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analyse-frequentielle-des-systemes

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- BodeFct 1 -
ASSERVISSEMENT
Analyse fréquentielle des systèmes
Analyse harmonique
Pourquoi ?
La réponse temporelle ne permet pas de prévoir :
Le comportement du système
La stabilité
On ne fait que « constater » la réponse dans un cas particulier
Étude intuitive :
Système Chaudière + thermostat d’ambiance
°C
(En l’absence de
Consigne (commande chaudière)
perturbations
extérieures)
Température relevée
jours
Quand la consigne évolue très lentement :
La réponse « suit » la commande
L’amplitude relevée peut être différente de la commande
Si la consigne évolue plus vite :
La sortie évolue « en
°C
Consigne (commande chaudière)
retard » si la
consigne change
moyennement vite
L’amplitude de la
Température relevée
sortie tend à
diminuer quand les
changements se font plus fréquents ou de manière brève
heures
- BodeFct 2 -
ASSERVISSEMENT
Caractérisation du système
On applique un signal variable (sinusoïdal) à l’entrée, d’amplitude U et de phase ϕu
On fait varier lentement la fréquence
On observe le signal de sortie : il est sinusoïdal
On relève pour chaque fréquence :
o L’amplitude Y du signal de sortie
o La phase du signal de sortie ϕy
Le retard de la sortie par rapport au signal d’entrée est donné par la différence de phase ϕ = ϕy - ϕu
La différence des amplitudes entre la sortie et la consigne peut s’exprimer comme un gain G :
G=
Y
U
G = 1 si la sortie est identique à l’entrée
G < 1 si la sortie est plus petite que l’entrée
G > 1 si la sortie est plus grande que l’entrée
Diagrammes de Bode
Les diagrammes de Bode font la représentation de l’évolution de G et de ϕ quand la fréquence évolue
Pour des raisons de facilité de construction, on représente en réalité :
•
GdB = 20 log10(G) en fonction de log10(f)
•
ϕ en fonction de log10(f)
Permet d’obtenir des
droites
Détermination de G et ϕ
G et ϕ sont obtenus à partir de la fonction de transfert
La variable s peut s’écrire sous la forme : s = σ + jω
•
σ permet l’étude des régimes transitoires
•
ω permet d’étudier le comportement harmonique du système
- BodeFct 3 -
ASSERVISSEMENT
Soit le système suivant :
U
H ( s) =
Y
H(s)
Y ( s)
U ( s)
Pour l’étude en régime harmonique, on remplace s par jω
Le module de Y(jω) donne l’amplitude de y(t)
L’argument de Y(jω) donne la phase de y(t)
Le module de U(jω) donne l’amplitude de u(t)
L’argument de U(jω) donne la phase de u(t)
On en déduit :
G=
Y ( jω )
U ( jω )
=
Y ( jω )
= H ( jω )
U ( jω )
⎛ Y ( jω ) ⎞
⎟⎟ = arg(H ( jω ) )
⎝ U ( jω ) ⎠
ϕ = ϕY − ϕU = arg(Y ( jω ) ) − arg(U ( jω ) ) = arg⎜⎜
Construction des diagrammes de Bode
Exemple 1 :
H 1 ( s) =
10
10
⇒ H 1 ( jω ) =
avec ω1 = 1/3 = 0,333 rad/s
ω
1+ 3⋅ s
1+ j
ω1
•
quand ω→0 : H 1 ( jω ) ω →0 → 10
H 1 dB
•
ω →0
→ 20 ⋅ log10 (10 ) = 20dB et arg(H 1 ) ω →0 → 0
quand ω→∞ : H 1 ( jω ) ω →∞ →
10
j
H 1 ω →∞ → 10
ω
ω1
=−
10 ⋅ j ⋅ ω1
ω
ω1
⇒ H 1 dB
→ 20 ⋅ log10 (10 ⋅ ω1 ) − 20 ⋅ log10 (ω )
ω →∞
ω
est de la forme aX+b dans une échelle logarithmique (X=log10(ω))
→ équation d’une droite de pente -20 dB/décade passant par [ω1 ,20dB ]
et arg(H 1 ) ω →∞ → arg(− j ) = −
π
2
- BodeFct 4 -
ASSERVISSEMENT
quand ω=ω1 : H 1 ( jω1 ) →
10
1+ j
( )
10
H 1 ( jω1 ) =
=
⇒ H 1 ( jω1 ) dB = 20 ⋅ log10 (10) − 20 ⋅ log10 2 ≈ 17dB
14
4244
3
2
12 + 12
≈3 dB
10
π
1+j
j
Re
π
4
3 dB
20 dB
20 dB/déc
ω1/10
Im
1
arg(H 1 ( jω1 )) = arg(10 ) − arg(1 + j ) = −
1
424
3
4
ω1
•
10.ω1
- BodeFct 5 -
ASSERVISSEMENT
Exemple 2 :
H 2 ( s) =
10 ⋅ s
1+ 3⋅ s
- BodeFct 6 -
ASSERVISSEMENT
II.3. Fonctions particulières
II.3.a. Premier ordre
Réponse temporelle
(A=1)
H (s) =
u(t) : échelon unitaire
A
1 + τs
τ=1
H (s) = A ⋅
1 + τ 1s
1 + τ 2s
τ 1 < τ2
τ1 = 1
τ2 = 2
H (s) = A ⋅
1 + τ 1s
1 + τ 2s
τ 1 > τ2
τ1 = 2
τ2 = 1
si H ( s) =
A
.
1 − τs
Î pôle à partie réelle positive
Î système instable.
Réponse indicielle :
Réponse fréquentielle
Amplitude (dB)
Phase (degrés)
- BodeFct 7 -
ASSERVISSEMENT
II.3.b. Deuxième ordre
H (s) =
1 + 2m
A
s
ω0
+
s2
ω 02
A : Gain statique
m : coefficient d'amortissement
ω0 : pulsation caractéristique
II.3.c. Intégrateur
U
y& = u ⇒ H ( s ) =
-
1
s
réponse impulsionnelle
Y
1
s
u(t)
t
u (t ) = A ⋅ δ (t ) ⇒ y (t ) = ∫ Aδ (τ )dτ = A
y(t)
0
ceci traduit un changement de la valeur initiale de l’intégrateur.
y(t)
-
réponse indicielle
u(t)
u (t ) = A ⋅ Γ(t ) ⇒ y (t ) = A ⋅ t
L'intégrateur seul est un système instable :
entrée constante ⇒ sortie diverge
- BodeFct 8 -
ASSERVISSEMENT
-
réponse harmonique
H ( s) =
ω0
s
H (ω ) →
ou
ω0
jω
H (ω ) dB → 20 ⋅ log10 (ω 0 ) − 20 ⋅ log10 (ω )
Gain :
Î droite de pente –20dB/décade, passant par 0 dB en ω=ω0.
Phase :
Arg (H (ω ) ) = −
π
2
Î retard de phase constant.
L'intégrateur
atténue les fréquences élevées et
renforce les fréquences basses
Quand ω=0 , le gain est infini
U
Y
s
II.3.d. Dérivateur
y = u& ⇒ H ( s) = s .
-
réponse indicielle :
y(t)
→ y(t) impulsion ⇒ Energie infinie
→ dérivateur parfait n’existe pas (montages approchés)
-
réponse harmonique
H (ω ) →
j ⋅ω
ω0
Gain : Î Droite de pente de +20dB/décade, passant par le point [ω0,0].
Phase : Î Avance de phase de
π
2
.
Le dérivateur amplifie les fréquences hautes
⇒ Augmente le bruit HF → peut rendre y(t) inutilisable
u(t)
- BodeFct 9 -
ASSERVISSEMENT
II.3.e. Gain
y = A ⋅ u ⇒ H (s) = A .
-
Réponse indicielle :
y(t) si A>0
A.u
u(t)
y(t) si A<0
A.u
-
Réponse harmonique :
Gain : 20 ⋅ log10 ( A ) .
Phase :
0 si A est positif
π si A est négatif.
II.3.f. Retard
L
Exemple :
v : vitesse du fluide
fluide
L : longueur du conduit
Système de
chauffage
T : retard
T=
L
v
L( x(t − τ ) ) = e − sτ ⋅ X ( s)
-
Réponse harmonique :
Gain : e − jωτ = 1 ⇒ G = 0dB.
(
)
Phase : arg e − jωτ = −ω ⋅ τ .
Capteur de
température
U
e-sτ
Y
- BodeFct 10 -
ASSERVISSEMENT
-
Approximations :
Forme simple :
e − sτ ≈ 1 − s τ +
et
(sτ )2 − (sτ )3
2!
+K
3!
1
2
3
≈ 1 − sτ + (sτ ) − (sτ ) + K
1 + sτ
⇒ e − sτ ≈
1
1 + sτ
Approximation de Padé :
e
− sτ
1− s
τ
2 = 1 − sτ + ( sτ ) − ( sτ ) + K
≈
τ
2
4
1+ s
2
2
3
pour ω <
Æ Module = 1
⎛ ωτ ⎞
Æ Phase = − 2arctg ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠
(≈-ωτ quand ω → 0 ).
Autre approximation :
τ ( sτ )
1− s +
2
12 .
≈
τ (sτ )2
1+ s +
2
12
2
e − sτ
2
τ
.
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