Fundamentals Of Machine Component Design Project With Ansys Italian

ESERCITAZIONE DI
ELEMENTI COSTRUTTIVI DELLE MACCHINE
STUDIO DI CONVERGENZA
MEDIANTE FEM
Lapo Mori
matr. 234519
Università degli Studi di Pisa
Facoltà di Ingegneria
Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
Anno accademico 2002-2003
Indice
Indice ..............................................................................................................................................1
Definizione del problema .............................................................................................................1
Impostazione dell’analisi ad elementi finiti ...............................................................................2
Illustrazione dei risultati e studio di convergenza ...................................................................6
Appendice: file di testo per ANSYS...........................................................................................9
Definizione del problema
Lo scopo di questo lavoro è la determinazione del coefficiente teorico di concentrazione della tensione elastica Kt per un componente la cui geometria e schema dei carichi
sono rappresentati in figura 1.
In base all’algoritmo assegnato mi risultano L / d = 1,133 e r / d = 0,492 , dunque si
modella (con ProEngineer) un componente le cui dimensioni sono rappresentate in figura 2.
fig. 1
fig. 2
1
Per una configurazione di questo tipo, il coefficiente di concentrazione delle tensioni
ottenuto sperimentalmente da Leven e Hartman con tecniche fotoelastiche risulta
Kt ; 1.275 (tale dato è ottenuto per interpolazione lineare dal grafico allegato al tema
C).
Impostazione dell’analisi ad elementi finiti
L’analisi da effettuare è statica e lineare elastica. Non solo, ma tale analisi è caratte-
rizzata anche da uno stato piano di tensione (plain stress) perché si considera un componente di piccolo spessore caricato da forze nel piano e questo assicura che su ogni gia-
citura (in senso dell’asse z) si abbia una stessa situazione dal punto di vista delle sollecitazioni. La scelta del tipo di elemento utilizzabile nell’analisi si restringe al campo degli
elementi strutturali solidi piani, e in particolare al Plane42 e al Plane82. L’elemento
Plane82 è definito da 8 nodi e presenta dunque una maggiore deformabilità rispetto
all’elemento Plane42 che è definito da 4 nodi. Questo porta come conseguenze il fatto
che i risultati ottenuti con il Plane82 sono in linea di massima più accurati ma l’analisi
risulta più pesante dal punto di vista computazionale. Si sceglie di utilizzare il Plane82
dato che risulta possibile semplificare il modello per mezzo di simmetrie ed antisimme-
trie. Al materiale si assegnano le seguenti proprietà elastiche: modulo di Young
×
E = 210000
MPa e coefficiente di Poisson n = 0.3 .
Come è possibile vedere dalla figura 3, infatti, la geometria del componente da analiz-
zare presenta due assi di simmetria tra loro ortogonali; i carichi sono tali da rendere
l’insieme geometria-carichi simmetrico rispetto all’asse verticale e antisimmetrico rispetto all’asse orizzontale (orizzontale e verticale si riferiscono alla rappresentazione di figura 3). È possibile dunque effettuare la simulazione su un quarto del componente (si veda
la figura 4) se imponiamo un vincolo di simmetria sul segmento AB e un vincolo di an-
tisimmetria sul segmento BC . Ai fini dell’analisi con ANSYS, risulta conveniente sostituire il momento M con una pressione distribuita sul segmento CD tale da essere equivalente al primo e a questo proposito si utilizza la formula di Navier per stabilire il valore massimo della pressione:
p0 = M ×
d 1
d 12
6
× ×h = M × ×
×h = M × 2
3
2 J
2 h ×d
d
2
(1)
La pressione di linea rappresentata in figura 4 è di trazione.
fig. 3
fig. 4
Lo schema dei carichi e dei vincoli sopra spiegati che è fornito da ANSYS è visibile
nella figura 5. Si noti che la direzione dei carrellini è compatibile con i displacement con-
straints illustrati precedentemente e che è risultato necessario vincolare un nodo in direzione y per eliminare la labilità (si è imposto uy = 0 ).
fig. 5
Stabiliamo il valore dei carichi in modo da avere una conveniente rappresentazione su
ANSYS. Per definizione di Kt abbiamo:
3
smax = snom × K t
(2)
Leven e Hartman, per il caso da noi analizzato, hanno definito:
snom º M ×
d 12
6
×
=M ×
3
2 h ×d
h × d2
(3)
Se vogliamo che su ANSYS vengano mappati direttamente i valori di Kt (quando
chiediamo una mappa delle sx ), dalla formula 2 risulta che dobbiamo fare in modo che
snom sia uguale ad 1; dall’equazione 1 risulta che questa richiesta si concretizza nel chie-
dere p 0 = 1 .
Al fine di studiare la convergenza del valore di Kt all’aumentare del numero di ele-
menti, si prevede di utilizzare una mesh di tipo mapped e di pilotare l’infittimento per
mezzo del controllo del numero di divisioni di ogni lato della sezione (ovvero dei nodi
presenti su ogni segmento).
Si rimanda all’appendice per vedere il file di testo contenente le condizioni di vincolo
e di carico sopra esposte ed utilizzato per effettuare l’analisi su ANSYS. Per ripetere agevolmente l’analisi infittendo progressivamente la mesh, si utilizza il parametro “pa-
ram” che rappresenta il numero di divisioni sui lati AE e CD : per eseguire una prova
con mesh più fitta è sufficiente aumentare il valore di “param” e caricare nuovamente il
file su ANSYS. Sono state effettuate 15 prove e per ognuna si riporta in tabella 1 il numero di divisioni su ogni lato e il conseguente numero di elementi totali sulla sezione.
prova
n. di divisioni sui segmenti
n. elementi
ABC ed ED
AE e CD
1
6
2
2
12
4
48
3
18
6
108
4
24
8
192
5
30
10
300
6
36
12
432
7
42
14
588
8
48
16
768
12
9
54
18
972
10
60
20
1200
11
66
22
1452
12
72
24
1728
13
78
26
2028
14
84
28
2352
15
90
30
2700
4
tab. 1
A titolo di esempio si mostrano le mesh per la prova 1 (vedi fig. 6), per la prova 3
(vedi fig. 7), per la prova 6 (vedi fig. 8), per la prova 10 (vedi fig. 9).
fig. 6
fig. 8
fig. 7
fig. 9
5
Illustrazione dei risultati e studio di convergenza
I risultati delle 15 analisi sono raccolti nella tabella 2. Con “ Kt ” si intende il valore
di Kt ottenuto con ANSYS per ogni simulazione; con “ Kt ANSYS” si intende il valore
di Kt a cui converge ANSYS quando il numero di elementi utilizzati è sufficientemente
elevato; con “ Kt sperimentale” si intende il valore di Kt ricavato dal grafico sperimen-
tale di Leven e Hartman. Le colonna “errore % ANSYS” e quella “errore % sperimenta-
le” contengono gli errori percentuali commessi da ANSYS in ogni simulazione prendendo
come valore “esatto” nel primo caso “ Kt ANSYS” e nel secondo “ Kt sperimentale”.
prova
n. elementi
Kt
K t ANSYS
errore % ANSYS
K t sperimentale
errore % sperim.
1
12
1,166
1,26
7,46
1,275
8,55
2
48
1,217
1,26
3,41
1,275
4,55
3
108
1,209
1,26
4,05
1,275
5,18
4
192
1,207
1,26
4,21
1,275
5,33
5
300
1,242
1,26
1,43
1,275
2,59
6
432
1,257
1,26
0,24
1,275
1,41
7
588
1,266
1,26
0,48
1,275
0,71
8
768
1,265
1,26
0,40
1,275
0,78
9
972
1,264
1,26
0,32
1,275
0,86
10
1200
1,263
1,26
0,24
1,275
0,94
11
1452
1,261
1,26
0,08
1,275
1,10
12
1728
1,258
1,26
0,16
1,275
1,33
13
2028
1,258
1,26
0,16
1,275
1,33
14
2352
1,26
1,26
0,00
1,275
1,18
15
2700
1,261
1,26
0,08
1,275
1,10
tab. 2
A titolo di esempio si mostrano le mappe di Kt per la prova 1 (vedi fig. 10), per la
prova 6 (vedi fig. 11), per la prova 10 (vedi fig. 12), per la prova 15 (vedi fig. 13). Nelle
quattro figure sono rappresentate sia la deformata del componente (sulla quale è tracciata la mappa delle sy ) che il componente indeformato (rappresentato con la sua mesh).
6
fig. 10
fig. 12
fig. 11
fig. 13
All’aumentare del numero di elementi finiti si approssima sempre meglio il risultato
esatto ovvero la soluzione converge verso tale risultato. Ciò che si vuole valutare è quale
sia il numero di elementi adeguato affinché il risultato sia significativo, ovvero sia sufficientemente vicino a quello a cui si converge infittendo la mesh (definito sopra come
“ Kt ANSYS”). A questo scopo risulta conveniente rappresentare Kt (si veda la figura
14) e l’errore percentuale sia rispetto a “ Kt ANSYS” che a “ Kt sperimentale” (si veda
la figura 15) al variare del numero di elementi.
Da entrambi i grafici risulta che la soluzione è accettabile con un numero di elementi
n ³ 500 perché in questo caso la soluzione ottenuta risulta affetta da un errore inferiore
allo 0,5% dispetto al valore di convergenza. Se portiamo il numero di elementi ad
n ³ 1000 si dimezza l’errore, rendendolo inferiore allo 0,25% .
7
1,28
1,26
Kt
1,24
1,22
1,2
1,18
1,16
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
2500
3000
n. di elementi
fig. 14
9
8
7
errore %
6
5
4
3
2
1
0
0
500
1000
1500
2000
n. di elementi
Kt sperimentale
fig. 15
8
Kt ANSYS
Appendice: file di testo per ANSYS
! Analisi parametrica di convergenza
! TEMA C
FITEM,2,-5
LCCAT,P51X
FINI
/CLEAR
/FILNAME, convergenza
/TITLE, studio di convergenza
/prep7
!DEFINIZIONE PARAMETRICA DELLA MESH
!(il parametro è “param”)
lesize,1,,,3*param/2,
lesize,7,,,3*param/2,
lesize,2,,,param,
lesize,3,,,param,
lesize,4,,,param,
lesize,5,,,param,
lesize,6,,,param,
amesh,all
!PARAMETRO DEL PROBLEMA
*ask,param,elementi lato AE (pari),2
!GEOMETRIA DEL COMPONENTE
! IMPORTATA DA FILE .IGS
!DEFINIZIONE VINCOLI E CARICHI
/AUX15
IOPTN,IGES,ALTERNATE
IOPTN,MERGE,YES
IOPTN,SOLID,YES
IOPTN,SMALL,YES
IOPTN,GTOLER, DEFA
IGESIN,modello,igs,
!displacement
DL,
1, ,SYMM
DL,
7, ,ASYM
!pressione
FLST,2,1,4,ORDE,1
FITEM,2,6
/GO
!DEFINIZIONE ELEMENTI E MATERIALE
SFL,P51X,PRES,0,-1
/prep7
ET,1,82,,,0
MP,EX,1,210000
MP,NUXY,1,0.3
!carrello per togliere labilità
FLST,2,1,3,ORDE,1
FITEM,2,2
/GO
DK,P51X, , , ,0,UY, , , , , ,
!CONCATENAZIONE DI ALCUNE LINES
LPLOT
FLST,2,2,4,ORDE,2
FITEM,2,1
FITEM,2,7
LCCAT,P51X
FLST,2,3,4,ORDE,2
FITEM,2,3
!SOLUZIONE
FINISH
/SOLU
/STAT,SOLU
SOLVE
9