• distribution linéique.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
13.2
10
É LECTROMAGNÉTISME -
13.4.1
INTRODUCTION
Distribution volumique
Soit une distribution volumique de charges, de charge totale QT , contenue dans un volume total τ .
Soit M un point appartenant au voisinage duquel on définit un volume élémentaire d3 τ(M) . Ce volume
élémentaire d3 τ(M) contient la charge charge élémentaire d3 q(M) .
— Densité
volumique de
harges
—
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
On appelle densité volumique de charges, définie au voisinage de M , la grandeur suivante :
ρ(M) =
d3 q(M)
d3 τ(M)
ou plus simplement :
Les
ρ(M) =
dq(M)
dτ(M)
unité s
:
La charge s’exprime en C, la densité volumique de charges s’exprime en C.m−3 .
— Cas
parti
ulier
—
Une densité volumique est uniforme si :
ρ(M) = C te ∀M
On peut alors poser ρ(M) = ρ0 .
— Proprié té —
La charge totale contenue dans τ est donnée en fonction de ρ(M) par :
ZZZ
ZZZ
3
ρ(M) d3 τ(M)
d q(M) =
QT =
τ
τ
Si la distribution est uniforme :
Q T = ρ0 τ
On peut également définir la densité volumique de particules, c’est-à-dire le nombre de particules par unité
de volume (exprimée en m−3 ). La densité volumique de charges ρ vaut :
ρ = nq
Dans le cas où coexistent plusieurs porteurs de charge différents, la densité volumique de charges peut
s’exprimer par :
ρ=
X
nk qk
k
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
13.4 Distribution de charges
13.4.2
11
Distribution surfacique et linéique
Si l’épaisseur ou la section sont négligeables devant la dimension du corps considéré, on peut effectuer les
approximations suivantes :
d2 q(M) ≃ σ(M) d2 S(M)
ou plus simplement :
σ=
dq
dS
L’explication est assez simple et provient de l’intégration, par exemple suivant z, de l’expression pour
la distribution volumique :
Z
Z z=h
3
d q(M) =
ρ(M) d3 τ(M)
z=0
qui donne :
Z
d3 q(M) = d2 q(M) = ρ(M) h d2 S(M)
On peut alors poser σ(M) = ρ(M) h.
• Dans le cadre d’une distribution linéique de charges,
dq(M) ≃ λ(M) dℓ(M)
ou encore :
λ=
dq
dℓ
— Cas
parti
ulier
—
On obtient dans le cas d’une distribution uniforme :
• pour une distribution surfacique,
QT = σ0 S
• pour une distribution linéique
QT = λ0 ℓ
13.4.3
Loi de Coulomb
Soient q1 et q2 deux charges ponctuelles. La force d’interaction électrostatique exercée par q1 sur q2 est
donnée par la loi de Coulomb :
— Loi
de Coulomb
—
−−−→
F1→2 =
Cette force est proportionnelle à
Saint Joseph - LaSalle
−−−→
q1 q2 −
→
er = −F2→1
2
4 π ε0 r
1
. On dit qu’elle est newtonienne. C’est une force conservative.
r2
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
• Dans le cadre d’une distribution surfacique de charges,
12
É LECTROMAGNÉTISME -
Les
unité s
INTRODUCTION
:
q1 et q2 s’expriment en C, r en m, F1→2 en N et ε0 , permittivité du vide, s’exprime en F.m−1 .
Numériquement, ε0 =
1
≃ 8,842.10−12 ≃ 10−11 F.m−1
36 π 109
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
⇒ Activité 13. 1
Calculez le rapport entre la force électrique exercée par le noyau d’un atome d’hydrogène sur son électron
(r = 10−10 m) et la force de gravitation exercée entre ces deux mêmes éléments.
On donne :
G = 6,67.10−11 S.I. et :
particule
masse
charge
13.4.4
proton
−27
1,67 × 10
1,6 × 10−19
électron
9,1 × 10−31
−1,6 × 10−19
Principe de superposition
Considérons une charge ponctuelle M ′ (q ′ ) de charge q ′ soumise à l’action de N charges ponctuelles qi .
−−→
La force résultante Fres exercée sur M ′ (q ′ ) est alors :
N
−−→ X
Fres =
i
qi q ′ −
→
ui
4 π ε0 ri2
avec :
−−−→′
Mi M
−
→
ui = −−−→
||Mi M ′ ||
Ceci constitue le principe de superposition. On postule qu’il y a linéarité entre la cause et les effets.
On peut généraliser ceci pour une distribution volumique, surfacique ou linéique.
13.5
Courant électrique
La conduction de l’électricité correspond à un déplacement de porteurs de charges.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
13.5 Courant électrique
13.5.1
13
Intensité électrique
Le débit de charge à travers une surface est appelé l’intensité du courant électrique :
Les
dQ
dt
unité s
:
L’intensité électrique s’exprime en A (Ampère).
−
→
S
dh = v dt
F IGURE 13.1 – Intensité du courant électrique
→
Dans le cas d’un déplacement de particules chargées, de densité volumique n et de vitesse −
v , les particules
qui traversent la surface S pendant la durée dt sont contenues dans un cylindre de base S et de hauteur
dh = v dt. Le nombre de ces particules est égal à :
dN = n S dh = n S v dt
Le débit de ces particules à travers S vaut ainsi :
dN
= nSv
dt
L’intensité du courant électrique s’exprime alors par :
dQ
dt
d
(N q)
=
dt
dN
=q
dt
= nqS v
i=
où q vaut −e, par exemple pour un électron.
13.5.2
Distribution volumique de courant
Si la normale à la surface et la vitesse ne sont pas colinéaires, l’angle entre les 2 intervient :
i = n q v S cos θ
Ceci traduit la propriété d’un produit scalaire et on peut alors introduire :
−
→
→
j = nq−
v
appelé vecteur densité volumique de courant.
Dans le cas où plusieurs porteurs de charges coexistent, on peut poser :
→ X
−
→
j =
vk
nk qk −
k
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
i=
14
É LECTROMAGNÉTISME -
−
→
S
INTRODUCTION
θ
F IGURE 13.2 – Densité volumique de courant
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
On obtient alors :
→
→ −
−
→
−
→
−
i = j · S avec j = n q −
v = ρ→
v
Cette relation n’est bien sûr valable que si la densité de courant j est uniforme sur toute la surface.
Dans un cas plus général, on pourra exprimer le courant électrique par la relation :
i=
ZZ
→
− −−
→
j · d2 S
S
L’intensité du courant électrique est égal au flux, à travers une section, du vecteur densité de courant.
13.5.3
Force de Lorentz volumique
→
Comme déjà vu, une particule de charge q placée en M et animée d’une vitesse −
v , placée dans un champ
→ −
−
→
électromagnétique [ E , B ], subit une force :
−
→
→
−
→
−
→
FL = q E (M,t) + q −
v ∧ B (M,t)
ou plus simplement :
−
→
→
−
→
−
→
FL = q E + q −
v ∧B
En considérant un élément de volume dτ(M) contenant des porteurs de charges de densité volumique nk ,
→
de charge qk et animés des vitesses −
vk , on peut alors exprimer la force élémentaire s’exerçant sur toutes les
particules de ce volume élémentaire :
−−→ X
→ X
−
→
−
→
dFL =
nk dτ(M) qk E +
nk dτ(M) qk −
vk ∧ B
k
k
Soit :
X
−−→ X
→
−
→
−
→
dFL =
nk qk E dτ(M) +
vk ∧ B dτ(M)
nk qk −
k
k
→ X
−
→
En exprimant le vecteur densité volumique de courant j =
vk et la densité volumique de charges
nk qk −
k
X
ρ=
nk qk , on peut ainsi exprimer la force de Lorentz volumique (ou densité volumique de la force de
k
Lorentz) :
−−→
−
→ dFL
→
− −
→
→ −
fL =
=ρE + j ∧B
dτ
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
13.6 Exercices : Électromagnétisme - Introduction
13.6
13.6.1
15
Exercices : Électromagnétisme - Introduction
Énoncés
Soit une feuille d’aluminium de format A4 (21 cm × 29,7 cm) à laquelle on a arraché 100 électrons.
Quelle est la charge surfacique portée par la feuille d’aluminium ?
Donnée :
Charge d’un électron : e = 1,6.10−19 C.
◮ Exercice 13. 2 : Fil électrique
Soit un fil électrique en cuivre, cylindrique, de rayon R = 3,0 mm dans lequel circule un courant électrique
homogène d’intensité I = 10 A, dirigé dans le sens de x décroissants.
→
−
Calculer dans ce repère la densité volumique de courant j .
◮ Exercice 13. 3 : Ruban d’aluminium
Soit un ruban d’aluminium de lageur ℓ = 1,0 cm dans lequel circule un courant électrique homogène d’intensité I = 20 A, dirigé dans le sens de x croissants.
→
−
Calculer dans ce repère la densité volumique de courant js .
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
◮ Exercice 13. 1 : Feuille d’aluminium chargée
16
É LECTROSTATIQUE
P 14
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
Électrostatique
14.1
Compétences du chapitre
Notions et contenus
Loi de Coulomb. Champ électrostatique.
Champ électrostatique créé par un
ensemble de charges ponctuelles.
Principe de superposition.
Distributions continues de charges :
volumique, surfacique, linéique.
Capacités exigibles
• Exprimer le champ électrostatique créé par une distribution discrète de charges.
• Citer quelques ordres de grandeur de champs électrostatiques.
• Décomposer une distribution en des distributions plus
simples dans le but de calculer un champ électrostatique
par superposition.
• Choisir un type de distribution continue adaptée à la situation modélisée. Évaluer la charge totale d’une distribution
continue dans des situations à géométries simples.
Symétries et invariances du champ
électrostatique.
• Identifier les plans de symétrie et d’antisymétrie d’une distribution de charges.
• Identifier les invariances d’une distribution de charges.
• Exploiter les symétries et les invariances d’une distribution de charges pour caractériser le champ électrostatique
créé.
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14.1 Compétences du chapitre
Circulation du champ électrostatique. Notion de potentiel électrostatique.
Opérateur gradient.
Capacités exigibles
• Relier le champ électrostatique au potentiel.
• Exprimer le potentiel créé par une distribution discrète de
charges.
• Connaître l’expression de l’opérateur gradient en coordonnées cartésiennes.
• Calculer un champ électrostatique à partir du potentiel,
l’expression de l’opérateur gradient étant fournie dans le
cas des coordonnées sphériques et cylindriques.
• Calculer une différence de potentiel par circulation du
champ électrostatique dans les cas simples.
Flux du champ électrostatique.
Théorème de Gauss.
• Reconnaître les situations pour lesquelles le champ électrostatique peut être calculé à l’aide du théorème de Gauss.
• Utiliser le théorème de Gauss pour déterminer le champ
électrostatique créé par une distribution présentant un haut
degré de symétrie.
Cas de la sphère, du cylindre " infini
" et du plan " infini ".
• Établir les expressions des champs électrostatiques créés
en tout point de l’espace par une sphère uniformément
chargée en volume, par un cylindre " infini " uniformément chargé en volume et par un plan " infini " uniformément chargé en surface.
• Établir et exploiter le fait qu’à l’extérieur d’une distribution à symétrie sphérique, le champ électrostatique créé est
le même que celui d’une charge ponctuelle concentrant la
charge totale et placée au centre de la distribution.
Étude du condensateur plan comme
la superposition de deux distributions surfaciques, de charges opposées.
Lignes de champ, tubes de champ,
surfaces équipotentielles.
• Établir l’expression de la capacité d’un condensateur plan
dans le vide en négligeant les effets de bords.
• Orienter les lignes de champ électrostatique créées par une
distribution de charges.
• Représenter les surfaces équipotentielles connaissant les
lignes de champ et inversement.
• Relier les variations de l’intensité du champ électrostatique à la position relative des lignes de champ.
• Vérifier qu’une carte de lignes de champ est compatible
avec les symétries et les invariances d’une distribution.
• Approche numérique : représenter des cartes de lignes
de champ et d’équipotentielles.
Énergie potentielle électrostatique
d’une charge placée dans un champ
électrostatique extérieur.
• Établir et exploiter l’expression de l’énergie potentielle
d’une charge ponctuelle placée dans un champ électrostatique extérieur.
• Analogies avec la gravitation. Transposer le théorème de
Gauss au cas de la gravitation.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
Notions et contenus
17
18
É LECTROSTATIQUE
14.2
Champ électrostatique
L’intérêt de définir un champ est qu’on se libère du sujet d’étude. Un champ est une propriété intrinsèque
de l’espace.
14.2.1
Champ électrostatique créé par une charge ponctuelle
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
−−−−→
Soient deux charges ponctuelles, P (q) de charge q, et M (q ′ ) de charge q ′ . La force FP →M exercée par q
′
sur q , distantes de r, est donnée par la loi de Coulomb.
Le champ électrique créé en M est donné par la relation :
−−−−→
→
−
q
FP →M
→
−
er
= E (M) =
q′
4 π ε0 r 2
14.2.2
Champ électrostatique créé par un ensemble de charges ponctuelles
Soient une distribution de charges ponctuelles, Pi de charges qi .
Cette distribution est qualifiée de discrète. En procédant par superposition, on peut exprimer le champ électrique créé en un
point M de l’espace :
X
−
→
E (M) =
i
−−→
X qi
Pi M
qi
−
→=
e
r,i
3
4 π ε0 ri2
4
π
ε
(P
0
iM )
i
−−→
Pi M
−
→
avec er,i = −−→ .
kPi M k
+q ′
+q
•
•
M
−
→
E′
•
−
→
E
−
→
ET
F IGURE 14.1 – Théorème de superposition
⇒ Activité 14. 1
Pour illustrer le principe de superposition . . .
On place trois charges positives identiques sur un plan. Dessinez en deux points différents du plan le vecteur
champ électrique total.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
14.3 Symétries et invariances
14.2.3
19
Champ créé par une distribution continue de charges
−→
dE (M) =
−−→
→
−
dq
er
PM
dq
=
4 π ε0 (P M )3
4 π ε0 (P M )2
On peut alors appliquer cette expression aux différentes distributions continues.
14.2.3.1
Distribution volumique de charge
Soit P un point quelconque d’une distribution volumique de charge, au voisinage duquel on définit un
volume élémentaire d3 τ(P ) , contenant la charge élémentaire d3 q(P ) = ρ(P ) d3 τ(P ) .
Soit M un point quelconque de l’espace.
En partant de l’expression du champ créé par un charge ponctuelle (Méthode de calcul directe), on obtient :
−
→
E (M) =
14.2.3.2
1
4 π ε0
ZZZ
(τ )
−−→
ρ(P ) P M 3
d τ(P )
(P M )3
Distribution surfacique de charges
On obtient par un raisonnement analogue, pour une distribution surfacique :
−
→
E (M) =
14.2.3.3
1
4 π ε0
ZZ
(Σ)
−−→
σ(P ) P M 2
d S(P )
(P M )3
Distribution linéique de charge
De même, pour une distribution linéique :
−
→
E (M) =
1
4 π ε0
14.3
14.3.0.1
Z
(Γ)
−−→
λ(P ) P M
dℓ(P )
(P M )3
Symétries et invariances
Principe de Curie
— Prin
ipe de
Curie
—
"La symétrie de la cause se retrouve dans les effets".
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CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
On peut étendre l’expression précédente à une distribution D continue. Il faut alors considérer que chaque
élément de charge élémentaire dq, situé en P , crée en un point M de l’espace le champ électrique élémentaire :
20
É LECTROSTATIQUE
Appliqué à l’électrostatique, ce principe de Curie implique que tous les éléments de symétrie pour la charge
sont également éléments de symétrie pour le champ. Donc, si la distribution de charges admet un plan de
→
−
symétrie, alors E est contenu dans ce plan.
14.3.0.2
Éléments de symétrie du champ électrique
−
→
E
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
Soit P1 et P2 deux particules ponctuelles de charge q,
symétriques par rapport à un plan (P). Soit M ∈ (P).
Déterminons le champ électrique créé en M par les
charges placées en P1 et P2 :
Ç −−−→
−−−→ å
→
−
→
−
→
−
q
P2 M
P1 M
E (M) = E 1 + E 2 =
+
4 π ε0 P1 M 3
P2 M 3
−
→
E1
P1 et P2 étant symétriques par rapport au plan (P), on
a : P1 M = P2 M . De plus, avec H le point du segment
[P1 , P2 ] ∈ (P) :
−
→
E2
M
−−−→ −−→ −−→
P1 M = P1 H + HM
−−−→ −−→ −−→
P2 M = P2 H + HM
Or d’après la configuration du système :
−−→
−−→
P1 H = −P2 H
D’où :
−−−→ −−−→
−−→
P1 M + P2 M = 2 HM
P2
+q
H
P1
+q
(P)
F IGURE 14.2 – Plan de symétrie pour la distribution
de 2 charges
On obtient donc :
−
→
E (M) =
−−→
q 2 HM
4 π ε0 P1 M 3
−−→
→
−
Or H et M sont dans le plan P, donc HM ∈ P. On obtient donc que le champ E ∈ (P).
Le champ électrique appartient donc aux plans de symétrie d’une distribution de charges.
De la même façon, on montre que :
Le champ électrique est normal aux plans d’antisymétrie d’une distribution de charges.
⇒ Activité 14. 2
Représenter sur un schéma l’illustration du principe d’antisymétrie avec 2 charges +q et −q placées de part
et d’autre d’un plan d’antisymétrie (P ′ ).
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
21
Une antisymétrie peut être décrite comme la composée d’une symétrie plane et d’une opération de conjugaison de charge.
De plus, le champ électrique possède les mêmes propriétés d’invariance (rotation, translation)
que la distribution de charges qui en est la source.
14.4
Circulation du champ électrostatique, potentiel
électrostatique
14.4.1
Circulation d’un champ de vecteurs
— Cir
ulation
—
−−−→
Soit F (M ) un champ de vecteurs au point M .
−−−→
On appelle circulation de F (M ) entre deux points M1 et M2 , le scalaire défini par :
C=
Z
M2
dC(M ) =
M1
Z
M2
−−−→ −
→
F (M ) · dℓ
M1
Sur un contour fermé (Γ), la circulation est notée :
I
−−−→ −
→
F (M ) · dℓ
C=
(Γ)
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
14.4 Circulation du champ électrostatique, potentiel électrostatique
22
É LECTROSTATIQUE
— Cir
ulation
onservative
—
−−−→
F (M ) est à circulation conservative si sa circulation ne dépend pas du chemin suivi, mais uniquement
du point de départ et du point d’arrivée.
On dit alors que ce champ est conservatif.
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
— Proprié té —
Sur un contour fermé (Γ), si le champ est un champ conservatif, alors :
I
→
−
→
−
F (M) · dℓ = 0
C=
(Γ)
14.4.2
Circulation du champ électrostatique
Soit P (q) une charge ponctuelle de charge q placée à l’origine d’un repère.
→
−
La circulation du champ E (M) entre deux points quelconques M1 (r1 ) et M2 (r2 ) est :
C=
Z
M2
→
−
−
→
E (M) · dℓ
M1
→
−
En explicitant dℓ en coordonnées cylindriques, on obtient :
C=
Z
M2
M1
q
−
→
−
−
−
er · (dr →
er + r dθ →
eθ + dz →
ez ) =
4 π ε0 r 2
Z
r2
r1
q dr
q
=
2
4 π ε0 r
4 π ε0
Å
1
1
−
r1
r2
ã
→
−
En prenant r1 = r2 , on voit donc que E (M) est un champ à circulation conservative.
En utilisant le théorème de Stokes-Ampère et en considérant un contour (Γ) fermé, on a :
ZZ
I
−−→
→
−
→
→
−
−→ −
rot E (M) · d2 S
E (M) · dℓ =
C=
(Γ)
(Σ)
où (Σ) est une surface orientée s’appuyant sur le contour fermé (Γ).
Ce résultat étant vraie quelle que soit la surface (Σ), cela signifie que :
→ −
→
−→ −
rot E = 0
→
−
C’est une relation locale pour le champ E .
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
14.4 Circulation du champ électrostatique, potentiel électrostatique
Potentiel électrostatique
— Potentiel
é le
trostatique
—
Par analogie avec la définition des fonctions énergies potentielles Ep , on appelle potentiel électrostatique en M , notée V(M) , la fonction définie par :
C = −∆V = − V(M2 ) − V(M1 )
On obtient dans le cas d’un champ électrostatique créé par une charge ponctuelle en M :
V(M) =
— Cas
parti
ulier
q
+ C te
4 π ε0 r
—
La constante est nulle si on pose qu’à l’infini, V(M) = 0.
q
Dans ce cas : V(M) =
4 π ε0 r
14.4.4
Lignes de champ et surfaces équipotentielles
Sachant que C est égale à −∆V , et d’après la définition de la circulation, on obtient :
→
−
→
−
dV(M) = − E (M) · dℓ
Par définition :
dV(M) =
−−→
→
−
∂V
∂V
∂V
dx +
dy +
dz = grad V · dℓ
∂x
∂y
∂z
On obtient alors la relation suivante :
−−→
−
→
E (M) = −grad V
— Ligne
de
hamp
—
+q
F IGURE 14.3 – Lignes de
champ
On représente les lignes de champ avec des flèches, de façon à indiquer
le sens d’orientation du champ. Ci-contre, les lignes de champ pour une
charge ponctuelle.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
14.4.3
23
24
É LECTROSTATIQUE
— Tube
de
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
— Surfa
e
hamp
—
é quipotentielle
—
Par exemple, la surface équipotentielle V(M) = 0 est la surface pour laquelle tous les points ont un potentiel
nul.
−−→
→
Par analogie avec la statique des fluides (cf. chapitre P4 : −
v = grad Φ), on obtient les propriétés suivantes :
— Proprié té —
→
−
• Les surfaces équipotentielles V(M) = C te sont orthogonales au champ E (M)
→
−
• E (M) descend les potentielles, c’est-à-dire qu’il est orienté des régions de potentiel le plus élevé
vers les régions de potentiel le plus faible.
• On obtient la formulation intégrale associée :
V2 − V1 = −
Z
M2
−
→
−
→
E (M) · dℓ
M1
Par application du principe de superposition, toutes les relations établies précédemment sont vérifiées quelle
que soit la distribution de charges.
14.4.5
Théorème de l’énergie cinétique
Par application du théorème de l’énergie cinétique, on obtient :
Z
Z
→
→
→
−
→ −
−
→ −
−
∆Ec(M) = W ( F ) = q E · dℓ = q
E · dℓ = q C = −q ∆V
Le travail d’une force conservative peut se définir de la façon suivante :
δW = −dEp
Soit :
−
−
−−→
−
→
→ →
−
− →
→
dEp = − F · dℓ = −q E · dℓ = q grad V · dℓ = q dV
On en déduit l’expression de l’énergie potentielle électrostatique :
Ep(M) = q V(M) + cte
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
25
→
−
→
−
Ainsi, la variation d’énergie cinétique d’un système soumis uniquement à la force de Coulomb F = q E
est donnée par :
→
−
∆Ec = W1→2 ( F ) = −∆Ep = −q (V2 − V1 ) = q (V1 − V2 )
Le système est alors conservatif :
∆Ec + ∆Ep = 0 = ∆Em
Em = Ec + Ep =
14.5
1
m v 2 + q V = C te
2
Flux du champ électrostatique : Théorème de Gauss
14.5.1
Flux d’un champ de vecteurs
— Flux —
→
−
Par définition, le flux d’un champ de vecteurs F (M) , à travers la surface Σ orientée est donné par :
ZZ
−−→
→
−
F (M) · d2 S (M)
Φ=
(Σ)
−−→
Avec d2 S (M) surface élémentaire orientée définie au voisinage du point M .
Si la surface est fermée, le flux devient :
{−
−−→
→
F (M) · d2 S (M)
Φ=
(Σ)
La surface fermée délimite un volume. On peut donc distinguer un milieu intérieur d’un milieu extérieur. Il
−−→
→
−
→
est d’usage d’orienter dans ce cas d2 S (M) vers l’extérieur et de poser d2 S (M) = d2 S(M) −
n.
— Thé orème
de Gauss
—
→
−
Le flux du champ électrostatique E (M) à travers une surface de Gauss (Σg ) fermée est égale au rapport
de la charge intérieure à cette surface, notée Qint , sur la permittivité du vide ε0 .
Φ=
ZZZ
{ →
ρ(M) 3
→
−
−
Qint
E (M) · d2 S (M) =
=
d τ(M)
ε0
(τ ) ε0
(Σg )
En utilisant le théorème de Green-Ostrogradski, on peut écrire :
ZZZ
{−
→
−
→
→
2−
div E (M) d3 τ
E (M) · d S (M) =
(Σ)
(τ )
où τ est le volume intérieur à (Σ).
Soit, en combinant avec le théorème de Gauss :
ZZZ Å
ã
ρ(M)
→
−
d3 τ = 0
div E (M) −
ε
0
(τ )
Cette relation étant vérifiée pour n’importe quel volume (τ ), cela signifie que :
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
14.5 Flux du champ électrostatique : Théorème de Gauss
26
É LECTROSTATIQUE
14.5.2
Relation de continuité
→
−
• Le champ E (M) est continu à la traversée d’une distribution volumique de charges, mais discontinu
à la traversée d’une distribution surfacique.
• Le potentiel V(M) est continu à la traversée d’une distribution volumique ou surfacique de charges,
mais discontinu à la traversée d’une distribution linéique.
Conditions d’application du théorème de Gauss
Considérons une charge ponctuelle de charge q située en P . Soit
(Σg ) une surface de Gauss orientée et centrée sur P1 avec P1
différent de P et P ∈
/ Σg .
Par application du théorème de Gauss, on obtient :
Φ=
P (q)
M
{ →
−−→
−
Q
E (M) · d2 S (M) = int = 0
ε0
Qint = 0
P1
+
14.5.3
+
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
Ces relations de continuité nous permettent de déterminer V par intégration, et de vérifier la pertinence de
nos calculs pour le champ.
(Σg )
→
−
−
→
Or E (M) 6= 0 : la nullité du flux n’implique pas la nullité du
champ.
Une bonne utilisation du théorème de Gauss passe par l’étude de la topographie du champ,
c’est-à-dire l’étude des symétries ainsi que des invariances.
14.6
14.6.1
Distributions à haut degré de symétrie
Méthode générale pour le théorème de Gauss
— Prin
ipe
—
La difficulté lors de l’utilisation du théorème de Gauss est de trouver la surface.
2 critères doivent être pris en compte :
→ −−→
−
• Le produit scalaire E · d2 S doit pouvoir être simplifié, soit parce que les deux vecteurs sont
colinéaires, soit parce qu’ils sont orthogonaux.
→ −−→
−
• Lorsque les deux vecteurs E et d2 S sont orthogonaux, le produit scalaire est nul,
→ −−→
−
• Lorsque les deux vecteurs E et d2 S sont colinéaires, le cosinus du produit scalaire vaut 1 et il
→
−
faut alors pouvoir sortir le vecteur E de l’intégrale. Pour cela, il doit être constant sur la surface
de Gauss Σg .
14.6.2
Saint Joseph - LaSalle
Sphère uniformément chargée en volume
CPGE TSI
14.6 Distributions à haut degré de symétrie
27
z
−→
er
Considérons une sphère de centre P , de rayon R,
chargée uniformément en volume avec la densité volumique de charge ρ.
Calculons le champ électrostatique créé en tout point
M de l’espace par cette distribution D.
Pour cela, choisissons des coordonnées sphériques
(r, θ, ϕ).
−e ϕ
→
θ
ϕ
y
x
14.6.2.1
Symétries et invariances
• Symétries :
−
M
e→
ϕ
−
→
er
+
P
+
• Invariances :
−
→
eθ
• En résumé :
14.6.2.2
Choix de la surface de Gauss
Étant donnée la symétrie du problème, une sphère s’impose comme surface de Gauss. Nous la prendrons
de centre P , de rayon r, passant par M . Ainsi, en chaque point de la surface Σg , le champ sera orthogonal
−−→
à la sphère, donc colinéaire au vecteur d2 S. De plus, le champ sera constant en tout point de Σg .
14.6.2.3
Application du théorème de Gauss
Le théorème s’exprime par :
Φ=
{ →
−−→
−
Qint
E (M) · d2 S (M) =
ε0
(Σg )
• Le premier terme se calcule de la façon suivante :
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
−→
eθ
28
É LECTROSTATIQUE
4
◦ Si r > R, alors Qint = ρ π R3 . On en
3
déduit alors :
r<R
+
P
◦ Si r < R, alors Qint
duit alors :
+
ρ R3
E (r > R) =
3 ε0 r 2
+
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
• Pour le second terme, 2 cas sont à distinguer. En effet, suivant que M se trouve à l’intérieur (r < R)
ou à l’extérieur (r > R) de la sphère chargée, la charge intérieure ne s’exprime pas de la même façon.
r>R
4
= ρ π r3 . On en dé3
E (r < R) =
ρr
3 ε0
On constate qu’il y a continuité en r = R.
Représentons le graphe E = f (r) :
E (r)
ρR
3 ε0
0
r
R
F IGURE 14.4 – Champ électrostatique créé par une sphère
— Remarque —
Si on exprime le champ extérieur à la sphère en fonction de la charge QT portée par sphère chargée, on
4
a : QT = ρ π R3 et donc :
3
E (r > R) =
QT
4 π ε0 r 2
Le champ créé à l’extérieur d’une distribution à symétrie sphérique est le même que celui créé par une
charge ponctuelle de charge identique et placée en son centre.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
14.6 Distributions à haut degré de symétrie
14.6.3
29
Cylindre uniformément chargé en volume
H1
Considérons un cylindre infiniment long suivant Oz,
de rayon R, chargé uniformément en volume avec la
densité volumique de charge ρ.
Calculons le champ électrostatique créé en tout point
M de l’espace par cette distribution D.
Pour cela, choisissons des coordonnées cylindriques
(r, θ, z).
•
M
y
x
H2
F IGURE 14.5 – Plan uniformément chargé
14.6.3.1
Symétries et invariances
• Symétries :
• Invariances :
• En résumé :
14.6.3.2
Choix de la surface de Gauss
Étant donnée la symétrie du problème, un cylindre s’impose comme surface de Gauss. Nous le prendrons de
rayon r, de hauteur h, passant par M . Ainsi, en chaque point de la surface latérale de (Σg,latéral ), le champ
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
z
30
É LECTROSTATIQUE
−−→
sera orthogonal au cylindre, donc colinéaire au vecteur d2 S. De plus, le champ sera constant en tout point
de cette surface latérale.
Par ailleurs, en tout point des disques supérieur et inférieur fermant le cylindre, le champ est orthogonal à
−−
→
d2 S. Le flux à travers ces disques est donc nul.
14.6.3.3
Application du théorème de Gauss
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
Le théorème s’exprime par :
Φ=
{ →
−−→
−
Qint
E (M) · d2 S (M) =
ε0
(Σg )
• Le premier terme se calcule de la façon suivante :
• Pour le second terme, 2 cas sont à distinguer. En effet, suivant que M se trouve à l’intérieur (r < R)
ou à l’extérieur (r > R) du cylindre chargé, la charge intérieure ne s’exprime pas de la même façon.
On constate qu’il y a continuité en r = R.
Représentons le graphe E = f (r) :
E (r)
ρR
2 ε0
O
r
R
F IGURE 14.6 – Champ électrostatique créé par un cylindre infini
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
14.6 Distributions à haut degré de symétrie
31
⇒ Activité 14. 3
Considérons un fil infini de longueur ℓ, colinéaire à Oz, uniformément chargé avec la densité linéique de
charge λ.
1. Exprimer la densité linéique de charge λ en fonction de la charge totale QT portée par le fil.
2. Par une étude de symétries et d’invariances, déterminer les propriétés du champ électrostatique.
14.6.4
Plan infini uniformément chargé en surface
Considérons un plan infini confondu avec le plan xOy, chargé uniformément en surface avec la densité
surfacique de charges σ.
Calculons le champ électrostatique créé en tout point M de l’espace par cette distribution D.
Pour cela, choisissons des coordonnées cartésiennes (x, y, z).
z
y
x
σ
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
3. Par application du théorème de Gauss, déterminer le champ électrostatique en un point M situé à la
distance r du fil.
32
É LECTROSTATIQUE
14.6.4.1
Symétries et invariances
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
Le plan xOy est un plan de symétrie pour D, indépendamment du point M . Cela signifie que
−
→
→
−
pour 2 points M et M ′ symétriques l’un de l’autre par rapport à ce plan, les champs E (M) et E ′ (M ′ )
sont symétriques, autrement dit :
E (−z) = −E (z)
La fonction E (z) est impaire.
On obtient alors :
−
→
E (M )
z
y
x
σ
−
→
E (M )
14.6.4.2
Choix de la surface de Gauss
Étant donnée la symétrie du problème, un cylindre s’impose comme surface de Gauss. Celui-ci peut être à
base cylindrique ou rectangulaire. Nous le prendrons ici de hauteur 2 z, fermé par 2 carrés d’ordonnées z
et −z et d’aires S. Ainsi, en chaque point de la surface latérale de Σg,latéral , le champ sera orthogonal au
−−→
vecteur d2 S.
−−→
Par ailleurs, en tout point des carrés supérieur et inférieur fermant le cylindre, le champ est colinéaire à d2 S.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
14.6 Distributions à haut degré de symétrie
33
S
−
→
n
z
O
−
→
n
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
−
→
n
−
→
n
−
→
n
σ
−
→
n
14.6.4.3
Application du théorème de Gauss
Le théorème s’exprime par :
Φ=
{ →
−−→
−
Qint
E (M) · d2 S (M) =
ε0
(Σg )
• Le premier terme se calcule de la façon suivante :
Φ=
{→
−−→
−
E (M) · d2 S(M )
Σg
= Φlatéral + Φ(z) + Φ(−z)
= 0 + E (z) S − E (−z) S
= 2 E (z) S lorsque z > 0
• Pour le second terme, Qint = σ S.
On en déduit :
E (z > 0) =
σ
2 ε0
et :
E(z < 0) = −
σ
2 ε0
On constate qu’il y a discontinuité en z = 0 :
E (0+ ) − E (0− ) =
σ
ε0
Dans le cas d’une modélisation surfacique de charge, une discontinuité du champ apparaît
lors de la traversée de la surface.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
34
É LECTROSTATIQUE
Représentons le graphe E = f (z) :
E (z)
σ
2 ε0
z
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
−
σ
2 ε0
F IGURE 14.7 – Champ électrostatique créé par un plan infini
14.7
Condensateur plan
14.7.1
Dispositif
— Condensateur —
Un condensateur est composé de deux armatures conductrices qui se font face, séparées par un matériau
isolant.
i (t) +q (t) = +
ZZ
σ(t) d2 S
−q (t) = −
ZZ
σ(t) d2 S
a
σ1 = σ
V+
e
e
−
→
ez
σ2 = −σ
V−
O
i (t)
(b) circulaire
(a) rectangulaire
F IGURE 14.8 – Condensateur
14.7.2
Expression du champ entre les armatures
Considérons un condensateur composé de deux armatures conductrices 1 et 2, qui se font face, écartées
d’une distance e.
Ces deux armatures sont assimilées à des plans, carrés ou en forme de disques, par exemple.
→
−
Lorsqu’on applique une tension U aux bornes de ce condensateur, il apparaît un champ électrique E dans
l’espace inter-armatures.
Des charges électriques opposées apparaissent alors sur les faces en regard.
Si on considère que la distance e entre les armatures est très petite devant la dimension de celles-ci, on peut
assimiler ces armatures à des plans infinis.
Plaçons le plan xOy au milieu du condensateur.
Pour chacune des armatures, assimilée à un plan, on retrouve les invariances et symétries décrites dans le
→
ez , le
paragraphe 14.6.4.1 page 28. Le champ électrique pour chacune des armatures est donc colinéaire à −
champ total également, par application du théorème de superposition.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
35
Par application de la différence de potentiel U , comme le potentiel est défini à une constante près, l’armature
U
U
supérieure peut être prise à V+ =
et l’armature inférieure à V− = − .
2
2
→
−
La surface des équipotentielles est bien compatible avec la direction du champ E .
Le plan est alors plan d’antisymétrie pour le potentiel et par voie de conséquence sur la répartition des
charges, ce qui implique que la face supérieure est chargée avec la densité surfacique de charge σ et la face
inférieure avec la densité surfacique de charge −σ.
e
e
Dans l’espace compris entre les armatures, donc dans l’intervalle compris entre z = − et z = + , le
2
2
−
→ −
→
champ total résulte de la superposition des champs E1 et E2 créés respectivement par les plans supérieur 1
et inférieur 2 chargés respectivement σ1 = +σ et σ2 = −σ.
En utilisant les résultats établis page 29 pour le plan infini, on obtient :
−
→
σ1 →
σ −
−
→
E1 = −
ez = −
ez
2 ε0
2 ε0
−
→
ez
et :
σ1 = +σ
−
→
σ −
σ2 →
−
→
ez = −
ez
E2 =
2 ε0
2 ε0
σ2 = −σ
Le champ total entre les armatures est donc :
−
→
−
→ −
→
σ −
→
E = E1 + E2 = −
ez
ε0
14.7.3
−
→
E2
−
→
E1
−
→
E
Capacité d’un condensateur plan
−−→
→
−
La relation E = −grad V donne :
−
dV
σ
=−
ε0
dz
Soit :
U = V1 − V2 =
Z
V1
dV =
V2
Z
z2
z1
σ
dz
ε0
et donc :
σe
ε0
Or, la charge Q portée par la plaque supérieure, de surface S, peut s’exprimer par :
U=
Q = σS
On en déduit la relation :
Qe
U=
S ε0
La capacité C d’un condensateur a déjà été définie en première année par :
Q=CU
Pour un condensateur plan, la capacité vaut donc C =
14.7.4
Q
ε0 S
, soit : C =
U
e
Complément : conducteur en équilibre électrostatique
— É quilibre
é le
trostatique
—
Un conducteur électrique en équilibre électrostatique est un conducteur qui n’est parcouru par aucun
courant.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
14.7 Condensateur plan
36
É LECTROSTATIQUE
Cela signifie que toutes les charges électriques libres internes au conducteur sont "immobiles". Dans un
conducteur quelconque, les charges électriques se déplacent pour deux raisons :
• l’agitation thermique. Cependant, les charges se déplaçant dans des directions aléatoires, la vitesse
moyenne est nulle et tout se passe comme s’il n’y avait pas courant dans le conducteur.
• la présence d’un champ électrique, qui met les charges électriques en mouvement et génère ainsi un
courant.
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
Pour qu’il n’y ait pas de courant dans un conducteur, celui-ci ne doit être soumis à aucun champ électrique.
→
−
Cela signifie que le champ électrostatique E est nul à l’intérieur du conducteur.
Par conséquent, un conducteur en équilibre électrostatique ne peut être chargé que surfaciquement : il n’y
a pas de charge à l’intérieur du conducteur. La charge se répartit uniquement à la surface du conducteur en
équilibre.
On peut démontrer qu’au voisinage d’un conducteur en équilibre électrostatique, le champ vaut :
→
−
σ −
→
E =
n
ε0
→
−
n étant un vecteur unitaire dirigé vers l’extérieur. Cette expression, appelée théorème de Coulomb, peut
être démontrée à l’aide du théorème de Gauss.
— Thé orème
de Coulomb
—
Le champ électrostatique au voisinage d’un conducteur en équilibre électrostatique est donné par :
−
→
σ →
−
E =
n
ε0
14.8
14.8.1
Analogie avec la gravitation
Analogies
Tous les résultats établis en électrostatique sont généralisables à la gravitation.
On passe donc de l’électrostatique à la gravitation en effectuant les changements suivants :
électrostatique
q
→
−
E (M)
1
ε0
gravitation
m
→
−
G (M)
−4 π G
TABLE 14.2 – Analogie électrostatique - gravitation
14.8.2
Potentiel
— Potentiel
gravitationnel
—
Par analogie, le potentiel gravitationnel est donné par :
−−→
−
→
G (M) = −grad (Vg,(M) )
Vg, (M) étant le potentiel gravitationnel
On obtient donc le potentiel gravitationnel créé par une masse ponctuelle m à une distance r :
Vg, (M) =
Saint Joseph - LaSalle
−G m
+ C te
r
CPGE TSI
14.8 Analogie avec la gravitation
14.8.3
37
Énergie potentielle
On en déduit alors que :
potentielle d'intera
tion gravitationnelle
—
Si on place une masse m′ en M , l’énergie potentielle d’interaction entre m et m′ est donnée par :
Ep = m′ Vg, (M) =
14.8.4
−G m m′
+ C te
r
Théorème de Gauss
Le théorème de Gauss appliqué à la gravitation s’écrit alors :
φ=
{ →
−−→
−
G (M) · d2 S = −4 π G Mint
(Σg )
avec Mint la masse intérieure à la surface de Gauss.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
— É nergie
38
É LECTROSTATIQUE
14.9
Exercices : Électrostatique
14.9.1
Énoncés
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
◮ Exercice 14. 1 : 3 charges positives
Voici une proposition de carte de champ électrostatique créé par 3 charges positives.
Cette proposition est-elle cohérente ?
Si oui, représenter les équipotentielles correspondantes.
Si on remplace les charges positives par des charges négatives, comment cette carte est-elle modifiée ?
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
F IGURE 14.9 – Carte du champ de 3 charges positives
◮ Exercice 14. 2 : 6 charges positives
Voici une proposition de carte de champ électrostatique créé par 6 charges positives.
Cette proposition est-elle cohérente ?
Si oui, représenter les équipotentielles correspondantes.
Si on remplace les charges positives par des charges négatives, comment cette carte est-elle modifiée ?
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
14.9 Exercices : Électrostatique
39
10
9
8
7
6
5
4
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
F IGURE 14.10 – Carte du champ de 6 charges positives
◮ Exercice 14. 3 : 2 charges
Voici une proposition de carte de champ électrostatique créé par 2 charges positives avec les équipotentielles
correspondantes.
Cette proposition est-elle cohérente ?
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
F IGURE 14.11 – Carte du champ de 2 charges
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
3
40
É LECTROSTATIQUE
◮ Exercice 14. 4 : Circulation
→
−
Soit le champ de vecteurs V de composantes (x+z, y 2 , x) ainsi que les points A (R, 0, 0) et B (R, 0, 2 π a).
˜ d’hélice dont les équations paraméCalculer la circulation de ce champ de vecteurs le long de l’arc AB
triques sont x (θ) = R cos θ, y (θ) = R sin θ, z (θ) = a θ.
◮ Exercice 14. 5 : Segment infini
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
Un segment AB de longueur ℓ porte une densité linéique de charge λ.
Déterminer le champ électrostatique créé en un point M placé à la distance r du fil sachant que r ≪ ℓ.
◮ Exercice 14. 6 : Théorème de Coulomb
En utilisant le théorème de Gauss, démontrer le théorème de Coulomb.
◮ Exercice 14. 7 : Capacité de la Terre
Bien que la capacité serve habituellement à décrire un condensateur possédant 2 armatures, on peut définir
Q
la capacité d’une seule sphère conductrice comme étant égale à C = , V étant le potentiel auquel elle se
V
trouve en raison du fait qu’elle porte une charge Q. Cela revient en quelque sorte, à considérer que l’autre
armature est une coquille imaginaire infiniment grande, portant une charge −Q, dont le centre coïncide
avec celui de la sphère conductrice.
Calculer la capacité d’un condensateur sphérique de rayon R.
Application numérique : Calculer la capacité de la Terre de rayon RT = 6400 km.
◮ Exercice 14. 8 : Champ entre 2 cylindres
Déterminer le potentiel et le champ électrostatique dans la région comprise entre deux cylindres coaxiaux
de rayons respectifs R1 = 2,0 mm et R2 = 3,0 cm portés aux potentiels respectifs V1 = 0 V et V2 = 100 V
par rapport au sol et de longueur considérée comme infinie.
On donne le Laplacien en coordonnées cylindriques :
∆V =
Å
ã
1 ∂
∂V
1 ∂2V
∂2V
r
+ 2
+
2
r ∂r
∂r
r ∂θ
∂z 2
et on pourra utiliser la relation de Laplace :
∆V = −
ρ
ε0
−−→
→
−
−
→
ρ
qui sera vu dans un prochain chapitre et qui découle des relations E = −grad V et div E = .
ε0
◮ Exercice 14. 9 : Atome d’hydrogène
On considère une distribution de charge à symétrie sphérique de centre O. Le potentiel en un point M de
l’espace vaut, en posant OM = r :
V (r) =
r
1 q
exp −
4 π ε0 r
a
1. Déterminer le champ électrostatique en ce point M .
2. Calculer le flux du champ à travers une sphère de centre O et de rayon r. Faire tendre successivement
r vers 0, puis vers l’infini. Conclure.
3. En exprimant la charge contenue entre 2 sphères de rayons r et r + dr, déterminer la densité volumique de charge ρ (r).
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
14.9 Exercices : Électrostatique
41
◮ Exercice 14. 10 : Plan percé
Donnée :
Champ créée par un disque de rayon R chargé avec la densité superficielle de charge σ à la distance z :
ã
Å
σ
|z|
Edisque = ±
1− √
2 ε0
R2 + z 2
◮ Exercice 14. 11 : Distribution inhomogène
Soit une sphère de rayon R, de centre O, placée dans le vide et dont la distribution volumique de charge est
donnée par :
Å
ã
r2
ρ (r) = ρ0 1 − k 2
R
k et ρ0 sont des constantes et r 6 R.
1. Déterminer l’expression du champ électrostatique en tout point P de l’espace. On note OP = r.
2. Montrer qu’à l’intérieur de la sphère, le champ électrostatique présente un maximum pour un rapport
r
donné.
R
r
1
Calculer la valeur de k dans le cas où le champ est extremum pour
= .
R
2
◮ Exercice 14. 12 : Une sphère creuse
Une sphère creuse (S), de centre O, de rayon extérieur R et de
rayon intérieur αR, avec α < 1, est électriquement chargée en
volume, avec une densité volumique de charge uniforme ρ.
(S)
2
1. Déterminer l’expression du champ électrostatique E1 (r)
créé par (S) dans la région 1 définie par r > R.
2. Déterminer l’expression du champ électrostatique E2 (r)
créé par la distribution (S) dans la région 2 définie par
α R < r < R.
αR
ρ
3
O
R
3. En déduire le potentiel électrostatique V1 (r) dans la région 1 . On prendra le potentiel nul à l’infini.
1
4. Déterminer l’expression du potentiel électrostatique
V3 (r) dans la région 3 définie par r < α R.
5. Lorsque 1 − α ≪ 1, (S) devient une coquille sphérique de faible épaisseur, que l’on peut alors
assimiler à une sphère de rayon R, uniformément chargée en surface, de densité surfacique de charges
σ.
(a) Déterminer l’expression de σ.
(b) Exprimer dans ce cas la différence de potentiel U = V1 (R) − V3 (O).
◮ Exercice 14. 13 : Champ en un point d’une distribution
La densité volumique de charge en tout point de l’espace est définie par :
Å
ã
|z|
ρ (z) = ρ0 exp −
a
où ρ0 et a sont des constantes.
1. Donner la dimension de a ainsi que son unité.
2. Représenter le graphe ρ (z) et y faire apparaître a sur le graphe.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
On considère un plan uniformément chargé en surface, de densité superficielle de charge σ, dans lequel on
a pratiqué un trou vide de charges et de rayon R.
Déterminer le champ électrostatique en un point M de l’axe du trou.
42
É LECTROSTATIQUE
3. Déterminer le champ électrostatique en tout point de l’espace.
4. Représenter la graphe E (z).
◮ Exercice 14. 14 : Noyau atomique
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
1. On assimile le noyau d’un atome à une sphère uniformément chargée, de centre O, de rayon R, de
charge Q.
→
−
(a) Établir l’expression du champ électrostatique E produit par le noyau en un point quelconque
M de l’espace.
(b) En déduire le potentiel en un point quelconque, en choisissant le potentiel nul à l’infini.
2. Application :
On considère le noyau de baryum avec Z = 56 et R = 6,3 f m. On donne la charge électronique
e = 1,6.10−19 C et la permittivité du vide ε0 = 8,85.10−12 F.m−1 . Déterminer le champ :
(a) au voisinage du noyau pour r = 2 R,
(b) à la périphérie de l’atome pour r = 1,0.10−10 m.
◮ Exercice 14. 15 : Ressort gravitationnel
1. Par des analogies convenablement choisies, justifiez la forme du théorème de Gauss gravitationnel
sous forme locale :
→
div −
g = −4 π G ρ
→
où −
g est le champ de gravitation, G = 6,67.10−11 S.I. la constante universelle de gravitation et ρ la
masse volumique.
2. En déduire l’expression du champ de gravité en tout point d’une boule de rayon R et de masse
volumique ρ uniforme.
3. On considère une planète de rayon R et de masse volumique ρ. On creuse un tunnel qui la traverse
de part en part en passant par le centre. On suppose le tunnel suffisamment fin pour ne pas perturber
la symétrie du problème. On lâche à un bout du tunnel une bille de masse m.
Déterminer son mouvement.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
43
Magnétostatique
15.1
Compétences du chapitre
Notions et contenus
Champ magnétostatique. Principe
de superposition.
Symétries et invariances du champ
magnétostatique.
Capacités exigibles
• Décomposer une distribution en des distributions plus
simples dans le but de calculer un champ magnétostatique
par superposition dans des cas simples.
• Identifier les plans de symétrie et d’antisymétrie d’une distribution de courants.
• Identifier les invariances d’une distribution de courants.
• Exploiter les symétries et les invariances d’une distribution de courants pour caractériser le champ magnétostatique créé.
Propriétés de flux et de circulation.
Théorème d’Ampère.
• Reconnaître les situations pour lesquelles le champ magnétostatique peut être calculé à l’aide du théorème d’Ampère.
• Utiliser le théorème d’Ampère pour déterminer le champ
magnétostatique créé par une distribution présentant un
haut degré de symétrie.
• Citer quelques ordres de grandeur de champs magnétostatiques.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
P 15
44
Notions et contenus
Applications au fil rectiligne "infini" de section non nulle et au solénoïde "infini".
M AGNÉTOSTATIQUE
Capacités exigibles
• Justifier le choix d’une modélisation d’une distribution de
charges par une distribution "infinie".
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
• Établir les expressions des champs magnétostatiques créés
en tout point de l’espace par un fil rectiligne "infini" de
section non nulle, parcouru par des courants uniformément répartis en volume, par un solénoïde " infini " en
admettant que le champ est nul à l’extérieur.
Lignes de champ, tubes de champ.
• Orienter les lignes de champ magnétostatique créées par
une distribution de courants.
• Relier les variations de l’intensité du champ magnétostatique à la position relative des lignes de champ.
• Vérifier qu’une carte de ligne de champ est compatible
avec les symétries et les invariances d’une distribution.
• Approche numérique : représenter des cartes de lignes
de champ magnétostatique.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
15.2 Théorème de superposition
15.2
45
Théorème de superposition
15.3
Symétries et invariances
−
→
B
−
→
B2
−
→
B1
M
Contrairement au cas du champ électrique, le champ magnétique appartient aux
plans d’antisymétrique d’une distribution
de courants.
H
P2
I
(P ′ )
P1
I
F IGURE 15.1 – Plan d’antisymétrie pour la distribution de 2 courants
−
→
B2
−
→
B
M
−
→
B1
De la même façon, on montre que :
Le champ magnétique est normal aux plans
de symétrie d’une distribution de courants.
H
P2
I
(P)
P1
I
F IGURE 15.2 – Plan de symétrie pour la distribution
de 2 courants
De plus, comme pour le champ électrique :
Le champ magnétique possède les mêmes propriétés d’invariance (rotation, translation)
que la distribution de courants qui en est la source.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
→
−
→
−
De la même façon que pour le champ électrique E , le champ magnétique B créé par plusieurs distributions
de courants est égal à la somme des champs magnétiques créés par chacune des distributions de courants.
46
M AGNÉTOSTATIQUE
De plus, s’il existe un plan de symétrie pour la distribution de courants, indépendamment du
point M , cela signifie que pour 2 points M et M ′ symétriques l’un de l’autre par rapport à ce plan,
−
→
→
−
les champs B (M) et B ′ (M ′ ) sont antisymétriques, autrement dit :
−
→
−
→
B (M) = −B ′ (M ′ )
Le comportement est encore inversé par rapport à l’électrostatique.
Caractère conservatif
Examinons la carte du champ magnétique créé par des bobines de Helmholtz étudiées en première année :
z
F IGURE 15.3 – Carte du champ des bobines de Helmholtz 2D
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7 -7
-6
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
15.4
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
15.5 Théorème d’Ampère
47
F IGURE 15.4 – Carte du champ des bobines de Helmholtz 3D
B (z)
Bmax
1.0
0.5
z
−3.0−2.5−2.0−1.5−1.0−0.5
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
De façon générale, on retiendra que le long d’un tube de champ magnétique, le flux du champ magnétique
−−→
→
−
→
B à travers une section se conserve (avec d2 S = d2 S −
n) :
Φ1 =
ZZ
=
ZZ
(Σ1 )
(Σ2 )
− −
→
B ·→
n d2 S
− −
→
B ·→
n d2 S
= Φ2
— Proprié té —
On admettra alors la propriété suivante :
{ −
{ −
→
→ −
→ −−
B ·→
n d2 S = 0
B · d2 S =
(Σfermée )
(Σfermée )
Le flux du champ magnétique sortant de toute surface fermée est nul.
On peut donc noter ici une différence notable avec le champ électrique.
⇒ Activité 15. 1
Vérifier que les propriétés de symétrie et d’invariance sont compatibles avec la carte de champ proposée.
15.5
15.5.1
Saint Joseph - LaSalle
Théorème d’Ampère
Orientation d’une surface et du contour associé
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
On peut constater sur le graphe ci-contre que :
→
−
• l’intensité du champ magnétique B est
constante dans la zone centrale où les lignes de
champ sont parallèles,
→
−
• l’intensité de B croît dans la zone où les lignes
de champ se resserrent,
→
−
• à l’inverse, l’intensité de B décroît lorsqu’elles
s’écartent.
48
M AGNÉTOSTATIQUE
(Σ2 )
−
→
dS 2
−
→
dS 1
(Σ1 )
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
(Γ)
F IGURE 15.5 – Tire-bouchon
15.5.2
Forme globale ou intégrale du théorème d’Ampère
Considérons la carte du champ magnétique créé par une spire circulaire :
z
F IGURE 15.6 – Carte du champ d’une spire circulaire 2D
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
15.5 Théorème d’Ampère
49
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-7 -7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
On peut remarquer que :
• les lignes de champ s’enroulent autour de la
spire,
• l’orientation des lignes de champ est liée au
sens de circulation du courant (cf. figure cicontre),
• la valeur moyenne de la norme du champ magnétique B le long des lignes de champ est proportionnelle à l’intensité du courant circulant
dans la spire.
F IGURE 15.8 – "Règle" de la main droite
Ceci amène à postuler le théorème suivant, en considérant un contour fermé (Γa ), et (Σa ) une surface
orientée quelconque (Σa ) s’appuyant sur ce contour fermé (Γa ).
— Thé orème
d'Ampère
—
→
−
La circulation du champ magnétique B le long d’une courbe fermée (Γa ) est égale au produit µ0 iint
où iint représente l’intensité enlacée et µ0 la perméabilité magnétique du vide :
I
→
− −
→
B · dℓ = µ0 iint
(Γa )
Les
unité s
:
B s’exprime en teslas (T ), µ0 en H.m−1 et I en A
iint le courant enlacé défini par :
ZZ
→ −
−
iint =
j ·→
n d2 S
(Σa )
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
-4
-5
-6
F IGURE 15.7 – Carte du champ d’une spire circulaire 3D
50
M AGNÉTOSTATIQUE
→
−
On doit définir le sens de dℓ. Le courant enlacé est donc une grandeur algébrique.
15.5.3
Exemples
I1
I3
I2
I4
I5
I6
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
⇒ Activité 15. 2
Indiquer Iint = Ienlacé pour chacun des cas.
Iint
15.5.4
15.5.4.1
Divergence et rotationnel du champ magnétique
Divergence
Considérons le champ créé en un point M par un élément de circuit de longueur dℓ d’un fil parcouru par
l’intensité i.
Considérons (Σ), une surface fermée contenant M enfermant le volume (τ ). L’expression du flux à travers
cette surface est alors :
{ −
→ { −
→ −
→ −−
B ·→
n d2 S
B · d2 S =
Φ=
(Σ)
(Σ)
ZZZ
{ →
→
− −−
2
Le théorème de Green-Ostrogradski (
B ·d S =
(τ )
(Σ)
Φ=
ZZZ
{ →
− −
B ·→
n d2 S =
(Σ)
→
−
div B d3 τ permet décrire :
→
−
div B d3 τ = 0
(τ )
Le flux étant nul quel que soit le volume (τ ), on obtient donc :
→
−
div B = 0
La divergence du champ magnétique est donc nulle.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
15.6 Distributions à haut degré de symétrie
15.5.4.2
51
Rotationnel
Le théorème d’Ampère s’écrit :
I
→
− −
→
B · dℓ = µ0 iint
Le premier terme, peut se transformer grâce au théorème de Stokes-Ampère :
ZZ
I
→
→ −−→
→ −
−
−→ −
rot B · d2 S
B · dℓ =
(Σa )
(Γa )
où (Σa ) est une surface orientée s’appuyant sur (Γa ).
Le second terme, vaut :
ZZ
ZZ
− →
→
−
2
µ0 j · n d S =
µ0 iint =
→ −−→
−
µ0 j · d2 S
(Σa )
(Σa )
En combinant les deux expressions précédentes, on obtient :
ZZ
Ä−→ −
→
→ä −−→
−
rot B − µ0 j · d2 S = 0
(Σa )
Cette relation étant vérifiée pour toute surface (Σa ), cela signifie que :
−
→
−
−→ →
rot B = µ0 j
15.6
Distributions à haut degré de symétrie
15.6.1
Méthode générale pour le théorème d’Ampère
— Prin
ipe
—
Comme avec le théorème de Gauss pour le champ électrique, la difficulté lors de l’utilisation du théorème d’Ampère est de trouver le contour (Γ). Ici encore, 2 critères doivent être pris en compte :
→
→ −
−
• Le produit scalaire B · dℓ doit pouvoir être simplifié, soit parce que les deux vecteurs sont colinéaires, soit parce qu’ils sont orthogonaux.
→
→ −
−
• Lorsque les deux vecteurs B et dℓ sont orthogonaux, le produit scalaire est nul,
→
−
→
−
• Lorsque les deux vecteurs B et dℓ sont colinéaires, le cosinus du produit scalaire vaut 1 et il
→
−
faut alors pouvoir sortir le vecteur B de l’intégrale. Pour cela, il doit être constant sur le contour
d’Ampère (Γa ).
15.6.2
Fil rectiligne infini
Considérons un fil infini suivant l’axe z et parcouru par le courant d intensité I.
Calculons le champ magnétique créé en tout point M de l’espace par cette distribution D.
Pour cela, choisissons des coordonnées cylindriques (r, θ, z).
15.6.2.1
Symétries et invariances
• Symétries :
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
(Γa )
52
M AGNÉTOSTATIQUE
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
• Invariances :
• En résumé :
On a finalement :
→
−
→
B = B (r) −
eθ
15.6.2.2
Choix du contour d’Ampère
Étant donnée la symétrie du problème, un cercle s’impose comme contour d’Ampère. Nous le prendrons
de rayon r, passant par M . Ainsi, en chaque point du contour d’Ampère (Γa ), le champ sera colinéaire au
→
−
cercle, donc colinéaire au vecteur dℓ. De plus, le champ sera constant en tout point de ce contour.
15.6.2.3
Application du théorème d’Ampère
Le théorème s’exprime par :
I
→
−
→
−
B (M) · dℓ = µ0 Iint
C=
(Γa )
→
−
−−→
−−→
→
→
• On a : dℓ = dOM avec OM = r −
er + z −
ez , soit :
→
−
→
→
→
dℓ = dr −
er + r dθ −
eθ + dz −
ez
→
−
te
= r dθ e car r = C et z = C te pour un cercle
θ
Ainsi, le premier terme se calcule de la façon suivante :
C=
I
→
−−−→ −
B(M) · dℓ
(Γa )
=
I
→
→
B (r) × r dθ −
eθ · −
eθ
I
B (r) × r dθ
(Γa )
=
(Γa )
= r B (r)
Z
2π
dθ
0
= B (r) × 2 π r
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
15.6 Distributions à haut degré de symétrie
53
• Le second terme se calcule également très facilement :
Iint = I
On en déduit alors :
µ0 I
2πr
Le cas du fil infini sert dans d’autres distributions et il n’est donc pas interdit de retenir le résultat final . . .
Un fil infini est bien entendu impossible à réaliser. Pour s’approcher de ce modèle, il faut que le point M
de l’étude précédente se situe à petite distance r devant la longueur L du fil. il convient également, vu que
le circuit est nécessairement fermé pour que le courant puisse circuler, de faire abstraction de l’influence du
courant de retour, donc le considérer comme suffisamment éloigné du point M .
15.6.3
Câble cylindrique
Considérons un cylindre infiniment long suivant Oz,
de rayon R, parcouru par un courant I suivant z et de
densité volumique de courant j.
On a la relation :
ZZ
→
→ −−
−
I=
j · d2 S = j π r2
z
−
→
j
y
(Σ)
Calculons le champ magnétique créé en tout point M
de l’espace par cette distribution D.
Pour cela, choisissons des coordonnées cylindriques
(r, θ, z).
15.6.3.1
x
Symétries et invariances
• Symétries :
• Invariances :
• En résumé :
On a finalement :
→
−
→
B = B (r) −
eθ
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
B (r) =
54
M AGNÉTOSTATIQUE
15.6.3.2
Choix du contour d’Ampère
Étant donnée la symétrie du problème, un cercle s’impose comme contour d’Ampère. Nous le prendrons
de rayon r, passant par M . Ainsi, en chaque point du contour d’Ampère Γa , le champ sera colinéaire au
→
−
cercle, donc colinéaire au vecteur dℓ. De plus, le champ sera constant en tout point de ce contour.
15.6.3.3
Application du théorème d’Ampère
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
Le théorème s’exprime par :
I
→
−
→
−
B (M) · dℓ = µ0 Iint
C=
(Γa )
• Le premier terme se calcule de la façon suivante :
I
→
−−−→ −
B(M) · dℓ
C=
(Γa )
I
→
→
B (r) × dℓ −
eθ · −
eθ
=
(Γa )
=
I
(Γa )
= B (r)
B (r) × dℓ
I
dℓ
(Γa )
= B (r) × 2 π r
• Pour le second terme, 2 cas sont à distinguer. En effet, suivant que M se trouve à l’intérieur (r < R)
ou à l’extérieur (r > R) du cylindre parcouru par le courant, le courant enlacé (ou intérieur) ne
s’exprime pas de la même façon.
◦ Si r > R, alors Iint = I = j π R2 . On en déduit alors :
B (r > R) =
◦ Si r < R, alors Iint = j π r2 = I
µ0 I
2πr
r2
. On en déduit alors :
R2
B (r < R) =
µ0 I r
µ0 j r
=
2 π R2
2
On constate qu’il y a continuité en r = R.
Représentons le graphe B = f (r) :
B (r)
µ0 I
2πR
r
O
R
F IGURE 15.9 – Champ magnétique créé par un câble infini
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
15.6 Distributions à haut degré de symétrie
15.6.4
55
Solénoïde infini
Soit un solénoïde infini parcouru par un courant. Celui-ci est constitué d’un grand nombre de spires enroulées sur un cylindre d’axe Oz et de rayon a.
Ce solénoïde peut être considéré comme infini si sa longueur L est très grande devant sont rayon a.
15.6.4.1
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
→
−
Calculons le champ magnétique B (M) créé en tout point M de l’espace.
Symétries et invariances
a
I
z
L
F IGURE 15.10 – Solénoïde
• Symétries :
• Invariances :
→
−
−
• Finalement, B (M) = B (r) →
ez .
15.6.4.2
Choix du contour d’Ampère
Étant donnée la symétrie du problème, un contour convient bien : un rectangle dans le plan M Oz et s’appuyant sur le point M . Ainsi, sur les côtés perpendiculaires à Oz, le champ est perpendiculaire et sur les
côtés parallèles à l’axe Oz, le champ y est colinéaire. De plus, sur ces derniers côtés à r = cte, le champ
magnétique est uniforme.
Il va falloir trois contours.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
56
M AGNÉTOSTATIQUE
15.6.4.3
Application du théorème d’Ampère
• En appliquant le théorème d’Ampère sur le contour fermé A1 A2 A3 A4 intérieur au solénoïde, en
appelant b la longueur A1 A2 , on obtient :
I
−
− →
→
B · dℓ =
Z
+
Z
=
Z
(A1 A2 A3 A4 )
A1
A4
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
A3
A2
A4
A3
z
A1
b
A2
=
−
→
−
B (0) dz →
ez +
Z
−
→
−
B (r) dz →
ez +
Z
A2
B (0) dz +
A1
Z z=b
Z
B(0) dz +
A3
A2
A1
A4
−
→
→
B (r) dr −
er
−
→
→
B (r) dr −
er
A4
B (r) dz
A3
Z z=0
B(r) dz
z=b
z=0
= [B (0) − B (r)] b
= µ0 Iint
=0
On en déduit B (r) = B (0) = C te ∀r < a.
−
→
B est donc uniforme à l’intérieur du solénoïde.
→
−
• De la même façon, on peut démontrer que B est uniforme à l’extérieur du solénoïde en utilisant le
contour fermé (A1 A2 A3 A4 ) extérieur au solénoïde :
A′4
b
En appelant encore b la longueur A′1 A′2 , on obtient :
A′3
r2
A′1
A′2
I
r1
(A′1 A′2 A′3 A′4 )
z
−
− →
→
B · dℓ =
Z
z=b
B (r1 ) dz +
z=0
Z
z=0
B (r2 ) dz
z=b
= [B (r1 ) − B (r2 )] b
= µ0 Iint
=0
On en déduit B (r) = C te ∀r > a.
−
→
B est donc uniforme à l’extérieur du solénoïde.
Or, pour des raisons physiques, le champ magnétique lorsque r tend vers l’infini est forcément nul.
→
−
Cela signifie donc que le champ magnétique B est nul à l’extérieur du solénoïde.
• En appliquant le théorème d’Ampère sur (A′′1 A′′2 A′′3 A′′4 ) tel que A′′3 A′′4 soit à l’extérieur et A′′1 A′′2
soit à l’intérieur du solénoïde et en appelant toujours b la longueur A′′1 A′′2 , rint la distance de l’axe à
A′′1 A′′2 ,rext la distance de l’axe à A′′3 A′′4 , on obtient :
I
′′ ′′ ′′
(A′′
1 A2 A3 A4 )
Saint Joseph - LaSalle
−
− →
→
B · dℓ = Bint × b − Bext × b = µ0 Iint
CPGE TSI
15.7 Ordres de grandeur du champ magnétique
57
N
Le courant enlacé Iint vaut N I = n b I, si on appelle n =
le nombre de spires par unité de
L
longueur.
b
A′′3
Le champ magnétique à l’extérieur est nul :
Bext = 0.
rext
A′′1
A′′2
rint
z
On en déduit :
Bint = µ0 n I ∀r < a
On a donc finalement :
−
→
→
−
→
−
−
B int = µ0 n I →
ez à l’intérieur et B ext = 0 à l’extérieur du solénoïde
Pour le solénoïde infini :
Pour le solénoïde réel :
I
I
z
⇒ Activité 15. 3
En observant les lignes de champ à l’intérieur du solénoïde et entre les bobines de Helmholtz, que peut-on
en déduire ?
15.7
Ordres de grandeur du champ magnétique
Vide interstellaire
Surface de la terre
À la distance r = 2 cm d’un fil (I = 10 A)
Aimant permanent (à quelques millimètres de sa surface)
Intérieur d’un électro-aimant à bobinage
Étoile à neutrons
10−6 T
4,7.10−5 T ≃ 0,5 G
µ0 I
= 10−4 T
2πr
0,1 à 1 T
10 T
1011 T
TABLE 15.2 – Ordres de grandeur de champs magnétiques
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
A′′4
58
M AGNÉTOSTATIQUE
15.8
15.8.1
Exercices : Magnétostatique
Énoncés
◮ Exercice 15. 1 : Lignes de champ magnétique ?
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
On considère les lignes de champ magnétique des différentes configurations suivantes. On suppose la figure
invariante par translation perpendiculaire au plan de la figure.
(∆)
×
Cas a
Cas b
(∆)
×
Saint Joseph - LaSalle
Cas c
Cas d
Cas e
Cas f
CPGE TSI
15.8 Exercices : Magnétostatique
59
TABLE 15.3 – Écoulements divergents et rotationnels
Pour les exemples précédents, indiquer dans le tableau ci-dessous si la divergence est nulle ou non, et si oui,
si le rotationnel l’est également ou non.
Préciser dans chacun des cas s’il peut s’agir d’un champ magnétostatique et si oui, si des courants sont
présents dans la région indiquée.
divergence
rotationnel
→
−
champ B
a
b
c
d
e
f
◮ Exercice 15. 2 : 4 fils
Considérons le système ci-contre constitué de 4 fils
très longs placés aux sommets d’un carré de côté a.
Chaque fil est parcouru par un courant d’intensité I.
I1
I2
I4
I3
1. Déterminer, par des considérations de symétrie,
→
−
la direction du champ magnétique B T créé par
le système au centre O du carré.
2. Retrouver ce résultat en utilisant le théorème de
superposition.
3. Déterminer l’expression du champ magnétique
total en fonction de I et a.
◮ Exercice 15. 3 : Fil de cuivre
1. Un fil de cuivre de diamètre négligeable, rectiligne et très long, est parcouru par un courant d’intensité
→
−
I. Déterminer en un point P , à la distance r du fil, le champ magnétique B .
2. On tient compte du rayon a du fil de cuivre. La densité de courant j est uniforme dans une section
droite du fil.
(a) Calculer le champ magnétique B (r) au point P , à la distance r de l’axe du fil, en fonction de
I, r et a.
(b) On donne I = 1,00 A, a = 2,00 mm ; Calculer B (a) et représenter B (r) pour r variant de 0 à
2 a.
(c) Calculer le flux Φ (r) du vecteur champ magnétique à travers la surface limitée par le contour
rectangulaire ABB ′ A′ A, et le flux Φ (a) à travers le contour ABB ′′ A′′ A, en fonction de µ0 , I
et ℓ = AB. A et B sont sur l’axe du fil, A′′ et B ′′ sur le bord et A′ et B ′ entre les deux.
3. Le fil de rayon a est maintenant placé à l’intérieur d’un cylindre de cuivre creux, de même axe, de
rayons intérieur b et extérieur c. Le courant I qui circule dans le fil de rayon a retourne par ce conducteur cylindrique creux avec une densité de courant uniforme. Calculer en fonction de I, a, b, c et r
le champ magnétique B (r) qui règne en tout point M de l’espace à la distance r de l’axe du fil ; on
distinguera quatre cas : r < a, a < r < b, b < r < c et r > c.
◮ Exercice 15. 4 : Étude d’un tore
On considère un tore à section circulaire de rayon a, d’axe (Oz), et de rayon R, sur lequel sont enroulées
N spires jointives parcourues par un courant d’intensité I.
Déterminer le champ magnétique créé en tout point de l’espace.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
Cas
60
M AGNÉTOSTATIQUE
◮ Exercice 15. 5 : Lame métallique
Une lame métallique plane très longue, de largeur ℓ, d’épaisseur très faible, est parcourue dans le sens de
sa longueur par un courant électrique d’intensité totale I.
→
−
1. Calculer le champ magnétique B produit en un point M , dans le plan médiateur, à la distance D de
la bande. Exprimer ce résultat en fonction de I, D, ℓ, puis en fonction de I, D et ϕ, demi-angle sous
lequel on voit de M la lame. Calculer B sachant que I = 10,0 A, ℓ = 1,00 cm et D = 2,00 cm.
2.
(a) Que devient le champ magnétique B quand la lame devient infiniment large ? On exprimera le
résultat en fonction du courant js par unité de largeur.
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
(b) Retrouver ce dernier résultat par application du théorème d’Ampère à une courbe fermée convenablement choisie.
3.
(a) Que devient B quand la lame devient infiniment étroite ?
(b) Quelle est la largeur maximale ℓm de la lame pour pouvoir l’assimiler à un conducteur filiforme,
en un point M à la distance D = 50,0 cm, si le champ est mesuré à 1,00 % près ? N.B. : On
donne :
Z
dx
1
x
= arctan + C te
2
2
x +a
a
a
◮ Exercice 15. 6 : Conducteur cylindrique
Un conducteur cylindrique de longueur infinie, de rayon R, est parcouru par un courant de densité i uniforme ; les lignes de courant sont orientées suivant l’axe z ′ z du conducteur.
→
→
→
On repère un point M de l’espace par ses coordonnées cylindriques r, θ et z et on notera −
er , −
eθ et −
ez les
vecteurs unitaires radial, orthoradial et axial formant la base orthonormée du repère utilisé.
→
−
1. Déterminer le champ magnétique B en tout point M .
→
−
2. Lorsque le chapitre suivant sera vu, déterminer le potentiel vecteur A , en tout point M . On admettra
que A s’annule sur la surface du cylindre.
3. Tracer le graphes B (r).
◮ Exercice 15. 7 : Un solénoïde
Un solénoïde circulaire de rayon R, de longueur infinie, comporte n spires par unité de longueur ; il est
parcouru par un courant d’intensité I.
→
−
1. Montrer que le champ magnétique B est uniforme à l’intérieur et nul à l’extérieur du solénoïde.
→
−
2. Lorsque le chapitre suivant sera vu, déterminer le potentiel vecteur A (M ) en tout point M à la
distance r de l’axe z ′ z du solénoïde sachant que A est continu.
◮ Exercice 15. 8 : Champ magnétique terrestre
Un solénoïde comportant N = 1000 spires jointives a pour longueur ℓ = 80 cm.
Il est parcouru par un courant d’intensité I.
1. Faire un schéma sur lequel vous représenterez :
• le spectre magnétique du solénoïde,
• les faces Nord et Sud,
• le vecteur champ magnétique au centre du solénoïde.
2. On suppose le solénoïde suffisamment long pour être assimilable à un solénoïde de longueur infinie.
Donner l’expression de l’intensité du champ magnétique au centre du solénoïde.
Application numérique : Calculer B si I = 20 mA.
3. L’axe du solénoïde est placé perpendiculairement au plan du méridien magnétique. Au centre du solénoïde on place une petite boussole mobile autour d’un axe vertical.
Donner l’orientation de la boussole pour I = 0.
Quand le courant d’intensité I = 20 mA parcourt le solénoïde, la boussole tourne d’un angle
α = 57,5o . En déduire l’intensité Bh de la composante horizontale du champ magnétique terrestre.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
61
Équations de Maxwell
16.1
Compétences du chapitre
Notions et contenus
Principe de la conservation de la
charge : formulation locale.
Équations de Maxwell : formulations locale et intégrale.
Capacités exigibles
• Établir l’équation locale de la conservation de la charge
dans le cas à une dimension.
• Écrire et interpréter les équations de Maxwell sous forme
intégrale.
• Interpréter qualitativement le lien entre l’équation de
Maxwell-Faraday et la loi de Faraday.
Équations de propagation des
champs dans une région vide de
charges et de courants.
• Établir les équations de propagation à partir des équations
de Maxwell.
Approximation
des
régimes
quasi-stationnaires (ou quasipermanents).
• Comparer une durée typique d’évolution des sources à une
durée de propagation de l’onde électromagnétique.
Cas des champs statiques : équations locales.
Saint Joseph - LaSalle
• Établir les équations de propagation à partir des équations
de Maxwell.
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P 16
62
Notions et contenus
Équation de Poisson et équation de
Laplace de l’électrostatique.
É QUATIONS
DE
M AXWELL
Capacités exigibles
• Établir les équations de Poisson et de Laplace de l’électrostatique.
• Approche numérique : mettre en œuvre une méthode
de résolution numérique pour déterminer une solution à
l’équation de Laplace, les conditions aux limites étant
données.
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
• Approche numérique : mettre en œuvre une méthode
de résolution numérique pour déterminer une solution à
l’équation de Laplace, les conditions aux limites étant
données.
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CPGE TSI
16.2 Forme locale
63
Maxwell, s’appuyant sur les résultats de l’électrostatique, de la magnétostatique et de l’électromagnétisme
des régimes quasi stationnaires a postulé les équations suivantes que nous prendrons comme principe fondamental de l’électromagnétisme :
Forme locale
Nom
Maxwell-Gauss (M-G)
Maxwell-Thomson (M-T)
Maxwell-Faraday (M-F)
Maxwell-Ampère (M-A)
équation
→
−
ρ
div E =
ε0
→
−
div B = 0
→
−
→
∂B
−→ −
rot E = −
∂t
→
−
→
∂ E
→
−
−→ −
rot B = µ0 j + ε0 µ0
∂t
TABLE 16.2 – Équations de Maxwell : forme locale
→ −
−
→
Les équations de Maxwell s’écrivent sous cette forme dans n’importe quel référentiel pourvu que E , B , ρ
→
−
et j soient mesurés dans ce même référentiel et que les opérateurs divergence et rotationnel soient calculés
également dans celui-ci.
16.3
Relations annexes
16.3.1
Champ et potentiel électriques
Le champ électrique et le potentiel électrique sont liés par la relation :
−−→
−
→
E = −grad V
Ainsi, par exemple en coordonnées cartésiennes, la fonction à 3 variables V (x, y, z) s’écrit :
dV =
∂V
∂V
∂V
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
Or, le gradient de V s’écrit :
→
−
−−→
et le vecteur dℓ = dOM s’écrit :
∂V
∂x
−−→
grad V =
dx
∂V
∂y
−
→
dℓ =
dy
dz
∂V
∂z
On obtient donc :
−−→
→
−
dV = grad V · dℓ
Soit :
→
→ −
−
dV = − E · dℓ
Si on intègre entre 2 points A et B, on a :
Z
VA
VB
dV = −
Saint Joseph - LaSalle
Z
ˆ
B
A
−
− →
→
E · dℓ =
Z
ˆ
AB
→
−
→ −
E · dℓ
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
16.2
64
É QUATIONS
16.3.2
DE
M AXWELL
Loi d’Ohm locale
Dans un conducteur électrique, le vecteur densité volumique de courant dépend du champ électrique :
→
→ −
−
→ −
j = j ( E ).
Pour les métaux ou les électrolytes, cette relation, linéaire dans un large domaine de fréquences et d’intensité
du champ électrique, constitue la loi d’Ohm locale :
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
→
−
−
→
j =γ E
γ est appelé conductivité électrique du milieu.
Les
unité s
:
Cette conductivité électrique γ s’exprime en Ω−1 .m−1 ou en S.m−1 .
— Remarque —
ℓ
La conductivité γ est l’inverse de la résistivité ρ′ avec R = ρ′ .
S
La résistivité s’exprime en Ω.m.
16.3.3
16.3.3.1
Conservation de la charge
Démonstration mathématique
→
−
−
∂B
−→ →
−→
• La relation de Maxwell-Faraday rot E = −
permet d’écrire, en utilisant div (rot) = 0 :
∂t
−
−→ →
div (rot E ) = −div
Ç →
→
−
−å
∂ div B
∂B
=0
=−
∂t
∂t
On n’en déduit aucune information.
−
−→ →
• Par contre, en utilisant la relation de Maxwell-Ampère, on a : div (rot B ) = 0 d’une part,
→å
−
∂E
−
→
µ0 j + ε 0 µ0
∂t
→
−
∂div E
→
−
= µ0 div j + ε0 µ0
∂t
∂ρ
→
−
= µ0 div j + µ0
∂t
−
−→ →
div (rot B ) = div
Ç
Ce qui permet décrire l’équation de conservation de la charge sous forme locale :
→ ∂ρ
−
=0
div j +
∂t
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
16.4 Forme intégrale
16.3.3.2
65
Démonstration physique
En notant ρ la densité volumique de charge, la charge contenue dans un volume (τ0 ) délimité par la surface
fermée (Σ) est donnée par :
ZZZ
ρ(M,t) d3 τ
q (t) =
Sa variation est alors :
q (t + dt) − q (t)
dq
=
dt
Z Z Zdt
d
ρ(M,t) d3 τ
=
dt
(τ0 )
ZZZ
∂ρ 3
=
d τ
(τ0 ) ∂t
ientrant
−
→
S
isortant
F IGURE 16.1 – Intensité du courant électrique
De plus, cette variation de charge dq par unité de temps est égale à l’intensité totale de courant entrant, soit :
{→
→
dq
− −−
= ientrant − isortant = −
j · d2 S
dt
(Σ)
−−
→
d2 S étant un vecteur sortant.
Le théorème de Green-Ostrogradski permet d’écrire :
ZZZ
{→
→
− −−
j · d2 S =
(Σ)
dq
=−
dt
ZZZ
→
−
div j d3 τ et :
(τ0 )
→
−
div j d3 τ
(τ0 )
On en déduit :
ZZZ
Å
ã
→ ∂ρ
−
div j +
d3 τ = 0
∂t
(τ0 )
Ceci étant vrai quelque soit le volume (τ0 ), cela conduit à l’équation de conservation de la charge :
→ ∂ρ
−
div j +
=0
∂t
Cette relation constitue l’équation locale de conservation de la charge électrique.
16.4
Forme intégrale
La forme intégrale d’une des équations de Maxwell se déduit de sa forme locale grâce aux règles suivantes :
— Prin
ipe
—
• Pour une divergence, on calcule le flux sortant d’une surface fermée et on le transforme à l’aide
du théorème de Green-Ostrogradski.
• Pour un rotationnel, on calcule la circulation sur un contour fermé et on la transforme à l’aide du
théorème de Stokes-Ampère.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
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(τ0 )
66
É QUATIONS
16.4.1
DE
M AXWELL
Flux magnétique
L’équation de Maxwell-Thomson est donnée par :
→
−
div B = 0
Ceci est la forme locale de l’équation de Maxwell-Thomson.
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
La forme intégrale peut être déduite, à l’aide du théorème de Green-Ostrogradski :
ZZZ
{ −
→
→ −−
→
−
B · d2 S
div B d3 τ =
(τ )
(Σ)
On obtient :
{→
{ →
→
− −
− −−
B ·→
n d2 S =
B · d2 S = 0
(Σ)
(Σ)
où (Σ) est une surface fermée.
→
−
On dit que le champ magnétique B est à flux conservatif.
16.4.2
Équation de Maxwell-Faraday
L’équation de Maxwell-Faraday s’écrit, sous sa forme locale :
→
−
→
∂B
−→ −
rot E = −
∂t
En faisant circuler le champ électrique le long d’un contour fermé (Γ) et en appelant (Σ) une surface
orientée s’appuyant sur celui-ci, on obtient :
I
→
→ −
−
E · dℓ
e=
(Γ)
ZZ
→ → 2
−→ −
=
rot E · −
nd S
(Σ)
→
−
∂B −
·→
n d2 S
∂t
(Σ)
ZZ
→
→ −−
−
∂
=−
B · d2 S
∂t (Σ)
=
ZZ
=−
−
dΦ
dt
Ceci est l’expression globale ou intégrale. On remarque que les deux équations précédentes sont indépendantes du milieu considéré.
L’équation de Maxwell-Faraday est la traduction de la loi de Faraday exposée en première
année lors de l’étude de l’induction électromagnétique : elle traduit le comportement d’un circuit
fixe dans un champ électromagnétique variable.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
16.4 Forme intégrale
16.4.3
67
Équation de Maxwell-Gauss
La forme locale de l’équation de Maxwell-Gauss est donnée par :
Le théorème de Green-Ostrogradski permet d’en déduire la forme globale ou intégrale :
ZZZ
{−
→
−
→ −
div E d3 τ
E ·→
n d2 S =
(τ )
(Σ)
=
ZZZ
(τ )
ρ 3
d τ
ε0
Soit :
{→
− −
Qint
E ·→
n d2 S =
ε0
(Σ)
où (τ ) est le volume intérieur à la surface fermée (Σ).
On retrouve ici le théorème de Gauss.
16.4.4
Équation de Maxwell-Ampère
La forme locale de l’équation de Maxwell-Ampère est donnée par :
→
−
∂E
→
→
−
−→ −
rot B = µ0 j + ε0 µ0
∂t
Cette forme est la forme locale du théorème d’Ampère, à laquelle on a ajouté une différentielle du champ
électrique. Cette modification était obligatoire pour corriger des aberrations du théorème d’Ampère.
16.4.4.1
Explication de la modification
La forme locale du théorème d’Ampère ne suffit pas. Considérons un circuit en régime non permanent.
D’après la forme locale du théorème d’Ampère, on a :
→
→
−
−→ −
rot B = µ0 j
Or, nous savons que :
→
−→−
div (rot B ) = 0
Ce qui équivaut à :
→
−
div j = 0
Or d’après l’équation de conservation de la charge :
−
∂ρ
→
−
= div j
∂t
Cela impliquerait donc que
Saint Joseph - LaSalle
∂ρ
= 0.
∂t
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
→
−
ρ
div E =
ε0
68
É QUATIONS
DE
M AXWELL
Si le régime n’est pas permanent, c’est donc incohérent. Pour corriger ce défaut, on introduit un courant de
−
→
déplacement, noté jD de telle sorte que :
Ä→
→
− −
→ä
−→ −
rot B = µ0 j + jD
On obtient ainsi :
∂ρ
−
→
div j = −
∂t
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
= −ε0
→
−
∂
div E
∂t
On a alors :
∂−
→
−
→
j = −ε0 E
∂t
Ä
→
→ −
−
→ä
−→ −
div (rot B ) = µ0 div ( j + jD )
ò
ï
→
∂−
−
→
E
0 = div jD − ε0
∂t
Maxwell a donc pris le cas le plus simple :
→
∂−
−
→
E
jD = ε0
∂t
16.4.4.2
Forme intégrale
En faisant circuler le champ magnétique le long d’un contour fermé (Γ) et en appelant (Σ) une surface
orientée s’appuyant sur celui-ci, on obtient :
ZZ
I
→
→ → 2
→ −
−
−→−
rot B · −
nd S
B · dℓ =
(Σ)
(Γ)
Ç
→å
−
∂E
−
→
→
=
µ0 j + ε 0 µ0
·−
n d2 S
∂t
(Σ)
ZZ
→ → 2
−
∂ E ·−
nd S
= µ0 I + ε 0 µ0
∂t
(Σ)
→
−
dΦ(Σ) ( E )
= µ0 I + ε 0 µ0
dt
ZZ
On retrouve le théorème d’Ampère additionné d’un terme supplémentaire :
→
−
dΦ(Σ) ( E )
ε 0 µ0
= µ0 ID
dt
où ID est l’intensité du courant de déplacement :
ZZ
−
→ → 2
ID =
jD · −
nd S
(Σ)
Ce terme intervient en régime non permanent.
16.5
16.5.1
Saint Joseph - LaSalle
Équations de propagation des champs
Expression générale du champ électrique
CPGE TSI
16.5 Équations de propagation des champs
69
→ −−→
→
−
→−
−
→
−→ −→ −
rot rot E = grad (div E ) − ∆ E (Voir analyse vectorielle)
Ç −
→å
Å ã
−−→ ρ
→−
−
→
∂B
−→
rot −
= grad
− ∆E
∂t
ε0
Å ã
→ −−→ ρ
→−
−
→
∂ −→ −
− ∆E
− rot B = grad
∂t
ε0
→
−
Å ã
−−→ ρ
→−
−
→
∂−
∂2 E
→
−µ0
− ∆E
=
grad
j − ε 0 µ0
2
∂t
∂t
ε0
Soit :
→
−
Å ã
→
−
−−→ ρ
−−
→
→
∂j
∂2 E
+ µ0
= grad
∆ E − ε 0 µ0
∂t2
ε0
∂t
16.5.2
Champ électrique dans une région sans charge ni courant
→ −
−
→
Dans une région sans charge (ρ = 0) ni courant ( j = 0 ), la relation précédente s’écrit :
→
−
∂2 E
−−
→
→
→
−
∆ E − ε 0 µ0
= 0
∂t2
16.5.3
Expression générale du champ magnétique
De la même façon pour le champ magnétique, on obtient :
→
−
−−
→
→
∂2 B
→
−→ −
∆ B − ε 0 µ0
= −µ0 rot j
∂t2
16.5.4
Champ magnétique dans une région sans charge ni courant
→
−
−−
→
→
∂2 B
→
−
= 0
∆ B − ε 0 µ0
∂t2
⇒ Activité 16. 1
Retrouver la formule précédente à partir des équations de Maxwell dans une région sans charge ni courant.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
→
−→ −→ −
En appliquant l’opérateur rot à rot E , on obtient :
70
É QUATIONS
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
16.6
M AXWELL
Potentiels
16.6.1
16.6.1.1
DE
Définitions
Potentiel-vecteur
→
−
→
−
−→
Les relations div B = 0 et div rot = 0 permettent d’écrire d’introduire le potentiel-vecteur A :
→
−
→ −
−
→ −→ −
→
div B = 0 ⇒ ∃ A tq B = rot A
→
−
Considérons deux potentiels-vecteurs associés à B :
−
→
→
−→ −
B = rot A
→
−→ −
= rot A′
→
−
−→ −−→
Comme rot grad G = 0 ∀G, on obtient :
→
→ −
→
−
−→ −
rot ( A − A′ ) = 0
On peut alors écrire :
→ −−→
− −
→
A − A′ = grad G
On obtient donc :
−
→ −
→ −−→
A′ = A − grad G
→
−
On voit ainsi que A n’est pas défini de façon unique.
— Proprié té —
→
−
Le potentiel-vecteur A possède les mêmes propriétés d’invariance et de symétrie que le champ élec→
−
trique E .
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
16.6 Potentiels
Potentiel scalaire V
On a :
→
−
→
∂B
−→ −
rot E = −
∂t
→
∂ −→ −
= − rot A
∂t
On obtient donc :
Ç
−å
→
→ ∂A
→
−
−→ −
rot E +
= 0
∂t
→
−→ −−→ −
De même que précédemment, un rotationnel nul peut s’exprimer au moyen d’un gradient (rot grad = 0 ) :
→
−
−
→
∂ A −−→
− grad V
E =−
∂t
On obtient donc l’expression connue dans le cas statique.
De même que pour le potentiel vecteur, on montre que :
V′ =V −
∂Φ
+ C te
∂t
→
−
→
−
Φ est donc le lien entre A et V . On ne peut pas fixer arbitrairement A et V , ces deux potentiels sont liés.
16.6.1.3
Flux du champ magnétique
Le flux du champ magnétique à travers une surface orientée (Σ) s’écrit Φ =
−
→
→
−→ −
En remplaçant B par rot A , on obtient :
ZZ
ZZ
→
→ −−→
→ −−
−
−→ −
rot A · d2 S
B · d2 S =
Φ=
(Σ)
ZZ
→
− −−
→
B · d2 S.
(Σ)
(Σ)
En considérant le contour orienté (Γ) bordant la surface (Σ), la relation de Stokes-Ampère permet alors
d’écrire :
I
ZZ
→
→
→ −
−
− −−
→
A · dℓ
B · d2 S =
Φ=
(Σ)
(Γ)
Le flux du champ magnétique à travers une surface est égal à la circulation du potentiel-vecteur le long du
contour bordant la surface.
16.6.2
16.6.2.1
Conditions de jauge
Équations vérifiées par le potentiel-vecteur et le potentiel scalaire
On montre que ces deux potentiels doivent vérifier les relations suivantes :
→
−
ã
Å
∂V
→
−
∂2 A
−−
→
→
→ −−→
−
= µ0 j + grad div A + ε0 µ0
∆ A − ε 0 µ0
∂t2
∂t
2 jauges sont couramment utilisées, la jauge de Coulomb et celle de Lorentz.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
16.6.1.2
71
72
É QUATIONS
16.6.2.2
DE
M AXWELL
La jauge de Coulomb
La jauge de Coulomb s’exprime de la façon suivante :
→
−
div A = 0
L’équation précédente devient donc :
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
→
−
∂ −−→
∂2 A
−−
→
→
→
−
= µ0 j + ε0 µ0 grad V
∆ A − ε 0 µ0
∂t2
∂t
16.6.2.3
La jauge de Lorentz
La jauge de Lorentz est la suivante :
∂V
→
−
div A + ε0 µ0
=0
∂t
À l’aide des ces jauges, on obtient donc deux équations :
→
−
−−
→
→
∂2 A
→
−
= −µ0 j
∆ A − ǫ 0 µ0
∂t2
∆V − ǫ0 µ0
— Cas
ρ
∂2V
=−
∂t2
ε0
parti
ulier
—
Dans une région sans charge ni courant, on a alors :
∆V − ǫ0 µ0
16.7
∂2V
=0
∂t2
Régimes quasi-stationnaire et stationnaire
16.7.1
Régime quasi-stationnaire
Un champ électromagnétique mesuré en un point M à l’instant t a en réalité été créé par des charges ou des
courants, présents au voisinage d’un point P , souvent loin du point M .
Le champ électromagnétique créé en P se propage jusqu’au point M mais cela n’est pas instantané : la
durée pour que le signal se propage de P à M vaut :
tP M =
PM
c
si l’onde se propage à la vitesse c.
L’approximation des régimes quasi-stationnaires consiste à négliger les temps de propagation devant la
durée d’évolution des sources, c’est-à-dire leur période T .
Ainsi, cette approximation est valable si :
D
≪ T , soit D ≪ c T si on appelle D une grandeur caractéristique correspondant à la taille du
tP M =
c
dispositif.
De cette façon, le champ électromagnétique s’établit instantanément.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
16.8 Application : l’induction électromagnétique
73
— Exemple —
→
−
−
→
En régime quasi-stationnaire, on peut négliger la variation de E dans le temps mais pas celle de B .
Ainsi, seule l’équation de Maxwell-Ampère est modifiée. Elle s’écrit alors :
−
→
−
−→ →
rot B = µ0 j
−
→
Ceci revient à négliger le vecteur densité de courant de déplacement jD devant le vecteur densité de courant
→
−
réel j .
Pour l’instant, nous admettrons que cela se passe ainsi : nous reviendrons sur cette approximation lors de
l’étude de la propagation des ondes électromagnétiques.
16.7.2
Régime stationnaire
En régime stationnaire (ou permanent), les champs sont indépendants du temps.
→
−
∂ B
→
−
Comme
= 0 , la relation de Maxwell-Faraday s’écrit :
∂t
→
−→ −
rot E = ~0
→
−
∂ E
→
−
Comme
= 0 , la relation de Maxwell-Ampère s’écrit :
∂t
→
→
−
−→ −
rot B = µ0 j
Les équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Thomson sont inchangées.
16.7.3
Récapitulatif
Maxwell-Gauss (M-G)
Maxwell-Thomson (M-T)
Maxwell-Faraday (M-F)
Maxwell-Ampère (M-A)
Régime variable
→
−
ρ
div E =
ε0
→
−
div B = 0
→
−
→
∂B
−→ −
rot E = −
∂t
→
−
∂ E
→
−
→
−
−→
rot B = µ0 j + ε0 µ0
∂t
Régime quasi-stationnaire
→
−
ρ
div E =
ε0
→
−
div B = 0
→
−
→
∂B
−→ −
rot E = −
∂t
→
−
→
−
−→
rot B = µ0 j
Régime stationnaire
→
−
ρ
div E =
ε0
→
−
div B = 0
−
→
−
−→ →
rot E = 0
−
→
−
−→ →
rot B = µ0 j
TABLE 16.3 – Équations de Maxwell : récapitulatif
16.8
Application : l’induction électromagnétique
L’induction est un phénomène lié à la variation d’un champ magnétique dans un circuit. La variation de
flux dΦ du champ magnétique pendant la durée dt entraîne l’apparition d’une force électromotrice (notée
dΦ
: c’est la loi de Lenz-Faraday.
f.e.m.) e = −
dt
Le circuit subissant l’effet est appelé induit, le champ magnétique provoquant cet effet est appelé inducteur.
Les phénomènes d’induction peuvent être classés en deux catégories :
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
Considérons une maison d’habitation dont le circuit électrique possède une longueur d’environ D =
D
30 m. L’approximation des régimes quasi-stationnaires est valable si T ≫ , soit
c
1
30
−7
7
= 10 s. Cela correspond à une fréquence f =
T ≫
≪ 10 Hz = 10 M Hz.
3.108
T
On voit que cette approximation est réalisée sans peine pour des circuits électriques classiques.
74
É QUATIONS
DE
M AXWELL
• inducteur fixe : le phénomène d’induction est lié au déplacement relatif de l’induit par rapport à
l’inducteur ou à la déformation du circuit induit (induction de Lorentz).
• induit fixe ; le phénomène d’induction est lié à une variation dans le temps du champ inducteur (induction de Neumann).
La f.e.m. induite peut être détectée directement aux bornes de la bobine en circuit ouvert ou par le courant
induit i dans un circuit fermé.
Cet éventuel courant, via la résistance électrique interne du circuit, va chauffer le conducteur, conformément
à la loi de Joule.
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
Une caractéristique générale des courants alternatifs est de ne pas utiliser toute la surface utile des conducteurs pour circuler. Il apparaît, en effet, qu’ils se concentrent sur la périphérie des conducteurs : c’est l’effet
de peau. Ainsi, les courants induits sont plus importants en périphérie qu’au cœur du conducteur. Il en
résulte que la chaleur est principalement générée à l’extérieur. L’effet de peau est caractérisé par la profondeur de pénétration notée δ. Elle est définie comme comme l’épaisseur de la couche surfacique dans
laquelle circule 87 % de la puissance générée. L’expression de l’épaisseur de peau, de l’ordre du mm, est
donnée par :
δ=
1
πµf γ
avec :
• µ = µ0 µr : perméabilité magnétique du milieu,
• f : fréquence des courants,
• γ : conductivité du conducteur (en S.m−1 ).
16.9
16.9.1
Équations de Poisson et de Laplace
Équation de Poisson
−−→
→
−
La relation E = −grad V combinée à l’équation de Maxwell-Gauss donne :
−−→
−
→
ρ
div E = −div grad V =
ε0
−−→
Or, div grad = ∆ (l’opérateur Laplacien).
ρ
On en déduit ∆ V +
= 0 ou encore :
ε0
∆V = −
ρ
ε0
Cette relation est appelée équation de Poisson.
16.9.2
Équation de Laplace
Dans une région sans charges, la densité volumique de charges ρ est nulle et on en déduit l’équation de
Laplace :
∆V = 0
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
16.10 Exercices : Équations de Maxwell
16.10
16.10.1
75
Exercices : Équations de Maxwell
Énoncés
Nous considérons un cylindre de révolution autour d’un axe (D), de longueur infinie et de rayon R uniformément chargé en volume de charge volumique ρ. Nous voulons calculer le potentiel électrostatique en un
point M situé à une distance r du fil à partir de l’équation de Laplace :
∆V +
ρ
=0
ε0
En coordonnées cylindriques (r, θ, z), le laplacien scalaire a pour expression :
Å
ã
∂2U
∂U
1 ∂2U
1 ∂
+
r
+ 2
∆U =
2
r ∂r
∂r
r ∂θ
∂z 2
1. En utilisant les invariances de la distribution de charges montrer que le potentiel V en tout point M
ne dépend que de la distance à l’axe de symétrie de (D). Sous quelle forme se réduit le laplacien
scalaire dans ce cas ?
2. Montrer qu’à l’intérieur du cylindre, une solution générale de l’équation de Laplace peut s’écrire :
V (r) = −
ρ r2
+ A1 ln r + A2
ε0 4
où A1 et A2 sont des constantes.
3. Peut-on choisir d’utiliser le potentiel absolu pour déterminer les constantes ?
4. Montrer que si le potentiel reste fini, la constante A1 est nécessairement nulle.
5. On choisit comme référence le potentiel à la surface du cylindre en imposant V (R) = 0.
Calculer la constante A2 et écrire l’expression du potentiel dans le cylindre chargé.
6. Montrer qu’à l’extérieur du cylindre, une solution générale de l’équation de Laplace peut s’écrire :
V (r) = B1 ln r + B2
7. En utilisant la continuité du potentiel et du champ électrostatique en r = R, déterminer les constantes
B1 et B2 . Écrire l’expression du potentiel à l’extérieur du cylindre chargé.
8. Déduire du potentiel le champ électrostatique à l’intérieur et l’extérieur du cylindre chargé.
◮ Exercice 16. 2 : Focalisation d’électrons
Quatre plaques métalliques (P1′ ), (P1 ), (P2 ), (P2′ ) sont disposées comme sur la figure ci-dessous. On
assimilera ces plaques à des plans illimités.
V1
x′
O
V1
x1
V2
x2
V2
x1′
x
i
(P1′ )
Saint Joseph - LaSalle
(P1 )
(P2 )
(P2′ )
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
◮ Exercice 16. 1 : Cylindre uniformément chargé
76
É QUATIONS
DE
M AXWELL
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
Les lames métalliques sont suffisamment minces pour être perméables aux électrons.(P1′ ) et (P1 ) sont
portées au potentiel V1 , (P2 ) et (P2′ ) au potentiel V2 avec V2 > V1 > 0.
→
v 0 . L’origine des potentiels sera prise
Une source émet des électrons vers (P1′ ) avec une vitesse initiale −
sur la source.
Un électron dont la trajectoire rectiligne fait l’angle i avec x′ Ox, arrive au point I sur (P1′ ). On néglige,
dans tout le problème, l’effet de la pesanteur.
1. On admet que le potentiel ne dépend que de x. Sachant que le potentiel V (x) vérifie l’équation de
d2 V
Laplace
= 0, calculer V (x) et tracer la courbe V (x). Tracer sur le même graphique la courbe
dx2
représentant la norme du champ électrique E (x). Donner la nature de la trajectoire de l’électron entre
les lames (P1′ ) et (P1 ), (P1 ) et (P2 ), (P2 ) et (P2′ ).
2. En considérant que la vitesse v0 est pratiquement nulle, déterminer la vitesse v (x) des électrons en
un point quelconque M (x) en fonction de V (x).
3. Montrer que la projection de la vitesse sur une normale à l’axe x′ Ox est constante. En déduire une
relation entre les angles i1 et i2 que fait la trajectoire de l’électron avec x′ Ox aux points d’abscisse
x1 et x2 .
En comparant l’expression obtenue à celle que donne la loi de Descartes en optique pour un dioptre
séparant deux milieux d’indice de réfraction n1 et n2 : n1 sin i1 = n2 sin i2 , montrer qu’on peut
définir un indice de réfraction pour les électrons et trouver la relation de correspondance entre l’indice
n et le potentiel V .
4. Quel est le rôle d’un tel dispositif dans un microscope électronique ?
◮ Exercice 16. 3 : Résolution de l’équation de Laplace
Pour résoudre les équations différentielles, on peut employer la méthode d’Euler. Celle-ci a déjà été étudiée
précédemment. On cherche ici à résoudre l’équation de Laplace :
∆V = 0
Pour simplifier, on se placera en dimension 2, en coordonnées cartésiennes et on procédera à une discrétisation, par exemple en N = 11 cellules dans les deux directions.
On pourra dans un deuxième temps considérer N = 20 cellules en vertical et 2 N cellules en horizontal.
On part des conditions aux limites suivantes :
• potentiel nul pour toutes les cellules de la première ligne j = 0,
• ce potentiel croît de manière affine, de 0 à 100 le long de la bordure verticale i = 0 (première colonne)
et entre 0 et −100 le long de la frontière i = N − 1 (dernière colonne),
• il évolue de façon affine entre 100 et −100 sur la dernière ligne (j = N − 1),
• les autres cellules sont prises égales à 0.
1. Exprimer le potentiel sur la dernière ligne en fonction de x.
2. Représenter dans le tableau suivant les conditions initiales.
3. Exprimer les dérivées premières partielles
Saint Joseph - LaSalle
∂V
∂V
et
.
∂x
∂y
CPGE TSI
16.10 Exercices : Équations de Maxwell
77
∂ 2V
∂2V
et 2 .
2
∂ x
∂ y
5. En déduire l’expression du laplacien en coordonnées cartésiennes :
4. Exprimer ensuite les dérivées secondes partielles
∂2V
∂ 2V
+ 2
2
∂ x
∂ y
Partant d’une distribution quelconque du potentiel, donc d’un tableau représentant le potentiel, on fait évoluer les valeurs du potentiel dans le tableau en procédant par itérations.
6. Montrer que l’on peut alors déterminer chaque nouvelle distribution du potentiel V ′ [i][j] à partir de
la situation précédente V [i][j] par récurrence grâce à la relation suivante :
V ′ [i][j] =
1
(V [i + 1][j] + V [i − 1][j] + V [i][j + 1] + V [i][j − 1])
4
Bien entendu, on ne pourra faire évoluer les cellules correspondant aux bordures du tableau.
Lorsque V ′ [i][j] = V [i][j], la situation est stable et cesse d’évoluer car l’équation de Laplace est vérifiée.
— Remarque —
Cela est étrangement ressemblant au filtrage employé pour le traitement des images. Le noyau utilisé
est alors :


0 1/4 0


1/4 0 1/4
0 1/4 0
On propose de créer le premier tableau avec la fonction suivante, en utilisant la bibliothèque numpy :
def t a b l e a u _ i n it ia l() :
""" conditions initiales """
tableau = np . zeros ((n , p ))
for ligne in range ( n ):
tableau [ ligne ] [ 0 ] = 10 * ligne
tableau [ ligne ] [ p -1 ] = - 10 * ligne
for colonne in range ( p ) :
tableau [ n - 1] [ colonne ] = 100 - 20 * colonne
return tableau
7. Écrire la fonction nouveau_tableau permettant de passer d’un tableau correspondant au potentiel
V [i][j] à celui correspondant au potentiel V ′ [i][j].
8. Écrire une fonction compare qui permet de comparer deux tableaux et qui retourne le plus grand écart
calculé entre 2 cellules identiquement positionnées dans les tableaux précédents.
9. Initialiser les variables nécessaires et écrire une boucle permettant de faire évoluer le potentiel tant
que l’écart calculé précédemment est supérieur à un certain seuil (appelé par exemple epsilon).
10. En important la bibliothèque csv, on peut écrire les tableaux successifs dans des fichiers possédant
l’extension .csv.
import csv
def e c r i r e _ t a b lea u( tableau , i ) :
""" é criture du fichier csv correspondant ( facultatif ) """
nom = ’ tableau - ’+ str ( i) + ’. csv ’
fichier = open( nom , ’w ’)
ecrire = csv . writer ( fichier , delimiter = ’; ’)
ecrire . writerows ( tableau )
Écrire un bout de programme qui permet de sauvegarder les potentiels initial et final.
Éventuellement, avec la fonction remove du module os et une boucle for, on peut effacer tous les
fichiers intermédiaires de façon à ne pas trop encombre le disque dur. On n’est pas non plus obliger
d’écrire les fichiers intermédiaires en .csv.
11. Écrire une fonction qui retourne le maximum et le minimum d’une matrice représentant le potentiel
(sans utiliser np.max ou np.min).
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
∆V =
78
É QUATIONS
DE
M AXWELL
12. Écrire une fonction qui retourne les matrices de Ex et Ey , composantes du champ électrostatique en
tout point.
13. Pour ceux qui ont un peu de temps et de la motivation, on peut ensuite afficher les images du potentiel
à l’aide des lignes :
image1 = plt . matshow ( potentiel , vmin = minimum , vmax = maximum )
plt . colorbar ( image1 )
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
puis les équipotentielles grâce aux instructions (attention, il y une inversion de y à effectuer en
plus) :
c , d = potentiel . shape
y = np . arange (0 , c )
x = np . arange (0 , d )
X , Y = np . meshgrid (x , y)
plt . contour (X ,Y , potentiel , 2 *n , linewidths = 2 )
Pour tracer le champ correspondant, on pourra utiliser plt.streamplot :
plt . streamplot (x ,y ,Ex , Ey )# , linewidth = 20 * lw , density = 1 )
plt . show ()
ou bien plt.quiver :
plt . quiver (x ,y , Ex , Ey ) # , linewidth = 20* lw , density = 1)
plt . show ()
Dans les 2 cas, il y a également inversion au niveau de l’axe y
14. Le tableau final arrondi représentant le potentiel est par exemple celui ci-dessous :
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
10
8
6
4
2
0
20
16
12
8
4
0
−2
−4
−6
−8
−10
30
24
18
12
6
0
40
32
24
16
8
0
−24
−30
50
40
30
20
10
0
60
48
36
24
12
0
70
56
42
28
14
0
80
64
48
32
16
0
90
72
54
36
18
0
100
80
60
40
20
0
−4
−8
−12
−16
−16
−24
−32
−6
−12
−10
−20
−8
−12
−14
−16
−18
−20
−24
−28
−32
−36
−40
−18
−30
−36
−42
−48
−54
−60
−40
−48
−56
−64
−72
−80
−20
−40
−50
−60
−70
−80
−90
−100
(a) Interpréter l’évolution du potentiel pour une ligne ou une colonne quelconque.
(b) La colonne centrale est remplie de 0. Comment interpréter les valeurs de part et d’autre ?
15. On pourra considérer ensuite d’autres conditions aux limites, par exemple :
• un condensateur plan horizontal,
• un condensateur plan vertical,
• un système chargé sur les bords du rectangle,
• ...
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
17.1 Compétences du chapitre
79
Énergie électromagnétique
17.1
Compétences du chapitre
Notions et contenus
Densité volumique de force électromagnétique. Puissance volumique
cédée par le champ électromagnétique aux porteurs de charge.
Loi d’Ohm locale ; densité volumique de puissance Joule.
Densité volumique d’énergie électromagnétique et vecteur de Poynting : bilan d’énergie.
Capacités exigibles
• Établir et utiliser l’expression de la puissance volumique
cédée par le champ électromagnétique aux porteurs de
charge.
• Analyser les aspects énergétiques dans le cas particulier
d’un conducteur ohmique.
• Utiliser le flux du vecteur de Poynting à travers une surface
orientée pour évaluer la puissance rayonnée.
• Effectuer un bilan d’énergie sous forme globale.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
P 17
80
É NERGIE
17.2
ÉLECTROMAGNÉTIQUE
Puissance cédée par le champ électromagnétique
17.2.1
Cas d’une particule ponctuelle
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
→
Une particule ponctuelle M de masse m et de charge q, se déplaçant à la vitesse −
v dans un champ électro→ −
−
→
magnétique [ E , B ] est soumise à la force de Lorentz :
Ä−
−
→
→ → −
→ä
FL = q E + −
v ∧ B
Ä
→ä →
−
→
Le produit mixte −
v ∧ B ·−
v contient 2 vecteurs colinéaires et est donc nul. On en déduit la puissance
de la force de Lorentz :
−
→ →
→ →
−
P = F ·−
v = q E ·−
v
L
La puissance du terme magnétique est donc nul.
17.2.2
Distribution volumique de charge
Pour un élément de volume dτ , de densité volumique de charges mobiles ρm centré en M , la force élémentaire est donnée par :
Ä−
−−→
→ → −
→ä
dFL = dq E + −
v ∧ B
Ä−
→ → −
→ä
= ρm dτ E + −
v ∧ B
La puissance de la force de Lorentz associée est :
−−→ →
→ →
−
v dτ
dP = dFL · −
v = ρm E · −
Or, la densité volumique de courant en M est égale à :
→
−
→
v
j = ρm −
On en déduit alors la densité volumique de puissance (ou puissance volumique) cédée par le champ électromagnétique aux porteurs de charges :
dP
→
→ −
−
= j · E
dτ
Cette énergie est cédée par le champ électromagnétique à la matière.
17.3
Densité volumique d’énergie électromagnétique
17.3.1
Expression
→
−
Au champ électrique E , on associe une densité volumique d’énergie électrique we :
we = ε0
E2
2
→
−
Au champ magnétique B , on associe une densité volumique d’énergie magnétique wm :
wm =
B2
2 µ0
→ →
−
−
Au champ électromagnétique [ E , B ] est associée la densité d’énergie électromagnétique wem = we +
wm :
wem = ε0
Saint Joseph - LaSalle
B2
E2
+
2
2 µ0
CPGE TSI
17.3 Densité volumique d’énergie électromagnétique
17.3.2
81
Calcul
En règle générale, pour calculer l’énergie électromagnétique contenue dans un volume τ , il faut intégrer la
densité volumique d’énergie électromagnétique sur tout le volume considéré :
ZZZ
wem d3 τ
Wem =
Si la densité d’énergie électromagnétique wem est uniforme, c’est-à-dire constante dans l’espace, alors on
peut la sortir de l’intégrale, ce qui donne :
ZZZ
Wem = wem
d3 τ = wem τ
(τ )
17.3.3
Exemples
17.3.3.1
Condensateur plan
iC
C
B
A
uAB
— Lois —
F IGURE 17.1 – Condensateur : conventions
Comme déjà vu dans un chapitre précédent, la capacité C d’un
condensateur plan vaut :
C=
ε0 S
ℓ
dq
dt
q
uAB = uC =
C
duC
iC = C
dt
iC =
où S est la surface d’une des armatures et ℓ la distance entre
elles.
Les
unité s
:
L’intensité iC du courant s’exprime en ampères A, la tension uC en volts V , la charge q en coulombs
C, la capacité C en farads F , la durée dt en secondes s.
En notant We l’énergie électrique emmagasinée au cours de la charge d’un condensateur de q = 0 à q = Q
(de t = 0 à t = ∞), on a :
Z t=∞
uC i dt
We =
t=0
t=∞
=
Z
q dq
dt
C dt
=
Z
q dq
C
t=0
q=Q
q=0
2
=
Q
2C
Or, le champ électrique E vaut :
U
ℓ
Q
=
Cℓ
Q
=
ε0 S
E=
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
(τ )
82
É NERGIE
ÉLECTROMAGNÉTIQUE
On en déduit l’énergie électrique we contenue dans le volume τ = Sℓ :
We
τ
Q2
=
2Cτ
ε2 S 2 E 2 ℓ
= 0
2 ε0 S 2 ℓ
ε0 E 2
=
2
we =
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
Cette énergie est appelée densité volumique d’énergie électrique :
we =
ε0 E 2
2
— Remarque —
Ici, comme we = C te , alors We = we τ mais en général, l’énergie électrique a pour expression :
ZZZ
we d3 τ
We =
(τ )
17.3.3.2
Solénoïde illimité
iL
L
uL
F IGURE 17.2 – Bobine : conventions
Les
unité s
— Loi —
uL = L
diL
dt
:
L’intensité iL du courant s’exprime en ampères A, la tension uL en volts V , l’inductance propre L
en henrys H, la durée dt en secondes s.
Comme déjà vu en première année, le flux du champ magnétique à travers une spire circulaire vaut
Φ′ = B S. Pour un solénoïde considéré comme infini et de longueur ℓ, il vaut Φ = N B S avec N le
nombre de spires total du solénoïde : c’est le flux propre Φp = L I.
Dans un chapitre précédent, l’expression du champ magnétique créé par un solénoïde a été démontré :
N
I à l’intérieur.
Bext = 0 à l’extérieur et Bint = µ0 n I = µ0
ℓ
L’expression du flux propre permet d’accéder à l’inductance propre :
L=
NBS
µ0 N 2 S
=
I
ℓ
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
17.4 Vecteur de Poynting et puissance rayonnée
83
En notant Wm l’énergie électrique emmagasinée par le solénoïde très long lorsque i passe de i = 0 à i = I
(t varie de t = 0 à t = ∞), on a :
Z t=∞
Wm =
uL iL dt
=
Z
t=0
t=∞
t=0
i=I
L diL
iL dt
dt
L iL diL
i=0
2
LI
2
µ0 N 2 S I 2
=
2ℓ
ℓ S µ20 N 2 I 2
=
2 µ0
ℓ2
=
Comme B 2 =
µ20 N 2 I 2
, on en déduit l’énergie magnétique wm contenue dans le volume τ = S ℓ :
ℓ2
Wm
τ
B2
=
2 µ0
wm =
Cette énergie est la densité volumique d’énergie magnétique :
wm =
B2
2 µ0
— Remarque —
Ici, comme wm = C te , alors Wm = wm τ mais en général, l’énergie magnétique a pour expression :
ZZZ
wm d3 τ
Wm =
(τ )
17.4
17.4.1
Vecteur de Poynting et puissance rayonnée
Vecteur de Poynting
→
−
→
−
On définit un vecteur de Poynting Π (ou R ) par l’expression suivante :
→ −
−
→
−
→
E∧ B
Π =
µ0
Son flux à travers une surface représente le débit en énergie du champ électromagnétique à travers cette
surface.
→ →
−
−
Pour déterminer l’expression du vecteur de Poynting, il faut que les vecteurs E et B soient
en notation réelle.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
=
Z
84
É NERGIE
17.4.2
ÉLECTROMAGNÉTIQUE
Bilan local de l’énergie électromagnétique
• Comme déjà vu en début de chapitre, l’énergie cédée par le champ électromagnétique pendant l’intervalle de temps dt à la matière contenue dans le volume (τ ) est :
ZZZ
→
→ −
−
j · E d3 τ
δWc = dt
(τ )
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
• L’énergie qui sort de la surface fermée et orientée (Σ) délimitant le volume (τ ) précédent vaut :
{−
→
→ −−
Π · d2 S
δWs = dt
(Σ)
avec P =
{→
→
− −−
δWs
Π · d2 S la puissance rayonnée. En effet :
=
dt
(Σ)
— Puissan
e rayonné e
—
La puissance rayonnée à travers une surface est égale au flux du vecteur de Poynting à travers
cette surface.
• L’énergie contenue dans le volume τ varie entre les instants t et t + dt de dWem :
ZZZ
ZZZ
ã
Å
∂wem 3
∂Wem
wem d3 τ
d τ
car Wem =
dt = dt
dWem = Wem (t+dt)−Wem (t) =
∂t
∂t
(τ )
(τ )
• D’après le principe de conservation de l’énergie, la diminution −dWem de l’énergie contenue dans
le volume τ est égale à δWs + δWc (somme de l’énergie rayonnée et de celle cédée à la matière).
On en déduit :
−dWem = δWs + δWc
Le théorème de Green-Ostrogradski donne
ZZZ
{→
→
− −−
Π · d2 S =
(τ )
(Σ)
− dt
|
−
Soit :
ZZZ
{−
→
→ −−
∂wem 3
Π · d2 S + dt
d τ = dt
∂t
(τ )
{z
} | (Σ) {z
} |
ZZZ
δWem
ZZZ
(τ )
∂wem 3
d τ=
∂t
ZZZ
δWs
ZZZ
(τ )
→
−
div Π d3 τ et :
−
− →
→
j · E d3 τ
(τ )
{z
δWc
Ä
→ −
−
−ä
→ →
div Π + j · E d3 τ
}
ã
Å
→ −
−
−
∂wem
→ →
d3 τ = 0
div Π + j · E +
∂t
(τ )
Cette relation étant vraie quelque soit le volume τ , on en déduit :
→ −
−
−
∂wem
→ →
div Π + j · E +
=0
∂t
C’est le bilan local de l’énergie électromagnétique.
— Remarque —
On voit qu’il y a analogie avec la conservation de la charge :
→ ∂ρ
−
=0
div j +
∂t
Cependant, il y a un terme supplémentaire lié au fait que de l’énergie peut être transférée aux porteurs
de charge ; ce n’est pas le cas de la charge électrique.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
17.5 Cas particulier d’un conducteur ohmique
85
⇒ Activité 17. 1
17.5
Cas particulier d’un conducteur ohmique
Soit un tronçon rectiligne de conducteur ohmique de longueur ℓ, de rayon a et de conductivité γ :
−
→
er
b
−
→
eθ
a
−
→
ez
−−
→
d2 S
z
ℓ
F IGURE 17.3 – Conducteur ohmique
→
−
→
Soumis à une tension U et sous l’action du champ électrique correspondant E = E −
ez , il est parcouru par
→
−
→
−
un courant de densité volumique j = γ E : c’est la loi d’ohm locale.
L’intensité du courant correspondante est donnée par :
I=
ZZ
→
− −−
→
j · d2 S = j S = π a2 γ E
→
−
−
Or, ce courant est la source d’un champ magnétique de la forme B = B (r) →
eθ .
À la surface du tronçon, le théorème d’Ampère donne son expression :
−
→
µ0 I →
−
→
B =
eθ = B −
eθ
2πa
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
1. Rappeler les équations de Maxwell-Ampère et de Maxwell-Faraday.
Ä
→ä −
−
→ −→ → −
→
−→ −
→
2. En utilisant la formule div −
a ∧ b = b · rot −
a −→
a · rot b , démontrer la formule traduisant le
bilan local de l’énergie.
86
É NERGIE
ÉLECTROMAGNÉTIQUE
Le vecteur de Poynting associé au champ électromagnétique vaut ainsi :
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
→ −
−
→
−
→
E∧ B
Π=
µ0
→
−
→
E ez ∧ B −
eθ
=
µ0
EB −
→
er
=−
µ0
I2
→
−
er
=−
2 γ π 2 a3
→
= −Π −
er
La puissance électromagnétique qui entre dans le conducteur est égale à l’opposée du flux à travers la
surface latérale (Σ) du vecteur de Poynting :
→
−
P = −Φ(Σ) ( Π )
ZZ
−
−
−Π →
er · →
er d2 S
=−
(Σ)
= ΠΣ
I2
2πaℓ
2 γ π 2 a3
I2 ℓ
=
γ π a2
=
La résistance du conducteur ohmique étant donnée par :
R=
ρ′ ℓ
ℓ
ℓ
=
=
S
γS
γ π a2
On obtient :
P = R I2
Le conducteur s’échauffe car la puissance électromagnétique est fournie au conducteur (en fait aux conducteurs de charge) puis est transformée intégralement en chaleur : c’est l’effet Joule.
Les
unité s
:
La résistivité ρ′ s’exprime en Ω.m, la conductivité γ =
m, la section S = π a2 en m2 et la résistance R en Ω.
Saint Joseph - LaSalle
1
en Ω−1 .m−1 ou S.m−1 , la longueur ℓ en
ρ′
CPGE TSI
17.6 Exercices : Énergie électromagnétostatique
17.6
Exercices : Énergie électromagnétostatique
Énoncés
◮ Exercice 17. 1 : Un solénoïde
1. Un solénoïde considéré comme infini de longueur ℓ et de rayon a comporte une seule couche de
spires, à raison de n spires par unité de longueur.
(a) Calculer l’inductance propre L de ce solénoïde, en fonction de a, ℓ et n.
(b) Calculer l’énergie magnétique Wm contenue dans le solénoïde.
2. On considère maintenant un solénoïde épais très long qui comporte plusieurs couches de spires,
régulièrement enroulées entre les cylindres coaxiaux de rayons a et b (b > a), à raison de n spires par
mètre suivant l’axe du solénoïde, et n′ spires par mètre suivant la direction radiale.
(a) Calculer l’énergie magnétique Wm localisée dans l’espace situé entre les deux sections droites
extrêmes, distantes de ℓ, du solénoïde épais parcouru par le courant d’intensité I.
(b) En déduire l’inductance propre Λ par unité de longueur de ce solénoïde épais, en fonction de a,
b, n et n′ .
◮ Exercice 17. 2 : Câble coaxial
Un câble coaxial, utilisé pour la téléphonie à longue distance, est constitué d’un conducteur (C1 ) cylindrique
plein, de rayon R1 , d’axe Oz et d’une gaine cylindrique coaxiale conductrice (C2 ) de rayon R2 , d’épaisseur
négligeable. L’espace entre les deux conducteurs est le vide. Le courant d’intensité I, correspondant à
une densité de courant j uniforme parallèle à Oz, parcourt le conducteur intérieur (C1 ) et revient par le
conducteur (C2 ).
1. Déterminer :
(a) l’énergie magnétique associée à une longueur h du câble,
(b) l’inductance propre Λ par unité de longueur du câble. Calculer Λ si R2 = 4 R1 .
2. Établir la relation simple liant l’inductance propre Λ et la capacité Γ de l’unité de longueur du câble
coaxial, si on suppose R2 ≫ R1 .
◮ Exercice 17. 3 : Deux circuits couplés
1. Soient deux circuits (C1 ) et (C2 ), parcourus par les courants d’intensité I1 et I2 . On désigne par L1 et
L2 leur inductance propre et M leur cœfficient d’inductance mutuelle.
(a) Exprimer l’énergie magnétique totale W du système {(C1 ), (C2 )}.
(b) On peut montrer que :
ñ Å
ã2 Å
ã ô
1
M
M2
W =
i22
i2 + L2 −
L1 i1 +
2
L1
L1
Que peut-on dire des signes de L1 , L2 , M et W ?
2.
(a) Établir l’inéquation M 2 6 L1 L2 , et en déduire une propriété de la matrice inductance du
système des circuits {(C1 ), (C2 )} définie par :
ñ
Φ1
Φ2
ô
′
= (M )
ñ
I1
I2
ô
(b) En déduire l’intervalle de variation du cœfficient k de couplage des deux circuits, défini par
M
.
k=√
L1 L2
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
17.6.1
87
88
É NERGIE
ÉLECTROMAGNÉTIQUE
3. On considère deux solénoïdes (S1 ) et (S2 ) coaxiaux, de longueurs respectives ℓ1 et ℓ2 (ℓ2 < ℓ1 ), de
rayons R1 et R2 ( R1 < R2 ) possédant N1 et N2 spires parcourus par les courants I1 et I2 de sens
opposés.
Les solénoïdes sont supposés très longs par rapport aux rayons (ℓ1 ≫ R1 et ℓ2 ≫ R2 ) avec
N2
N1
=
.
n1 =
ℓ1
ℓ2
(a) Calculer les inductances propres, l’inductance mutuelle et le cœfficient de couplage de (S1 ) et
(S2 ).
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
(b) Application numérique : N1 = 3000 spires ; R1 = 3,00 cm ; ℓ1 = 1,00 m ; N2 = 2000 spires ;
R2 = 3,50 cm ; ℓ2 = 80,0 cm.
◮ Exercice 17. 4 : Circuit électrique
Une résistance R, un interrupteur K et un condensateur de capacité C en série constituent un circuit électrique fermé par une tige mobile M N de masse m, de résistance négligeable, qui peut glisser sans frottement
sur les deux rails conducteurs (R1 ) et (R2 ) horizontaux et parallèles, distants de h, de résistance négligeable.
→
−
Le dispositif est placé dans un champ magnétique B uniforme normal au plan des rails. À l’instant t = 0,
la tige étant immobile et le condensateur possédant la charge Q, on ferme l’interrupteur K.
1. Déterminer :
(a) la loi q (t) d’évolution de la charge du condensateur, au cours du temps,
(b) la loi i (t) d’établissement du courant, au cours du temps,
(c) la vitesse limite vlim de la tige M N ,
(d) le déplacement x (t) de la tige M N , à l’instant t.
2. Vérifier la loi de conservation de l’énergie du système.
3. On introduit maintenant dans le système, en série avec K, R et C, un générateur de tension de f.é.m.
E. On ferme l’interrupteur K à l’instant initial où la tige M N est immobile et le condensateur est
déchargé.
Déterminer :
(a) les nouvelles lois d’évolution q (t) et i (t),
(b) la nouvelle vitesse limite de la tige M N ,
(c) l’énergie totale dissipée par effet Joule, en fonction de B, C, E, h et m.
◮ Exercice 17. 5 : Roue à rayons
Une roue est constituée de N rayons de longueur
(b − a) reliant le conducteur intérieur de rayon a au
conducteur extérieur de rayon b. Les deux conducteurs sont reliés entre eux par un fil de résistance né→
−
gligeable. Un champ magnétique B est perpendiculaire au plan de la roue. Sur la périphérie de la roue
est enroulé un fil auquel est suspendue une masse m.
Le fil ne glisse pas par rapport à la roue. La roue peut
tourner librement autour de son axe et on notera I son
moment d’inertie par rapport à cet axe. On négligera
les phénomènes d’auto-induction.
1. Étudier le mouvement du système en prenant
une vitesse initiale nulle (on exprimera par
exemple la vitesse angulaire de la roue en fonction du temps).
2. Effectuer des bilans énergétiques.
Saint Joseph - LaSalle
b
−
→
g
a
−
→
B
m
CPGE TSI
18.1 Compétences du chapitre
89
Propagation des ondes
électromagnétiques
18.1
Compétences du chapitre
Notions et contenus
Onde plane dans l’espace vide de
charge et de courant ; onde plane
progressive et aspects énergétiques.
Capacités exigibles
• Citer les solutions de l’équation de d’Alembert à une dimension.
• Décrire la structure d’une onde plane et d’une onde et
d’une onde plane progressive dans l’espace vide de charge
et de courant.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
P 18
90
P ROPAGATION
DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
→
−
Pour que l’on soit en présence d’une onde électromagnétique, il faut que les champs électrique E et
→
−
magnétique B vérifient les équations de Maxwell : c’est donc à faire théoriquement avant tout calcul en
cas de doute.
18.2
Équations de propagation des champs en dehors
des sources
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
Ce que l’on appelle "en dehors des sources" est un endroit de l’espace où n’existent aux instants considérés
→
−
ni charges de densité volumique ρ, ni courants de densité volumique j .
18.2.1
Équations de Maxwell dans le vide, en l’absence de charges
et de courants
→ −
−
→
Comme nous venons de le signaler, on prendra ρ = 0 et j = 0 .
Dans ce cas les équations de Maxwell s’écrivent :
Nom
Maxwell-Gauss (M-G)
Maxwell-Thomson (M-T)
Maxwell-Faraday (M-F)
Maxwell-Ampère (M-A)
équation
→
−
div E = 0
→
−
div B = 0
→
−
−
∂B
−→ →
rot E = −
∂t
→
−
∂ E
→
−→ −
rot B = ε0 µ0
∂t
TABLE 18.2 – Équations de Maxwell en dehors de sources
Le souci ici, c’est que les équations de Maxwell-Faraday et de Maxwell-Ampère sont couplées : elles font
→
−
→
−
intervenir à la fois E et B . Nous allons établir des équations aux dérivées partielles faisant intervenir
→
−
→
−
uniquement E ou B .
18.3
Équation de propagation (rappels)
— Prin
ipe
—
Comme déjà vu dans un chapitre précédent, on utilise la relation :
→
−
−→ −→ −−→
rot rot = grad div − ∆
18.3.1
Pour le champ électrique
−−→
−
→ −
−
→−
→
−→ −→ →
Calculons rot rot E = grad div E − ∆ E :
→
−
• D’une part, comme div E = 0, on a :
−−→
−
− −
→
→−
→
−→ −→ →
rot rot E = grad div E − ∆ E
→−
−
→
= −∆ E
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
18.3 Équation de propagation (rappels)
91
Les variables d’espace x, y et z sont indépendantes de la variable de temps t, ce qui permet de
commuter les dérivées spatiale et temporelle. La combinaison avec l’équation de Maxwell-Ampère
donne alors :
→ä
→
∂ Ä−→ −
−→ −→ −
rot B
rot rot E = −
∂t
→
−
∂2 E
= −ε0 µ0
∂t2
L’équation de propagation pour le champ électrique s’écrit alors :
→
−
− −
→
→
∂2 E
→
−
∆ E − ε 0 µ0
= 0
2
∂t
18.3.2
Pour le champ magnétique
−−→
−
→ −
−
→−
→
−→ −→ →
Calculons rot rot B = grad div B − ∆ B :
→
−
• D’une part, comme div B = 0, on a :
−−→
−
− −
→
→−
→
−→ −→ →
rot rot B = grad div B − ∆ B
→−
−
→
= −∆ B
• D’autre part, l’équation de Maxwell-Ampère permet d’écrire :
Ç
→å
−
→ −→
∂ E
−→ −→ −
rot rot B = rot ε0 µ0
∂t
Ç −
→å
−→ ∂ E
= ε0 µ0 rot
∂t
Les variables d’espace x, y et z sont indépendantes de la variable de temps t, ce qui permet de
commuter les dérivées spatiale et temporelle. La combinaison avec l’équation de Maxwell-Faraday
donne :
→
→ä
∂ Ä−→ −
−→ −→ −
rot rot B = ε0 µ0
rot E
∂t
→
−
∂2 B
= ε 0 µ0
∂t2
L’équation de propagation pour le champ magnétique s’écrit alors :
→
−
∂2 B
− −
→
→
→
−
∆ B − ε 0 µ0
= 0
∂t2
18.3.3
Équation de d’Alembert
Les champs électrique et magnétique satisfont, dans le vide, en l’absence de charges et de courants, à
l’équation de d’Alembert tridimensionnelle :
→
−
−−
→
→
1 ∂2 X
→
−
∆X − 2
= 0
2
v ∂t
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
• D’autre part, l’équation de Maxwell-Faraday permet d’écrire :
Ç
→å
−
→ −→
∂B
−→ −→ −
rot rot E = rot −
∂t
Ç −
→å
−→ ∂ B
= −rot
∂t
92
P ROPAGATION
DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
C’est une équation rencontrée fréquemment dans le domaine de la physique : électromagnétisme (ondes
électromagnétiques), mécanique (cordes vibrantes), acoustique (tuyaux sonores), mécanique des fluide
(phénomène de houle), électricité (lignes électriques), thermodynamique (transferts thermiques), . . .
→
−
→
−
Lorsque, comme c’est le cas ici, X est un vecteur, le laplacien est également vectoriel. Si X est remplacé
par X scalaire, le laplacien est également scalaire.
v est la vitesse de l’onde.
1
est également appelée célérité de la lumière dans le vide.
Ici v = c = √
ε 0 µ0
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
18.4
18.4.1
Structure de l’onde plane progressive monochromatique
Solution générale
→
−
On montre que la solution générale de cette équation, par exemple pour le champ électrique E , s’écrit :
Å
ã
→
−
→
X −
→
r ·−
n
→−
−
−
t
−
E→
E (→
r , t) =
n
c
→
−
(n)
→
−
−
Les E (→
n ) sont des fonctions vectorielles a priori quelconques et la somme porte sur toutes les directions
de l’espace.
On va en fait s’intéresser à une seule direction de propagation, donc à une onde plane.
18.4.2
Onde plane
→
On se limite ici à une seule direction définie par −
n . La solution est alors de la forme :
Å
ã
ã
Å
→
−
→
→
−
→
→−
−
→
−
→
−
r ·−
n
r ·−
n
→
−
−
E ( r , t) = E (→
+ E (−→
t+
n) t −
n)
c
c
Si le système d’axes n’est pas imposé, on peut par exemple choisir Ou = Oz et on a, en coordonnées
−−→
→
→
→
→
→
→
cartésiennes −
r = OM = x −
ex + y −
ey + z −
ez et −
n = −
ez , ce qui donne :
→−
−
→
−
→
−
z
z
E (→
r , t) = E t −
+ E′ t +
c
c
— Onde
plane
—
On dit qu’une onde, décrite par la fonction F , est plane si, à chaque instant, cette fonction F a la
même valeur en tout point d’un plan perpendiculaire à une direction fixe définie par un vecteur unitaire
, c’est-à-dire, si F ne dépend que d’une seule coordonnée d’espace, z par exemple.
— Surfa
e
d'onde
—
On appelle surfaces d’onde les surfaces pour lesquelles l’onde a la même phase à un instant donné t
quelconque.
la phase est définie par :
→ →
−
ϕ = ωt− k ·−
r +ψ
→
−
Le vecteur d’onde k est normal à ces surfaces
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
18.4 Structure de l’onde plane progressive monochromatique
93
Pour une onde plane, les surfaces d’onde sont des plans perpendiculaires à la direction de propagation.
18.4.3.1
Onde plane progressive
Description
Une onde plane peut être considérée comme la superposition de deux ondes planes se propageant dans la
même direction, mais en sens opposés. Chacune de ces deux ondes est appelée onde plane progressive :
elles se propagent chacune dans une seule direction et un seul sens.
− −
→
→
−
z
E (→
r , t) = E t −
c
Une fonction F décrivant l’onde plane progressive a même valeur dans un plan z = z1 observé à l’instant
t1 et dans un plan z = z2 observé à l’instant t2 à condition que :
t1 −
z1
z2
= t2 −
c
c
Soit :
z2 − z1 = c (t2 − t1 )
Ainsi, si on connaît la fonction en tout point à l’instant t1 , sa valeur en tout point à l’instant t2 s’obtient en
effectuant une translation de z2 − z1 = c (t2 − t1 ). Ceci revient à dire que le phénomène s’est propagé en
bloc le long de l’axe Oz.
z
La dépendance en t − (ou z − c t) traduit une onde plane se propageant suivant l’axe Oz positif à la
c
vitesse (ou célérité) c :
t1
F
z (m)
1
2
3
z1
4
t1
5
6
c (t2 − t1 )
F
7
8
9
t2
z (m)
1
2
3
z1
4
5
6
z2
7
8
9
F IGURE 18.1 – Propagation d’un signal
Si l’on considère un signal comme un paquet d’ondes, c’est-à-dire formée d’une infinité d’ondes, une onde
plane progressive correspond donc à une composante élémentaire d’un paquet d’ondes. C’est ce que l’on fait
en électronique par exemple lorsque l’on considère un signal formé d’une infinité de signaux sinusoïdaux
(cf. décomposition en série de Fourier) : le signal est en fait la superposition de signaux harmoniques.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
18.4.3
94
P ROPAGATION
18.4.3.2
DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
Validité du modèle de l’onde plane
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
S
Grande
distance
b
F IGURE 18.2 – Modèle de l’onde plane
Les surfaces d’onde peuvent être assimilées, loin de la source, à des plans.
Le modèle de l’onde plane est donc valide à grande distance des sources.
18.4.3.3
Structure imposée à l’onde plane progressive par les équations de Maxwell
−
→
• La relation de Maxwell-Gauss div E = 0, dans le cas où l’onde plane progressive (OP P ) se propage
dans la direction Oz, se réduit à :
∂Ez
=0
∂z
Ce qui donne Ez = cte (dépendant éventuellement du temps) .
Or, dans ce chapitre sur la propagation des ondes électromagnétiques, nous nous intéressons uniquement à des champs qui dépendent à la fois de l’espace et du temps. On obtient donc finalement :
Ez = 0
→
−
Cela signifie que le champ électrique E est transversal.
→
−
• De même, la relation de Maxwell-Thomson div B = 0 permet d’obtenir :
Bz = 0
→
−
Ainsi, le champ magnétique B est également transversal.
→
−
→
∂B
−→ −
.
• La relation de Maxwell-Faraday s’écrit : rot E = −
∂t
→
−
→
−
Notons n le vecteur unitaire de la direction et suivant le sens de la propagation (ici −
n = →
ez ). On a
alors, en coordonnées cartésiennes :

∂Ey
∂Ez


−



∂y
∂z


∂Ez
∂Ex
−

∂z
∂x



∂E
∂E
x
y


−

∂x
∂y
=
=
=
∂Bx
∂t
∂By
−
∂t
∂Bz
−
∂t
−
Ez étant nul, le système se réduit à :
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
18.4 Structure de l’onde plane progressive monochromatique






∂Ey
∂z
∂Ex
∂z
∂Ey
∂Ex
−
∂x
∂y
−
=
=
=
∂Bx
∂t
∂By
−
∂t
∂Bz
−
∂t
−
z
Posons alors u = t − . Cela entraîne :
c
∂u
1
∂u
= − et
=1
∂z
c
∂t
Avec Bz = 0, on obtient :













dEy
du
dEx
du
dEx
dEy
−
du
du
1
c
1
c
=
=
=
dBx
du
dBy
du
−
0
→
−
dE
:
du
−
→
Å
ã
dE
dEx −
dEy −
→
−
→
→
→
n ∧
= −
ez ∧
ex +
ey
du
du
du
ã
Å
dBx −
dB
y
→
−
→
→
−
ex −
ey
= ez ∧ c
du
du
ã
Å
dBy −
dBx −
→
→
ex +
ey
=c
du
du
→
−
dB
=c
du
→
Calculons −
n ∧
−
→
E
Les constantes étant prises égales à 0, on obtient la
relation, valable pour une onde plane progressive :
−
→
→
→ −
−
n ∧ E
B =
c
−
→
n
−
→
B
→ −
−
→
−
Les vecteurs (→
n , E , B ) forment un trièdre direct.
F IGURE 18.3 – Trièdre direct
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle







95
96
P ROPAGATION
18.4.4
18.4.4.1
DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
Onde plane progressive monochromatique
Généralités
— Onde
mono
hromatique
—
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
Une onde plane progressive est monochromatique (ou harmonique) si la fonction qui la décrit est une
z
fonction sinusoïdale de t − .
c
Grâce à la décomposition de Fourier, on peut alors décomposer chacune des fonctions précédentes en
somme de fonctions sinusoïdales, par exemple :
→−
−
→
−
z
E (→
r , t) = E 0 cos t −
c
ou
→−
−
→
−
z
E (→
r , t) = E 0 sin t −
c
— Remarque —
z
On pourra, à la place de t − , prendre z − c t ou encore comme on le verra plus tard, ω t − k z ou leur
c
opposé.
Le champ étudié étant sinusoïdal, on peut alors considérer la fonction complexe :
h →−
−
→
−
z i
E (→
r , t) = K exp i t −
c
et considérer le champ électrique comme la solution réelle de l’expression précédente :
→−
−
→
−
z
E (→
r , t) = K cos t −
c
En pratique, on utilise souvent :
î
→ →ó
−
→
−
→
−
E (M) = E 0 cos ω t − k · −
r
→
−
ω
→
avec k = k −
n et k = .
c
→
−
→
k est appelé vecteur d’onde. Ce vecteur est colinéaire et de même sens que −
n : il est donc dirigé dans le
sens de la propagation de l’onde.
ω est la pulsation de l’onde.
18.4.4.2
Équation de dispersion
En prenant par exemple :
î
→ →ó
−
−
→
→
−
E (M) = E 0 cos ω t − k · −
r
→
−
La dérivée seconde par rapport au temps de E s’écrit :
→
−
Ä
ä
→ −
−
∂2 E
−
→
−
→
2 →
=
−ω
E
cos
ω
t
−
k
·
r
= −ω 2 E
0
2
∂t
De la même façon, le laplacien, qui est une dérivée seconde par rapport à l’espace s’écrit :
Ä
→
−
→
−
→ →ä
−
→−
−
→
r = −k 2 E
∆ E = −k 2 E 0 cos ω t − k · −
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
18.4 Structure de l’onde plane progressive monochromatique
97
kx2 + ky2 + kz2 =
ω2
= k2
c2
Cette relation de dispersion est valable dans le vide.
18.4.4.3
Double périodicité
Dans le cas où l’onde électromagnétique se propage suivant l’axe Oz dans le sens des z croissants, le champ
électrique peut s’écrire indifféremment :
→−
−
→
−
→
−
E (→
r , t) = E cos (ω t − k z)
ou
E cos (k z − ω t)
0
0
Dans les 2 cas, on voit apparaître une double périodicité :
• Une périodicité temporelle :
Pour z fixé, le champ est périodique de période temporelle :
T =
2π
ω
• Une périodicité spatiale :
Pour t fixé, le champ est périodique de période spatiale :
λ=
2π
k
ω
2π
et ω =
, on a :
c
T
2πc
2π
=
= cT
λ=
k
ω
On peut également introduire la fréquence ν ou F :
1
ν=F =
T
c est la vitesse ou célérité de l’onde électromagnétique.
En utilisant k =
Les
unité s
:
T s’exprime en s, ω en rad.s−1 , ν ou F en Hz ou s−1 , λ en m et k en m−1
Quelques ordres de grandeur de fréquence et longueur d’onde pour les ondes électromagnétiques :
(
Longueurs d’onde croissantes vers la gauche)
λ (m)
10−1
104
102
100
0,76.10−7
10−3
10−2
10−4
0,40.10−7
10−6
infrarouge
Visible
ondes radio
10−8
106
108
3.10
1010
3.10
10−12
rayons γ
rayons X
3,75.1014
104
10−10
ultraviolet
micro-ondes
9
10−11
11
1012
1014
7,50.1014
1016
ν (Hz)
1018
3.10
F IGURE 18.4 – Fréquences et longueurs d’onde des ondes électromagnétiques
Saint Joseph - LaSalle
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
→
−
→−
−
→
∂2 E
→
−
= 0 , on en déduit :
En utilisant l’équation de propagation ∆ E − ε0 µ0
2
∂t
2
ω
−k 2 + 2 = 0
c
→
−
2
Soit, avec k = k k k2 = kx2 + ky2 + kz2 :
CPGE TSI
19
1020
98
P ROPAGATION
DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
ou bien, avec une autre représentation :
Fréquence
(Hz)
1021
Longueur
d’onde (m)
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
10−12
1018
1015
1014
10
−9
10
−6
Domaines
Applications
Rayons γ
Radioactivité
Rayons X
médecine : radiographies
Industrie : contrôle des bagages dans le transport aérien
Ultraviolet
Lumière visible
stérilisation
Infrarouge
température des surfaces terrestres
et océaniques, ainsi que celle des nuages
Micro-ondes
télédection, systèmes radar
1012
10−2
109
UHF
Radars
VHF TV
Radio FM
1
106
Ondes hertziennes
103
transmission de l’information
105
103
F IGURE 18.5 – Fréquences et longueurs d’onde des ondes électromagnétiques
Les couleurs du visible se situent environ entre 400 nm et 760 nm (soit entre 0,400 et 0,760 µm) :
(
350
Longueurs d’onde croissantes vers la droite)
400
450
500
550
600
650
700
750
λ nm
F IGURE 18.6 – Longueurs d’onde du visible
18.4.4.4
Vitesse de phase
La phase d’une onde électromagnétique est égale au terme ω t − k z éventuellement additionné d’une fonction de phase ψ1 :
ϕ = ω t − k z + ψ1
2 points voisins ont même phase si la variation de phase dϕ est nulle entre ces deux points :
dϕ = ω dt − k dz = 0
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
18.4 Structure de l’onde plane progressive monochromatique
99
On en déduit alors la vitesse de propagation de la phase dans le vide, appelée vitesse de phase :
dz
ω
= =c
dt
k
18.4.4.5
Représentation complexe
Considérons par exemple une onde électromagnétique plane progressive monochromatique se propageant
suivant l’axe Oz croissant.
→
−
Le champ électrique E étant transversal, il s’écrit alors dans le cas le plus général :
Ex
Ey
Ez
−
→
E
= E0x cos (ω t − k z + ψx )
= E0y cos (ω t − k z + ψy )
=0
→
−
où ψx et ψy représentent respectivement les fonctions de phase des composantes de E suivant x et y.
On peut alors écrire le champ électrique sous la forme :
Ex
Ey
Ez
−
→
E
= Re (E0x exp [i (ω t − k z + ψx )])
= Re (E0y exp [i (ω t − k z + ψy )])
=0
En posant :
→
−
−
→
ex + E0y exp (i ψy ) −
ey
E 0 = E0x exp (i ψx ) →
On a alors :
Ä−
ä
→
−
→
E = Re E 0 exp [i (ω t − k z)]
Le champ électrique peut ainsi s’exprimer par :
Ä−
ä
Ä−
→
→
−
→ä
E = Re E = Re E 0 exp [i (ω t − k z)]
— Remarque —
→
−
→
Dans le cas général d’une onde plane progressive monochromatique de vecteur d’onde k = k −
n , on
peut écrire :
Ä−
→
−
→ä
E = Re E
avec :
î Ä
−
→
−
→
→ →äó
−
E = E 0 exp i ω t − k · −
r
L’avantage de cette notation complexe est que l’on exprime alors les opérateurs de façon très simple car
→
−
→
−
∂
= i ω et ∇ = −i k .
∂t
En effet :
→
− −
−
→
→
E = −i k · E
→
−
→
−
→
−
E = −i k ∧ E
−
→
→
−
E = −k 2 E
→
−
→
−
∂ E
= iω E
∂t
div
−→
rot
→
−
∆
⇒ Activité 18. 1
→
−
→
−
Écrire les équations de Maxwell dans une région sans charge ni courant en utilisant l’opérateur ∇ = −i k .
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
vϕ =
100
P ROPAGATION
DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
Équations
Maxwell-Gauss (M-G)
→
−
Avec ∇
Maxwell-Thomson (M-T)
Maxwell-Faraday (M-F)
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
Maxwell-Ampère (M-A)
TABLE 18.3 – Équations de Maxwell : opérateur nabla
→ −
−
→ →
−
→
−
Les deux premières équations indiquent que k et E d’une part, et k et B d’autre part, sont orthogonaux :
→
−
→
−
les champs électrique E et magnétique B sont transversaux.
De plus, l’équation de Maxwell-Faraday donne :
−
→
k
−
→
→
−
∧ E = B
ω
→ ω−
−
n :
Soit, avec k = →
c
→
−
−
→
−
→
n ∧ E
B =
c
pour une onde plane progressive monochromatique mais cette formule est généralisable au cas des ondes
planes progressives.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
18.4 Structure de l’onde plane progressive monochromatique
— Remarque
très importante
101
—
Si les champs sont exprimés en fonction de k z − ω t (et non en fonction de ω t − k z), alors :
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
→
−
−
→
∂
= −i ω
∇ = i k et
∂t
On obtient dans ce cas :
→
− −
→
−
→
div E = i k · E
→
−
→
→
−
−→ −
rot E = i k ∧ E
→
−
− →
→
−
∆ E = −k 2 E
→
−
→
−
∂ E
= iω E
∂t
Dans ce cas, les équations de Maxwell donnent :
Maxwell-Gauss (M-G)
Maxwell-Thomson (M-T)
Maxwell-Faraday (M-F)
Maxwell-Ampère (M-A)
Équations
→
−
div E = 0
→
−
div B = 0
→
−
−
∂B
−→ →
rot E = −
∂t
→
−
∂ E
→
−→ −
rot B = ε0 µ0
∂t
→
−
Avec ∇
→
− −
→
i k · E =0
→
− −
→
i k · B =0
→
−
−
→
→
−
i k ∧ E = iω B
→
−
−
→
→
−
i k ∧ B = −i ε0 µ0 ω E
On obtient évidemment les mêmes résultats !
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
102
P ROPAGATION
18.5
18.5.1
DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
Exercices : Propagation des ondes électromagnétiques
Énoncés
◮ Exercice 18. 1 : Puissance d’un laser
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
Un laser hélium-néon émet un faisceau lumineux cylindrique de rayon R = 1,0 mm d’une onde plane
progressive monochromatique de longueur d’onde λ = 632,8 nm.
La puissance moyenne émise est P = 1,0 mW .
Calculer les amplitudes Emax du champ électrique et Bmax du champ magnétique.
Données :
• µ0 = 4 π.10−7 H.m−1 ,
• c = 3,0.108 m.s−1 .
◮ Exercice 18. 2 : Des matrices
→
−
Dans un milieu vide illimité, de constante diélectrique ε0 et de permittivité µ0 , les champs E (Ex , Ey , Ez )
→
−
et B (Bx , By , Bz ) d’une onde plane en un point M (x, y, z) du milieu rapporté au référentiel orthonormé
→
→
→
Oxyz de base ( −
ex , −
ey , −
ez ) ne dépendent que de la cote z et du temps t.
→
−
−
→
1. Écrire huit relations aux dérivées partielles liant les composantes des champs E et B . En déduire
que Ez = Bz = 0.
→ −
−
→
2. On admet que les champs E et B de l’onde sont liés par la relation matricielle :
ñ
ô ñ
ôñ
ô
Ex
a1 a2
Bx
=
Ey
a3 a4
By
Déterminer, en fonction de ε0 et µ0 , les quatre cœfficients réels a1 , a2 , a3 et a4 de la matrice
ô
ñ
a1 a2
a3 a4
→ →
−
−
qui lie les champs E et B .
→ −
−
→
(a) Calculer, en fonction de ε0 et µ0 , le rapport des modules des champs E et B .
→ −
−
→
(b) Montrer que a2 + a3 = 0 et en déduire que les champs E et B sont orthogonaux.
→
−
→
4. L’onde plane en M est représentée par le champ magnétique B = B0 exp [j (ω t − k x)] −
ey avec
k réel positif ou négatif.
Déterminer dans chacun des deux cas envisageables (en faisant intervenir les constantes ε0 et µ0 ) les
→ −
−
→
champs E et B .
3.
◮ Exercice 18. 3 : Étude d’un laser
Une onde électromagnétique plane, sinusoïdale de pulsation ω, se propage dans le vide dans la direction (du
→
−
plan xOy) faisant l’angle θ avec Ox. Le champ électrique E de cette onde plane, polarisée rectilignement
→
−
suivant la direction Oz de vecteur unitaire ez , s’écrit en notation complexe au point M (x, y, z) à l’instant
t:
→
−
→
E = E0 exp [j (ω t − a x − b y)] −
ez
On donne la perméabilité µ0 = 4 π.10−7 S.I. et la célérité de la lumière c = 3,00.108 m.s−1 dans le vide.
1.
→
−
(a) Établir l’équation de propagation du champ E dans le vide.
(b) En déduire la relation qui lie a, b, ω et c.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
2.
3.
4.
5.
103
(c) Que représentent les cœfficients a et b ? Déterminer, en fonction de a et b, la longueur d’onde λ
et la direction θ de propagation de l’onde.
→
−
(a) Exprimer le vecteur champ magnétique B (x, y, t) de l’onde étudiée. Que peut-on dire des
→ −
−
→
directions des champs E et B en chaque point ?
(b) Calculer l’impédance caractéristique du vide Z0 définie par le rapport des amplitudes du champ
→
−
→
−
→
−
B
de l’onde.
E et de l’excitation magnétique H =
µ0
→
−
(a) Déterminer les composantes du vecteur de Poynting R (x, y, t) et la valeur moyenne du module
→
−
de R dans le temps.
(b) Calculer la valeur moyenne hui dans le temps de la densité volumique d’énergie électromagnétique, en fonction de E0 , c et µ0 .
Déduire, des résultats obtenus à la question 4, la vitesse ve de propagation de l’énergie.
→
−
→
−
Calculer les amplitudes des champs E et B d’un faisceau laser de section circulaire de diamètre
d = 2,0 mm dont la puissance transportée est P = 0,60 mW .
◮ Exercice 18. 4 : Onde plane progressive
→
−
→ −
−
→
1. Établir l’équation de propagation du champ magnétique B d’une onde électromagnétique ( E , B )
dans le vide :
→
−
→ −
−
→
1 ∂2 B
∆ B = 2
c ∂t2
c désignant la célérité de la lumière dans le vide.
2. Propagation en ondes planes
→
−
→
−
En M (x, y, z), les champs E et B d’une onde plane qui se propage suivant la direction Ox (de
→
−
vecteur unitaire ex ) ne dépendent que de l’abscisse x = OM de M , à un instant t donné.
(a) Vérifier que la solution générale de l’équation de propagation est de la forme :
x
x
+ f2 t +
B (x, t) = f1 t −
c
c
(b) Interpréter physiquement les deux fonctions f1 et f2 dérivables.
3. Onde plane progressive
→
−
→
−
Une onde plane est progressive si l’expression du champ B (ou du champ E ) ne fait apparaître
qu’une seule des deux fonctions f1 ou f2 .
(a) On pose ξ = x − c t. Exprimer, pour l’onde plane progressive correspondante,
→
−
→
−
→
• la dérivée d E /dξ en fonction de c, d B /dξ et −
ex ,
→
−
→
−
→
−
• la dérivée d B /dξ en fonction de c, d E /dξ et ex ,
Quelles propriétés de l’onde plane progressive peut-on en déduire ?
(b) Le potentiel-vecteur d’une onde plane progressive qui se propage dans le vide dans la direction
→
→
→
Ox est, si ( −
ex , −
ey , −
ez ) est la base orthonormée du référentiel Oxyz de projection,
→
−
→
A = f (x − c t) −
ey + g (x − c t)
→
−
→
−
Exprimer les composantes des champs électrique E et magnétique B au point M (x, y, z) à
l’instant t donné.
→ −
−
→
Calculer le rapport des modules E/B et vérifier l’orthogonalité des champs E et B .
◮ Exercice 18. 5 : Étude d’une onde plane harmonique parfaite
On considère une onde électromagnétique plane dans le vide pour laquelle le champ électromagnétique
s’écrit dans un repère cartésien orthonormé classique :
h h h y i −
y i −
y i −
→
−
→
→
→
ex + E 0y cos ω t −
ey + E 0z cos ω t −
ez
E = E 0x cos ω t −
c
c
c
h h h →
−
y i −
y i −
y i −
→
→
→
B = B 0x cos ω t −
ex + B 0y cos ω t −
ey + B 0z cos ω t −
ez
c
c
c
Expressions dans lesquelles ω, c, E0x , E0y , E0z , B0x , B0y et B0z sont des constantes.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
18.5 Exercices : Propagation des ondes électromagnétiques
104
P ROPAGATION
DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
1. Que deviennent les équations de Maxwell dans le vide (donc en l’absence de courants et de charges) ?
2. Quelle est la direction et le sens de propagation de cette onde ?
3. En utilisant l’équation de Maxwell-Gauss dans le vide, montrer que E0y = 0.
4. En utilisant l’équation de Maxwell-Thomson dans le vide, montrer que B0y = 0.
5. Quelle propriété fondamentale de l’onde plane les deux questions précédentes retrouvent-elles ?
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
6. On suppose de plus (pour simplifier) que E0x = 0. Montrer en utilisant l’équation de MaxwellE0z
Faraday que B0z = 0 et B0x =
. Quelle(s) propriété(s) fondamentale(s) de l’onde plane
c
retrouve-t-on ?
→
−
7. Déterminer le vecteur de Poynting Π de l’onde ainsi décrite.
8. Calculer le flux de ce vecteur à travers un rectangle de surface S perpendiculaire à la direction de
propagation ainsi que sa valeur moyenne dans le temps.
◮ Exercice 18. 6 : Flux magnétique
Un cadre, formé de N = 50 spires conductrices, est placé dans le plan xOy à la distance d = 100 km d’une
source S émettrice d’ondes électromagnétiques de longueur d’onde λ = 25,0 m et de puissance moyenne
P = 500 W .
On donne dans le vide : célérité des ondes c = 3,00.108 m.s−1 ; perméabilité µ0 = 4 π.10−7 S.I.
1. Le cadre capteur a une forme rectangulaire de dimensions a = 1,25 m et b = 80,0 cm.
Il est disposé normalement au champ magnétique de l’onde électromagnétique supposée plane (issue
→
−
→
de S) polarisée rectilignement, de champ électrique E = E0 exp (j ω t) −
ey en O (x = 0, y = 0).
(a) Exprimer le flux magnétique Φ (t) qui traverse le cadre, à l’instant t, sous la forme :
h
a i
Φ (t) = Φ0 exp j ω t −
2c
Exprimer Φ0 à l’aide des données.
(b) Exprimer la valeur efficace E de la f.é.m. qui apparaît aux bornes du cadre, en fonction de a, b,
c, E0 , N et ω.
(c) Calculer l’amplitude E0 du champ électrique en O, ainsi que la f.é.m. efficace E aux bornes du
cadre en fonction de a, b, c, d, λ, µ0 , N et P.
2. Le cadre capteur a une forme triangulaire de côtés a et b (b = 80 cm) de sommet O. Il est encore
disposé normalement au champ de l’onde définie en 1−, polarisée rectilignement.
(a) Exprimer le flux Φ′ (t) qui traverse ce cadre triangulaire.
(b) Exprimer la f.é.m. efficace E ′ qui apparaît dans ce cadre triangulaire en fonction de N , E0 , b et
aω
.
K=
c
λ
λ
Calculer E ′ dans les trois cas : a = 1,25 m ; a = et enfin a = .
4
2
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
19.1 Compétences du chapitre
105
Polarisation des ondes
électromagnétiques
19.1
Compétences du chapitre
Notions et contenus
Onde plane progressive monochromatique polarisée rectilignement.
Capacités exigibles
• Expliquer le caractère idéal du modèle de l’onde plane
monochromatique.
• Citer les domaines du spectre des ondes électromagnétiques et leur associer des applications.
Exemples d’états de polarisation
d’une onde plane progressive et
monochromatique : polarisation
rectiligne. Polariseurs.
Saint Joseph - LaSalle
• Reconnaître l’expression d’une onde plane polarisée rectilignement.
• Mettre en évidence une polarisation rectiligne.
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
P 19
106
P OLARISATION
19.2
DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
Onde plane progressive monochromatique : rappels
Les champs électrique et magnétique sont transversaux : ils sont tous les deux perpendiculaires à la direction
de propagation.
→
Soit −
n vecteur unitaire dirigé dans la direction de propagation suivant le sens de cette propagation.
→
−
→
Le vecteur d’onde est défini par k = k −
n . On a :
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
→
−
−
→
−
→
n ∧ E
B =
c
− −
→
→
→
Les champs électrique et magnétique sont également orthogonaux entre eux et le trièdre formé par (−
n , E, B)
est direct.
Considérons par exemple une onde électromagnétique plane progressive monochromatique se propageant
suivant l’axe Oz croissant.
Le champ électrique s’écrit alors dans le cas le plus général :


 Ex
Ey


Ez
= E0x cos (ω t − k z + ϕx )
= E0y cos (ω t − k z + ϕy )
=0
→
−
où ϕx et ϕy représentent respectivement les fonctions de phase des composantes de E suivant x et y.
−
→
B
x
−
→
E
−
→
n
−
→
k
z
y
19.3
Les différents états de polarisation
19.3.1
Polarisation elliptique
→
−
Pour décrire le champ électrique E , il est commode de se placer dans un plan à z fixé. Nous prendrons par
→
−
exemple z = 0 pour la suite. On décrit alors l’évolution du vecteur E dans ce plan : cela correspond à une
→
−
projection du champ E sur le plan z = 0.
Ainsi, pour z = 0 :


 Ex
Ey


Ez
= E0x cos (ω t + ϕx )
= E0y cos (ω t + ϕy )
=0
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
19.3 Les différents états de polarisation
107
x
E0x
y
E0y
0
F IGURE 19.1 – Polarisation elliptique
19.3.2
Polarisation circulaire
x
E0x
Dans le cas très particulier où E0x = E0y = E0 , le
champ est compris dans un carré de côté 2 E0 et si de
π
plus, ϕx = ϕy ± , les maxima de E sont sur les axes
2
x et y.
On parle alors de polarisation circulaire :
y
E0y
0
F IGURE 19.2 – Polarisation circulaire
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
On s’aperçoit que Ex est compris entre −E0x et
+E0x .
De même, Ey est compris entre −E0y et +E0y .
→
−
L’extrémité du vecteur E décrit ainsi une courbe
comprise dans un rectangle de côtés 2 E0x et 2 E0y .
Dans le cas général, cette courbe est une ellipse (cf.
ci-contre).
108
P OLARISATION
19.3.3
19.3.3.1
DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
Polarisation rectiligne
Description à z fixé
Fixons toujours z = 0.
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
• Dans le cas où les deux fonctions de phase ϕx et ϕy sont égales (prises par exemple à ϕ), on a :


 Ex = E0x cos (ω t + ϕ)
Ey = E0y cos (ω t + ϕ)


Ez = 0
x
Ainsi, quelque soit l’instant t, on a :
E0x
Ex
E0x
=
= C te = a
Ey
E0y
ou encore :
y
E0y
0
Ex = a Ey
En projection sur le plan z = 0, la courbe décrite
→
−
par l’extrémité du vecteur E est un segment, de
pente positive compris toujours dans le rectangle
de côtés 2 E0x et 2 E0y .
F IGURE 19.3 – Polarisation rectiligne avec ϕ = 0
• Dans le cas où les deux fonctions de phase ϕx et ϕy sont déphasées de ±π, on a par exemple :


 Ex = E0x cos (ω t + ϕ)
Ey = E0y cos (ω t + ϕ + π) = −E0y cos (ω t + ϕ)


Ez = 0
x
Ainsi, quelque soit l’instant t, on a :
E0x
Ex
E0x
=−
= C te = −a
Ey
E0y
ou encore :
y
E0y
0
Ex = −a Ey
En projection sur le plan z = 0, la courbe décrite
→
−
par l’extrémité du vecteur E est un segment, de
pente négative cette fois, compris toujours dans le
rectangle de côtés 2 E0x et 2 E0y .
F IGURE 19.4 – Polarisation rectiligne avec ϕ = 0
19.3.3.2
Description à un instant t fixé
On peut également étudier le champ électromagnétique à un instant t fixé.
Ainsi, pour une polarisation rectiligne, le champ électromagnétique peut être visualisé de la façon suivante :
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
19.4 Aspect énergétique
109
−
→
E
y
−
→
B
−
→
k
z
F IGURE 19.5 – Polarisation rectiligne
19.4
Aspect énergétique
Pour une onde plane progressive, la densité volumique d’énergie électromagnétique uem (ou wem ) vaut :
wem = we + wm =
B2
ε0 E 2
+
2
2 µ0
−
→
−
→
−
→
n ∧ E
, cela implique :
Comme B =
c
B=
E
√
= ε 0 µ0 E
c
Ainsi, on obtient :
wem =
ε0 E 2
ε0 E 2
+
= ε0 E 2
2
2
Les deux termes (densités d’énergies électrique et magnétique) sont égaux.
Le vecteur de Poynting est défini par :
→ −
−
→
E∧ B
→
−
Π=
µ0
Avec le double produit vectoriel :
Ä−
→ →ä
→ Ä→ −
−
→ä →
→
−
→
→
a ∧ b ∧−
c = (−
a ·−
c) b − −
a· b −
c
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
x
110
P OLARISATION
DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
On obtient :
−
→
→ Ä−
→äó
−
1 î−
Π=
E∧ →
n ∧ E
µ0 c
Ä−
→ →ä →
−ó
1 î 2−
n − E ·−
n E
E →
=
µ0 c
E2 −
→
=
n
µ0 c
→
n
= ε0 c E 2 −
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
c B2 −
→
n
µ0
=
Le vecteur de Poynting est dirigé dans la direction et suivant le sens de la propagation de l’onde plane.
— Rappel —
→ →
−
−
Pour déterminer l’expression du vecteur de Poynting, il faut que les vecteurs E et B soient en notation
réelle.
→
Calculons le flux du vecteur de Poynting à travers une surface d’aire S perpendiculaire à −
n :
P=
ZZ
− −
→
→
−
E2
Π ·→
n d2 S = k Π k S =
S = ε0 c E 2 S
µ0 c
(S)
Ce flux étant égal à l’énergie δWem traversant S pendant la durée
dt, on peut écrire :
S
dh = c dt
δWem = P dt = ε0 c E 2 S dt = wem S c dt
Le terme S c dt correspond au volume élémentaire constitué par un cylindre de base S et de hauteur
dh = c dt.
δWem représente donc l’énergie contenue dans ce cylindre.
Ceci montre que l’énergie s’est propagée à la vitesse :
vE =
dh
=c
dt
— Remarque —
Dans la pratique, étant données les fréquences de s ondes électromagnétiques, on ne peut que mesurer
des puissances moyennes dans le temps.
Quelques valeurs moyennes :
• la valeur moyenne d’un terme en sin ou en cos est nulle,
1
• la valeur moyenne d’un terme en sin2 ou en cos2 est égale à (facilement démontrable par
2
linéarisation)
• la valeur moyenne du produit sin · cos est nulle.
•
la valeur moyenne d’une somme est égale à la somme des valeurs moyennes mais la valeur
moyenne d’un produit n’est pas égale au produit des valeurs moyennes !
19.5
19.5.1
Saint Joseph - LaSalle
Polarisation de la lumière
La lumière naturelle
CPGE TSI
−
→
n
19.5 Polarisation de la lumière
111
19.5.2
Polariseur
— Polariseur —
Un polariseur est un système optique (considéré comme plan) qui possède une direction privilégiée :
celle-ci s’appelle l’axe de transmission ou de polarisation.
Un tel polariseur laisse passer la lumière polarisée parallèlement à cet axe et arrête la lumière polarisée
perpendiculairement.
Ainsi, la lumière qui sort d’un polariseur est polarisée rectilignement, parallèlement à la direction de l’axe
de transmission du polariseur, ceci quelle que soit la nature de la lumière incidente :
x
y
z
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
En règle générale, la lumière naturelle, par exemple celle émise par notre chère étoile nommée "Soleil",
n’est pas polarisée.
Même à la sortie d’un filtre coloré permettant d’isoler une certaine gamme de fréquences (ou de longueurs
d’onde), cette lumière n’a aucune raison d’être polarisée.
112
P OLARISATION
DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
F IGURE 19.6 – Polarisation de la lumière naturelle
On peut effectuer une analogie avec les cordes vibrantes :
Imaginons une corde tendue horizontalement. Si on en agite une extrémité de haut en bas dans un plan
vertical, la corde se déforme et l’ébranlement se propage tout en restant dans le plan vertical. On fabrique
ainsi une onde polarisée rectilignement (ou linéairement). Ce plan vertical s’appelle le plan de vibration.
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
Les polariseurs les plus courants sont formés de lames dites "Polaroïd", (inventés par Land en 1938) ne
laissant passer, de la vibration lumineuse que la composante parallèle à une certaine direction privilégiée
de la lame, dite direction de polarisation (perpendiculaire à l’aiguille indicatrice). Cette polarisation rectiligne est produite par dichroïsme : une substance dichroïque absorbe de manière très inégale les vibrations
lumineuses selon leur direction.
— Remarque —
Le phénomène de dichroïsme dépend un peu de la longueur d’onde.
— Proprié té —
Si la lumière est polarisée rectilignement selon la direction perpendiculaire à l’axe de transmission,
aucune lumière ne sort du polariseur : on parle d’extinction.
Cette propriété sert lorsqu’on souhaite mettre en évidence la polarisation rectiligne d’un signal lumineux.
19.5.3
Effet d’un polariseur
−
Le polariseur projette le champ électrique suivant son axe →
ex ′ , et éteint la composante perpendiculaire
→
−
′
(suivant ey ).
→
→
Si le champ électrique précédent le polariseur a pour composantes suivant −
e et −
e :
x
®
y
Ex (t)
Ey (t)
→
→
Si l’axe −
ex ′ du polariseur fait un angle θ avec le vecteur −
ex , le champ électrique de l’onde après passage à
→
−
→
−
′
travers le polariseur a pour composantes suivant ex et ey ′ :
®
Ex′ (t)
Ey′ (t)
= Ex (t) cos θ + Ey (t) sin θ
= 0
— Loi
de Malus
—
Après un analyseur qui fait un angle θ avec une polarisation rectiligne, l’intensité est multipliée par
cos2 θ :
IP = I0 cos2 θ
⇒ Activité 19. 1
Déterminer l’orientation relative de deux polariseurs pour qu’une lumière naturelle soit transmise avec une
intensité réduite de moitié entre l’entrée du deuxième polariseur et sa sortie.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
19.5 Polarisation de la lumière
Saint Joseph - LaSalle
113
CPGE TSI
114
P OLARISATION
19.6
19.6.1
DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
Exercices : Polarisation des ondes électromagnétiques
Énoncés
◮ Exercice 19. 1 : Lumière non polarisée
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
Démontrer qu’à la sortie d’un polariseur rectiligne, l’intensité lumineuse est égale à la moitié de celle mesurée à l’entrée.
◮ Exercice 19. 2 : Polariseurs
De la lumière naturelle d’intensité I0 traverse quatre polariseurs rectilignes. Le plan du polariseur (i) fait
un angle de 30o avec le plan du polariseur (i − 1).
1. Déterminer l’intensité du faisceau transmis.
2. Même question si on enlève les 2 polariseurs du milieu.
◮ Exercice 19. 3 : Détection de lumière
Un polariseur et un analyseur sont réglés à l’extinction. On fait tourner l’analyseur d’un angle α.
1. Exprimer l’intensité IA après l’analyseur en fonction de IP , l’intensité entre le polariseur et l’analyseur, et de α.
2. Pour détecter de la lumière après le polariseur, il faut que l’intensité soit supérieure au bruit, qui vaut
5 % IP . Déterminer numériquement en secondes d’angle, l’angle minimum αmin dont il faut tourner
l’analyseur pour détecter de la lumière.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
20.1 Compétences du chapitre
115
Réflexion d’une onde sur un métal
parfait
20.1
Compétences du chapitre
Notions et contenus
Réflexion sous incidence normale
d’une onde plane, progressive et
monochromatique polarisée rectilignement sur un plan conducteur
parfait. Onde stationnaire.
Capacités exigibles
• Exploiter la nullité des champs dans un métal parfait.
• Établir l’expression de l’onde réfléchie en exploitant les
relations de passage fournies.
• Interpréter qualitativement la présence de courants localisés en surface.
• Reconnaître et caractériser une onde stationnaire.
Applications aux cavités à une dimension.
Mode d’onde stationnaire.
Saint Joseph - LaSalle
• Mettre en œvre un dispositif permettant d’étudier une onde
électromagnétique, dans le domaine des ondes centimétriques.
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
P 20
116
R ÉFLEXION D ’ UNE
20.2
ONDE SUR UN MÉTAL PARFAIT
Relations de passage
Ces relations de passage sont également appelées conditions aux limites.
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
Le champ électromagnétique créé par une distribution volumique de charges et de courants
est continu. Si l’on décrit la distribution par un modèle surfacique (distribution surfacique de charges
et de courants), le champ électromagnétique peut subir une discontinuité à la traversée de la distribution.
On ne peut pas écrire les équations de Maxwell en un point d’une telle distribution surfacique de
sources. Ces équations de Maxwell sont alors remplacées par les relations de passage.
Considérons une surface chargée de densité surfacique σ, séparant deux milieux (1) et (2). Notons −
n→
12 le
vecteur unitaire normale à l’interface et dirigé du milieu 1 vers le milieu 2.
20.2.1
20.2.1.1
Pour le champ électrique
Discontinuité de la composante normale du champ électrique
→
−
−
→
Les composantes normales de E 1 et de E 2 , notées E2N et E1N sont liées par la relation :
E2N − E1N =
σ
ε0
Il peut donc y avoir discontinuité de la composante normale du champ électrique.
−
→
Ek représente donc le champ électrique créé dans le milieu k, en un point très proche de la surface de
séparation et on a également :
→ →
−
n12
E2N = E 2 · −
20.2.1.2
→ →
−
n12
E1N = E 1 · −
et
Continuité de la composante tangentielle du champ électrique
→
−
−
→
Les composantes tangentielles de E 1 et de E 2 , notées E2T et E1T sont liées par la relation :
E2T = E1T
avec :
→ →
−
τ
E2T = E 2 · −
20.2.1.3
et
→ →
−
τ
E1T = E 1 · −
Relation vectorielle
−
→
E2
Vectoriellement, on obtient :
−
→ −
→
σ −→
E2 − E1 =
n12
ε0
Il peut donc y avoir discontinuité de la
composante normale du champ électrique,
par exemple comme ci-contre.
E2N − E1N
−
n→
12
2
1
−
→
E1
−
→
τ
E2T = E1T
F IGURE 20.1 – Relations de passage : champ électrique
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
20.2 Relations de passage
20.2.2
117
Pour le champ magnétique
→
−
Considérons une nappe parcourue par un vecteur densité de courant js .
Continuité de la composante normale
Considérons toujours une surface chargée de densité surfacique σ, séparant deux milieux (1) et (2). Les
→
−
→
−
composantes normales de B 1 et de B 2 , notées B2N et B1N sont liées par la relation :
−
→ −
→ →
(B2 − B1 ) · −
n12 = 0
soit :
B2N − B1N = 0
avec :
→ →
−
n12
B2N = B 2 · −
→ →
−
n12
B1N = B 1 · −
et
La composante normale du champ magnétique est continue à la traversée d’une surface chargée.
20.2.2.2
Discontinuité de la composante tangentielle
À l’inverse, la composante tangentielle du champ magnétique peut être discontinue de part et d’autre d’une
interface entre 2 milieux :
B2T − B1T = µ0 js
avec :
→ →
−
τ
B2T = B 2 · −
20.2.2.3
et
→ →
−
τ
B1T = B 1 · −
Relation vectorielle
Vectoriellement, on obtient :
−
→ −
→
→
−
B2 − B1 = µ0 js ∧ −
n→
12
−
→
Avec Bk le champ magnétique crée dans
le milieu k, en un point très proche de la
surface de séparation.
−
→
B1
B2N = B1N
−
→
B2
−
n→
12
2
1
−
→
τ
B2T − B1T
F IGURE 20.2 – Relations de passage : champ magnétique
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
20.2.2.1
118
R ÉFLEXION D ’ UNE
20.3
ONDE SUR UN MÉTAL PARFAIT
Réflexion d’une onde : approche qualitative
2
Lors de la réflexion des ondes centimétriques (cf.
séance de travaux pratiques), on peut observer le phénomène suivant : l’onde incidente induit une onde réfléchie par le plan métallique.
Supposons que l’onde incidente progressive et de fréω
provient de la région x < 0 assimilée
quence ν =
2π
au vide ( 2 ) et arrive en x = 0 sur un métal ( 1 ) assimilé au demi-espace x > 0.
Le champ pénètre dans le métal sur une faible épaisseur δ appelée épaisseur de peau.
1
émetteur
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
récepteur
métal
x
0
Pour simplifier l’étude, nous supposerons que l’onde incidente est polarisée rectilignement. En effet, une
onde polarisée de façon quelconque peut toujours être décrite comme la superposition de deux ondes polarisées rectilignement et de directions orthogonales entre elles.
Le champ électrique incident (polarisé par exemple suivant z) met en mouvement les électrons du métal le
→
long de sa propre direction −
ez . Il s’établit dans le conducteur un régime sinusoïdal forcé dans lequel la peau
du conducteur (région à la surface) est assimilable à une nappe de courants (donc surfaciques) de fréquence
→
ν et de direction −
ez .
Les courants sont à l’origine d’une autre onde électromagnétique dite onde réfléchie.
Le champ électromagnétique au voisinage du conducteur (x < 0) est alors la somme des champs correspondant aux ondes incidente et réfléchie.
On considérera également que le métal est parfait.
— Condu
teur parfait
—
On considère qu’un conducteur est parfait quand :
γ → +∞
Ce qui revient donc à dire :
−
→
→
−
E = 0
à l’intérieur du conducteur parfait.
→
−
→
→ −
−
∂B
→
−→ −
L’équation de Maxwell-Faraday rot E = −
implique que B = 0 .
∂t
→ −→ −
−
→
→ −
−
→
−
ρ
→
B = rot A implique A = 0 et comme div E = , on en déduit ρ = 0.
ε0
→
−
→
∂ E
→ −
−
→
−
→
−→ −
permet alors d’écrire j = 0 .
L’équation de Maxwell-Ampère rot B = µ0 j + ε0 µ0
∂t
Toutes ces relations sont vraies à l’intérieur du conducteur parfait.
Il ne peut donc rester donc que des charges surfaciques de densité σ et des courants surfaciques de densité
−
→
js .
— Remarque —
En réalité, le champ pénètre sur une très faible épaisseur δ (toujours l’épaisseur de peau) et s’annule au
bout de quelques δ.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
20.4 Réflexion normale d’une onde plane progressive monochromatique sur un plan conducteur
119
parfait
20.4
Réflexion normale d’une onde plane progressive
monochromatique sur un plan conducteur parfait
20.4.1
Onde incidente
Considérons une onde incidente caractérisée par un champ électrique incident et un champ magnétique
incident de la forme :
−
→
→
Ei = E0 cos (ω t − k x) −
ez
⇒ Activité 20. 1
1. Décrire complètement l’onde électromagnétique.
2. Exprimer le champ magnétique correspondant.
20.4.2
Onde réfléchie
Si le plan x = 0 est un plan métallique parfaitement conducteur, les courants sont engendrés à la surface du
conducteur et possèdent la même fréquence que le champ électrique qui a mis en mouvement les électrons.
Ces courants sont à leur tour la source d’un champ magnétique et donc d’un champ électrique de même
fréquence ν.
−
→
On peut voir qu’en x = 0, le champ Ei vaut :
→
ez cos ω t
E0 −
→
−
Or les relations de passage imposent la continuité de la composante tangentielle du champ E , c’est-à-dire :
E0 cos ω t = 0
ce qui n’est pas le cas, bien évidemment, à tout instant t.
Il y a donc nécessairement un champ électrique réfléchi tel que :
Ei,T + Er,T = Emétal,T = 0
Étant donnée la symétrie du problème, ce champ réfléchi correspond à une onde plane progressive se propageant suivant Ox.
−
→
On cherche alors Er sous la forme :
→
−
→ −
Er = E0′ cos (ω t − k ′ x)
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
Nous nous intéressons ici à la réflexion normale (en incidence normale) d’une onde plane progressive
monochromatique sur un métal parfait (ou miroir).
120
R ÉFLEXION D ’ UNE
ONDE SUR UN MÉTAL PARFAIT
La continuité de la composante tangentielle (ici y et z) du champ électrique impose en x = 0 :
Ei,T + Er,T = |{z}
0
|
{z
}
x>0
x<0
Soit :
−
→
→
−
→
ez cos ω t + E0′ cos ω t = 0
E0 −
∀t
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
Ce qui donne :
−
→
→
E0′ = −E0 −
ez
et donc :
−
→
→
Er = −E0 cos (ω t − k ′ x) −
ez
Ce champ se propage dans le vide. L’équation de propagation :
−
→
→−
−
→
1 ∂ 2 Er
∆ Er = 2 2
c ∂ t
permet d’écrire la relation de dispersion pour le champ réfléchi :
k ′2 =
ω2
c2
ω
ω
Ce qui donne le choix entre k ′ = et k ′ = − .
c
c
La première solution donnerait, par superposition, le champ électrique total :
→ −
−
→ −
→ −
→
E = Ei + Er = 0
∀x et t
ce qui, évidemment, n’est pas satisfaisant.
ω
Il faut donc retenir la deuxième possibilité k ′ = − , ce qui donne finalement :
c
−
→
→
Er = −E0 cos (ω t + k x) −
ez
Le champ réfléchi correspond à une onde plane progressive se propageant dans le sens des x négatifs.
→ −
−
→
→
−
→∧−
−
→
−
→
n
Er
kr ∧ Er
r
On peut alors en déduire le champ électrique Br à l’aide de la relation Br =
=
avec
c
ω
→
−
ω −
ex . On en déduit :
kr = − →
c
−
→
E0
→
Br = −
cos (ω t + k x) −
ey
c
Il n’y a pas d’onde transmise. On obtient donc des ondes planes progressives, se propageant dans des sens
opposés.
20.4.3
20.4.3.1
Onde stationnaire
Champ électromagnétique
En utilisant le théorème de superposition, on peut déterminer le champ électrique total, et le champ magnétique total :
→ −
−
→ −
→
E = Ei + Er
→ −
−
→ −
→
B = Bi + Br
⇒ Activité 20. 2
Déterminer les expressions des champs électrique et magnétique dans la région x < 0 et les mettre sous la
forme d’un produit de 2 fonctions, l’une dépendant de l’espace, l’autre dépendant du temps.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Ces champs ne correspondent pas à des ondes progressives.
— Signal
stationnaire
—
Un signal décrit par la fonction F (x, t) est dit stationnaire s’il peut se mettre sous la forme du produit
F (x, t) = X (x) T (t), X (x) étant une fonction dépendant des variables spatiales (ici x) et T (t) étant
une fonction dépendant de la variable temporelle t.
20.4.3.2
Caractéristiques de l’onde stationnaire
Ä−
→ −
→ä
La structure du champ électromagnétique E , B représente donc une onde stationnaire. Cette structure
est très différente de celle de l’onde progressive.
→ −
−
→
En particulier, les champs E et B ne sont plus en phase, mais en quadrature.
Ces champs s’annulent périodiquement selon x. Les champs vibrent sur place.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
20.4 Réflexion normale d’une onde plane progressive monochromatique sur un plan conducteur
121
parfait
122
R ÉFLEXION D ’ UNE
ONDE SUR UN MÉTAL PARFAIT
y
−
→
B
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
z
−
→
E
b
O
x
F IGURE 20.3 – Onde stationnaire
Exprimons le vecteur d’onde k :
k=
ω
2π
2π
=
=
c
cT
λ
−
→
−
→
E est nul aux points NE dits nœuds du champ E définis par sin k x = 0 avec x < 0.
Cela donne :
π
x = −n , n ∈ N
k
ou encore, en tenant compte de l’expression de k :
x = −n
λ
2
−
→
−
→
E est maximal aux points VE dits ventres du champ E définis par sin k x = ±1 avec x < 0.
Cela donne :
x=−
2p+1 π
,p ∈ N
2
k
ou encore, en tenant compte de l’expression de k :
x = −p
λ λ
−
2
4
→
−
→
−
Chaque nœud de B correspond à un ventre de E et vice-versa.
Le miroir (plan conducteur métallique parfait) est un nœud de champ électrique et un ventre de champ
magnétique.
λ
La distance entre 2 plans nodaux ou ventraux d’un même champ vaut .
2
λ
La distance entre 2 plans particuliers consécutifs vaut .
4
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
20.4 Réflexion normale d’une onde plane progressive monochromatique sur un plan conducteur
123
parfait
E, B
2
1
x
λ
2
−
0
λ
4
F IGURE 20.4 – Plans nodaux et ventraux
20.4.3.3
Courant et densité de charges surfaciques
• La composante normale du champ électrique peut être discontinue à la traversée d’une interface entre
2 milieux.
Écrivons la relation de passage en x = 0 entre le vide (x < 0) et le métal (x > 0) en posant
−
→
−
n→
12 = − ex :
2
−→
−→
σ →
−
n
EN vide − EN métal =
ε0
−→
σ
→
EN vide · −
ex − 0 = −
ε0
σ=0
1
−
→
ez
−
→
n 12
−
→
ex
• De même, la composante tangentielle du champ magnétique peut être discontinue à la traversée d’une
interface.
La relation de passage s’écrit, en x = 0 :
−→
−→
→
−
BT vide − BT métal = µ0 js ∧ −
n→
12
−→
→ −
−
→
−
BT vide − 0 = −µ0 js ∧ →
ex
E0 −
→ →
−
→
−2
ey cos ω t = −µ0 js ∧ −
ex
c
On en déduit :
2 E0
−
→
→
cos ω t −
ez
js =
µ0 c
−
→ −
→
Cela signifie qu’en x = 0, le champ incident Ei et js sont colinéaires et en phase : c’est normal
puisque c’est le champ incident qui met en mouvement les électrons du métal.
20.4.3.4
Aspect énergétique
En calculant le vecteur de Poynting, on obtient :
→ −
−
→
E ∧B
−
→
Π=
µ0
4 E02
→
=
sin ω t cos ω t sin k x cos k x −
ex
µ0 c
E2
→
ex
= 0 sin 2 ω t sin 2 k x −
µ0 c
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
−
124
R ÉFLEXION D ’ UNE
ONDE SUR UN MÉTAL PARFAIT
La moyenne temporelle du vecteur de Poynting est alors :
→
−
→
−
h Π i = 0 car hsin(2 ω t)i = 0
Sur une période, il n’y a donc pas de transport d’énergie, en tout point de l’espace occupé
Å par le vide.
ã
λ
De plus, ∀t, l’énergie reste confinée entre deux plans nodaux et ventraux consécutifs distants de
.
4
L’onde stationnaire ne transporte pas d’énergie
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
Dans le volume métallique, la puissance électromagnétique volumique cédée par le champ aux charges
vaut :
−
dP
→ →
−
= j · E =0
dτ
Il n’y a aucune perte par effet Joule dans un conducteur parfait.
20.5
20.5.1
Cavité résonante
Dispositif
Considérons une cavité vide entre les abscisses x = 0 et x = ℓ à l’intérieur d’un conducteur, considéré
comme parfait.
Si un émetteur engendre en continu une onde électromagnétique arrivant en incidence normale sur la surface
d’abscisse x = ℓ, l’onde est alors entièrement réfléchie. Elle se propage alors en sens inverse jusqu’à
l’abscisse x = 0 où elle se réfléchit à nouveau. Le processus se répète à l’infini et l’onde résultante possède
alors une structure stationnaire.
0
x
ℓ
F IGURE 20.5 – Cavité résonante
20.5.2
Champ électrique
L’onde étant stationnaire et monochromatique, on peut chercher le champ électrique par exemple sous la
forme :
−
→
→
E (x, t) = f (x) sin ω t −
ez
On suppose dans ce cas que le régime est sinusoïdal forcé à la fréquence ν =
1
ω
=
.
T
2π
L’équation de propagation :
→
−
− −
→
→
1 ∂2 E
→
−
∆ E− 2 2 = 0
c ∂ t
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
20.5 Cavité résonante
125
−
permet alors d’écrire, en projection sur →
ez :
f ′′ (x) sin ω t +
ω2
f (x) sin ω t = 0
c2
Soit en simplifiant et en posant k =
ω
:
c
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
f ′′ (x) + k 2 f (x) = 0
⇒ Activité 20. 3
1. Donner la forme de la solution.
2. En utilisant les conditions aux limites en x = 0 et en x = ℓ, en déduire une condition sur k.
Cela signifie que le champ électrique est quantifié sous la forme :
→
−
x
→
E p (x, t) = E0 sin p π
sin (ω t) −
ez
ℓ
En tenant compte de ω = k c, on obtient :
Å
ã
→
−
x
ct −
→
E p (x, t) = E0 sin p π
ez
sin p π
ℓ
ℓ
20.5.3
Modes propres
On voit que l’onde stationnaire ne peut exister que si les extrémités de la cavité correspondent à des plans
→
−
nodaux de E .
2π
2π
pπ
ω
=
et en tenant compte de la condition k =
, on obtient :
En prenant k = =
c
cT
λ
ℓ
ℓ=p
λ
2
→
−
λ
En effet, la distance entre deux plans nodaux consécutifs de E vaut .
2
On peut représenter la forme de l’onde, similaire à celle obtenue en première année avec la corde de Melde.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
126
R ÉFLEXION D ’ UNE
p=1
ONDE SUR UN MÉTAL PARFAIT
p=3
x
0
ℓ
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
p=2
F IGURE 20.6 – Modes propres
On voit ainsi que le mode p possède p + 1 nœuds et sa fréquence associée vaut :
νp =
c
pc
=
λp
2ℓ
20.5.4
La résonance
On voit ici que dans le cas d’une cavité, sans perte, à l’intérieur d’un conducteur parfait, si la fréquence de
l’onde émise correspond à une fréquence propre νp , alors les différentes ondes réfléchies sont en phase et
l’onde stationnaire donne une énergie infinie !
En réalité, aucun métal n’est parfait et l’onde est en partie absorbée par les parois conductrices de la cavité.
Ainsi, l’énergie reste finie . . .
Par ailleurs, si la fréquence de l’onde émise ne correspond pas à une fréquence νp , alors les les champs
électriques des ondes réfléchies sont peu à peu déphasés et la superposition de ces champs donne finalement
un champ électrique nul : on parle d’interférences destructrives.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
20.6 Exercices : Réflexion d’une onde sur un métal parfaitement conducteur
20.6
Exercices : Réflexion d’une onde sur un métal parfaitement conducteur
Énoncés
◮ Exercice 20. 1 : Réflexion sur un plan
→
→
→
Relativement à un repère galiléen Oxyz orthonormé, de base ( −
ex , −
ey , −
ez ), le champ électrique d’une
onde plane progressive sinusoïdale monochromatique de pulsation ω, polarisée circulairement gauche, qui
se propage dans le vide dans le demi-espace z 6 0, dans la direction Oz, est :
−
→
−
→
E (z, t) = E0 cos (ω t − k z) →
ex + E0 sin (ω t − k z) −
ey
1
S.I. et la célérité de la lumière c = 3,00.108 m.s−1 .
36 π.109
→
−
→
−
(a) Exprimer le champ magnétique B (z, t) associé à E (z, t).
→ −
−
→
→
−
→ →
−
(b) En notation complexe, établir la relation entre E et B , puis vérifier la relation E = j E ∧ −
ez
→
−
2
(avec j = −1) ; montrer que B obéit à une relation du même type.
→
−
(c) Montrer que le vecteur de Poynting Π de cette onde est constant.
On donne la permittivité du vide ε =
1.
2. L’onde se réfléchit normalement sur un miroir plan métallique parfait (de conductivité quasi-infinie)
placé dans le plan z = 0.
→
−
→
−
(a) Déterminer les champs E ′ (z, t) et B ′ (z, t) de l’onde réfléchie. Quel est l’état de polarisation
→ −
−
→
de cette onde ( E ′ , B ′ ) ?
→
−
→
−
(b) Déterminer les champs E (z, t) et B (z, t) de l’onde résultante dans la région z 6 0.
→
−
(c) Déterminer le vecteur de Poynting R de l’onde résultante. Conclure.
→
−
3. Déterminer les densités surfaciques de charge σ0 (t) et de courant js 0 (t) dans le plan z = 0 du miroir.
◮ Exercice 20. 2 : Voile solaire
On admettra que la valeur moyenne de la force exercée sur l’unité de surface d’un métal parfait par une
radiation qui arrive sur le métal sous l’angle d’incidence i (compté à partir de la normale au métal) est
ε0 E02 cos2 i où E0 désigne l’amplitude du champ électrique de l’onde incidente.
Un vaisseau spatial muni de voile solaire (plaque métallique parfaitement réfléchissante, de grande surface
S) a une masse totale M = 900 kg.
Il est lancé depuis la terre, et lorsque le vaisseau est en M0 où l’attraction terrestre devient négligeable
devant celle du soleil, il annule pratiquement sa vitesse, déploie sa voile et l’oriente ; on peut encore considérer que sa distance au soleil est pratiquement égale à la distance Terre - Soleil rT .
On donne :
• distance Terre - Soleil : rT = 1,49.108 km,
• distance Soleil - Mars : rM = 2,27.108 km,
• S = 8,00.105 m2 ,
1
S.I.,
36 π.109
• célérité de la lumière : c = 3,00.108m.s−1 ,
• permittivité du vide : ε0 =
• intensité du rayonnement sur terre : IT = 1,50 kW/m2,
• masse du soleil : MS = 2,00.1030 kg,
• constante de gravitation universelle : G = 6,67.10−11 S.I.,
→
−
• f G la force de gravitation exercée par le soleil sur le vaisseau :
−
→
G MS M −
→
er
fG=−
rT2
1. On oriente la voile de façon à recevoir les rayons solaires sous l’angle d’incidence i.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
20.6.1
127
128
R ÉFLEXION D ’ UNE
ONDE SUR UN MÉTAL PARFAIT
(a) Calculer l’amplitude E0 du champ électrique en M0 .
→
−
(b) Déterminer, en fonction de IT , S, c et i, les composantes radiale et orthoradiale de la force f
de pression de radiation solaire sur la voile.
(c) Pour quel(s) angle(s) d’incidence i0 , la force résultante subie par le vaisseau est-elle normale
→
−
aux rayons solaires ? Calculer alors son module f0 = k f k.
2. On oriente la voile perpendiculairement aux rayons solaires.
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
(a) Calculer la surface minimale Smin de la voile pour que le vaisseau spatial échappe à l’attraction
solaire et puisse se diriger vers la planète Mars.
→
−
Avec quelle force F , exprimée en fonction de IT , c, S et Smin , le vaisseau étudié commence à
se diriger vers Mars ?
(b) Monter que le vaisseau spatial M se déplace dans un champ de force centrale en 1/r2 , de centre
−−→ →
O du soleil (OM = −
r):
−
→
−
→
r
F =K 3
r
Déterminer K en fonction de c, G, IT , M , MS et rT .
(c) Déterminer la loi v(r) de la vitesse du vaisseau en fonction de sa distance r au soleil.
Calculer sa vitesse d’arrivée vM sur l’orbite de Mars.
◮ Exercice 20. 3 : Onde stationnaire dans une cavité
On s’intéresse à l’existence d’une onde électromagnétique entre 2 plans parfaitement conducteurs d’équations respectives x = 0 et x = a, constituant une cavité unidimensionnelle :
0
x
a
1. Condition de quantification
On cherche une solution du champ électrique de la forme :
−
→
−
→
E = E 0 g (x) h (t)
où les fonctions réelles g et h, fonctions d’une seule variable, sont dérivables au moins 2 fois.
(a) À quelles équations doivent satisfaire g et h ?
(b) Montrer qu’en des points et à des instants où le champ n’est pas nul, on a :
1 h′′ (t)
g ′′ (x)
= 2
g (x)
c h (t)
(c) On admet qu’une telle contrainte portant sur des variables x et t variant indépendamment impose que les membres soient égaux à une même constante K réelle.
Discuter la forme des solutions pour g (x) selon le signe de K et en déduire les solutions pour
h (t) correspondantes.
(d) En procédant à une analyse spectrale de l’onde, quelles sont les valeurs de fréquence qui apparaissent ?
→
−
→
−
2. Composantes de E et B
On ne retient désormais que la solution correspondant à la plus basse fréquence, que l’on appelle le
mode fondamental.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
20.6 Exercices : Réflexion d’une onde sur un métal parfaitement conducteur
129
→
−
(a) Quelles composantes de E 0 peuvent être non nulles ?
→
−
→
−
(b) En déduire la forme générale du champ E = E 0 g (x) h (t) correspondant au mode fondamental de la cavité (on fera intervenir des constantes pour l’amplitude et la phase à l’origine de
chaque composante non nulle).
(c) Déterminer le champ magnétique correspondant.
3. Puissance rayonnée
(a) Exprimer le vecteur de Poynting de l’onde correspondant au mode fondamental de la cavité.
(b) Quelle est la puissance rayonnée en moyenne en chaque point de la cavité ? Interpréter.
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CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
→
−
(d) Que constate-t-on concernant le champ magnétique B sur les parois de la cavité ? Qu’en déduire ?