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P2 Principes de thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.1
Sous-systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.2
Premier principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.2.1
Énergie totale d’un système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.2.2
Premier principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2.3
Capacités thermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2.3.1
Capacité thermique à pression constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2.3.2
Capacité thermique à volume constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3
gaz parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Lois de Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3.1.1
Première loi de Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3.1.2
Deuxième loi de Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.3.2
Rapport ou cœfficient γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.3.3
Relation de Mayer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.4
Phases condensées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.5
Deuxième principe de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3.1
2.5.1
Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.5.2
Énoncés du deuxième principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Identités thermodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.6.1
Première identité thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.6.2
Deuxième identité thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.6.3
Définition de la température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Entropie d’un corps pur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.7.1
Variation de l’entropie pour un Gaz Parfait (G.P.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.7.2
Rappels : Loi de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.7.3
Variation de l’entropie pour une phase condensée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Machines thermiques : rappels et compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.8.1
Moteurs et machines frigorifiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.8.2
2.6
2.7
2.8
Coefficient d’efficacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.8.2.1
Cycle moteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.8.2.2
Cycle frigorifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.8.2.3
Cycle de pompe à chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.8.2.4
Les différents cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Cycle de Carnot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.8.3.1
Dans le diagramme de Watt (p, V ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.8.3.2
Dans le diagramme entropique (T, s) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Exercices : principes de la thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Énoncés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.8.3
2.9
2.9.1
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
Table des matières
2
P RINCIPES
DE THERMODYNAMIQUE
P2
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
Principes de thermodynamique
2.1
—
Sous-systèmes
Rappel —
Comme déjà vu page ??, on distingue trois échelles de longueur dans la description d’un fluide :
• l’échelle microscopique, définie au niveau moléculaire : c’est le libre parcours moyen ℓmoyen
caractérisant le mouvement des molécules du fluides, de l’ordre de 0,1 µm pour un gaz et de
0,1 nm pour un liquide.
• l’échelle macroscopique L, caractéristique de l’écoulement (diamètre d’une canalisation, largeur d’une rivière, . . .).
• l’échelle mésoscopique a, intermédiaire entre les deux échelles précédentes : ℓmoyen <<
a << L.
Un volume de fluide de dimension mésoscopique a3 est suffisamment petit à l’échelle macroscopique pour être considéré comme ponctuel, et suffisamment grand à l’échelle microscopique pour contenir un grand nombre de molécules. Typiquement, ce volume est de l’ordre
de la dizaine (ou de quelques dizaines) de µm.
L’échelle mésoscopique permet de définir des grandeurs locales, définies statistiquement sur
le grand nombre de molécules du volume a3 situé au point considéré.
Une particule de fluide constitue un système fermé, de volume mésoscopique dV(M) = a3 . Elle
permet de définir statistiquement des grandeurs locales intensives (température, pression, masse
volumique, vitesse).
L’approche mésoscopique définit une échelle intermédiaire entre le macroscopique et le microscopique. À cette échelle, un petit volume est assez grand pour contenir un très grand nombre de
particules et on peut considérer le milieu comme continu mais suffisamment petit pour considérer
la densité de molécules comme uniforme.
2.2
2.2.1
Premier principe de la thermodynamique
Énergie totale d’un système
Le premier principe est un principe de conservation. Il existe une grandeur, appelée énergie totale, extensive
et conservative, que l’on peut définir dans tout système fermé. On appelle énergie totale d’un système, toute
l’énergie présente, sous toutes ses formes.
Etotale = Ep + Ec + U + Enucl + Eautre
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
2.2 Premier principe de la thermodynamique
3
• Etotale : énergie totale,
• Ep : énergie potentielle (macroscopique),
• Ec : énergie cinétique (macroscopique),
• U : énergie interne,
• Enucl : énergie nucléaire,
Dans le cadre du programme, on se limitera à :
Etotale = Ec + U
Les autres énergies seront considérées comme constantes et leurs variations seront donc nulles.
Les
unité s
:
U , Ec , W et Q s’expriment en Joules (J).
2.2.2
Premier principe
L’énergie est une fonction d’état. Elle ne dépend pas du chemin suivi, mais uniquement de l’état initial et
de l’état final.
La variation de cette énergie est donnée par :
∆Etotale = W + Q
On obtient alors :
—
Premier prinipe —
∆U + ∆Ec = W + Q
C’est le premier principe de la thermodynamique.
La forme différentielle de ce premier principe s’écrira :
dU + dEc = δW + δQ
où les grandeurs représentent :
• dU : variation infinitésimale de l’énergie interne,
• dEc : variation infinitésimale de l’énergie cinétique,
• δW : transfert de travail élémentaire reçu,
• δQ : transfert thermique élémentaire.
2.2.3
Les
unité s
Capacités thermiques
:
• Les capacités thermiques s’expriment en J.K −1 .
• Les capacités thermiques molaires s’expriment en J.K −1 .mol−1 .
• Les capacités thermiques s’expriment en J.K −1 .kg −1 .
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
• ...
4
P RINCIPES
2.2.3.1
—
DE THERMODYNAMIQUE
Capacité thermique à pression constante
Capaité thermique à pression onstante —
On définit la capacité thermique à pression constante de la façon suivante :
Å
ã
∂H
Cp =
∂T p
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
On a alors pour la capacité thermique molaire à pression constante :
Å
ã
1 ∂H
Cp
Cp,m =
=
n ∂T p
n
et pour la capacité thermique massique à pression constante :
Å
ã
Cp
1 ∂H
=
cp =
m ∂T p
m
2.2.3.2
—
Capacité thermique à volume constant
Capaité thermique à volume onstant —
On définit la capacité thermique à volume constant de la façon suivante :
ã
Å
∂U
CV =
∂T V
On a alors pour la capacité thermique molaire à volume constant :
Å
ã
CV
1 ∂U
=
CV,m =
n ∂T V
n
et pour la capacité thermique massique à volume constant :
Å
ã
1 ∂U
CV
cV =
=
m ∂T V
m
2.3
gaz parfait
2.3.1
2.3.1.1
—
Lois de Joule
Première loi de Joule
Première loi de Joule —
Le première loi de Joule postule que l’énergie interne U d’un gaz parfait est une fonction qui
dépend uniquement de la température : U = f1 (T ).
dU = CV dT = nCV,m dT = mcV dT
Avec Cv la capacité thermique à volume constant (CV,m et cV sont les capacités thermiques respectivement
molaires et massiques à volume constant).
On utilise donc U dans un système isochore.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
2.3 gaz parfait
2.3.1.2
—
5
Deuxième loi de Joule
Deuxième loi de Joule —
dH = Cp dT = nCp,m dT = mcp dT
Avec Cp la capacité thermique à pression constante. (Cp,m et cp sont les capacités thermiques molaires et
massiques à pression constante).
On utilise donc H dans une transformation monobare.
2.3.2
—
Rapport ou cœfficient γ
Rapport ou oeffiient γ —
On définit la grandeur γ =
2.3.3
Cp,m
Cp
cp
=
=
>1
CV,m
CV
cV
Relation de Mayer
Dans le cadre de l’étude d’un G.P., on a :
CV =
dH
dU
, Cp =
dT
dT
Donc :
Cp − CV =
d(H − U )
d(pV )
dT
=
= nR
dT
dT
dT
On en déduit la relation de Mayer :
—
Relation de Mayer —
Cp − CV = nR
donc
Cp,m − CV,m = R
ou encore
cp − cV =
R
n
R=
=r
m
M
On en déduit les expressions des capacités thermiques pour un gaz parfait :
à volume constant
à pression constante
Saint Joseph - LaSalle
capacité thermique
nR
CV =
γ−1
nRγ
Cp =
γ−1
capacité thermique molaire
R
CV,m =
γ−1
Rγ
Cp,m =
γ−1
capacité thermique massique
R
cV =
M (γ − 1)
Rγ
cp =
M (γ − 1)
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
De même, la deuxième loi de Joule postule que l’enthalpie interne H est également une fonction
qui dépend uniquement de la température : H = f2 (T ).
6
P RINCIPES
DE THERMODYNAMIQUE
TABLE 2.1 – Capacité thermique d’un gaz parfait
5
Pour un gaz parfait monoatomique, noté G.P.M., on a γ = = 1,67
3
7
Pour un gaz parfait diatomique, noté G.P.D., on a γ = = 1,4
5
2.4
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
—
Phases condensées
Phases ondensées —
Pour les phases condensées (solides ou liquides), on peut faire l’hypothèse que U (T ) et H(T ) sont
équivalentes.
On obtient alors :
Cp = CV = C
Et :
dU = dH = CdT = mcdT = nCm dT
2.5
Deuxième principe de la thermodynamique
2.5.1
—
Entropie
Entropie —
Pour tout système fermé, on peut définir une fonction d’état, notée S, appelée entropie, qui est
une grandeur extensive, mais non conservative. Cette grandeur peut être créée ou non, mais jamais
détruite.
2.5.2
Énoncés du deuxième principe
Comme déjà vu dans les rappels page ?? :
• Énoncé de Kelvin : Dans un système cyclique, il est impossible de convertir totalement en travail de
la chaleur extraite d’une seule source à température constante.
• Énoncé de Clausius : Dans un système cyclique, il est impossible de transférer de la chaleur d’une
source froide à une source chaude sans un apport extérieur.
—
Deuxième prinipe —
Ainsi, en pratique, toute transformation d’un système thermodynamique s’effectue avec augmentation de l’entropie totale incluant l’entropie du système ainsi que celle du milieu extérieur. On dit
alors qu’il y a création d’entropie notée Scréation ou Scréée .
∆Stotale = ∆Ssystème + ∆Sextérieur = Scréation > 0
Le deuxième principe est un principe d’évolution.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
2.6 Identités thermodynamiques
—
7
Bilan entropique —
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
Le bilan entropique se traduit par :

R

∆S
=
∆S
=
S
+
S
=
dS

système
échangée
créée


R δQ
S
=
 échangée
Text


S
créée ≥ 0
La forme différentielle du bilan entropique s’écrit :
dS = dSsystème = δSéchangée + δScréée
—
Remarque —
Dans le cas d’une transformation réversible, l’entropie créée Scréée = Scréation est nulle.
2.6
Identités thermodynamiques
2.6.1
Première identité thermodynamique
La première identité thermodynamique s’écrit :
dU = T dS − pdV
—
Remarque —
On peut se rappeler de cette relation grâce au premier principe :
dU = δW + δQ
pris dans le cas réversible :
δW = −pdV etδQ = T dS
2.6.2
Deuxième identité thermodynamique
La définition de l’enthalpie :
H = U + pV
permet d’écrire :
dH = dU + pdV + V dp
Soit :
dH = T dS + V dp
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
8
P RINCIPES
2.6.3
—
DE THERMODYNAMIQUE
Définition de la température
Température —
À l’aide de l’expression de dS dans le cas d’un système caractérisé par T , V , en identifiant les
expressions suivantes :
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
dU = T dS − pdV
Å
ã
ã
Å
∂U
∂U
dS +
dV
=
∂S V
∂V S
on peut définir la température par :
T =
—
Å
∂U
∂S
ã
V
Pression —
De même, en identifiant les expressions précédentes :
dU = T dS − pdV
Å
Å
ã
ã
∂U
∂U
=−
dS +
dV
∂S V
∂V S
on peut définir la pression par :
p=
2.7
Å
∂U
∂V
ã
S
Entropie d’un corps pur
Si le système est caractérisé par T et V , on a alors :
dS =
dU
pdV
+
T
T
relation déduite de la première identité thermodynamique, et s’il est caractérisé par p et T , on a :
dS =
V dp
dH
−
T
T
relation déduite de la deuxième identité thermodynamique.
On détermine Scréée à l’aide de la relation :
Scréée = ∆S − Séchangée
2.7.1
Variation de l’entropie pour un Gaz Parfait (G.P.)
Pour un gaz parfait, la variation d’énergie interne peut s’exprimer ainsi :
dU = nCV,m dT
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
2.7 Entropie d’un corps pur
9
et la variation d’enthalpie :
dH = nCp,m dT
dS = nCV,m
dT
dV
+ nR
T
V
dS = nCp,m
dT
dp
− nR
T
p
ou encore :
En intégrant entre les valeurs initiales (pi , Ti , Vi ) et les valeurs finales (pf , Tf , Vf ), on retrouve les formules
vues en première année :
∆S =
Z
f
Vf
Tf
δQ
+ nR ln
= nCV,m ln
T
Ti
Vi
Z
f
pf
Tf
δQ
− nR ln
= nCp,m ln
T
Ti
pi
i
ou encore :
∆S =
i
2.7.2
Rappels : Loi de Laplace
En utilisant les lois de Joule ainsi que les identités thermodynamiques, on démontre la loi de Laplace.
—
Loi de Laplae —
Pour une transformation isentropique, c’est-à-dire réversible et adiabatique, la pression p et le volume V du système sont liés à tout instant par la relation suivante :
pV γ = cte
—
Autres expressions de la loi de Laplae —
La loi de Laplace peut s’exprimer également en fonction de la température à l’aide de l’équation
des gaz parfaits :
T γ p1−γ = cte′
ou bien :
T V γ−1 = cte′′
⇒ Activité 2. 1
Démontrer la loi de Laplace sous une de ses formes.
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
Par conséquent, pour un gaz parfait G.P. la variation d’entropie élémentaire dS vaut :
10
P RINCIPES
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
2.7.3
DE THERMODYNAMIQUE
Variation de l’entropie pour une phase condensée
Pour une phase condensée, δQ = CdT = ncm dT = mcdT et on a :
dS = C
dT
dT
dT
= nCm
= mc
T
T
T
En intégrant entre les températures initiale Ti et finale Tf , on retrouve les formules vues en première année :
∆S =
Z
Tf
C
Ti
2.8
2.8.1
Tf
Tf
Tf
dT
= nCm ln
= mc ln
= C ln
T
Ti
Ti
Ti
Machines thermiques : rappels et compléments
Moteurs et machines frigorifiques
Soit Qf le transfert thermique de la source froide vers le système, en contact avec un thermostat de température Tf et Qc le transfert thermique de la source chaude vers le système en contact avec un thermostat de
température Tc .
• Le moteur ditherme est caractérisé par :
◦ Qf < 0
◦ Qc > 0
◦ W <0
• La machine frigorifique et la pompe à chaleur sont caractérisées par :
◦ Qf > 0
◦ Qc < 0
◦ W >0
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
2.8 Machines thermiques : rappels et compléments
11
Attention aux conventions : Si par exemple, la source chaude est constituée d’eau de capacité
calorifique massique ce dont la température est égale à Te et variant de Te,I à Te,F , on a alors la
relation suivante :
Z Te,F
Qc = −
ce dTe
car Qc est la chaleur reçue par le système de la part de la source chaude. C’est donc la chaleur cédée
par l’eau chaude, soit l’opposé de la chaleur reçue par celle-ci !
Dans cette étude, sachant que le système est en contact avec deux thermostats, on a les formules suivantes :
Premier principe :
∆Ucycle = W + Qf + Qc = 0
Deuxième principe :
∆Scycle =
Qf
Qc
+
+ Scréation = 0
Tc
Tf
Comme l’entropie créée Scréation est positive ou nulle, on en déduit l’inégalité de Clausius :
Qf
Qc
+
60
Tc
Tf
—
Remarques —
Dans le cas où ce sont des pseudo-sources, on a :
∆Scycle =
Z
δQc
+
Tc
Z
δQf
+ Scréation = 0
Tf
Comme précédemment, l’entropie créée Scréation est positive ou nulle et on en déduit l’inégalité de
Clausius :
Z
Z
δQc
δQf
+
60
Tc
Tf
2.8.2
—
Coefficient d’efficacité
Effiaité —
On appelle coefficient d’efficacité, notée η, le rapport de l’énergie utile de la machine thermique,
compte tenu de sa vocation, sur l’énergie dépensée, en valeur absolue.
η=
Les
Énergie utile
Énergie dépensée
unité s
:
Le rendement η est bien sûr sans unité
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
Te,I
12
P RINCIPES
2.8.2.1
DE THERMODYNAMIQUE
Cycle moteur
Le fonctionnement moteur est caractérisé par :
• W < 0 : du travail est fourni à l’extérieur,
• Qc > 0 : on prend de la chaleur à la source chaude,
• Qf < 0 : on donne de la chaleur à la source froide,
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
• η=−
W
.
Qc
2.8.2.2
Cycle frigorifique
Dans une machine frigorifique, un fluide caloporteur (CF C, N H3 , ...) circule. Sous l’action du compresseur, le fluide caloporteur passe de sa phase gazeuse à sa phase liquide. Ce faisant, il restitue de l’énergie
à la source chaude. Sous l’action du détendeur, le fluide caloporteur passe de sa phase liquide à sa phase
gazeuse. Ce faisant, il absorbe de l’énergie au contact de la source froide.
La machine frigorifique fonctionne donc à l’aide des transitions de phases, qui réclament des transferts
thermiques.
Le fonctionnement en machine frigorifique est caractérisé par :
• W > 0 : on doit consommer du travail, généralement de l’énergie électrique,
• Qc < 0 : on restitue de l’énergie à la source chaude,
• Qf > 0 : on récupère de l’énergie depuis la source froide,
• η=
Qf
.
W
2.8.2.3
Cycle de pompe à chaleur
Le fonctionnement en pompe à chaleur est caractérisé par :
• W > 0,
• Qc < 0,
• Qf > 0,
• η=−
2.8.2.4
Qc
.
W
Les différents cycles
cycle
W
Qc
Qf
η
moteur
<0
>0
<0
W
−
Qc
frigorifique
>0
<0
>0
Qf
W
pompe à chaleur
>0
<0
>0
Qc
−
W
TABLE 2.2 – Rendement et efficacités des différentes machines
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
2.8 Machines thermiques : rappels et compléments
2.8.3
13
Cycle de Carnot
Dans le diagramme de Watt (p,V )
La pente de la tangente à la courbe représentative d’une adiabatique réversible (donc isentropique) est plus
grande que celle représentant une isotherme.
Pour un gaz parfait, une transformation isotherme est décrite par la loi du gaz parfait :
pV = nRT = cste
D’où, en prenant la différentielle logarithmique :
dp dV
+
=0
p
V
On obtient la pente :
dp
p
=−
dV
V
Pour une adiabatique réversible, donc isentropique, la première identité thermodynamique donne :
dU = T dS − pdV = −pdV
La première loi de Joule donne :
dU = CV dT =
nR
dT
γ−1
Avec la loi des gaz parfaits, on a :
nRdT = d(pV ) = pdV + V dp
On en déduit :
dU =
pdV + V dp
= −pdV
γ−1
Soit :
pdV (1 + γ − 1) = −V dp
Et :
p
dp
= −γ
dV
V
On a alors la relation suivante :
Å
∂p
∂V
ã
S
=γ
Å
∂p
∂V
ã
T
Le rapport des deux pentes est γ.
Les isothermes du gaz parfait sont des hyperboles, l’isotherme Tc étant située au-dessus de l’isotherme Tf .
Les deux isothermes sont reliées par deux adiabatiques, de pentes plus importantes, d’où l’allure du cycle :
Saint Joseph - LaSalle
CPGE TSI
Physique - Chimie - CPGE TSI - Établissement Saint Joseph - LaSalle
2.8.3.1
14
P RINCIPES
DE THERMODYNAMIQUE
p(P a)
2
P2
2′
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
1′
1
P1
Tc
Tf
V (m3 )
F IGURE 2.1 – Cycle de Carnot : diagramme de Clapeyron
Pour que le cycle fournisse de l’énergie (un travail), le cycle doit être parcouru dans le sens horaire.
L’aire du cycle représente alors le travail fourni par le moteur.
Le rendement de ce moteur correspond au rapport du travail fourni sur un cycle par le moteur à la chaleur
qu’il absorbe depuis la source chaude pour pouvoir fonctionner :
η=−
W
Wfourni
=
Qc
Qc
Le premier principe permet d’écrire :
∆Ucycle = 0 = Qc + Qf + W
Le second principe permet d’écrire, si le cycle est réversible :
∆Scycle = 0 =
Qc
Qf
+
Tc
Tf
On en déduit :
η =1+
Qf
Tf
=1−
Qc
Tc
Ce rendement est indépendant de la nature du fluide, puisque seules interviennent les températures des
sources. Pour un moteur fonctionnant entre les deux mêmes sources, le second principe s’écrit, dans le cas
général, avec Scréée :
∆Scycle = 0 =
Qc
Qf
+
+ Scréée
Tc
Tf
Soit :
Qc
Qf
+
= −Scréée 6 0
Tc
Tf
On en déduit :
Tf
Qf
6−
Qc
Tc
et donc :
η=−
W
Qf
Tf
=1−
61−
= ηmax
Qc
Qc
Tc
Le rendement du cycle de Carnot est maximal pour des sources dont la température est fixée.
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CPGE TSI
2.8 Machines thermiques : rappels et compléments
2.8.3.2
—
15
Dans le diagramme entropique (T, s)
Diagramme entropique —
Le second principe s’écrit pour une transformation quelconque :
Z
δQ
+ Scréée
∆S =
T
Si la transformation est adiabatique , Q = 0 et si elle est réversible, Scréée = 0.
On en déduit ∆S = O : la transformation est alors isentropique.
Dans le diagramme entropique, les isothermes 1 → 1′ et 2 → 2′ sont horizontales, tandis que les transformations adiabatiques réversibles, donc isentropiques 1′ → 2 et 2′ → 1 sont des verticales :
T (K)
2
2′
1′
1
Tc
Tf
s( J.K −1 .kg −1 )
smax
smin
F IGURE 2.2 – Cycle de Carnot : diagramme entropique
Lors du contact avec la source chaude à la température Tc , le fluide reçoit un transfert thermique, son entropie augmente : le cycle est parcouru encore une fois dans le sens horaire.
Pour la transformation isotherme réversible 1 → 1′ en contact avec la source chaude à la température Tc ,
l’entropie du fluide croît, et :
∆S1→1′ = Smax − Smin =
Qc
Tc
De même, comme le fluide cède réversiblement de la chaleur à la source froide, son entropie décroît et :
∆S2→2′ = Smin − Smax =
Qf
Tf
L’aire du cycle rectangulaire, vaut :
A = (Smax − Smin )(Tc − Tf ) = Tc
Å
ã
Qc
Qf
− Tf −
= Qc + Qf = −W
Tc
Tf
L’aire de ce cycle est identique à l’aire du cycle dans le diagramme de Watt.
W
Wfourni
Le rendement vaut η = −
=
.
Qc
Qc
Or le travail du moteur est égal à l’aire du cycle, tandis que le second principe pour la transformation 1 → 1′
s’écrit Qc = Tc (S max − Smin ), ce qui permet d’identifier Qc à l’aire A1→1′ sous l’isotherme 1 → 1′ .
Ainsi, on trouve :
η=
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A
A1→1′
=
(Smax − Smin )(Tc − Tf )
Tf
=1−
Tc (Smax − Smin )
Tc
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Un diagramme entropique est un diagramme T −s : en abscisse est représentée l’entropie massique
alors qu’en ordonnée est représentée la température.
16
P RINCIPES
2.9
2.9.1
DE THERMODYNAMIQUE
Exercices : principes de la thermodynamique
Énoncés
◮ Exercice 2. 1 : Évolutions polytropiques
ellaSaL - hpesoJ tniaS tnemessilbatÉ - - IST EGPC - eimihC - euqisyhP
Considérons deux transformations adiabatiques pendant lesquelles pV k = cte, k ∈ R (on parle de transformation polytropique) :
• une compression pendant laquelle un gaz parfait diatomique passe de l’état (p1 = 1,0 bar, T1 =
293 K) à l’état (p2 = 9,0 bar, T2 = 609 K),
• une détente au cours de laquelle ce même gaz passe de l’état (p3 = 8,5 bar, T3 = 1300 K) à l’état
(p4 = 1,0 bar, T4 = 793 K).
1. À l’aide de la loi des gaz parfaits, établir une relation entre T et p.
En déduire la valeur de k, pour chacune des deux transformations.
2. Que vaudrait k si les transformations étaient isentropiques (adiabatiques réversibles) ? Quelles conséquences peut-on en tirer ?
3. Rappeler la première loi de joule pour un gaz parfait. À l’aide de la première identité thermodynamique, établir l’expression de la différentielle de l’entropie massique ds.
dT
4. En fait, on peut poser ds = c . Établir une relation liant c, cp , γ et k.
T
5. Que vaut k pour une transformation :
(a) isentropique ?
(b) isobare ?
6. Pour chacune des transformations, exprimer l’entropie créée et effectuer les applications numériques.
◮ Exercice 2. 2 : Briquet à air
Un briquet à air permet de réduire un volume V0 d’air, initialement à T0 = 12,0 oC et p0 = 1,00 bar, au
centième de sa valeur.
1. En prenant un modèle adiabatique réversible pour cette transformation, déterminer la pression et la
température finales si γ = 1,4.
2. Calculer ensuite la variation d’énergie interne et d’enthalpie de cette masse d’air si V0 = 2,00 cm3 .
◮ Exercice 2. 3 : Chauffage d’une école
On étudie le chauffage d’une école pendant une journée d’hiver. On appelle Text la température de l’air
extérieur. On suppose qu’à chaque instant, toute l’école est à la même température T . Quand l’école reçoit
une quantité de chaleur élémentaire δQ, sa température T varie de dT . On note C la capacité thermique de
toute l’école. On suppose que la chaleur perdue par l’école (à cause des déperditions thermiques à travers
les murs, le toit, . . .) pendant la durée dt est égale à δQperdue = aC (T − Text ) dt, a étant une constante.
On donne Text = 263 K, C = 7,60.107 J.K −1 , a = 7,90.10−5 s−1 .
1. On arrête le chauffage de l’école à l’instant t = 0, la température de l’école étant égale à T1 = 293 K.
(a) En faisant un bilan thermique, établir l’équation différentielle vérifiée par T (t).
(b) Déterminer la température T de l’école à un instant t quelconque.
(c) Calculer la température T à l’instant t1 = 3,00 h.
2. On suppose maintenant qu’à l’instant t = 0, la température de l’école est égale à T2 = 275 K et
le chauffage de l’école est mis en fonctionnement. Les radiateurs dégagent une puissance thermique
P = 210 kW constante au cours du temps.
(a) Établir l’équation différentielle vérifiée par la température T (t).
(b) Déterminer la température T de l’école à un instant t quelconque.
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2.9 Exercices : principes de la thermodynamique
17
(c) Calculer l’instant t2 pour lequel la température de l’école vaut T1 = 293 K.
Dans le cycle de Diesel, le premier temps (représenté par AB) est une compression adiabatique de l’air seul,
avec un rapport volumétrique assez élevé. Le carburant n’est injecté dans le cylindre qu’à partir de B ; la
température est alors suffisante pour que le mélange s’enflamme spontanément (sans l’aide de bougies). Le
taux d’injection est réglé de telle façon que la pression reste constante pendant la détente BC ; on néglige
alors la quantité de carburant injectée et on raisonne comme avec un gaz unique recevant de l’extérieur une
quantité de chaleur égale à celle fournie par la combustion.
On arrête alors l’injection et on laisse le mélange se détendre adiabatiquement selon CD. En D, le piston
est alors au "point mort bas" ; l’échappement et le renouvellement de l’air peuvent être décrits de façon
simplifiée en complétant le cycle par un refroidissement isochore DA (on ignore la portion AA′ A et on
raisonne comme avec un gaz unique cédant à l’extérieur une quantité de chaleur équivalente à celle perdue
par l’échappement).
p
En considérant les gaz comme parfaits, exprimer le
Cp
(supposé
rendement du cycle en fonction de γ =
Cv
indépendant de la composition du mélange),
du ã
rapÅ
VA
port volumétrique de la compression a =
et
VBã
Å
VA
.
du rapport volumétrique de la détente b =
VC
B
C
D
A′
A
V
◮ Exercice 2. 5 : Méthode de Ruchard
Une grande enceinte horizontale de volume V0 surmontée d’un
tuyau de section s est fermée par une bille de masse m qui peut
osciller sans frottement. L’enceinte contient un gaz parfait, de
coefficient γ, sous la pression au repos pe = p0 , p0 étant la
pression extérieure.
Les oscillations de la bille sont assez rapides et d’assez faible
amplitude pour qu’on puisse considérer les transformations du
gaz comme adiabatiques et réversibles.
s
p, V0
Écrire la relation fondamentale de la dynamique pour la bille et déterminer la pulsation ω0 ainsi que la
période T0 des oscillations en fonction de pe , V0 , s, m et γ.
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◮ Exercice 2. 4 : Cycle de Diesel