Aspects énergétiques en électrostatique - Cours TSI

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S.Boukaddid Aspects ´energ´etiques sup TSI
Aspects ´energ´etiques
Table des mati`eres
1Energie potentielle d’une charge ponctuelle plac´ee dans un champ
´electrostatique ext´erieur 2
1.1 Travail d’une force ´electrostatique ..................... 2
1.2 Energie potentielle ............................. 2
2Energie potentielle d’interaction d’un syst`eme de charges discret ou
continu 2
2.1 Cas de deux charges ............................ 2
2.2 En´ergie ´electrostatique d’un syst`eme de N charges ponctuelles ..... 3
2.3 En´ergie ´electrostatique d’un syst`eme continu ............... 4
3Energie potentielle d’un dipˆole ´electrostatique r´egide 4
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1Energie potentielle d’une charge ponctuelle plac´ee
dans un champ ´electrostatique ext´erieur
1.1 Travail d’une force ´electrostatique
Consid´erons une charge qplac´ee dans un champ ´electrostatique ext´erieur −→ E
•la charge qsubit une force −→ F=q−→ E
•−→ E=−−−→ gradV
•le trvail de la force −→ F:δW (−→ F) = −→ F .−→ dr =q−→ E .−→ dr =−q.−−→ gradV.−→ dr =−qdV
•W(−→ F) = ZB
A
−qdV =−q(VB−VA)
W(−→ F) = −q(VB−VA)
1.2 Energie potentielle
•D´efinition : L’´energie potentielle Epde la charge qrepr´esente l’´energie d’interaction entre
la charge qet le champ ext´erieur −→ Ecr´eant le potentiel V
Ep=qV
•la force −→ F=q−→ Eest conservative
−→
F=−−−→ gradEp
•W(−→ F) = −∆Ep
IInterpr´etaion de l’´energie potentielle ´electrostatique
Consid´erons un d´eplacement de la charge qde l’infini au point M consid´er´e.
•le travail de la force ´electrostatique appliqu´ee sur qest :
WM
∞(−→
F) = q(V(∞)−V(M)) = −qV avec V(∞) = 0
•l’op´erateur qui amene la charge qde ∞au point M applique une force
−→
Fop =−−→ Fsur la charge q
•W(−→ Fop) = −W(−→ F) = qV =Ep
•Conclusion : L’´energie potentielle ´electrostatique correspond au travail que doit fournir
l’op´erateur pour construire le syst`eme ´electrostatique de fa¸con r´eversible.
Wop =Ep
2Energie potentielle d’interaction d’un syst`eme de
charges discret ou continu
2.1 Cas de deux charges
Consid´erons le syst`eme ´electrostatique de deux charges
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AB
qAqB
r
Pour construire ce syst`eme ´electrostatique il est n´ecessaire de passer par deux ´etapes
•Etape 1 : l’op´erateur amene la charge qAau point A o`u l’espace est vide de
charge,donc pas de travail
•Etape 2 : l’op´erateur amene la charge qBau point B o`u l’espace contient la charge
qAau point A qui cr´ee le potentiel VA(B) au point B,donc l’´energie potentielle
d’interaction entre les deux charges EPest
Ep=Wop =qB.VA(B) = qA.VB(A)
Ep=1
2(qA.VA+qB.VB)
•Energie potentielle du syst`eme proton-´electrondans l’atome d’hydrog`ene
Ep=1
2
1
4πε0−ee r+e−e r=−1 4πε0
e2
r
r: la distance entre les deux particules
2.2 En´ergie ´electrostatique d’un syst`eme de N charges ponc-
tuelles
•D´efinition : Soient Ncharges q1, q2...qNplac´ees en M1, M2...MN. L’´energie
´electrostatique Eeest d´efinie par
Ee=1
2
N
X
i=1
qiVi
avec Viest le potentiel au point Mi
•Exemple : ´energie ´electrostatique de la mol´ecule CO2
CO O
d
-q +2q -q
M3 M2
M1
•Ee=1
2
3
X
i=1
(qiVi) = 1
2(q1V1+q2V2+q3V3)
•V1=1
4πε0−q 2d+2q d=1 4πε03q 2d
•V2=1
4πε0−q d−q d=−1 4πε0
2q
d
•V3=1
4πε0−q 2d+2q d=1 4πε0
3q
2d
•Ee=1
2
1
4πε0−3q2 2d−4q2 d−3q2 2d
Ee=−7
8πε0
q2
d
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2.3 En´ergie ´electrostatique d’un syst`eme continu
Pour une distribution de charge continue on d´efinit l’´energie ´electrostatique par
Ee=1
2ZZZD
ρV dτ
ρ: densit´e volumique de charge
V: le potentiel cr´ee par la distribution en un point M
•pour une distribution surfacique de densit´e σ
Ee=1
2ZZD
σV dS
•pour une distribution lini´eque de densit´e λ
Ee=1
2ZD
λV dl
•densit´e volumique de l’´energie ´electrostatique
•D´efinition : On d´efinit la densit´e volumique de l’´energie ´electrostatique ωepar
ωe(M) = ε0
−→
E2(M)
2
−→
E(M) : champ ´electrostatique cr´ee par la distribution au point M
•l’´energie ´electrostatique s’´ecrit par
Ee=ZZZespace
ε0
−→
E2
2dτ
3Energie potentielle d’un dipˆole ´electrostatique r´egide
Consid´erons un dipˆole r´egide dans un champ est´erieur −→ E
AB
-q +q
−→
E
d
•Ee=q(VB−VA)
•VB−VA=ZB
A
dV =−ZB
A
−→
E .−→ dl =−Ecos αZB
A
dl =−−→ E .−→ AB
•−→ p=q−→ AB
Ee=−−→ p .−→ E
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