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I
de la convergence des suites
Quelques algorithmes
accélérateurs
Au cours de ce chapitre, nous allons présenter quelques algorithmes très puissants qui ont pour
but d’accélérer la vitesse de convergence des suites. I1 s’agit de l’algorithme d’Aitken, du procédé
d’extrapolation de Richardson et de l’epsilon-algorithme, ce dernier ayant vu le jour en 1956
à
la suite des travaux de
P.
Wynn. Nous nous attacherons essentiellement
à
leur présentation et
à
leur mise en œuvre dans la mesure
où
nous ferons souvent appel
à
eux au cours des différents
chapitres.
Sans entrer dans des considérations théoriques de haut niveau, il est possible de dire que
d’une part l’epsilon-algorithme est une généralisation du procédé d’Aitken, et que d’autre
part il est relié aux approximants de Padé et aux fractions continues
(cf.
annexes
C
et
D).
I1
n’est pas question d’effectuer ici les justifications théoriques relatives
à
ces algorithmes et
nous limiterons nos ambitions
à
en apprendre le maniement. Cependant, le lecteur intéressé par
les fondements des techniques d’accélération de convergence pourra avoir recours
à
l’excellent
ouvrage de C. Brézinski
:
Algorithmes d’Accélération de la Convergence. Étude Numérique, aux
Éditions Technip, Paris (1978). Dans cet ouvrage figurent d’autres procédures d’accélération de
la convergence, de nombreux exemples d’applications et des programmes rédigés en Fortran. Pour
tout ce qui a trait aux procédures d’accélération de la convergence, il est nécessaire d’insister
sur le fait que les résultats proposés ne concernent que les nombres susceptibles de pouvoir être
effectivement calculés avec une précision suffisante.
1.
L’algorithme
A*
d’Aitken (1895-1967)
Supposons que nous connaissions une suite numérique convergente
So,
Si,.
. . ,
S,.
Par exemple
les
SI,
peuvent être constitués par les sommes partielles d’une série, ou encore par la suite des
approximations successives de la racine d’une équation
f(x)
=
O
obtenues par une méthode
itérative.
À
partir de cette suite de
(n
+
1)
termes, nous allons construire une autre suite de
n
termes et ainsi de suite. Nous définissons une procédure récurrente, et pour les besoins de
la cause, nous allons numéroter des suites ainsi formées au moyen d’un exposant placé entre
parenthèses. Ainsi, la suite initiale s’écrit
:
so“’,
$1,.
.
. ,
SF).
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