cours de Thermo L1

1
Cours de Thermodynamique
Licence 1
Prof : M. Komi AKPEMADO
Email : [e-mail]

2
Chapitre 0 Préliminaire mathématique
1) Définition d’une fonction à deux variables :
Une fonction à deux variable est une application de E IR² vers IR qui à tout couple (x .y)
de E on associe le réel z. f :
zyx
IRIRE
),(
2
La relation qui existe entre les variables réels x,y et z est une équation caractéristique qui
lie les variables entre elles tel que :
Z=z(x.y) ; y=y(x .z) ; x=x(y .z)
Exemple :
Pour un gaz parfait :
V
nRT
TVPP  ),(
Pour un gaz de Van Der Waals :
2
2
),( Van
nbVnRT
TVPP 
2) Dérivées partielles :
La dérivée partielle de la fonction z par rapport à x :
y
x
z)
est la fonction dérivée
normale de z par rapport à x en supposant que y est constante
Exemple :
Soit la fonction
V
nRT
TVP ),(
La dérivée partielle de P par rapport à V à T constante est
V
nR
T
PV
)
;
2
)V
nRT
V
PT
2
2
).( Van
nbVnRT
TVP 
nbVnR
T
PV
)
3
2
22
)(
)Van
nbVnRT
V
PT
Remarque :
La dérivée partielle de la fonction
y
x
z)
par rapport à x(ou à y) est la dérivée normale de
cette fonction par rapport à x(à y) en supposant que y(ou x) est constante .
Exemple :
V
nRT
TVP ).(
0))( 
VV
T
P
T
3
2
))( V
nRT
V
P
VTT 
2
))( V
nR
V
P
TVT 
2
))( V
nR
T
P
VTV 
3)Différentielle totale exacte :
A une fonction z(x.y) de deux variables indépendantes x et y , on associe l’application
différentielle notée dz ,appelée différentielle totale exacte .
dz
=
dy
y
z
dx
x
zxy )) 

3
Exemple :
V
nRT
TVP ).(
dV
V
P
dT
T
P
dP TV )) 
dV
V
nRT
dT
V
nR
dP 2
Si la différentielle totale exacte d’une fonction z de deux variables indépendantes x et y
existe, alors la fonction z(x,y) vérifie :
yx
y
z
x))
=
xy
x
z
y))
critère de Cauchy
4)Relation entre les dérivées partielles :
Soit la fonction z à deux variables x et y
z=z(x,y) y=y(x,z) x=x(y,z)
leurs différentielles totales exactes sont :
dz
z
x
dy
y
x
dx yz )) 
1
dz
z
y
dx
x
y
dy xz )) 
2
dy
y
z
dx
x
z
dz xy )) 
3
En injectant 1 dans 3,on trouve :
dy
y
z
dz
z
x
x
z
dy
y
x
x
z
dz xyyzy )))).) 
dy
y
z
dy
y
x
x
z
dz
z
x
x
z
dz xzyyy )).))) 
dy
y
z
y
x
x
z
dz
z
x
x
zxzyyy ])).)[]))1[ 
dz et dy sont des applications indépendantes , alors pour que la relation précédente soit
vraie il faut que
0))1 
yy z
x
x
z
xzy y
z
y
x
x
z)).) 
=0
y
y
z
x
x
z
)
1
)
4
xzy y
z
y
x
x
z))) 
5
En injectant 2 dans 3,on trouve :
x
x
z
y
y
z
)
1
)
6

4
En injectant 6 dans 5, on trouve :
x
xzy
z
y
y
z
y
x
x
z
)
1
)))
1))) 
yxz x
z
z
y
y
x
7
5) application:
Les coefficients thermoélastiques d’un fluide homogène sont
1)
Pp T
V
V)
1
:c’est le coefficient de dilatation isobare .il représente la variation relative
du volume du fluide par degré de variation de sa température
L’unité de
p
:
1
kelvin
2)
TT P
V
V)
1
: c’est le coefficient de compressibilité isotherme. il représente au signe
– près la variation relative du volume du fluide par unité de variation de sa pression.
L’unité de
T
:
1
pascal
3)
VV T
P
P)
1
: c’est le coefficient d’augmentation de pression isochore .il représente la
variation relative de la pression du fluide par degré de variation de sa température
L’unité de
V
:
1
kelvin
Déterminons la relation entre les coefficients thermoélastiques :
D’après la relation 7 on écrit :
1))) 
TPV P
V
V
T
T
P
VV T
P
P)
TT P
V
V)
P
pV
T
V)
1
En remplaçant chaque dérivée partielle par son expression on trouve :
1
1 V
VP
p
TV
pTV P
la relation qui existe entre les coefficients thermoélastique d’un fluide
6) Intégration d’une forme différentielle :
L’intégration d’une différentielle total exacte ne dépend pas du chemin suivi mais
uniquement par l’état initial et l’état final :
),(),(
),(
),( iiff
yx
yx yxzyxzdz
ff
ii
Exemple : pour un gaz parfait monoatomique
L’énergie interne U du gaz s’écrit sous la forme
nRdTdUnRTU 2
3
2
3
le gaz parfait passe d’un état d’équilibre 1 de température
1
T
à un autre état d’équilibre de
température
2
T
la variation de l’énergie interne durant cette évolution est :

5
)(
2
31212
2
1TTnRUUUdU
T
T
7) Développement limité de Taylor-Young d’une fonction au voisinage d’un point :
Soit I un intervalle contenant 0 et soit f une fonction admettant des dérivées jusqu'à l'ordre
n au moins et telle que
)(
)( xf n
soit continue. Alors f admet au voisinage de 0 le
développement limité à l'ordre suivant :
)()0(
!
...)0('''
!3
)0(''
!2
)0('
!1
)0()( 32 nn
nxf
n
x
f
x
f
x
f
x
fxf 
Au voisinage du point
0
xx 
, le D.L. de Taylor-Young s'écrit :
nn
nxxf
nxx
xf
xx
xf
xx
xfxxf )()(
!)(
...)(''
!2 )(
)('
!1
)()( 0
0
0
2
0
0
0
00 
Exemple :
Pour f(x) = cos x, les valeurs en 0 de la fonction et de ses dérivées successives sont 1, 0,−1.
La formule de Taylor avec reste de Young `a l’ordre 2n+1 en 0 s’´ecrit :
)(
)!2(
)1...(
!3!2!1
1)cos( 232 n
nx
n
xxxx
x