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Suites – Limite de suite réelle
Exercices corrigés
Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)





Exercice 1 : conjecture de la limite d’une suite définie par une formule explicite
Exercice 2 : conjecture de la limite d’une suite définie par récurrence (avec tableur et algorithme)
Exercice 3 : existence de la limite finie d’une suite (en utilisant la définition)
Exercice 4 : existence de la limite finie d’une suite (en utilisant la définition)
Exercice 5 : divergence d’une suite sans limite : étude de la suite

Exercice 6 : limites de référence : étude des limites des suites












Exercice 7 : comparaison des limites de deux suites
Exercice 8 : limite de suite par encadrement (théorème des gendarmes)
Exercice 9 : convergence d’une suite
Exercice 10 : limite d’une suite du type
Exercice 11 : limite d’une suite du type
Exercice 12 : limite d’une suite géométrique
Exercice 13 : suites adjacentes
Exercice 14 : comportement de deux suites dont on connait la limite du produit
Exercice 15 : convergence d’une suite décroissante minorée
Exercice 16 : convergence d’une suite croissante majorée
Exercice 17 : suites arithmético-géométriques (étude complète)
Exercice 18 : série télescopique
et
(en utilisant la définition)
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1
Exercice 1 (2 questions)
Niveau : facile
Toutes les suites suivantes sont définies par leur terme général. Préciser leur premier terme et conjecturer leur
limite (si elle existe) :
Correction de l’exercice 1
1) Soit la suite
définie pour tout
Le premier terme de la suite
D’autre part,
est
par :
avec
.
,
,
On peut donc conjecturer que la suite
2) Soit la suite
admet
définie pour tout
Le premier terme de la suite
est
D’autre part,
,
,
pour limite.
par :
avec
,
définie pour tout
Le premier terme de la suite est
est
réel
…
.
par :
avec
.
D’autre part,
,
On peut donc conjecturer que la limite de la suite
4) Soit la suite
Rappel : Pour tout nombre
différent de ,
.
On peut donc conjecturer que la limite de la suite
3) Soit la suite
…
définie pour tout entier naturel
Le premier terme de la suite
est
avec
est
.
par :
.
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2
D’autre part,
,
On peut donc conjecturer que la limite de la suite
5) Soit la suite
La suite
définie pour tout entier naturel
a pour premier terme
.
,
On peut donc conjecturer que la suite
tend vers .
La suite
définie pour tout
admet pour premier terme
D’autre part, pour tout entier naturel ,
positif) et, si est impair, alors
Comme
par :
tel que
D’autre part,
6) Soit la suite
est .
par :
avec
.
. Ainsi, si
est pair, alors
(nombre
(nombre négatif).
dépend de la parité de , on peut conjecturer que la suite
n’admet pas de limite.
Rappel : Convergence ou divergence d’une suite
 Une suite qui admet une limite finie est dite Les suites
convergente.
,
et
semblent
,
et
semblent
convergentes.
 Une suite non convergente est dite divergente. Une Les suites
suite diverge lorsqu’elle n’a pas de limite finie ou divergentes.
une limite infinie (
ou
).
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3
Exercice 2 (4 questions)
On considère la suite
1)
2)
3)
4)
Niveau : facile
définie par récurrence par
Calculer les 6 premiers termes de la suite.
A l’aide d’un tableur, donner les valeurs approchées à
près des 12 premiers termes de la suite.
En déduire une conjecture de la limite de la suite
.
Ecrire un algorithme, demandant à l’utilisateur de saisir la valeur du premier terme de la suite et
permettant de déterminer le premier entier pour lequel
.
Correction de l’exercice 2
1) La suite
est définie pour tout
. Donc les 6 premiers termes sont
2) Avec un tableur, on peut déterminer la valeur des 12 premiers termes de la suite
,
,
,
,
et
.
.
Il suffit d’entrer la valeur initiale dans la cellule
B2, puis de saisir la formule « =B2/2+1 » dans la
cellule B3, ensuite de copier cette formule et enfin
de la coller dans les cellules B4, B5, B6…
A l’aide du tableur, on observe alors que les 12
premiers termes de la suite ont pour valeur
approchée à
près :
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4
3) D’après les résultats de la question précédente, on peut conjecturer que la suite
limite.
admet
pour
4) Ecrivons un algorithme avec le logiciel AlgoBox, demandant à l’utilisateur de saisir la valeur du
premier terme de la suite et permettant de déterminer le premier entier
pour lequel
. L’algorithme retourne le résultat .
Remarque : La suite
est une suite arithmético-géométrique.
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Exercice 3 (2 questions)
Niveau : moyen
On considère la suite
définie par
.
1) Déterminer un entier naturel tel que, pour tout
2) En déduire que la limite de la suite est .
,
.
Correction de l’exercice 3
1) Soit la suite
définie par
Déterminons un entier naturel

tel que, pour tout
D’une part, on remarque que
pour tout
, on a
.
et
. Ainsi, en prenant
sur
,
. Autrement dit,
.
D’autre part, pour tout
Donc, pour tout
,
, en vertu de la décroissance de la fonction
, c’est-à-dire

.
, c’est-à-dire
,
, on a
. Il s’ensuit que
, c’est-à-dire
et
.
.
2) Montrons que
Rappel : Limite finie d’une suite (définition)
Soit
une suite réelle et
un réel. La suite
a pour limite
contenant contient aussi tous les termes de la suite
si et seulement si tout intervalle ouvert
à partir d’un certain rang
. Dans ce cas, on note :
Considérons un intervalle ouvert contenant . On peut alors écrire cet intervalle sous la forme

et
.
Soit
un entier naturel tel que
c’est-à-dire

En outre, on a
. Pour tout
et
. Comme la fonction
, on a alors
est décroissante sur
, c’est-à-dire
avec
,
,
.
donc
.
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En conclusion,
. Autrement dit, pour tout
montrer que, pour tout intervalle ouvert
. Tout intervalle ouvert contenant
tel que
,
contenant , il existe un entier
contient donc tous les termes
d’un certain rang ; par définition, cela signifie que
. La suite
. On vient donc de
tel que, pour tout
de la suite
,
à partir
converge vers .
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Exercice 4 (1 question)
Niveau : moyen
En utilisant la définition de la limite d’une suite, étudier la convergence de la suite
définie par
.
Correction de l’exercice 4
L’énoncé laisse entendre que la suite
admet une limite finie puisqu’il y est fait mention de
« convergence ». Calculons quelques termes de la suite pour émettre une conjecture sur le comportement de
cette suite.
Il semble donc que la suite
converge vers 2.
Montrons que tout intervalle ouvert contenant 2 contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
C’est-à-dire montrons que tout intervalle ouvert (centré en )
(avec réel strictement positif)
contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
D’une part,
est une proposition vraie pour tout entier naturel
D’autre part,
(car la fonction
Il suffit donc de prendre un entier naturel
Autrement dit, la suite
et –
car
est décroissante sur
tel que
et
.
)
pour que
.
converge vers 2.
Exemples :

Si
, alors il suffit de prendre un entier naturel
pour tout entier naturel

Si
,
tel que
(par exemple
) et,
.
, alors il suffit de prendre un entier naturel
) et, pour tout entier naturel
tel que
,
(par exemple
.
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Exercice 5 (1 question)
Niveau : moyen
n’a pas de limite.
Justifier que la suite
Correction de l’exercice 5
Soit la suite
. Montrons qu’elle n’a pas de limite, c’est-à-dire montrons :
définie par
1) qu’elle n’a pas de limite finie
2) qu’elle ne tend pas vers
3) qu’elle ne tend pas vers
Rappel : Limite infinie d’une suite (définition)
Soit

une suite réelle et
La suite
tend vers
termes de la suite

La suite
un réel.
à partir d’un certain rang
tend vers
termes de la suite
1) Montrons que la suite
si et seulement si tout intervalle ouvert
.
si et seulement si tout intervalle ouvert
à partir d’un certain rang
contient aussi tous les
contient aussi tous les
.
n’admet pas de limite finie.
Si est pair, alors
et, si est impair, alors
prenant successivement les valeurs
et .
. Ainsi, la suite
est une suite alternée
Considérons un intervalle ouvert d’amplitude inférieure strictement à . Cet intervalle ne peut donc contenir à
la fois
et . Autrement dit, cet intervalle ne peut donc pas contenir tous les termes
à partir d’un certain
rang. Il en résulte, par définition, que la suite
ne peut avoir une limite finie. La suite diverge.
2) Montrons que la suite
La suite
.
ne peut pas tendre vers
car l’intervalle
ne contient pas les termes de la suite
, de valeur , c’est-à-dire ne contient pas tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
3) Montrons que la suite
La suite
ne tend pas vers
ne tend pas vers
.
ne peut pas tendre vers
car l’intervalle
ne contient pas les termes de la suite
, de valeur
, c’est-à-dire ne contient pas tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
En conclusion, la suite
définie par
ni vers
, n’a pas de limite.
, n’admettant pas de limite finie et ne tendant ni vers
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Exercice 6 (1 question)
Niveau : facile
Démontrer les limites de référence suivantes :
Correction de l’exercice 6
1) Démontrons que :
Soit un réel strictement positif. Montrons que l’intervalle ouvert
d’un certain rang .
Comme
,
(car la fonction
Posons alors par exemple
que
.
contient tous les termes
est croissante sur
. Ainsi, à partir du rang
à partir
), c’est-à-dire
, on a
.
. Il en résulte
Rappel : Partie entière d’un réel
Soit
un réel. On appelle partie entière de , notée
, le nombre entier
tel que
.
Exemples :

car

car
2) Démontrons que :
Montrons que tout intervalle ouvert contenant contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
C’est-à-dire montrons que tout intervalle ouvert (centré en )
(avec
réel strictement positif)
contient tous les termes
de la suite à partir d’un certain rang

D’une part, comme

D’autre part,
et comme
,
(car la fonction
Posons alors par exemple
définition, que
.
. Ainsi, à partir du rang
est décroissante sur
, on a
et car
)
. Il en résulte, par
.
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Exercice 7 (3 questions)
Niveau : facile
On considère les suites
et
respectivement définies par récurrence par :
1) Comparer
et
pour tout
.
2) Si les suites
et
ont des limites finies respectives et , que peut-on dire de et
3) Ecrire un algorithme permettant de conjecturer la limite de chacune des suites.
?
Correction de l’exercice 7
1) Comparons
D’une part,
et
pour tout
et
.
. D’autre part,
. Donc
. On peut donc conjecturer que, pour tout
raisonnement par récurrence.
et
. Donc
. Vérifions cette conjecture à l’aide d’un
,
Rappel : Principe du raisonnement par récurrence
Soit
une proposition définie sur un intervalle de . Soit
Une proposition est un
énoncé, soit vrai, soit faux.
.
Si :
1) la proposition
est initialisée à un certain rang
2) la proposition
est héréditaire à partir du rang
, c’est-à-dire si
est vraie au rang
, c’est-à-dire si, pour tout
tel que
, on a
l’implication
Alors :
3) La proposition est vraie à partir de tout rang plus grand que
Soit

la proposition définie sur
:
.
Vérifions tout d’abord que la proposition est initialisée.
On a montré que

par :
.
donc
est vraie. Par conséquent, la proposition
est initialisée au rang .
Montrons désormais que la proposition est héréditaire.
Supposons que
est vraie pour un entier naturel fixé, c’est-à-dire supposons que
récurrence), et montrons alors que
est vraie, c’est-à-dire montrons que
étudions le signe de
.
(hypothèse de
. Pour ce faire,
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, c’est-à-dire,
Or, par hypothèse,
, c’est-à-dire
bien
. D’autre part,
. On a donc
vraie.
On vient donc de montrer que, pour tout
, si
. Autrement dit, la proposition est héréditaire.

. Donc
est vraie au rang , alors
est vraie au rang
Finalement, on vient d’établir que
est vraie et que, pour tout
,
.
Autrement dit, on vient de montrer que la proposition est initialisée au rang et est héréditaire donc, en
vertu du principe du raisonnement par récurrence, la proposition est vraie pour tout entier naturel . On
a donc
pour tout
.
2) Comparons et .
D’après 1), pour tout
,
.
Rappel : Comparaison des limites de deux suites
d’une part et
d’autre part, alors
.
Si, de plus, on a
Soient deux suites réelles
et
,
Remarque importante : On ne peut surtout pas
conclure que
. En effet, en prenant par


admet une limite finie
exemple

admet une limite finie
définies par
, on a
pour tout
et
, mais
.
un
entier naturel.
Si, pour tout
et
et soit
Alors
(ou
)
.
3) Ecrivons un algorithme permettant de
conjecturer la limite de chacune des suites.
Autrement dit, écrivons un algorithme permettant de
calculer
et
(avec
supposé assez
grand) en demandant à l’utilisateur de renseigner le
de son choix (dans l’exemple ci-après,
l’utilisateur cherche à calculer
et
, c’est
pourquoi il saisit
).
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En utilisant cet algorithme, on peut donc conjecturer que les deux suites
(valeur sans doute arrondie).
et
tendent vers
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Exercice 8 (1 question)
Niveau : facile
Etudier la limite de la suite
définie par :
Correction de l’exercice 8
Rappel : Théorème des gendarmes (aussi appelé théorème d’encadrement)
Soient
,
et
Si, pour tout entier
trois suites de nombres réels et soit un réel.
supérieur à un certain entier
,


Alors,

Pour tout
La fonction
La fonction
Or,
,
.
étant croissante sur
donc sur
étant croissante sur

De plus, pour tout

Ainsi, il résulte que :
et
,
donc sur
, on a alors
.
, on a alors
.
.
, c’est-à-dire
.
Donc, d’après le théorème des gendarmes,
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Exercice 9 (1 question)
Niveau : moyen
On considère la suite
Démontrer à l’aide de deux méthodes différentes
définie par
que la suite converge vers .
Correction de l’exercice 9
Montrons que la suite

converge vers .
1ère méthode : utilisation de la définition
Montrons que tout intervalle ouvert contenant 0 contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
C’est-à-dire montrons que tout intervalle ouvert (centré en )
(avec
réel strictement positif)
contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
D’une part,
est une proposition vraie pour tout entier naturel
D’autre part,
(car la fonction
(car la fonction
est croissante sur
Il suffit donc de prendre un entier naturel
Autrement dit, la suite

tel que
car
et –
est décroissante sur
.
)
)
et
pour que
.
converge vers 0.
2ème méthode : utilisation des opérations sur les limites
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Exercice 10 (1 question)
Niveau : facile
Etudier la limite des suites
et
respectivement définies par :
Correction de l’exercice 10
Rappel : Limite d’une suite du type
Soient
une fonction définie sur un intervalle
et
la suite définie par
. Soit
.
Si
, alors
.
1) Etudions la limite de la suite
La suite
.
est de la forme
particulier sur
où
, par
Ainsi,
converge donc vers .
2) Etudions la limite de la suite
Pour tout
On a
et, en
. Or, on a :
. La suite
est de la forme
est une fonction rationnelle définie sur
où
.
est une fonction définie sur
,
par
.
.
et
; d’où, par produit,
. Par somme, il vient que
.
Ainsi,
. La suite
diverge donc vers
.
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Exercice 11 (1 question)
Niveau : facile
Etudier la limite de la suite
définie par
.
Correction de l’exercice 11
Rappel : Limite d’une suite du type
Soient
une fonction définie sur un intervalle et
soit un réel, soit
Si
soit
, alors
Etudions la limite de la suite
Alors
D’une part,
définie par
désignent
.
non nul, par
est la fonction trigonométrique définie sur
. Or,
.
par
donc, par somme,
D’autre part,
Ainsi,
et
.
définie, pour tout entier naturel
où
. Les lettres
.
et si
Soit la suite
une suite telle que
.
.
.
. La suite
converge donc vers .
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Exercice 12 (1 question)
Niveau : facile
Préciser la limite de la suite
définie par
Correction de l’exercice 12
Pour tout
,
On reconnait entre parenthèses la somme des
premiers termes d’une suite géométrique de premier terme
et
de raison .
Rappel : Somme des termes d’une suite géométrique
Soit
une suite géométrique de raison
. Alors la somme
des termes consécutifs de cette suite est
donnée par la formule :
Autrement dit, avec
où
désigne le rang à partir duquel la suite
est définie :
On a par conséquent :
Rappel : Limite de la suite géométrique
Soit
Or,
un réel.

Si
alors
la suite
converge et

Si
alors
la suite
est constante et

Si
alors
la suite
diverge et

Si
alors
la suite
diverge et
donc
. Ainsi, par somme,
n’a pas de limite
. La suite
converge vers .
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Exercice 13 (6 questions)
On considère les suites
Niveau : moyen
et
définies par :
1) Démontrer que la suite
est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la
raison.
2) Quelle est la limite de la suite
?
3) Démontrer que les suites
et
sont adjacentes.
4) En déduire qu’elles sont convergentes.
5) Démontrer que la suite
définie par
est constante. Qu’en déduire pour les suites
et
?
Correction de l’exercice 13
1) Démontrons que la suite
est une suite géométrique.
Pour tout entier naturel ,
La suite
est donc géométrique de raison
2) Précisons la limite de la suite
On a vu que
conséquent,
et de premier terme
.
.
est une suite géométrique de raison
. Or,
; par
. Cette suite converge vers .
3) Démontrons que les suites
et
sont adjacentes.
Rappel : Suites adjacentes (définition)
Deux suites
sont adjacentes si et seulement si :

l’une de ces suites est croissante

l’autre de ces suites est décroissante

la suite
(ou la suite
) converge vers
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Tout d’abord, montrons que l’une de ces suites est croissante et que l’autre est décroissante.
Or, d’après 1), la suite
,
est géométrique de raison
. Par conséquent,
Comme, pour tout
,
et de premier terme
. La suite
,
donc, pour tout
est donc croissante.
. La suite
est donc décroissante.
Désormais, montrons que la suite
la question précédente puisque
converge vers . Il se trouve que ce résultat a déjà été établi à
.
De ces 3 résultats, il vient que les suites
et
4) Justifions que les suites
et
sont adjacentes.
sont convergentes.
Rappel : Convergence de suites adjacentes
Soient
et
deux suites adjacentes.
Alors ces deux suites sont convergentes et ont la même limite (
).
D’après la question précédente, ces suites sont adjacentes donc elles convergent vers une même limite (
5) Démontrons que la suite
Donc la suite
définie par
est constante. Dès lors, il résulte que, pour tout
Déduisons de ce résultat la limite des suites
Comme toute suite constante converge,
Comme, par ailleurs, les suites
et
et
et
,
, on a :
.
.
est convergente vers
.
sont convergentes vers une même limite , on peut écrire
c’est-à-dire
que :
Les suites
est constante. Pour tout
).
. Il résulte de cette équation que
.
convergent donc vers .
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Exercice 14 (1 question)
On considère deux suites
suites
et
Niveau : moyen
et
à valeurs dans
telles que
. Montrer que les
ont le même comportement.
Correction de l’exercice 14
D’après l’énoncé, pour tout entier naturel ,

, c’est-à-dire

, c’est-à-dire
Remarque importante :
On ne peut écrire ni
, tant que l’existence de la
limite des suites
prouvée.
1) Etudions le comportement de la suite
La suite
n’a pas été
et
.
, c’est-à-dire
finalement que :
ni
. Comme
, il vient
.
est donc encadrée par les suites
et
. Or, d’après l’énoncé,
,
est encadrée par deux suites qui convergent vers 1. D’après le théorème des gendarmes, la suite
est donc convergente et
.
donc
2) Etudions le comportement de la suite
.
, c’est-à-dire
finalement que :
La suite
. Comme
, il vient
.
est donc encadrée par les suites
et
. Or,
, donc
encadrée par deux suites qui convergent vers 1. D’après le théorème des gendarmes, la suite
convergente et
.
3) On vient d’établir que
: les suites
et
est
est donc
ont le même
comportement.
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Exercice 15 (6 questions)
Niveau : facile
On considère la suite
1)
2)
3)
4)
5)
définie par
Prouver que
pour tout entier naturel .
Etudier la monotonie de la suite.
Justifier la convergence de la suite.
Conjecturer une expression de
en fonction de
En déduire la limite de
.
puis la démontrer.
Correction de l’exercice 15
1) Montrons que, pour tout
Soit

la proposition définie sur
.
par :
:
.
Vérifions tout d’abord que la proposition est initialisée.
et

,
donc
.
est donc vraie. Par conséquent, la proposition
est initialisée au rang .
Montrons désormais que la proposition est héréditaire.
Supposons que
est vraie pour un entier naturel fixé, c’est-à-dire supposons que
récurrence), et montrons alors que
est vraie, c’est-à-dire montrons que
.
(hypothèse de
Par hypothèse,
.
), c’est-à-dire
donc
(car la fonction
Comme la fonction
est croissante sur
est croissante sur
(donc sur
), on a
, c’est-à-dire
.
Du fait de la décroissance et de la positivité de la fonction
, c’est-à-dire
Enfin, par hypothèse,
sur
), il vient que
.
. D’où
. C’est-à-dire
On vient donc de montrer que, pour un entier naturel fixé, si
vraie au rang
. Autrement dit, la proposition est héréditaire.

(donc sur
On vient d’établir que
est vraie et que, pour tout
vient de montrer que la proposition est initialisée au rang
est vraie au rang , alors
.
est
,
. Autrement dit, on
et est héréditaire donc, d’après le principe du
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raisonnement par récurrence, la proposition est vraie pour tout entier naturel . On a donc
tout
.
2) D’après ce qui précède,
pour tout
, donc la suite
pour
est décroissante.
3) Justifions la convergence de la suite.
Rappel : Convergence des suites monotones
D’après la première question,
. Autrement
dit, la suite
est minorée par . De plus,
d’après la question précédente, elle est décroissante.
Il en résulte que
est convergente.
4) Conjecturons une expression de
 Toute suite croissante et majorée est
convergente.
 Toute suite décroissante et minorée est
convergente.
en fonction de .
Pour cela, calculons les 4 premiers termes de la suite
.




On remarque que
,
entier naturel ,
Désignons par

et
. On peut donc conjecturer que, pour tout
.
la proposition définie sur
telle que
:
.
Vérifions tout d’abord que cette proposition est initialisée.
On vient de montrer que

,
donc
est vraie. La proposition
est initialisée au rang .
Montrons désormais que la proposition est héréditaire.
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Supposons que
est vraie pour un entier naturel
fixé, c’est-à-dire supposons que
est vraie, c’est-à-dire montrons que
de récurrence), et montrons alors que
On vient donc de montrer que, pour un entier naturel fixé, si
vraie au rang
. Autrement dit, la proposition
est héréditaire.

(hypothèse
On vient d’établir que
est vraie et que, pour tout
vient de montrer que la proposition est initialisée au rang
.
est vraie au rang , alors
est
,
. Autrement dit, on
et est héréditaire donc, d’après le principe du
raisonnement par récurrence, la proposition est vraie pour tout entier naturel . On a donc
pour tout
.
5) Pour tout
,
Or,
La suite
.
,
et
. Par conséquent,
.
converge vers .
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Exercice 16 (1 question)
Niveau : difficile
Démontrer que la suite
est convergente.
définie par
Correction de l’exercice 16
est convergente, c’est-à-dire montrons tout d’abord que la suite est croissante,
Montrons que la suite
puis qu’elle est majorée.
1) Pour tout entier naturel
Ainsi,
. La suite
2) Pour tout entier naturel
Ainsi, comme
3) La suite
non nul,
,
est donc une suite croissante.
tel que
, c’est-à-dire
,
. La suite
est majorée par 2.
est croissante et majorée donc elle converge vers un réel tel que
.
Remarque :
On peut montrer que
.
On appelle séries de Riemann les
suites définies, pour
, par :
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Exercice 17 (1 question)
Niveau : difficile
Etudier le comportement des suites arithmético-géométriques définies par
Remarque : Les suites arithmético-géométriques sont également appelées suites récurrentes linéaires d’ordre 1.
Correction de l’exercice 17
Tout d’abord, commençons par traiter les quelques cas particuliers.
1) Si
,
Alors
(pour tout entier naturel
pour tout entier naturel non nul. La suite
2) Si
Alors
et
et
est constante et
et
et
. La suite
admet donc
pour limite.
,
Alors
. La suite
tout entier naturel ,
4) Si
est donc stationnaire à partir du rang
pour limite.
,
. La suite
3) Si
). La suite
admet donc
est donc arithmétique de raison
. La suite
diverge donc vers
et de premier terme
si
ou vers
. On a alors, pour
si
.
,
Alors
. La suite
tout entier naturel ,
est donc géométrique de raison
.
et de premier terme
. On a alors, pour
Dans ce cas,



Si
Si
Si
, la suite
diverge vers
si
ou vers
, la suite
diverge et n’a pas de limite.
,la suite
converge vers 0.
Désormais, abordons le(s) cas où
si
.
.
L’idée de la démarche consiste à trouver une suite géométrique
suites
et
, respectivement définies par
de raison , obtenue par la différence des
.
En effet,
.
En considérant par exemple que la suite
.
est une suite constante telle que
, on obtient
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Comme
, il résulte que
. La suite
est alors une suite géométrique de raison
, c’est-à-dire par
définie par
et de premier terme
.
On en déduit alors que, pour tout entier naturel ,
Dès lors, il vient de
que
,
.
, c’est-à-dire
.
Ainsi, plusieurs cas sont à distinguer.
5) Si
Alors
,
. La suite
6) Si
et
Alors la suite
c’est-à-dire si
7) Si
Alors la suite
8) Si
est constante et converge donc vers
.
,
diverge vers
.
et
si
, c’est-à-dire si
, ou diverge vers
si
,
,
diverge et n’a pas de limite.
et
Alors la suite converge vers
,
.
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Exercice 18 (1 question)
Etudier la limite de la suite
Niveau : moyen
définie sur
par :
Correction de l’exercice 18
Remarquons tout d’abord que, pour tout entier naturel
non nul :
1)
On appelle série télescopique la somme des termes
d’une suite qui s’annulent de proche en proche.
2)
La série télescopique correspondante à une suite
est donc la somme de la forme suivante :
3)
4)
5)
Ainsi, nous avons pour tout
Or,
:
. Donc, par somme,
La suite
converge vers 1.
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