- BodeFct 1 - ASSERVISSEMENT Analyse fréquentielle des systèmes Analyse harmonique Pourquoi ? La réponse temporelle ne permet pas de prévoir : Le comportement du système La stabilité On ne fait que « constater » la réponse dans un cas particulier Étude intuitive : Système Chaudière + thermostat d’ambiance °C (En l’absence de Consigne (commande chaudière) perturbations extérieures) Température relevée jours Quand la consigne évolue très lentement : La réponse « suit » la commande L’amplitude relevée peut être différente de la commande Si la consigne évolue plus vite : La sortie évolue « en °C Consigne (commande chaudière) retard » si la consigne change moyennement vite L’amplitude de la Température relevée sortie tend à diminuer quand les changements se font plus fréquents ou de manière brève heures - BodeFct 2 - ASSERVISSEMENT Caractérisation du système On applique un signal variable (sinusoïdal) à l’entrée, d’amplitude U et de phase ϕu On fait varier lentement la fréquence On observe le signal de sortie : il est sinusoïdal On relève pour chaque fréquence : o L’amplitude Y du signal de sortie o La phase du signal de sortie ϕy Le retard de la sortie par rapport au signal d’entrée est donné par la différence de phase ϕ = ϕy - ϕu La différence des amplitudes entre la sortie et la consigne peut s’exprimer comme un gain G : G= Y U G = 1 si la sortie est identique à l’entrée G < 1 si la sortie est plus petite que l’entrée G > 1 si la sortie est plus grande que l’entrée Diagrammes de Bode Les diagrammes de Bode font la représentation de l’évolution de G et de ϕ quand la fréquence évolue Pour des raisons de facilité de construction, on représente en réalité : • GdB = 20 log10(G) en fonction de log10(f) • ϕ en fonction de log10(f) Permet d’obtenir des droites Détermination de G et ϕ G et ϕ sont obtenus à partir de la fonction de transfert La variable s peut s’écrire sous la forme : s = σ + jω • σ permet l’étude des régimes transitoires • ω permet d’étudier le comportement harmonique du système - BodeFct 3 - ASSERVISSEMENT Soit le système suivant : U H ( s) = Y H(s) Y ( s) U ( s) Pour l’étude en régime harmonique, on remplace s par jω Le module de Y(jω) donne l’amplitude de y(t) L’argument de Y(jω) donne la phase de y(t) Le module de U(jω) donne l’amplitude de u(t) L’argument de U(jω) donne la phase de u(t) On en déduit : G= Y ( jω ) U ( jω ) = Y ( jω ) = H ( jω ) U ( jω ) ⎛ Y ( jω ) ⎞ ⎟⎟ = arg(H ( jω ) ) ⎝ U ( jω ) ⎠ ϕ = ϕY − ϕU = arg(Y ( jω ) ) − arg(U ( jω ) ) = arg⎜⎜ Construction des diagrammes de Bode Exemple 1 : H 1 ( s) = 10 10 ⇒ H 1 ( jω ) = avec ω1 = 1/3 = 0,333 rad/s ω 1+ 3⋅ s 1+ j ω1 • quand ω→0 : H 1 ( jω ) ω →0 → 10 H 1 dB • ω →0 → 20 ⋅ log10 (10 ) = 20dB et arg(H 1 ) ω →0 → 0 quand ω→∞ : H 1 ( jω ) ω →∞ → 10 j H 1 ω →∞ → 10 ω ω1 =− 10 ⋅ j ⋅ ω1 ω ω1 ⇒ H 1 dB → 20 ⋅ log10 (10 ⋅ ω1 ) − 20 ⋅ log10 (ω ) ω →∞ ω est de la forme aX+b dans une échelle logarithmique (X=log10(ω)) → équation d’une droite de pente -20 dB/décade passant par [ω1 ,20dB ] et arg(H 1 ) ω →∞ → arg(− j ) = − π 2 - BodeFct 4 - ASSERVISSEMENT quand ω=ω1 : H 1 ( jω1 ) → 10 1+ j ( ) 10 H 1 ( jω1 ) = = ⇒ H 1 ( jω1 ) dB = 20 ⋅ log10 (10) − 20 ⋅ log10 2 ≈ 17dB 14 4244 3 2 12 + 12 ≈3 dB 10 π 1+j j Re π 4 3 dB 20 dB 20 dB/déc ω1/10 Im 1 arg(H 1 ( jω1 )) = arg(10 ) − arg(1 + j ) = − 1 424 3 4 ω1 • 10.ω1 - BodeFct 5 - ASSERVISSEMENT Exemple 2 : H 2 ( s) = 10 ⋅ s 1+ 3⋅ s - BodeFct 6 - ASSERVISSEMENT II.3. Fonctions particulières II.3.a. Premier ordre Réponse temporelle (A=1) H (s) = u(t) : échelon unitaire A 1 + τs τ=1 H (s) = A ⋅ 1 + τ 1s 1 + τ 2s τ 1 < τ2 τ1 = 1 τ2 = 2 H (s) = A ⋅ 1 + τ 1s 1 + τ 2s τ 1 > τ2 τ1 = 2 τ2 = 1 si H ( s) = A . 1 − τs Î pôle à partie réelle positive Î système instable. Réponse indicielle : Réponse fréquentielle Amplitude (dB) Phase (degrés) - BodeFct 7 - ASSERVISSEMENT II.3.b. Deuxième ordre H (s) = 1 + 2m A s ω0 + s2 ω 02 A : Gain statique m : coefficient d'amortissement ω0 : pulsation caractéristique II.3.c. Intégrateur U y& = u ⇒ H ( s ) = - 1 s réponse impulsionnelle Y 1 s u(t) t u (t ) = A ⋅ δ (t ) ⇒ y (t ) = ∫ Aδ (τ )dτ = A y(t) 0 ceci traduit un changement de la valeur initiale de l’intégrateur. y(t) - réponse indicielle u(t) u (t ) = A ⋅ Γ(t ) ⇒ y (t ) = A ⋅ t L'intégrateur seul est un système instable : entrée constante ⇒ sortie diverge - BodeFct 8 - ASSERVISSEMENT - réponse harmonique H ( s) = ω0 s H (ω ) → ou ω0 jω H (ω ) dB → 20 ⋅ log10 (ω 0 ) − 20 ⋅ log10 (ω ) Gain : Î droite de pente –20dB/décade, passant par 0 dB en ω=ω0. Phase : Arg (H (ω ) ) = − π 2 Î retard de phase constant. L'intégrateur atténue les fréquences élevées et renforce les fréquences basses Quand ω=0 , le gain est infini U Y s II.3.d. Dérivateur y = u& ⇒ H ( s) = s . - réponse indicielle : y(t) → y(t) impulsion ⇒ Energie infinie → dérivateur parfait n’existe pas (montages approchés) - réponse harmonique H (ω ) → j ⋅ω ω0 Gain : Î Droite de pente de +20dB/décade, passant par le point [ω0,0]. Phase : Î Avance de phase de π 2 . Le dérivateur amplifie les fréquences hautes ⇒ Augmente le bruit HF → peut rendre y(t) inutilisable u(t) - BodeFct 9 - ASSERVISSEMENT II.3.e. Gain y = A ⋅ u ⇒ H (s) = A . - Réponse indicielle : y(t) si A>0 A.u u(t) y(t) si A<0 A.u - Réponse harmonique : Gain : 20 ⋅ log10 ( A ) . Phase : 0 si A est positif π si A est négatif. II.3.f. Retard L Exemple : v : vitesse du fluide fluide L : longueur du conduit Système de chauffage T : retard T= L v L( x(t − τ ) ) = e − sτ ⋅ X ( s) - Réponse harmonique : Gain : e − jωτ = 1 ⇒ G = 0dB. ( ) Phase : arg e − jωτ = −ω ⋅ τ . Capteur de température U e-sτ Y - BodeFct 10 - ASSERVISSEMENT - Approximations : Forme simple : e − sτ ≈ 1 − s τ + et (sτ )2 − (sτ )3 2! +K 3! 1 2 3 ≈ 1 − sτ + (sτ ) − (sτ ) + K 1 + sτ ⇒ e − sτ ≈ 1 1 + sτ Approximation de Padé : e − sτ 1− s τ 2 = 1 − sτ + ( sτ ) − ( sτ ) + K ≈ τ 2 4 1+ s 2 2 3 pour ω < Æ Module = 1 ⎛ ωτ ⎞ Æ Phase = − 2arctg ⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ (≈-ωτ quand ω → 0 ). Autre approximation : τ ( sτ ) 1− s + 2 12 . ≈ τ (sτ )2 1+ s + 2 12 2 e − sτ 2 τ .
