Exercice On se place dans un repère orthonormé et, pour tout entier naturel n, on définit les points ¡ ¢ (A n ) par leurs coordonnées xn ; y n de la façon suivante : ½ x0 y0 = = −3 4 et pour tout entier naturel n : ½ xn+1 y n+1 = = 0, 8xn − 0, 6y n 0, 6xn + 0, 8y n 1. a. Déterminer les coordonnées des points A 0 , A 1 et A 2 . b. Pour construire les points A n ainsi obtenus, on écrit l’algorithme suivant : Variables : i , x, y, t : nombres réels Initialisation : x prend la valeur −3 y prend la valeur 4 Traitement : Pour i allant de 0 à 20 Construire le point de coordonnées (x ; y) t prend la valeur x x prend la valeur . . . . y prend la valeur . . . . Fin Pour Recopier et compléter cet algorithme pour qu’il construise les points A 0 à A 20 . c. À l’aide d’un tableur, on a obtenu le nuage de points suivant : 5 b b b 4 b b 3 b 2 b b 1 b b 1 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 b 2 3 4 5 b 6 7 −2 b −3 b b −4 b b −5 b b −6 Identifier les points A 0 , A 1 et A 2 . Quel semble être l’ensemble auquel appartiennent les points A n pour tout n entier naturel ? d. Dans le plan complexe, on nomme, pour tout entier naturel n, zn = xn + iy n l’affixe du point A n . Soit un = |zn |. Montrer que, pour tout entier naturel n, un = 5. Quelle interprétation géométrique peut-on faire de ce résultat ? 1 1. a. On applique les formules de récurrence proposées. On obtient : A 0 (−3; 4) x1 = 0.8x0 − 0.6y 0 = 0.8 × (−3) − 0.6 × 4 = −4, 8 y 1 = 0.6x0 + 0.8y 0 = 0.6 × (−3) + 0.8 × 4 = 1, 4 A 1 (−4, 8; −1, 4) x2 = 0.8x1 − 0.6y 1 = 0.8 × (−4, 8) − 0.6 × 1, 4 = −4, 68 y 1 = 0.6x1 + 0.8y 1 = 0.6 × (−4, 8) + 0.8 × 1, 4 = −1, 76 A 2 (−4, 68; −1, 76) b. Voir plus bas : Variables : i , x, y, t : nombres réels Initialisation : x prend la valeur −3 y prend la valeur 4 Traitement : Pour i allant de 0 à 20 Construire le point de coordonnées (x ; y) t prend la valeur x x prend la valeur 0, 8 × x − 0, 6 × y . y prend la valeur 0, 6 × t + 0, 8 × y. Fin Pour L’erreur à ne pas commettre ici était d’utiliser x dans le calcul de y. En effet, à ce stade, x a déjà été modifié. C’est d’ailleurs pour cela que l’algorithme propose de stocker temporairement l’ancienne valeur de x dans la variable t . c. On a identifié les points sur l’annexe en fonction de leurs coordonnées. Ils semblent appartenir à un cercle de centre O et de rayon 5. d. Faisons une démonstration par récurrence puisque la suite z est définie par récurrence. p Au rang 0, |z0 | = (−3)2 + 42 = 5. La propriété q est vérifiée. Fixons un entier p et supposons que |z p | = Au rang p + 1 : |z p+1 | = q x p2 + y p2 = 5. 2 2 x p+1 + y p+1 q¡ ¢2 ¡ ¢2 0, 8x p − 0, 6y p + 0, 6x p + 0, 8y p q = (0, 82 + 0, 62 )x p2 + (0, 62 + 0, 82 )y p2 + (0, 8 × 0, 6 − 0, 6 × 0, 8)x p y p q q = x p2 + y p2 . Or, par hypothèse, x p2 + y p2 = 5. Donc : = |z p+1 | = 5 La propriété est donc héréditaire et initialisée. Ainsi, pour tout n, on a bien un = |zn | = 5, ce qui prouve notre conjecture concernant le lieu des points. 2