Exercice On se place dans un repère orthonormé et, pour tout entier

Exercice
On se place dans un repère
orthonormé
et, pour tout entier naturel n, on définit les points
¡
¢
(A n ) par leurs coordonnées xn ; y n de la façon suivante :
½
x0
y0
=
=
−3
4
et pour tout entier naturel n :
½
xn+1
y n+1
=
=
0, 8xn − 0, 6y n
0, 6xn + 0, 8y n
1. a. Déterminer les coordonnées des points A 0 , A 1 et A 2 .
b. Pour construire les points A n ainsi obtenus, on écrit l’algorithme suivant :
Variables :
i , x, y, t : nombres réels
Initialisation :
x prend la valeur −3
y prend la valeur 4
Traitement :
Pour i allant de 0 à 20
Construire le point de coordonnées (x ; y)
t prend la valeur x
x prend la valeur . . . .
y prend la valeur . . . .
Fin Pour
Recopier et compléter cet algorithme pour qu’il construise les points A 0 à A 20 .
c. À l’aide d’un tableur, on a obtenu le nuage de points suivant :
5
b
b
b
4
b
b
3
b
2
b
b
1
b
b
1
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
b
2
3
4
5
b
6
7
−2
b
−3
b
b
−4
b
b
−5
b
b
−6
Identifier les points A 0 , A 1 et A 2 .
Quel semble être l’ensemble auquel appartiennent les points A n pour tout n entier
naturel ?
d. Dans le plan complexe, on nomme, pour tout entier naturel n, zn = xn + iy n l’affixe du
point A n .
Soit un = |zn |. Montrer que, pour tout entier naturel n, un = 5. Quelle interprétation
géométrique peut-on faire de ce résultat ?
1
1. a. On applique les formules de récurrence proposées.
On obtient : A 0 (−3; 4)
x1 = 0.8x0 − 0.6y 0 = 0.8 × (−3) − 0.6 × 4 = −4, 8
y 1 = 0.6x0 + 0.8y 0 = 0.6 × (−3) + 0.8 × 4 = 1, 4
A 1 (−4, 8; −1, 4)
x2 = 0.8x1 − 0.6y 1 = 0.8 × (−4, 8) − 0.6 × 1, 4 = −4, 68
y 1 = 0.6x1 + 0.8y 1 = 0.6 × (−4, 8) + 0.8 × 1, 4 = −1, 76
A 2 (−4, 68; −1, 76)
b. Voir plus bas :
Variables :
i , x, y, t : nombres réels
Initialisation :
x prend la valeur −3
y prend la valeur 4
Traitement :
Pour i allant de 0 à 20
Construire le point de coordonnées (x ; y)
t prend la valeur x
x prend la valeur 0, 8 × x − 0, 6 × y .
y prend la valeur 0, 6 × t + 0, 8 × y.
Fin Pour
L’erreur à ne pas commettre ici était d’utiliser x dans le calcul de y. En effet, à ce stade,
x a déjà été modifié. C’est d’ailleurs pour cela que l’algorithme propose de stocker
temporairement l’ancienne valeur de x dans la variable t .
c. On a identifié les points sur l’annexe en fonction de leurs coordonnées. Ils semblent
appartenir à un cercle de centre O et de rayon 5.
d. Faisons une démonstration par récurrence puisque la suite z est définie par récurrence.
p
Au rang 0, |z0 | = (−3)2 + 42 = 5. La propriété
q est vérifiée.
Fixons un entier p et supposons que |z p | =
Au rang p + 1 :
|z p+1 | =
q
x p2 + y p2 = 5.
2
2
x p+1
+ y p+1
q¡
¢2 ¡
¢2
0, 8x p − 0, 6y p + 0, 6x p + 0, 8y p
q
= (0, 82 + 0, 62 )x p2 + (0, 62 + 0, 82 )y p2 + (0, 8 × 0, 6 − 0, 6 × 0, 8)x p y p
q
q
= x p2 + y p2 . Or, par hypothèse, x p2 + y p2 = 5. Donc :
=
|z p+1 | = 5
La propriété est donc héréditaire et initialisée.
Ainsi, pour tout n, on a bien un = |zn | = 5, ce qui prouve notre conjecture concernant
le lieu des points.
2