c S.Boukaddid Aspects énergétiques sup TSI Aspects énergétiques Table des matières 1 Energie potentielle d’une charge ponctuelle placée dans un champ électrostatique extérieur 2 1.1 Travail d’une force électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Energie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Energie potentielle d’interaction d’un système de charges discret continu 2.1 Cas de deux charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Enérgie électrostatique d’un système de N charges ponctuelles . . . . 2.3 Enérgie électrostatique d’un système continu . . . . . . . . . . . . . . 3 Energie potentielle d’un dipôle électrostatique régide ou . . . 2 2 3 4 4 1/4 c S.Boukaddid 1 Aspects énergétiques sup TSI Energie potentielle d’une charge ponctuelle placée dans un champ électrostatique extérieur 1.1 Travail d’une force électrostatique → − Considérons une charge q placée dans un champ électrostatique extérieur E → − → − • la charge q subit une force F = q E −−→ → − • E = −gradV − − −−→ → − → − → − → − → → − → • le trvail de la force F : δW ( F ) = F .dr = q E .dr = −q.gradV.dr = −qdV Z B → − −qdV = −q(VB − VA ) • W(F ) = A → − W ( F ) = −q(VB − VA ) 1.2 Energie potentielle • Définition : L’énergie potentielle Ep de la charge q représente l’énergie d’interaction entre → − la charge q et le champ extérieur E créant le potentiel V Ep = qV → − → − • la force F = q E est conservative −−→ → − F = −gradEp → − • W ( F ) = −∆Ep I Interprétaion de l’énergie potentielle électrostatique Considérons un déplacement de la charge q de l’infini au point M considéré. • le travail de la force électrostatique appliquée sur q est : − M → W∞ ( F ) = q(V (∞) − V (M )) = −qV avec V (∞) = 0 • l’opérateur qui amene la charge q de ∞ au point M applique une force → − → − F op = − F sur la charge q → − → − • W ( F op ) = −W ( F ) = qV = Ep • Conclusion : L’énergie potentielle électrostatique correspond au travail que doit fournir l’opérateur pour construire le système électrostatique de façon réversible. Wop = Ep 2 2.1 Energie potentielle d’interaction d’un système de charges discret ou continu Cas de deux charges Considérons le système électrostatique de deux charges 2/4 c S.Boukaddid Aspects énergétiques A sup TSI B r qB qA Pour construire ce système électrostatique il est nécessaire de passer par deux étapes • Etape 1 : l’opérateur amene la charge qA au point A où l’espace est vide de charge,donc pas de travail • Etape 2 : l’opérateur amene la charge qB au point B où l’espace contient la charge qA au point A qui crée le potentiel VA (B) au point B,donc l’énergie potentielle d’interaction entre les deux charges EP est Ep = Wop = qB .VA (B) = qA .VB (A) 1 (qA .VA + qB .VB ) 2 • Energie potentielle système proton-électrondans l’atome d’hydrogène du e −e 1 e2 1 1 −e +e =− Ep = 2 4πε0 r r 4πε0 r r : la distance entre les deux particules Ep = 2.2 Enérgie électrostatique d’un système de N charges ponctuelles • Définition : Soient N charges q1 , q2 ...qN placées en M1 , M2 ...MN . L’énergie électrostatique Ee est définie par N Ee = 1X qi Vi 2 i=1 avec Vi est le potentiel au point Mi • Exemple : énergie électrostatique de la molécule CO2 -q -q +2q O C O M1 M2 M3 d 3 • Ee = • V1 = • V2 = • V3 = • Ee = 1X 1 (qi Vi ) = (q1 V1 + q2 V2 + q3 V3 ) 2 i=1 2 1 −q 2q 1 3q + = 4πε0 2d d 4πε0 2d q q 1 2q 1 − − =− 4πε0 d d 4πε0 d 1 −q 2q 1 3q + = 4πε0 2d d 4πε0 2d 2 2 1 1 3q 4q 3q 2 − − − 2 4πε0 2d d 2d Ee = − 7 q2 8πε0 d 3/4 c S.Boukaddid 2.3 Aspects énergétiques sup TSI Enérgie électrostatique d’un système continu Pour une distribution de charge continue on définit l’énergie électrostatique par ZZZ 1 Ee = ρV dτ 2 D ρ : densité volumique de charge V : le potentiel crée par la distribution en un point M • pour une distribution surfacique de densité σ ZZ 1 Ee = σV dS 2 D • pour une distribution liniéque de densité λ Z 1 Ee = λV dl 2 D • densité volumique de l’énergie électrostatique • Définition : On définit la densité volumique de l’énergie électrostatique ωe par → − ε0 E 2 (M ) ωe (M ) = 2 → − E (M ) : champ électrostatique crée par la distribution au point M • l’énergie électrostatique s’écrit par ZZZ Ee = espace 3 → − ε0 E 2 dτ 2 Energie potentielle d’un dipôle électrostatique régide → − Considérons un dipôle régide dans un champ estérieur E → − E +q -q A • Ee = q(VB − VA ) Z B Z • VB − VA = dV = − −→ − • → p = q AB A d B − → − → E . dl = −E cos α A B Z B → − −→ dl = − E .AB A → − − Ee = −→ p .E 4/4
![D M 1 1 M 3 DM11 • Cuvette parabolique [CCP 99]](http://s1.studylibfr.com/store/data/007350619_1-9c5c86e80226b3613f619fa939e7a473-300x300.png)
