Deux gaz parfaits, constitus du mme nombre de moles n, sont

Thermodynamique Année 1999/2000
Deuxième interrogation écrite
Sujet A
Deux gaz parfaits, constitués du même nombre de
moles n, sont enfermés dans un récipient aux parois
adiabatiques et séparés par une paroi amovible,
elle-même adiabatique. Dans l'état initial, les deux
gaz sont à la même pression P et à des températures
différentes. Les volumes occupés par les
deux gaz sont notés . Une fois la paroi sépa-
ratrice supprimée, à l'équilibre thermodynamique,
calculer:
21 Tet T
21 Vet V
(1) (2)
Etat initial
n n
11 T V 22 T V
P P
a) la température finale T' du mélange en fonction de
21 Tet T
b) la pression finale P' en fonction de P.
Sujet B
Une mole de gaz parfait est enfermée dans un récipient
fermé dans sa partie supérieure par un piston libre de se
déplacer sans frottements. La pression extérieure est
constante et égale à . Le volume occupé par le gaz
est égal à et la température régnant dans l'enceinte
est . On introduit rapidement dans l'enceinte un bloc
0
P
1
V
1
T
P0 P0
C
u
T0
Etat initial Etat final
V1 T1
V2 T2
Cu
de cuivre de capacité thermique massique C, de masse m et de température . La transformation
est supposée irréversible. Calculer, en fonction de , la température finale T
0
T
10p Tet T ,C C, m, 2
du système.
Corrigé
Sujet A
a) La variation d'énergie interne du gaz parfait dans le compartiment (1) s'écrit:
(
)
11 TT' v
Cn U
−
=
∆
.
De même, pour le gaz parfait dans le compartiment (2), on a:
(
)
22 TT' v
Cn U
−
=
∆
.
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Thermodynamique Année 1999/2000
Au cours de la transformation, le système formé par les deux compartiments ne reçoit ni travail, ni
chaleur. Le premier principe donne :
0, UUU 21
=
+
=
∆
+
∆
=
∆QW
ou encore
(
)
(
)
0TT'
v
Cn TT'
v
Cn 21
=
−
+
−
,
d'où
2TT
T' 21 +
= .
b) La pression finale est donnée par l'équation d'état du gaz parfait
21 VV T' Rn 2
P' + =,
soit, en remplaçant T' par son expression, on obtient :
(
)
21
21 VV TT Rn
P' +
+
=.
Or T Rn V Pet T Rn V P 2211
=
=
,
d'où PP'
=
.
Sujet B
D’après le premier principe, la variation d'énergie interne ∆U du gaz est :
QW
+
=
∆
U.
Or, pour un gaz parfait, on sait que l'énergie interne ne dépend que de la température et que la
variation ∆U s'écrit:
(
)
12 TT v
C U
−
=
∆
.
On a donc
(
)
QW
+
=
−
12 TT v
C. (1)
Le travail élémentaire échangé par le gaz est :
dVP0
−
=
W
δ
,
en intégrant, on obtient le travail total fourni par le gaz :
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Thermodynamique Année 1999/2000
()
120
V
V
0VVPdVP 2
1
−−=−= ∫ W.
Par ailleurs, La quantité de chaleur reçu par le gaz de la part du bloc de cuivre s’écrit :
Q
(
)
02 TT C m
−
−
=
−
=
Q'Q .
En remplaçant les expressions de dans l’équation (1), il vient :
QW et
()
(
)
(
)
0212012 TT C m VVPTT
v
C
−
−
−
−
=
−.
Or T RVPet T R VP 220110
=
=
,
donc
()
(
)
(
)
201212 TT C mTT RTT
v
C
−
=
−
+
−
.
D’autre part, ; on en déduit alors la température :
RCC pv −= 2 T
p
1p0
2CC m
TCT C m
T+
+
=.
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