Suites – Limite de suite réelle Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct) Exercice 1 : conjecture de la limite d’une suite définie par une formule explicite Exercice 2 : conjecture de la limite d’une suite définie par récurrence (avec tableur et algorithme) Exercice 3 : existence de la limite finie d’une suite (en utilisant la définition) Exercice 4 : existence de la limite finie d’une suite (en utilisant la définition) Exercice 5 : divergence d’une suite sans limite : étude de la suite Exercice 6 : limites de référence : étude des limites des suites Exercice 7 : comparaison des limites de deux suites Exercice 8 : limite de suite par encadrement (théorème des gendarmes) Exercice 9 : convergence d’une suite Exercice 10 : limite d’une suite du type Exercice 11 : limite d’une suite du type Exercice 12 : limite d’une suite géométrique Exercice 13 : suites adjacentes Exercice 14 : comportement de deux suites dont on connait la limite du produit Exercice 15 : convergence d’une suite décroissante minorée Exercice 16 : convergence d’une suite croissante majorée Exercice 17 : suites arithmético-géométriques (étude complète) Exercice 18 : série télescopique et (en utilisant la définition) Suites / Limite de suite – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 1 Exercice 1 (2 questions) Niveau : facile Toutes les suites suivantes sont définies par leur terme général. Préciser leur premier terme et conjecturer leur limite (si elle existe) : Correction de l’exercice 1 1) Soit la suite définie pour tout Le premier terme de la suite D’autre part, est par : avec . , , On peut donc conjecturer que la suite 2) Soit la suite admet définie pour tout Le premier terme de la suite est D’autre part, , , pour limite. par : avec , définie pour tout Le premier terme de la suite est est réel … . par : avec . D’autre part, , On peut donc conjecturer que la limite de la suite 4) Soit la suite Rappel : Pour tout nombre différent de , . On peut donc conjecturer que la limite de la suite 3) Soit la suite … définie pour tout entier naturel Le premier terme de la suite est avec est . par : . Suites / Limite de suite – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 2 D’autre part, , On peut donc conjecturer que la limite de la suite 5) Soit la suite La suite définie pour tout entier naturel a pour premier terme . , On peut donc conjecturer que la suite tend vers . La suite définie pour tout admet pour premier terme D’autre part, pour tout entier naturel , positif) et, si est impair, alors Comme par : tel que D’autre part, 6) Soit la suite est . par : avec . . Ainsi, si est pair, alors (nombre (nombre négatif). dépend de la parité de , on peut conjecturer que la suite n’admet pas de limite. Rappel : Convergence ou divergence d’une suite Une suite qui admet une limite finie est dite Les suites convergente. , et semblent , et semblent convergentes. Une suite non convergente est dite divergente. Une Les suites suite diverge lorsqu’elle n’a pas de limite finie ou divergentes. une limite infinie ( ou ). Suites / Limite de suite – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 3 Exercice 2 (4 questions) On considère la suite 1) 2) 3) 4) Niveau : facile définie par récurrence par Calculer les 6 premiers termes de la suite. A l’aide d’un tableur, donner les valeurs approchées à près des 12 premiers termes de la suite. En déduire une conjecture de la limite de la suite . Ecrire un algorithme, demandant à l’utilisateur de saisir la valeur du premier terme de la suite et permettant de déterminer le premier entier pour lequel . Correction de l’exercice 2 1) La suite est définie pour tout . Donc les 6 premiers termes sont 2) Avec un tableur, on peut déterminer la valeur des 12 premiers termes de la suite , , , , et . . Il suffit d’entrer la valeur initiale dans la cellule B2, puis de saisir la formule « =B2/2+1 » dans la cellule B3, ensuite de copier cette formule et enfin de la coller dans les cellules B4, B5, B6… A l’aide du tableur, on observe alors que les 12 premiers termes de la suite ont pour valeur approchée à près : Suites / Limite de suite – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 4 3) D’après les résultats de la question précédente, on peut conjecturer que la suite limite. admet pour 4) Ecrivons un algorithme avec le logiciel AlgoBox, demandant à l’utilisateur de saisir la valeur du premier terme de la suite et permettant de déterminer le premier entier pour lequel . L’algorithme retourne le résultat . Remarque : La suite est une suite arithmético-géométrique. Suites / Limite de suite – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 5 Exercice 3 (2 questions) Niveau : moyen On considère la suite définie par . 1) Déterminer un entier naturel tel que, pour tout 2) En déduire que la limite de la suite est . , . Correction de l’exercice 3 1) Soit la suite définie par Déterminons un entier naturel tel que, pour tout D’une part, on remarque que pour tout , on a . et . Ainsi, en prenant sur , . Autrement dit, . D’autre part, pour tout Donc, pour tout , , en vertu de la décroissance de la fonction , c’est-à-dire . , c’est-à-dire , , on a . Il s’ensuit que , c’est-à-dire et . . 2) Montrons que Rappel : Limite finie d’une suite (définition) Soit une suite réelle et un réel. La suite a pour limite contenant contient aussi tous les termes de la suite si et seulement si tout intervalle ouvert à partir d’un certain rang . Dans ce cas, on note : Considérons un intervalle ouvert contenant . On peut alors écrire cet intervalle sous la forme et . Soit un entier naturel tel que c’est-à-dire En outre, on a . Pour tout et . Comme la fonction , on a alors est décroissante sur , c’est-à-dire avec , , . donc . Suites / Limite de suite – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 6 En conclusion, . Autrement dit, pour tout montrer que, pour tout intervalle ouvert . Tout intervalle ouvert contenant tel que , contenant , il existe un entier contient donc tous les termes d’un certain rang ; par définition, cela signifie que . La suite . On vient donc de tel que, pour tout de la suite , à partir converge vers . Suites / Limite de suite – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 7 Exercice 4 (1 question) Niveau : moyen En utilisant la définition de la limite d’une suite, étudier la convergence de la suite définie par . Correction de l’exercice 4 L’énoncé laisse entendre que la suite admet une limite finie puisqu’il y est fait mention de « convergence ». Calculons quelques termes de la suite pour émettre une conjecture sur le comportement de cette suite. Il semble donc que la suite converge vers 2. Montrons que tout intervalle ouvert contenant 2 contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. C’est-à-dire montrons que tout intervalle ouvert (centré en ) (avec réel strictement positif) contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. D’une part, est une proposition vraie pour tout entier naturel D’autre part, (car la fonction Il suffit donc de prendre un entier naturel Autrement dit, la suite et – car est décroissante sur tel que et . ) pour que . converge vers 2. Exemples : Si , alors il suffit de prendre un entier naturel pour tout entier naturel Si , tel que (par exemple ) et, . , alors il suffit de prendre un entier naturel ) et, pour tout entier naturel tel que , (par exemple . Suites / Limite de suite – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 8 Exercice 5 (1 question) Niveau : moyen n’a pas de limite. Justifier que la suite Correction de l’exercice 5 Soit la suite . Montrons qu’elle n’a pas de limite, c’est-à-dire montrons : définie par 1) qu’elle n’a pas de limite finie 2) qu’elle ne tend pas vers 3) qu’elle ne tend pas vers Rappel : Limite infinie d’une suite (définition) Soit une suite réelle et La suite tend vers termes de la suite La suite un réel. à partir d’un certain rang tend vers termes de la suite 1) Montrons que la suite si et seulement si tout intervalle ouvert . si et seulement si tout intervalle ouvert à partir d’un certain rang contient aussi tous les contient aussi tous les . n’admet pas de limite finie. Si est pair, alors et, si est impair, alors prenant successivement les valeurs et . . Ainsi, la suite est une suite alternée Considérons un intervalle ouvert d’amplitude inférieure strictement à . Cet intervalle ne peut donc contenir à la fois et . Autrement dit, cet intervalle ne peut donc pas contenir tous les termes à partir d’un certain rang. Il en résulte, par définition, que la suite ne peut avoir une limite finie. La suite diverge. 2) Montrons que la suite La suite . ne peut pas tendre vers car l’intervalle ne contient pas les termes de la suite , de valeur , c’est-à-dire ne contient pas tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. 3) Montrons que la suite La suite ne tend pas vers ne tend pas vers . ne peut pas tendre vers car l’intervalle ne contient pas les termes de la suite , de valeur , c’est-à-dire ne contient pas tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. En conclusion, la suite définie par ni vers , n’a pas de limite. , n’admettant pas de limite finie et ne tendant ni vers Suites / Limite de suite – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 9 Exercice 6 (1 question) Niveau : facile Démontrer les limites de référence suivantes : Correction de l’exercice 6 1) Démontrons que : Soit un réel strictement positif. Montrons que l’intervalle ouvert d’un certain rang . Comme , (car la fonction Posons alors par exemple que . contient tous les termes est croissante sur . Ainsi, à partir du rang à partir ), c’est-à-dire , on a . . Il en résulte Rappel : Partie entière d’un réel Soit un réel. On appelle partie entière de , notée , le nombre entier tel que . Exemples : car car 2) Démontrons que : Montrons que tout intervalle ouvert contenant contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. C’est-à-dire montrons que tout intervalle ouvert (centré en ) (avec réel strictement positif) contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang D’une part, comme D’autre part, et comme , (car la fonction Posons alors par exemple définition, que . . Ainsi, à partir du rang est décroissante sur , on a et car ) . Il en résulte, par . Suites / Limite de suite – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 10 Exercice 7 (3 questions) Niveau : facile On considère les suites et respectivement définies par récurrence par : 1) Comparer et pour tout . 2) Si les suites et ont des limites finies respectives et , que peut-on dire de et 3) Ecrire un algorithme permettant de conjecturer la limite de chacune des suites. ? Correction de l’exercice 7 1) Comparons D’une part, et pour tout et . . D’autre part, . Donc . On peut donc conjecturer que, pour tout raisonnement par récurrence. et . Donc . Vérifions cette conjecture à l’aide d’un , Rappel : Principe du raisonnement par récurrence Soit une proposition définie sur un intervalle de . Soit Une proposition est un énoncé, soit vrai, soit faux. . Si : 1) la proposition est initialisée à un certain rang 2) la proposition est héréditaire à partir du rang , c’est-à-dire si est vraie au rang , c’est-à-dire si, pour tout tel que , on a l’implication Alors : 3) La proposition est vraie à partir de tout rang plus grand que Soit la proposition définie sur : . Vérifions tout d’abord que la proposition est initialisée. On a montré que par : . donc est vraie. Par conséquent, la proposition est initialisée au rang . Montrons désormais que la proposition est héréditaire. Supposons que est vraie pour un entier naturel fixé, c’est-à-dire supposons que récurrence), et montrons alors que est vraie, c’est-à-dire montrons que étudions le signe de . (hypothèse de . Pour ce faire, Suites / Limite de suite – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 11 , c’est-à-dire, Or, par hypothèse, , c’est-à-dire bien . D’autre part, . On a donc vraie. On vient donc de montrer que, pour tout , si . Autrement dit, la proposition est héréditaire. . Donc est vraie au rang , alors est vraie au rang Finalement, on vient d’établir que est vraie et que, pour tout , . Autrement dit, on vient de montrer que la proposition est initialisée au rang et est héréditaire donc, en vertu du principe du raisonnement par récurrence, la proposition est vraie pour tout entier naturel . On a donc pour tout . 2) Comparons et . D’après 1), pour tout , . Rappel : Comparaison des limites de deux suites d’une part et d’autre part, alors . Si, de plus, on a Soient deux suites réelles et , Remarque importante : On ne peut surtout pas conclure que . En effet, en prenant par admet une limite finie exemple admet une limite finie définies par , on a pour tout et , mais . un entier naturel. Si, pour tout et et soit Alors (ou ) . 3) Ecrivons un algorithme permettant de conjecturer la limite de chacune des suites. Autrement dit, écrivons un algorithme permettant de calculer et (avec supposé assez grand) en demandant à l’utilisateur de renseigner le de son choix (dans l’exemple ci-après, l’utilisateur cherche à calculer et , c’est pourquoi il saisit ). Suites / Limite de suite – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 12 En utilisant cet algorithme, on peut donc conjecturer que les deux suites (valeur sans doute arrondie). et tendent vers Suites / Limite de suite – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 13 Exercice 8 (1 question) Niveau : facile Etudier la limite de la suite définie par : Correction de l’exercice 8 Rappel : Théorème des gendarmes (aussi appelé théorème d’encadrement) Soient , et Si, pour tout entier trois suites de nombres réels et soit un réel. supérieur à un certain entier , Alors, Pour tout La fonction La fonction Or, , . étant croissante sur donc sur étant croissante sur De plus, pour tout Ainsi, il résulte que : et , donc sur , on a alors . , on a alors . . , c’est-à-dire . Donc, d’après le théorème des gendarmes, Suites / Limite de suite – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 14 Exercice 9 (1 question) Niveau : moyen On considère la suite Démontrer à l’aide de deux méthodes différentes définie par que la suite converge vers . Correction de l’exercice 9 Montrons que la suite converge vers . 1ère méthode : utilisation de la définition Montrons que tout intervalle ouvert contenant 0 contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. C’est-à-dire montrons que tout intervalle ouvert (centré en ) (avec réel strictement positif) contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. D’une part, est une proposition vraie pour tout entier naturel D’autre part, (car la fonction (car la fonction est croissante sur Il suffit donc de prendre un entier naturel Autrement dit, la suite tel que car et – est décroissante sur . ) ) et pour que . converge vers 0. 2ème méthode : utilisation des opérations sur les limites Suites / Limite de suite – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 15 Exercice 10 (1 question) Niveau : facile Etudier la limite des suites et respectivement définies par : Correction de l’exercice 10 Rappel : Limite d’une suite du type Soient une fonction définie sur un intervalle et la suite définie par . Soit . Si , alors . 1) Etudions la limite de la suite La suite . est de la forme particulier sur où , par Ainsi, converge donc vers . 2) Etudions la limite de la suite Pour tout On a et, en . Or, on a : . La suite est de la forme est une fonction rationnelle définie sur où . est une fonction définie sur , par . . et ; d’où, par produit, . Par somme, il vient que . Ainsi, . La suite diverge donc vers . Suites / Limite de suite – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 16 Exercice 11 (1 question) Niveau : facile Etudier la limite de la suite définie par . Correction de l’exercice 11 Rappel : Limite d’une suite du type Soient une fonction définie sur un intervalle et soit un réel, soit Si soit , alors Etudions la limite de la suite Alors D’une part, définie par désignent . non nul, par est la fonction trigonométrique définie sur . Or, . par donc, par somme, D’autre part, Ainsi, et . définie, pour tout entier naturel où . Les lettres . et si Soit la suite une suite telle que . . . . La suite converge donc vers . Suites / Limite de suite – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 17 Exercice 12 (1 question) Niveau : facile Préciser la limite de la suite définie par Correction de l’exercice 12 Pour tout , On reconnait entre parenthèses la somme des premiers termes d’une suite géométrique de premier terme et de raison . Rappel : Somme des termes d’une suite géométrique Soit une suite géométrique de raison . Alors la somme des termes consécutifs de cette suite est donnée par la formule : Autrement dit, avec où désigne le rang à partir duquel la suite est définie : On a par conséquent : Rappel : Limite de la suite géométrique Soit Or, un réel. Si alors la suite converge et Si alors la suite est constante et Si alors la suite diverge et Si alors la suite diverge et donc . Ainsi, par somme, n’a pas de limite . La suite converge vers . Suites / Limite de suite – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 18 Exercice 13 (6 questions) On considère les suites Niveau : moyen et définies par : 1) Démontrer que la suite est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 2) Quelle est la limite de la suite ? 3) Démontrer que les suites et sont adjacentes. 4) En déduire qu’elles sont convergentes. 5) Démontrer que la suite définie par est constante. Qu’en déduire pour les suites et ? Correction de l’exercice 13 1) Démontrons que la suite est une suite géométrique. Pour tout entier naturel , La suite est donc géométrique de raison 2) Précisons la limite de la suite On a vu que conséquent, et de premier terme . . est une suite géométrique de raison . Or, ; par . Cette suite converge vers . 3) Démontrons que les suites et sont adjacentes. Rappel : Suites adjacentes (définition) Deux suites sont adjacentes si et seulement si : l’une de ces suites est croissante l’autre de ces suites est décroissante la suite (ou la suite ) converge vers Suites / Limite de suite – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 19 Tout d’abord, montrons que l’une de ces suites est croissante et que l’autre est décroissante. Or, d’après 1), la suite , est géométrique de raison . Par conséquent, Comme, pour tout , et de premier terme . La suite , donc, pour tout est donc croissante. . La suite est donc décroissante. Désormais, montrons que la suite la question précédente puisque converge vers . Il se trouve que ce résultat a déjà été établi à . De ces 3 résultats, il vient que les suites et 4) Justifions que les suites et sont adjacentes. sont convergentes. Rappel : Convergence de suites adjacentes Soient et deux suites adjacentes. Alors ces deux suites sont convergentes et ont la même limite ( ). D’après la question précédente, ces suites sont adjacentes donc elles convergent vers une même limite ( 5) Démontrons que la suite Donc la suite définie par est constante. Dès lors, il résulte que, pour tout Déduisons de ce résultat la limite des suites Comme toute suite constante converge, Comme, par ailleurs, les suites et et et , , on a : . . est convergente vers . sont convergentes vers une même limite , on peut écrire c’est-à-dire que : Les suites est constante. Pour tout ). . Il résulte de cette équation que . convergent donc vers . Suites / Limite de suite – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 20 Exercice 14 (1 question) On considère deux suites suites et Niveau : moyen et à valeurs dans telles que . Montrer que les ont le même comportement. Correction de l’exercice 14 D’après l’énoncé, pour tout entier naturel , , c’est-à-dire , c’est-à-dire Remarque importante : On ne peut écrire ni , tant que l’existence de la limite des suites prouvée. 1) Etudions le comportement de la suite La suite n’a pas été et . , c’est-à-dire finalement que : ni . Comme , il vient . est donc encadrée par les suites et . Or, d’après l’énoncé, , est encadrée par deux suites qui convergent vers 1. D’après le théorème des gendarmes, la suite est donc convergente et . donc 2) Etudions le comportement de la suite . , c’est-à-dire finalement que : La suite . Comme , il vient . est donc encadrée par les suites et . Or, , donc encadrée par deux suites qui convergent vers 1. D’après le théorème des gendarmes, la suite convergente et . 3) On vient d’établir que : les suites et est est donc ont le même comportement. Suites / Limite de suite – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 21 Exercice 15 (6 questions) Niveau : facile On considère la suite 1) 2) 3) 4) 5) définie par Prouver que pour tout entier naturel . Etudier la monotonie de la suite. Justifier la convergence de la suite. Conjecturer une expression de en fonction de En déduire la limite de . puis la démontrer. Correction de l’exercice 15 1) Montrons que, pour tout Soit la proposition définie sur . par : : . Vérifions tout d’abord que la proposition est initialisée. et , donc . est donc vraie. Par conséquent, la proposition est initialisée au rang . Montrons désormais que la proposition est héréditaire. Supposons que est vraie pour un entier naturel fixé, c’est-à-dire supposons que récurrence), et montrons alors que est vraie, c’est-à-dire montrons que . (hypothèse de Par hypothèse, . ), c’est-à-dire donc (car la fonction Comme la fonction est croissante sur est croissante sur (donc sur ), on a , c’est-à-dire . Du fait de la décroissance et de la positivité de la fonction , c’est-à-dire Enfin, par hypothèse, sur ), il vient que . . D’où . C’est-à-dire On vient donc de montrer que, pour un entier naturel fixé, si vraie au rang . Autrement dit, la proposition est héréditaire. (donc sur On vient d’établir que est vraie et que, pour tout vient de montrer que la proposition est initialisée au rang est vraie au rang , alors . est , . Autrement dit, on et est héréditaire donc, d’après le principe du Suites / Limite de suite – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 22 raisonnement par récurrence, la proposition est vraie pour tout entier naturel . On a donc tout . 2) D’après ce qui précède, pour tout , donc la suite pour est décroissante. 3) Justifions la convergence de la suite. Rappel : Convergence des suites monotones D’après la première question, . Autrement dit, la suite est minorée par . De plus, d’après la question précédente, elle est décroissante. Il en résulte que est convergente. 4) Conjecturons une expression de Toute suite croissante et majorée est convergente. Toute suite décroissante et minorée est convergente. en fonction de . Pour cela, calculons les 4 premiers termes de la suite . On remarque que , entier naturel , Désignons par et . On peut donc conjecturer que, pour tout . la proposition définie sur telle que : . Vérifions tout d’abord que cette proposition est initialisée. On vient de montrer que , donc est vraie. La proposition est initialisée au rang . Montrons désormais que la proposition est héréditaire. Suites / Limite de suite – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 23 Supposons que est vraie pour un entier naturel fixé, c’est-à-dire supposons que est vraie, c’est-à-dire montrons que de récurrence), et montrons alors que On vient donc de montrer que, pour un entier naturel fixé, si vraie au rang . Autrement dit, la proposition est héréditaire. (hypothèse On vient d’établir que est vraie et que, pour tout vient de montrer que la proposition est initialisée au rang . est vraie au rang , alors est , . Autrement dit, on et est héréditaire donc, d’après le principe du raisonnement par récurrence, la proposition est vraie pour tout entier naturel . On a donc pour tout . 5) Pour tout , Or, La suite . , et . Par conséquent, . converge vers . Suites / Limite de suite – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 24 Exercice 16 (1 question) Niveau : difficile Démontrer que la suite est convergente. définie par Correction de l’exercice 16 est convergente, c’est-à-dire montrons tout d’abord que la suite est croissante, Montrons que la suite puis qu’elle est majorée. 1) Pour tout entier naturel Ainsi, . La suite 2) Pour tout entier naturel Ainsi, comme 3) La suite non nul, , est donc une suite croissante. tel que , c’est-à-dire , . La suite est majorée par 2. est croissante et majorée donc elle converge vers un réel tel que . Remarque : On peut montrer que . On appelle séries de Riemann les suites définies, pour , par : Suites / Limite de suite – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 25 Exercice 17 (1 question) Niveau : difficile Etudier le comportement des suites arithmético-géométriques définies par Remarque : Les suites arithmético-géométriques sont également appelées suites récurrentes linéaires d’ordre 1. Correction de l’exercice 17 Tout d’abord, commençons par traiter les quelques cas particuliers. 1) Si , Alors (pour tout entier naturel pour tout entier naturel non nul. La suite 2) Si Alors et et est constante et et et . La suite admet donc pour limite. , Alors . La suite tout entier naturel , 4) Si est donc stationnaire à partir du rang pour limite. , . La suite 3) Si ). La suite admet donc est donc arithmétique de raison . La suite diverge donc vers et de premier terme si ou vers . On a alors, pour si . , Alors . La suite tout entier naturel , est donc géométrique de raison . et de premier terme . On a alors, pour Dans ce cas, Si Si Si , la suite diverge vers si ou vers , la suite diverge et n’a pas de limite. ,la suite converge vers 0. Désormais, abordons le(s) cas où si . . L’idée de la démarche consiste à trouver une suite géométrique suites et , respectivement définies par de raison , obtenue par la différence des . En effet, . En considérant par exemple que la suite . est une suite constante telle que , on obtient Suites / Limite de suite – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 26 Comme , il résulte que . La suite est alors une suite géométrique de raison , c’est-à-dire par définie par et de premier terme . On en déduit alors que, pour tout entier naturel , Dès lors, il vient de que , . , c’est-à-dire . Ainsi, plusieurs cas sont à distinguer. 5) Si Alors , . La suite 6) Si et Alors la suite c’est-à-dire si 7) Si Alors la suite 8) Si est constante et converge donc vers . , diverge vers . et si , c’est-à-dire si , ou diverge vers si , , diverge et n’a pas de limite. et Alors la suite converge vers , . Suites / Limite de suite – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 27 Exercice 18 (1 question) Etudier la limite de la suite Niveau : moyen définie sur par : Correction de l’exercice 18 Remarquons tout d’abord que, pour tout entier naturel non nul : 1) On appelle série télescopique la somme des termes d’une suite qui s’annulent de proche en proche. 2) La série télescopique correspondante à une suite est donc la somme de la forme suivante : 3) 4) 5) Ainsi, nous avons pour tout Or, : . Donc, par somme, La suite converge vers 1. Suites / Limite de suite – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée) 28