Manuel de calcul numerique applique

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I
Quelques algorithmes
accélérateurs
de la convergence des suites
Au cours de ce chapitre, nous allons présenter quelques algorithmes très puissants qui ont pour
but d’accélérer la vitesse de convergence des suites. I1 s’agit de l’algorithme d’Aitken, du procédé
d’extrapolation de Richardson et de l’epsilon-algorithme, ce dernier ayant vu le jour en 1956 à
la suite des travaux de P. Wynn. Nous nous attacherons essentiellement à leur présentation et
à leur mise en œuvre dans la mesure où nous ferons souvent appel à eux au cours des différents
chapitres.
Sans entrer dans des considérations théoriques de haut niveau, il est possible de dire que
d’une part l’epsilon-algorithme est une généralisation du procédé d’Aitken, et que d’autre
part il est relié aux approximants de Padé et aux fractions continues (cf. annexes C et D).
I1 n’est pas question d’effectuer ici les justifications théoriques relatives à ces algorithmes et
nous limiterons nos ambitions à en apprendre le maniement. Cependant, le lecteur intéressé par
les fondements des techniques d’accélération de convergence pourra avoir recours à l’excellent
ouvrage de C. Brézinski : Algorithmes d’Accélération de la Convergence. Étude Numérique, aux
Éditions Technip, Paris (1978). Dans cet ouvrage figurent d’autres procédures d’accélération de
la convergence, de nombreux exemples d’applications et des programmes rédigés en Fortran. Pour
tout ce qui a trait aux procédures d’accélération de la convergence, il est nécessaire d’insister
sur le fait que les résultats proposés ne concernent que les nombres susceptibles de pouvoir être
effectivement calculés avec une précision suffisante.
1. L’algorithme A* d’Aitken (1895-1967)
Supposons que nous connaissions une suite numérique convergente So,Si,.
. . , S,. Par exemple
les SI, peuvent être constitués par les sommes partielles d’une série, ou encore par la suite des
approximations successives de la racine d’une équation f(x) = O obtenues par une méthode
itérative. À partir de cette suite de ( n 1) termes, nous allons construire une autre suite de
n termes et ainsi de suite. Nous définissons une procédure récurrente, et pour les besoins de
la cause, nous allons numéroter des suites ainsi formées au moyen d’un exposant placé entre
parenthèses. Ainsi, la suite initiale s’écrit :
+
so“’,
$1,.
31
. . , SF).
MANUELD E
CALCUL NUMÉRIQUE APPLIQUÉ
1.1. Présentation de la méthode
SF’,s?),
Considérons une suite numérique
S?’ . . . ,si0)dont la convergence est lente. À partir
de la suite des Sf), on forme une nouvelle suite S j(1) obtenue de la manière suivante :
À partir de la dernière suite formée, celle des Sf), on obtient une autre suite au moyen du
même procédé. On note qu’à chaque construction d’une nouvelle suite, le nombre d’éléments
de la suite diminue de deux unités. L’application successive de ce processus nous conduit à
l’obtention de la suite qui n’est plus constituée que d’un seul terme à condition toutefois que le
nombre de termes de la suite initiale soit impair. Le terme général s’écrit alors :
1.2. Un exemple numérique
On se propose d’appliquer cet algorithme à la suite des sommes partielles obtenue par la
sommation de la série :
qui est bien connue pour sa convergence lente. En retenant les cinq premiers termes de la suite
on trouve S = 0,834920. L’usage de l’algorithme d’Aitken, avec les mêmes nombres, permet de
trouver S = 0,785 526. Autrement dit, l’erreur relative sur T passe de 6,3 l o p 2 à 5,l
On trouvera sur le Web (*) un programme aitkenO. c mettant en œuvre cet algorithme.
2. Le procédé d’extrapolation de Richardson (1881-1953)
On désigne toujours par S’y’, avec j = O, 1 ’ 2 . . . n, la suite initiale que l’on désire voir converger
plus rapidement, et par x k une suite auxiliaire (( choisie convenablement ». Nous aborderons un
peu plus loin le problème du choix de la suite auxiliaire. La méthode de Richardson consiste à
former une suite de (( vecteurs )) au moyen de la relation suivante :
sg+i)= xmSrn+i - xm+k+lSm(k)’
(k)
xm
-
(2.2)
Xm+k+l
avec m, k = O, 1’2,. . .n. La succession des opérations est symbolisée par le tableau 2.1, page
ci-contre.
Dans la mesure où les x, sont indépendants des
il est aisé de s’apercevoir qu’il s’agit
(k) et Sm , il s’ensuit,
d’un algorithme en triangle et que S“’)
est une combinaison linéaire de Smfl
alors, que le procédé de Richardson est une transformation linéaire de suites.
5’2)’
(4
Remarque : Dans le cas particulier où l’on choisit comme suite auxiliaire la suite :
xm=
(0)
Sk+l-
( 0 ) - &O),
sk
* http://www.edpsciences.com/guilpin/
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-
k
2. QUELQUES
ALGORITHMES
ACCÉLÉRATEURS
DE L A CONVERGENCE DES SUITES
Tableau 2.1.
So“’
S?)
on obtient alors un algorithme qui n’est plus en triangle et qui n’est plus linéaire. La relation
générale est donnée par l’expression :
2.1. Quelques éléments de théorie
Revenons à la suite initiale SF’ qui converge vers S ainsi qu’à la suite auxiliaire x k indépendante
des S (j0 ) que l’on suppose d’une part strictement décroissante et d’autre part tendre vers zéro
lorsque n tend vers l’infini. Le procédé d’extrapolation de Richardson est fondé sur la formule de
Neville-Aitken qui donne une façon de construire les polynômes d’interpolation pour une valeur
particulière de la variable (cf. chapitre 6 sur l’interpolation). En effet, S j(k’ est la valeur en zéro
du polynôme d’interpolation de degré IC, lequel, aux abscisses xp,prend les valeurs SF) pour
p T j , j + l ,. . . , j + k.
A présent nous allons énoncer quelques théorèmes importants, mais dont nous ne donnons
pas la démonstration.
a - Théorème I - Pour que Sjk) tende vers S quel que soit j > N , il faut et il suffit que
k
s(“’= s E,,’
a i x i quel que soit rn > N .
Autrement dit, les Sj( k ) peuvent s’exprimer sous la forme d’un rapport de deux déterminants,
+
ce qui constitue une autre expression de ce théorème :
1.;
..............
. . . x:+kl
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