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Chapitre 3

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c S.Boukaddid
Aspects énergétiques
sup TSI
Aspects énergétiques
Table des matières
1 Energie potentielle d’une charge ponctuelle placée dans un champ
électrostatique extérieur
2
1.1 Travail d’une force électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2 Energie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2 Energie potentielle d’interaction d’un système de charges discret
continu
2.1 Cas de deux charges . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Enérgie électrostatique d’un système de N charges ponctuelles . . . .
2.3 Enérgie électrostatique d’un système continu . . . . . . . . . . . . . .
3 Energie potentielle d’un dipôle électrostatique régide
ou
.
.
.
2
2
3
4
4
1/4
c S.Boukaddid
1
Aspects énergétiques
sup TSI
Energie potentielle d’une charge ponctuelle placée
dans un champ électrostatique extérieur
1.1
Travail d’une force électrostatique
→
−
Considérons une charge q placée dans un champ électrostatique extérieur E
→
−
→
−
• la charge q subit une force F = q E
−−→
→
−
• E = −gradV
−
−
−−→ →
−
→
−
→
−
→
− →
→
− →
• le trvail de la force F : δW ( F ) = F .dr = q E .dr = −q.gradV.dr = −qdV
Z B
→
−
−qdV = −q(VB − VA )
• W(F ) =
A
→
−
W ( F ) = −q(VB − VA )
1.2
Energie potentielle
• Définition : L’énergie potentielle Ep de la charge q représente l’énergie d’interaction entre
→
−
la charge q et le champ extérieur E créant le potentiel V
Ep = qV
→
−
→
−
• la force F = q E est conservative
−−→
→
−
F = −gradEp
→
−
• W ( F ) = −∆Ep
I Interprétaion de l’énergie potentielle électrostatique
Considérons un déplacement de la charge q de l’infini au point M considéré.
• le travail de la force électrostatique appliquée sur q est :
−
M →
W∞
( F ) = q(V (∞) − V (M )) = −qV avec V (∞) = 0
• l’opérateur qui amene la charge q de ∞ au point M applique une force
→
−
→
−
F op = − F sur la charge q
→
−
→
−
• W ( F op ) = −W ( F ) = qV = Ep
• Conclusion : L’énergie potentielle électrostatique correspond au travail que doit fournir
l’opérateur pour construire le système électrostatique de façon réversible.
Wop = Ep
2
2.1
Energie potentielle d’interaction d’un système de
charges discret ou continu
Cas de deux charges
Considérons le système électrostatique de deux charges
2/4
c S.Boukaddid
Aspects énergétiques
A
sup TSI
B
r
qB
qA
Pour construire ce système électrostatique il est nécessaire de passer par deux étapes
• Etape 1 : l’opérateur amene la charge qA au point A où l’espace est vide de
charge,donc pas de travail
• Etape 2 : l’opérateur amene la charge qB au point B où l’espace contient la charge
qA au point A qui crée le potentiel VA (B) au point B,donc l’énergie potentielle
d’interaction entre les deux charges EP est
Ep = Wop = qB .VA (B) = qA .VB (A)
1
(qA .VA + qB .VB )
2
• Energie potentielle
système
proton-électrondans l’atome d’hydrogène
du
e
−e
1 e2
1 1
−e
+e
=−
Ep =
2 4πε0
r
r
4πε0 r
r : la distance entre les deux particules
Ep =
2.2
Enérgie électrostatique d’un système de N charges ponctuelles
• Définition : Soient N charges q1 , q2 ...qN placées en M1 , M2 ...MN . L’énergie
électrostatique Ee est définie par
N
Ee =
1X
qi Vi
2 i=1
avec Vi est le potentiel au point Mi
• Exemple : énergie électrostatique de la molécule CO2
-q
-q
+2q
O
C
O
M1
M2
M3
d
3
• Ee =
• V1 =
• V2 =
• V3 =
• Ee =
1X
1
(qi Vi ) = (q1 V1 + q2 V2 + q3 V3 )
2 i=1
2
1
−q 2q
1
3q
+
=
4πε0 2d
d
4πε0 2d
q q
1 2q
1
− −
=−
4πε0 d d 4πε0 d
1
−q 2q
1 3q
+
=
4πε0 2d
d
4πε0 2d
2
2
1 1
3q
4q
3q 2
−
−
−
2 4πε0
2d
d
2d
Ee = −
7 q2
8πε0 d
3/4
c S.Boukaddid
2.3
Aspects énergétiques
sup TSI
Enérgie électrostatique d’un système continu
Pour une distribution de charge continue on définit l’énergie électrostatique par
ZZZ
1
Ee =
ρV dτ
2
D
ρ : densité volumique de charge
V : le potentiel crée par la distribution en un point M
• pour une distribution surfacique de densité σ
ZZ
1
Ee =
σV dS
2 D
• pour une distribution liniéque de densité λ
Z
1
Ee =
λV dl
2 D
• densité volumique de l’énergie électrostatique
• Définition : On définit la densité volumique de l’énergie électrostatique ωe par
→
−
ε0 E 2 (M )
ωe (M ) =
2
→
−
E (M ) : champ électrostatique crée par la distribution au point M
• l’énergie électrostatique s’écrit par
ZZZ
Ee =
espace
3
→
−
ε0 E 2
dτ
2
Energie potentielle d’un dipôle électrostatique régide
→
−
Considérons un dipôle régide dans un champ estérieur E
→
−
E
+q
-q
A
• Ee = q(VB − VA )
Z B
Z
• VB − VA =
dV = −
−→
−
• →
p = q AB
A
d
B
−
→
− →
E . dl = −E cos α
A
B
Z
B
→
− −→
dl = − E .AB
A
→
−
−
Ee = −→
p .E
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