COMMANDE DUNE MACHINE SYNCHRONE A AIMANTS PERMANE

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COMMANDE D'UNE MACHINE SYNCHRONE A AIMANTS PERMANENTS ET
ESTIMATION DE CES PARAMETRES EN UTILISANT LE FILTRE DE KALMAN
ETENDU
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3 authors, including:
F. Benchabane
K. Yahia
Université de Biskra
CISE - Electromechatronic Systems Research Centre, University of Beira Interior, Cov…
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Courrier du Savoir – N°07, Décembre 2006, pp.37-43
COMMANDE D’UNE MACHINE SYNCHRONE A AIMANTS
PERMANENTS ET ESTIMATION DE CES PARAMETRES
EN UTILISANT LE FILTRE DE KALMAN ETENDU
A. TITAOUINE1, F. BENCHABANE2, K. YAHIA2, PR: A. MOUSSI1.
1. Laboratoire LMSE, Université Biskra, B. P 145 Biskra, Algérie,
2. Laboratoire LGEB, Université de Biskra, B. P 145 Biskra, Algérie.
[email protected]
[email protected]
RESUME
Cet article présente la commande non linéaire d’une machine synchrone sans capteurs mécaniques de vitesse, position et
couple de charge. La machine synchrone est alimentée par un onduleur de tension commandé par la technique MLI (sinustriangle). La méthode utilisée pour l’estimation, sera substituée par un algorithme temps réel basé sur le filtre de Kalman
étendu.
Les résultats obtenus par simulation, montrent l’efficacité du filtre de Kalman étendu. Ils se caractérisent par une erreur
d’estimation très petite pour différentes vitesses de rotation (grandes vitesses, basses vitesses) ainsi, que par l’insensibilité aux
variations de la charge.
MOTS CLES: Machine synchrone, modèle mathématique, commande non linéaire, filtre de Kalman étendu, estimation,
identification.
1 INTRODUCTION
Les machines synchrones à aimants permanents se
répandent de plus en plus comme actionneurs dans les
industries automatisées où ils remplacent les moteurs à
courant continu. Ils présentent sur ces derniers l’avantage
d’avoir de meilleures performances (en terme de couple
massique, par exemple) et de ne pas avoir de collecteur
mécanique (ce collecteur pose des problèmes d’entretien et
de comportement dans les environnements difficiles) [1].
En revanche, ils sont plus exigeants, le moteur à courant
continu est alimenté par un convertisseur statique simple
(un redresseur ou un onduleur) et une régulation de son
courant d’induit permet de maîtriser le couple. Pour le
MSAP, la fonction de collecteur est réalisée par un
ensemble électronique : un onduleur de puissance, une
mesure de position et une commande des courants pour
contrôler le couple.
La commande non linéaire présente l’avantage de pouvoir
commander séparément les courants et le couple. Avec
cette technique de commande, le modèle du moteur est
décomposé en deux sous systèmes linéaires mono
variables indépendants.
Chaque sous système représente une boucle indépendante
de commande d’une variable donnée (vitesse, couple,
courant etc.). La dynamique du système linéarisé est
choisie par une imposition optimale des pôles.
2 MODELISATION DE LA MACHINE
Le modèle de machine synchrone, exprimé dans le
référentiel lié au rotor sous forme d'équations d’état avec
les hypothèses simplificatrices [2], s’écrit :
⎧⎪ •
X = F(X) + G ⋅ U
⎨
⎪⎩Y = H(X)
(1)
avec :
⎡ y (X) ⎤ ⎡ h1 (X) ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ Id ⎤
Y(X) = ⎢ 1
⎥=⎢
⎥=⎢ ⎥=⎢ ⎥
⎣ y 2 (X) ⎦ ⎣ h 2 (X) ⎦ ⎣ x 3 ⎦ ⎣ Ω ⎦
Université Mohamed Khider – Biskra, Algérie, 2006
(2)
A. Titaouine & al.
⎡ 1
⎢L
⎢ d
⎡ x1 ⎤ ⎡ Id ⎤
⎡ Vd ⎤
⎢
⎢ ⎥
⎢
⎥
X = ⎢ x 2 ⎥ = ⎢ Iq ⎥ ; U = ⎢ ⎥ ; G = ⎢0
⎣ Vq ⎦
⎢
⎢ ⎥
⎣⎢ x 3 ⎦⎥ ⎣ Ω ⎦
⎢0
⎢
⎣
⎤
0 ⎥
⎥
1 ⎥
⎥
Lq ⎥
0 ⎥
⎥
⎦
avec :
L2f h 2 (x) = f1 ⋅ p
J
; c3 =
Finalement, la relation entrée- sortie du modèle est donnée
par l’expression suivante :
⎡d
⎤
⎡•
⎤ ⎢ Id ⎥
y
(x)
⎡ Vd ⎤
⎢ 1
⎥ = ⎢ dt
⎥
⎢ ••
⎥ ⎢ d 2 ⎥ = A(X) + D(X) ⎢ Vq ⎥
⎣⎢ ⎦⎥
⎢⎣ y 2 (x) ⎥⎦ ⎢
Ω⎥
⎣ dt 2 ⎦
p ⋅ φf
J
degré relatif par rapport à la sortie y1 (x)
•
y1 (x) = h1 (x) = Lf h1 (x) + Lg h1 (x) ⋅ U
(3)
où
•
g1
⎡
D(X) = ⎢
(L
⎢g ⋅ p d − Lq ) x
2
⎢⎣ 1
J
⎤
⎥
)⎥
⎥⎦
0
g2 ⋅(
p(Ld − Lq )
J
φ
x1 + p f
J
(6)
D : étant la matrice de découplage. En remplaçant
l’expression (6) dans (5) on obtient un système linéarisé et
découplé :
(4)
Lg h 2 (x) = 0
⎡d
⎤
⎡•
⎤ ⎢ Id ⎥
y
(x)
⎡ v1 ⎤
dt
⎢ 1
⎥=⎢
⎥
⎢ ••
⎥ ⎢ d2 ⎥ = ⎢v ⎥
⎣ 2⎦
⎣⎢ y 2 (x) ⎦⎥ ⎢ 2 Ω ⎥
⎣ dt
⎦
la dérivée de lie de H 2 (x) relative à g est nulle.
•
y 2 (x) = Lf h 2 (x) = f3
Nous voyons que la dérivée de la seconde sortie ne fait pas
intervenir l’entrée U , il faut dériver une seconde fois cette
sortie.
••
⎤
⎥
⎞
f⎥
−
f
⎟ 3 ⎥
J⎦
⎠
⎡
⎡ Vd ⎤
⎛ v1 ⎞ ⎤
−1
⎢ ⎥ = D (X) ⎢ −A(X) + ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣
⎝ v 2 ⎠ ⎥⎦
⎣⎢ Vq ⎦⎥
degré relatif par rapport à la sortie y2(x)
•
f1
⎡
⎢
(Ld − Lq )
A(X) = ⎢
⎛ p ⋅ (Ld − Lq )
φ
x 2 + f2 ⎜
x1 + p f
⎢f1 ⋅ p
J
J
J
⎝
⎣
Si le déterminant de la matrice de découplage est non nul,
la loi de commande (NL) est définie par une relation qui
(v1 , v 2 )
relie les nouvelles entrées internes
aux entrés
(Vd , Vq )
physiques
le degré relatif étant r1 = 1 .
y 2 (x) = h 2 (x) = Lf h 2 (x) + Lg h 2 (x) ⋅ U = f3
(5)
où :
La condition de linéarisation permettant de vérifier si un
système non linéaire admet une linéarisation entrée sortie
est l’ordre du degré du système [2].
= f1 + g1 Vd
1 p(Ld − Lq )
φ ⎤
(
x1 + p f ) ⎥
Lq
J
J ⎦⎥
Le système est exactement linéarisable r = n = 3 , ou n est
l’ordre du système (1).
3 LINEARISATION ENTREE-SORTIE DE
LA MACHINE SYNCHRONE
•
⎞
f
⎟ − f3
J
⎠
Le degré relatif du système est r = r1 + r2 = 3
p ⋅ Lq
R
R
p ⋅ Ld
a1 = − s ; a 2 =
; b1 = − s ; b 2 = −
Ld
Ld
Lq
Lq
p ⋅ φf
f
; c1 = − ; c 2 =
Lq
J
⎛ p ⋅ (Ld − Lq )
φ
x 2 + f2 ⎜
x1 + p f
J
J
⎝
le degré relatif par rapport à y 2 est r2 = 2 .
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
et
b3 = −
J
⎡ 1 (Ld − Lq )
Lg Lf h 2 (x) = ⎢ p
x2
J
⎣⎢ Ld
⎡
⎡f1 (X) ⎤ ⎢ a1 ⋅ x1 + a 2 ⋅ x 2 ⋅ x 3
⎢
⎥ ⎢
F(X) = ⎢f 2 (X) ⎥ = ⎢ b1 ⋅ x 2 + b 2 ⋅ x1 ⋅ x 3 + b3 ⋅ x 3
⎢⎣f 3 (X) ⎥⎦ ⎢
C
⎢ c1 ⋅ x 3 + c2 ⋅ x1 ⋅ x 2 + c3 x 2 − r
⎢⎣
J
p ⋅ (Ld − Lq )
(Ld − Lq )
••
y 2 (x) = h 2 (x) = L2f h 2 (x) + Lg Lf h 2 (x) ⋅ U
38
(7)
Commande d’une machine synchrone a aimants permanents et estimation de ces paramètres
en utilisant le filtre de Kalman étendu
4 COMMANDE
VITESSE
NON
LINEAIRE
Ce filtre repose sur un certain nombre d’hypothèses,
notamment sur les bruits. En effet, il suppose que les bruits
qui affectent le modèle sont centrés et blancs et que ceuxci sont décorrelés des états estimés. De plus, les bruits
d’état doivent être décorrelés des bruits de mesure.
EN
4.1 Algorithme de commande
Pour imposer le régime statique et une dynamique sur
l’erreur, les entrées internes sont calculées de la façon
suivante [2] [3].
d
− Id ) + Idref
dt
v1 = k11 (Idref
v1 = k 22 (Ωref − Ω) + k 21 (
5.2 Algorithme
La procédure d’estimation se décompose en deux étapes
[4][5] :
(8)
dΩref dΩ d 2 Ωref
−
)
dt
dt
dt 2
•
ˆ + 1 / k) = f (x(k
ˆ / k), u(k))
x(k
(9)
En boucle fermée, l’erreur de poursuite est :
d
e1 + k11 = 0
dt
d2
dt 2
e2 + k 21
(12)
Cette étape permet de construire une première estimation
du vecteur d’état à l’instant k + 1 . On cherche alors à
déterminer sa variance.
(10)
d
e 2 + k 22 e 2 = 0
dt
Une étape de prédiction :
P(k + 1 / k) = F(k)P(k)F(k)T + Q
(11)
(13)
avec :
avec :
F(k) =
e1 = Idref − Id
e 2 = Ωref − Ω
Les coefficients k11 , k 21 , k 22 sont choisis tels que :
•
P + k11 = 0
∂f (x(k), u(k))
∂x T (k)
ˆ / k)
x(k) = x(k
Une étape de correction :
En minimisant la variance de l’erreur, on obtient les
expressions suivantes :
P 2 + k 21 P + k 22 = 0
•
Le schéma de cet algorithme est illustré à la figure 1.
calcul du gain de Kalman :
K(k + 1) = P(k + 1 / k).H(k)T .(H(k)P(k + 1 / k)H(k)T + R) −1
(14)
Estimation de Cr
avec :
Idref +
-
v1
k11
Ω ref +
+
k 22
d
dt
-
+
+
H(k) =
Id
D −1
Vd , Vq
MSAP
Ω
•
k 21
A(X)
∂h(x(k))
∂x(k) x(k) = x(k)
ˆ
Calcul de la matrice de covariance de l’erreur du
filtre :
P(k + 1 / k + 1) = P(k + 1 / k) − K(k + 1)H(k)P(k + 1 / k)
Ω, Id ,Iq
(15)
Figure 1 : Principe de la commande N.L en vitesse
•
Estimation du vecteur d’état à l’instant k + 1 :
ˆ + 1/ k + 1) = x(k
ˆ + 1/ k) + K(k + 1)(y(k + 1) − Hx(k
ˆ + 1/ k))
x(k
5 DEVELOPPEMENT
L'ALGORITHME
ETENDU
DE
DE
KALMAN
(16)
La simulation de la machine et la commande non linéaire
est implantée avec Matlab/Simulink. Le filtre de Kalman
étendu présente un algorithme très complexe avec des
opérations matricielles. Il est très difficile d'implanter
toutes ces opérations matricielles en utilisant seulement
Simulink. Ce filtre est implanté donc comme une "Sfunction" (fonction système), puis, il est inséré dans le
5.1 Principe
Le filtre de Kalman étendu est un outil mathématique
capable de déterminer des grandeurs d'états non
mesurables évolutives ou des paramètres du système d'état
à partir des grandeurs physiques mesurables [4].
39
A. Titaouine & al.
schéma de simulation global en Simulink sous forme d'un
bloc "S-function" (figure 2). L'utilisation des "S-function"
est incontournable pour la description des processus
complexes, difficilement représentables graphiquement ou
encore pour les systèmes sous forme de jeu d'équations
[6],[7].
Ω ref +
-
Vd
Idref +
Ω̂
Îd
Îq
-
C.N.L
Vq
Vd
Vq
θ̂
1
1
Filtre de
Kalman
Etendu
Tension
2
Courant
S-Function
Îq
Îd
2
Îq
3
Ω̂
4
θ̂
5
Ĉr
Ω̂
Îd
T −1
Filtre de
Kalman étendu
Onduleur
à
MLI
MSAP
T
Id
Iq
T'
Ĉr
Figure 3 : Commande non linéaire en vitesse avec Application du
filtre de Kalman étendu
7 RESULTATS DE SIMULATION
Figure 2 : Représentation du filtre de Kalman étendu
sous forme de S-function
Afin d'évaluer les performances de l'algorithme
d'estimation par le filtre de Kalman étendu et par
conséquent les performances du système d'entraînement
global, nous avons soumis notre système à divers tests de
simulation, pour une commande non linéaire en vitesse et
en position.
Le filtre de Kalman étendu est utilisé pour estimer les
courants statorique Id, Iq , la vitesse, la position et le couple
de charge du MSAP, alimenté par un onduleur de tension à
MLI .
La figure 4 montre une réponse de vitesse lors du
démarrage à vide du MSAP pour un échelon de consigne
de 100 rd / s , suivie d'une application d’une charge de
6 COMMANDE NON LINEAIRE SANS
CAPTEURS MECANIQUE DE VITESSE
ET DE POSITION AVEC ESTIMATION
DU COUPLE DE CHARGE
5 Nm à partir de t=0.2 s . Notons, que les réponses en
vitesse et en position estimées et réelles sont données dans
le même graphe.
Pour tester la robustesse de la commande, on donne les
résultats de simulation de la figure 5 qui présente le
comportement de la MSAP pour une réponse de vitesse
évolue comme suit: à l'instant initial, on applique un
échelon de vitesse de 100rad/s. A t= 0.1s, on applique un
couple de charge de 5Nm puis on l’annule a l’instant
t=0.15; le sens de rotation du moteur est inversé à 100rad/s à t=0.3 s et finalement à t=0.4s, la référence de
vitesse devient +20rad/s.
La figure 3 représente le schéma global simulé de la CNL
du MSAP associée au filtre de Kalman étendu.
Dans ce modèle non linéaire, on a supposé que la vitesse
mécanique est un état et pas un paramètre.
⎧ x(k + 1) = f (x(k), u(k)) + w(k)
⎨
⎩ y(k) = h(x(k)) + v(k)
(17)
avec :
f (x(k), u(k)) = ⎡⎣ Id
Iq
On observe que les résultats d'estimation sont très
satisfaisants en terme de robustesse. En effet, la figure 4 et
5 montrent que les erreurs d'estimation sont faibles, même
lors des variations importantes de la vitesse. On peut noter
que cet algorithme de réglage sans capteurs proposé
possède une large capacité de réglage de vitesse et une
bonne réponse aussi bien en régime transitoire qu'en
régime statique.
T
Ω θ Cr ⎤⎦ =
Lq
⎡
⎤
Rs
1
)Id + pΩTs
Iq + Ts
Vd
⎢ (1 − Ts
⎥
L
L
L
d
d
d
⎢
⎥
⎢
⎥
φsf
Ld
Rs
1
⎢ (− pΩTs
)Id + (1 − Ts
)Iq − Ts
pΩ + Ts
Vq ⎥
Lq
Lq
Lq
Lq
⎢
⎥
⎢
⎥
L
−
L
φsf
f
1 ⎥
q
⎢ pT d
I
I
pT
I
(1
T
)
T
C
+
+
−
Ω
−
q d
s
q
s
s
r
⎢ s
J
J
J
J ⎥
⎢
⎥
Ω
⎢
⎥
⎢
⎥
0
⎢
⎥
T
⎢
⎥
et :
h = ⎡⎣ Id Iq ⎤⎦
⎢
⎥
⎢⎣
⎥⎦
40
Commande d’une machine synchrone a aimants permanents et estimation de ces paramètres
en utilisant le filtre de Kalman étendu
Ω (rad / s)
5
100
4
103
3
102
101
50
2
100
99
98
0.09
0
20
Erreur (rad / s)
0
0.05
θ (rad)
1
0.1
0.11
0.1
0.12
0.13
0.15
t(s)
0.2
0.15
t(s)
0.2
0.1
0.15
t(s)
0.2
0.1
0.15
t(s)
0.2
0
0
0.05
Erreur (rad)
0.01
0.1
15
10
0
5
0
6
0
0.05
Cr (Nm)
0.1
0.15
t(s)
-0.01
0.2
0
0.05
Erreur (Nm)
6
4
4
2
2
0
-2
0
0.05
0.1
0.15
0
t(s)
0.2
Iq (A)
50
0.4
40
0.3
30
0.2
20
0.1
10
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0
0.1
-2
0
0
0.05
0.1
0.15
0
0.05
Erreur (A)
0.1
0.15
t(s)
0.2
0
0.1
0.15
t(s)
0.2
0
t(s)
0.2
Id (A)
2
-4
0
0.05
Erreur (A)
t(s)
0.2
-0.1
0.05
Figure 4 : Comportement dynamique de la machine (application de la charge) pour l’asservissement de la vitesse par une commande non linéaire
associée au filtre de Kalman étendu.
41
A. Titaouine & al.
Ω (rad / s)
102
100
6
98
50
96
94
0.1
0.13
0.15
0
4
-50
2
-100
0
0.1
θ (rad)
0.2
0.3
0.4
t(s)
0.5
0
0.1
0.2
Erreur (rad)
0.3
0.4
t(s)
0.5
0
0.1
0.2
Erreur (Nm)
0.3
0.4
t(s)
0.5
0.2
0.3
0.4
0.5
0.2
0.3
0.4
0.5
0.2
0.3
0.4
0.5
0
0.02
20
0.01
15
10
0
5
-0.01
0
Erreur (rad / s)
8
104
100
0
0.1
Cr (Nm)
0.2
0.3
0.4
t(s)
0.5
-0.02
5
10
0
5
-5
-10
0
50
0.1
Iq (A)
0.2
0.3
0.4
t(s)
0.5
t(s)
0
0
0.1
Erreur (A)
0.4
0
0.3
0.2
-50
0.1
t(s)
0
2
0.1
0.2
0.3
0.4
t(s)
0
0.5
0
Id (A)
0.8
0.1
Erreur (A)
0.6
0
0.4
-2
-4
0.2
0
t(s)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
t(s)
0
0.1
Figure 5 : Comportement dynamique de la machine (inversion du sens de rotation et basse vitesse) pour l’asservissement de la vitesse par une
commande non linéaire associée au filtre de Kalman étendu.
42
Commande d’une machine synchrone a aimants permanents et estimation de ces paramètres
en utilisant le filtre de Kalman étendu
REFERENCES
8 CONCLUSION
[1] E.
Smigiel,
G.
Sturtzer" Modélisation
et
Commande
Des
Moteurs
Triphasés,Commande
vectorielle des moteurs synchrones, commande
numérique par contrôleurs DSP". Edition Ellipses,
2000.
Dans cet article, nous avons présenté un observateur d’état
non linéaire (filtre de Kalman étendu) pour estimer la
vitesse de rotation mécanique, la position du rotor et le
couple de charge d’un MSAP commandé par la technique
de commande non linéaire (CNL).
[2] S. Rebouh "Study of the vector and nonlinear
control performances of a permanent magnet
synchronous
motor".
Third
international
conference on systems, signals & devices. 2005Sousse, Tunisia.
Les résultats obtenus en simulation montrent l’efficacité du
filtre de Kalman étendu. Ils se traduisent par une erreur
d’estimation très petite pour différentes vitesses de rotation
(grandes vitesses, basses vitesses) ainsi que par
l’insensibilité aux variations de la charge.
[3] S. Frikha "Nonlinear control of a permanent
magnet synchronous motor". Third international
conference on systems, signals & devices. 2005Sousse, Tunisia.
[4] R.
Benchaib " Application
des
modes
de
glissement pour la commande en temps réel de la
machine asynchrone", Thèse de doctorat de
l’université de Picardie Jules Vernes, France,
1998.
PARAMETRES DE LA MACHINE [8]
Ld = 4mH, Lq = 2.8mH,
−3
φf = 0.12Wb,
J = 1.1.10 Kg.m , f = 1.4.10−3 Nm.s.rd −1 ,
Cr = 8.5Nm, R s = 0.6Ω, Iqn = 20A, p = 4.
2
[5] M.Boussak,
R.
Pilioua-Sendo
"Commande
vectorielle
sans
capteur
mécanique
avec
l’estimation
de
la
position
initiale
des
servomoteurs
synchrones
à
aimants",
16éme
journées
Tunisiennes
d’Electrotechnique
et
d’automatique, Hammamet Tunisie, 8 et 9
Novembre 1996 .
Les matrices de covariances de bruits d’état et de mesure
sont données comme suit :
(
P = diag ( ⎡⎣1e
R = diag ( ⎡⎣1e
Q = diag ⎡⎣1e2
1e2
1e2
2
1e2
1e 2
2
2
2
1e
1e
)
1e ⎤⎦ )
1e ⎤⎦ )
1e 2 ⎤⎦
2
[6] F.
Morand
"Techniques
d’observation
sans
capteur de vitesse en vue de la commande des
machines
asynchrones".
Thèse
de
doctorat
L’Institut National des Sciences Appliquées de
Lyon.France.2005.
2
La période d’échantillonnage est : Te = 100 µs
[7] G.terorde «Sensorless control of a permanent
magnet synchronous motor for PV-powered water
pump systems using the extended kalman
filter».Ninth international Conference on Electrical
Machine
and Drives, conference Publication
N0486,IEE,1999.
[8] B.
Pioufle,
G. Georgiou
"Application
des
commandes non linéaires pour la regulation en
vitesse ou en position de la machine synchrone
autopilotée", Revue phys. Appl 25, 1990.
43
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