N U PN = E − Ri I Ri i E i P Rappel Rappel Loi de Kirchhoff Déterminer le courant I Loi de Kirchhoff Cherchons la valeur des courants I1, I2 et I3 dans le circuit Loi de Kirchhoff Appliquer les lois de Kirchhoff au circuit suivant afin de déterminer les valeurs et les sens corrects des courants I1, I2 et I3. Préciser ensuite la fonction des trois accumulateurs et, enfin, calculer le potentiel du point B si l’on relie le point A à la masse (VA = 0). Les sens des courants sont choisis arbitrairement. on constate que seul le sens du courant I3 doit être modifié. Les trois accumulateurs sont des générateurs Loi de Kirchhoff Comporte 6 mailles, 3 noeuds et 5 branches. Il nous faudra cinq équations indépendantes pour trouver les 5 courants. Théorème de Thévenin Théorème de Thévenin Un réseau compris entre deux noeuds A et B est équivalent à un générateur indépendant de tension parfait ETh en série avec le dipôle composé ZTh. A A ZTh ? B UAB E Th B ETh représente la tension UAB lorsque AB est ouvert ZTh est l'impédance entre les points A et B lorsqu’on supprime les générateurs Schéma équivalent de Thevenin du dipôle AB Exprimer le courant i2 en fonction des éléments du montage (Thévenin) E1 = 10 V, E2 = 5 V, R1 = 15 W, R2 = 10 W et R3 = 5 W On supprime les générateurs A remplacer par Générateur de Thevenin i On détermine la tension entre A et B: UAB On applique la loi des mailles pour déterminer le courant U AB = ETh U AB = R3i = ETh E1 i= R1 + R3 Schéma équivalent de Thevenin du dipôle AB RTh ETh On applique la loi des mailles pour déterminer le courant Schéma équivalent de Thévenin du dipôle AB Dans le circuit représenté ci-dessous, on veut prévoir le courant qui traversera une résistance R placée entre A et B. On commence par enlever cette résistance et on calcule la valeur du courant qui passe dans la maille de manière à pouvoir calculer la tension équivalente de Thévenin, tension entre les bornes A et B, en l’absence de charge (c’est-à-dire, si R n’est pas relié) Résistance équivalente de Thévenin; correspond à la résistance mesurée entre les bornes A et B lorsqu’on annule la tension des deux sources. Théorème de Norton Un réseau compris entre deux noeuds A et B est équivalent à une source indépendante de courant réelle IN en parallèle avec une impédance ZN. IN est le courant électromoteur, c'est à dire lorsque AB est en court-circuit. ZN est obtenue lorsqu’on supprime tous les générateurs (comme pour Thévenin). A A ? B IN ZN UAB B Schéma équivalent de Norton du dipôle AB Déterminer le dipôle équivalent de Norton du dipôle AB ci-contre On court-circuite AB: courant équivalent de Norton (Icc) Les lois des mailles et des nœuds Schéma équivalent de Norton du dipôle AB Les sources E1 et E2 sont remplacées par leur « résistance interne » (Pour une source de tension, c’est une résistance nulle) la résistance équivalente Équivalent de Thévenin-Norton. Tout dipôle linéaire peut être modélisé par un dipôle équivalent de Thévenin ou par un dipôle équivalent de Norton ETH est la tension vue entre les deux bornes du dipôle est à vide. (réseau linéaire non relié à un autre réseau électrique). Icc est le courant de court-circuit entre les deux bornes de ce dipôle. Req est la résistance vue entre les deux bornes du dipôle lorsque toutes les sources indépendantes sont remplacées par leur résistance interne. Les modèles de Thévenin et de Norton sont reliés par la relation Équivalent de Thévenin-Norton. Nous avons déterminé un dipôle équivalent de Norton Icc, Req au dipôle constitué de E1, R1 et E2, R2. (Sans toucher à la branche qui contient i3). Le dipôle équivalent de Norton Icc, Req peut maintenant être transformé en son équivalent de Thévenin. En déduire la valeur de i3 Appliquer la loi des mailles Exercice 2 Quel est dipôle équivalent entre les bornes A et B Le dipôle AB se comporte comme un simple conducteur Exercice 3 On considère le réseau représenté par le schéma ci-contre: En utilisant le théorème de Thévenin, calculer le courant dans la résistance R. On donne: E1 = 3 V. R1 = R2 = R3 = 2 . E 2 = 1 V. R = 5 . E3 = 2 V. Exercice 3 Ces deux dipôles sont en parallèle . On peut les remplacer par un dipôle équivalent de Norton Exercice 3 équivalents de Thévenin. Ensuite, on appliquera la loi des mailles pour calculer le courant I. Exercice 4 Par application du théorème de THEVENIN, calculer le modèle équivalent entre les bornes A et B à l’ensemble du réseau dont le schéma encadré est ci-contre. (Déterminer le schéma équivalent au dipôle à gauche de A1B1. Faire de même avec A2B2. Puis faire de même avec AB). Exercice 4 Une source de tension en parallèle avec un autre dipôle se comporte vis à vis du reste du montage comme la source de tension seule. Exercice 4 Par la formule du pont diviseur de tension La résistance « vue » entre les bornes A2/B2 est constituée de deux résistances en parallèles Exercice 4 Exercice 4 La résistance « vue » entre les bornes A/B est constituée de deux résistances en parallèle Formule du pont diviseur de tension Loi des mailles : Exercice 5 Calculer le courant dans la résistance R1 en fonction de E, I, R et R1. Chercher l’Équivalent Norton Exercice 5 Chercher l’Equivalent Norton Exercice 5 En utilisant la dualité Norton/Thévenin, on en déduit Exercice 5 En appliquant la loi des mailles Exercice 6 -THEVENIN - NORTON En appliquant la transformation THEVENIN - NORTON et une loi des mailles, calculer le courant I1 en fonction de E, I, R Exercice 6 A R1 R2 R3 E2 E1 M R eq = R1 R3 R1 + R3 i2 Exercice 6: Déterminer l’intensité du courant I2 qui traverse R2, en utilisant le théorème de Thévenin. U AM = ETh U AM = VM − VA = R3i E1 R3i = E1 − R1i ⇒ i = R1 + R3 RThi2 + ETh − R2i2 − E2 = 0 E2 − ETh i2 = R2 + RTh E1 ETh = R3 R1 + R3 Exercice 7 A R1 Exercice 7 : On cherche le dipôle équivalent Norton entre B et M. R2 B I1 R3 ( R1 + R2 ) R3 RN = R1 + R2 + R3 M I1 Icc A R1 I1 IN = Icc est obtenu en court-circuitant BM R2 B ICC I2 Loi des mailles R3 M − R2 I cc + R1 I 2 = 0 ⎫ R1 I1 ⎬ ⇒ I cc = I1 = I 2 + I cc ⎭ R1 + R2 Exercice 8 Exercice 8 : Calculer le dipôle équivalent Thévenin entre les bornes B et M. R1 R2 R1 + R2 U CD = VD − VC = R2 I 2 E1 − ( R1 + R2 ) I 2 = 0 ET 1 = RT 1 = ( R + R3 ) R4 RT 1 = T 1 RT 1 + R3 + R4 R1 R2 + R3 ( R1 + R2 ) RTh = R4 R1 R2 + ( R1 + R2 )( R3 + R4 ) ETh = U BM = ETh = R4 I ET 1 − RT 1 I − ( R3 + R4 ) I = 0 R2 E1 R1 + R2 R4 ET 1 RT 1 + R3 + R4 R4 ETh = E1 ⎛ R + R4 ⎞ R3 + R4 + R1 ⎜1 + 3 ⎟ R ⎝ ⎠ 2 Théorème de Millman Le théorème de Millman, appelé aussi théorème des noeuds, permet de déterminer le potentiel d'un noeud où aboutissent des branches composées d'un générateur de tensions. La démonstration de ce théorème consiste à transformer chaque branche en source de courant, de courant électromoteur ∑ Ii A Z1 E1 Z2 Z3 Zn E2 E3 En V B A I VAB = = i Y ∑Yi i n V = i =1n 1 Yi = Zi I Z1 Z2 Z E1 E2 B VAB ∑Yi E i E1 E 2 0 + + Z1 Z 2 Z Z ( Z 2E 1 + Z1E 2 ) = = 1 1 1 Z1Z + Z 2 Z + Z 2 Z1 + + Z1 Z 2 Z ∑Yi i =1 Ii = Ei = E iYi Zi
