Série-Dipole-RL

SERIE N° 3
BOBINE & DIPOLE RL
EXERCICE 1
L’intensité du courant traversant
une bobine idéale d’inductance
L = 10 mH a l’allure représentée cicontre. La bobine est étudiée en
convention récepteur.
Représenter l’allure de la tension
u aux bornes de la bobine
(prendre
1 cm ↔ 1 V
et
1 cm ↔ 1 ms)
EXERCICE 2
Dans un circuit schématisé ci-dessous, le générateur délivre un échelon de tension à la fermeture du circuit.
On visualise sur un oscilloscope à mémoire la tension U délivrée par le générateur et la tension Ur aux bornes du
conducteur ohmique de résistance r = 2,7 kΩ.
Sur l’oscilloscope, la sensibilité verticale est la même pour les deux tensions est vaut 2 V / div.
1) Quelle est la tension visualisée sur la voie A de l’oscilloscope ?
2) Placer sur le schéma les branchements de l’oscilloscope.
3) A partir de l’oscillogramme :
a- Quelle grandeur physique la voie B permet-elle aussi de visualiser ? Justifier.
b- Quelle est la valeur de l’échelon de tension E ?
c- Quelle est la valeur de l’intensité du courant électrique lorsque le régime permanent est établi ?
4) Qu’aurait-on observé sur la voie B si le circuit avait été purement résistif ? Quelle est l’influence de la bobine ?
Déduire alors le du phénomène mis en évidence.
EXERCICE 3
Un circuit série est constitué d’un générateur idéal de tension de f.é.m. E, d’une bobine d’inductance L et de résistance
r, d’un conducteur ohmique de résistance R0 et d’un interrupteur K.
A l’instant t = 0, on ferme le circuit.
1) Représenter le schéma du circuit et l’orienter à votre choix.
2) Établir l’équation différentielle du premier ordre régissant l’évolution de l’intensité i du courant électrique en
fonction du temps. On pose : R = r + R0 .
3) La solution de cette équation différentielle est du type : i (t) = A + B.e - α t.
a- En reportant cette expression dans l’équation différentielle, déterminer les constante α et A en fonction
de E, R et L. En déduire l’expression de i ( t )
b- Déterminer l’expression de la tension uL,r (t) aux bornes de la bobine.
c- Que devient u L,r (t) en régime permanent ?
d- Proposer un montage équivalent au circuit précédent en régime permanant.
EXERCICE 4
On considère le montage ci-contre . Le dipôle D est une diode idéale
On peut distinguer deux états de fonctionnement d’une diode idéale
 Lorsque la diode est passante, elle se comporte comme un interrupteur
fermé ( soient U = 0 et i’ > 0 )
 Lorsque la diode est fermée, elle se comporte comme un interrupteur
ouvert ( soient U < 0 et i’ =0 )
Partie A : Etablissement du courant dans le circuit
A la date t = 0 on ferme l’interrupteur K1
1) Est-ce qu’un courant électrique circule dans la diode ? Justifier
i’
brièvement. Dessiner alors un schéma équivalent simplifié du circuit
où l’on fera figurer les tension fléchées UPS et UST.
2) Que valent i(0) et UPS(0), respectivement de l’intensité du courant et la tension aux bornes de la bobine juste
après la fermeture de l’interrupteur. Justifier. En déduire pourquoi la tension UPS est discontinue à t =0.
3) Quelles sont, en fonction de E, r et r’ les expressions, notées IP et UPS (perm) respectivement de l’intensité du
courant et de la tension aux bornes de la bobine lorsque le régime permanent est atteint.
4) Etablir l’équation différentielle qui traduit l’évolution de l’intensité i(t) dans la bobine, en y faisant figurer IP
ainsi que la constante τ = L/R où R = r + r’.
5) Vérifier que la fonction i(t) = IP .[1 – exp( - t / τ ) ] est solution de l’équation différentielle. Que représente IP pour
la fonction i(t) ?
Partie B : Rupture du courant
Une fois le régime permanent atteint, on ouvre l’interrupteur à une date to choisie comme nouvelle origine des dates.
1) Justifier le fait que, juste après l’ouverture, un courant circule dans la bobine et dans la diode. Donner alors un
schéma équivalent simplifié du circuit où figurent les tensions UPS et UST.
2) Quelles sont, en fonction de E, r et r les expressions de i(0) et UPS(0), respectivement de l’intensité du courant et
de la tension aux bornes de la bobine juste après l’ouverture de l’interrupteur. Justifier. Montrer que la tension
Ups subit encore une discontinuité à l’ouverture de l’interrupteur ?
U
3)
Que vaut UPS lorsque le courant atteint
une valeur nulle ? Justifier brièvement.
4) Etablir l’équation différentielle vérifiée par
i(t) en y faisant figurer la constante de temps τ.
5) Vérifier que i(t) = IP exp( - t / τ ) est
solution de l’équation différentielle.
Cette expression est-elle en accord avec l’annulation
finale du courant ? Justifier brièvement.
6) Graphes d’évolution de i(t) et UPS(t).
En utilisant certains résultats des questions
précédentes :
a- schématiser sur les systèmes d’axes
ci-après, l’allure des courbes i(t) et UPS(t).
b- Quelle est la grandeur continue ? Quelle est la
grandeur discontinue.
c- Indiquer sur les graphes la constante de temps τ .
Exercice 5
Extrait du sujet de Bac : Polynésie, septembre 2002
Comportement d’une bobine.
Partie 1.
Le circuit comporte, en série, un conducteur ohmique de résistance R = 300  et une bobine idéale (de résistance
négligeable) d'inductance propre L.
Le courant imposé dans ce circuit est un courant en dent de scie délivré par un
générateur basse fréquence.( GBF )
On visualise, sur l'écran d'un ordinateur, les tensions u1 et u2 en fonction du temps.
1) Donner les expressions des tensions u1 et u2 en fonction de L, R, i et di/dt.
2) Quelle est la courbe de l'annexe ci-dessous qui permet de visualiser l'intensité
du courant dans le circuit ? Justifier
3) a- Montrer que l'inductance L de la bobine peut s’écrire
b- Calculer la valeur de L à partir des deux
Partie 2.
Soit le montage dans lequel le G.B.F. délivre une tension créneau modélisant
l'ouverture et la fermeture d'un circuit RL.
A partir des courbes de l'annexe, répondre aux questions suivantes :
1) a- Quel est le phénomène physique mis en évidence ?
b- Déduire la période et la fréquence de la tension d'alimentation du montage.
3) a- Donner un ordre de grandeur de la constante de temps du circuit RL en
utilisant la méthode de votre choix.
b- En déduire un ordre de grandeur de la valeur de l'inductance L de la bobine.
Exercice 6
On dispose d’un générateur de signaux basse fréquences délivrant une tension alternative triangulaire symétrique. On
associe ce générateur, dont la masse est isolée de la terre, en série avec une bobine yA
d’inductance L, de résistance négligeable, et un conducteur ohmique de résistance
R = 2000 Ω (figure 1).
On relie la masse d’on oscilloscope bicourbe au point M, la voie A au point A et la
voie B au point B. La masse de l’oscilloscope est, par sécurité, reliée à la terre.
yB
1) Est-il indispensable, dans ce cas, de disposer d’un générateur dont la masse
est isolée de la terre ? Justifier la réponse.
2) Quelle est la grandeur électrique observée sur la voie A ? Quelle est celle observée sur la voie B ?
3) Les réglages de l’oscilloscope sont les suivants : · Sensibilité verticale voie A : 200 mV /div
· Sensibilité verticale voie B : 5 V / div
· Durée de balayage horizontal : 1 ms / div
Après avoir réglé les niveaux zéros des deux voies (voir figure 2), les oscillogrammes obtenus sont
représentés par la figure ci-après (voir figure 3).
Quelle est la fréquence de la tension délivrée par le GBF ?
4) Ecrire la relation entre la tension UAM aux bornes de la bobine, l’inductance L et l’intensité i circulant dans le circuit.
𝑳 𝒅𝑼
5) Etablir la relation UAM = - 𝑹. 𝒅𝒕𝑩𝑴 où UAM et UBM sont respectivement les tensions aux bornes de la bobine et du
conducteur ohmique.
6) Des deux oscillogrammes notés 1 et 2, retrouver celui correspondant à la voie A et celui correspondant à la voie B.
7) En utilisant les réglages de l’oscilloscope :
a- Déterminer les valeurs extrêmes de la tension UAM aux bornes de la bobine.
b- A partir de la première demi période des oscillogrammes de la figure 3, calculer
𝑳
* Déduire alors la valeur numérique de Ԏ = 𝑹
* En déduire la valeur de l’inductance L
𝒅𝑼𝑩𝑴
𝒅𝒕
Exercice7
Une bobine d’inductance L et de résistance r est mise en série avec un conducteur ohmique de résistance R = 40 Ω.
Un interrupteur S permet de connecter l’ensemble à un générateur de tension de f.é.m. E = 12,0 V.
Les points A et B sont respectivement reliés aux entrées Y1 et Y2 d’un oscilloscope à mémoire, le point C étant relié
à la masse. À la fermeture de l’interrupteur S, on a enregistré les courbes représentées ci dessous.
Etude de l’oscillogramme
1) Quelle tension est mesurée sur Y1 ? Quelle est sa valeur ?
2) a- Quelle tension est visualisée sur Y2 ? Comment peut-on en déduire l’intensité du courant traversant le circuit ?
b- Quelle est la valeur de l’intensité du courant lorsque le régime permanent est établi ?
3) On tracer la tangente à la courbe au point t = 0
𝑑𝑖
Déduire à partir de ce traçage la valeur de ( 𝑑𝑡 )t = 0 ( nombre dérivé de la fonction i ( t ) )
Etude théorique
4) Établir l’équation différentielle à laquelle obéit l’intensité du courant traversant le circuit.
5) Utiliser l’équation précédente :
• à la date t = 0, pour trouver l’inductance L de la bobine ;
• lorsque le régime permanent est établi, pour trouver sa résistance r.
6) Les solutions d’une équation différentielle sont de la forme i ( t ) = K + k’𝑒 𝜆𝑡
a- Compte tenu de la condition initiale, établir les expressions des constantes K , k’ et λ
b- Calculer leurs valeurs en précisant les unités
c- En déduire la constante de temps τ du circuit.
7) Utiliser la courbe pour trouver la valeur de la constante de temps τ . Comparer le résultat à celui que l’on peut
déduire la question précédente ( 6-c )
8) a- Quelle est, au cours de l’établissement du courant, l’expression de l’énergie EL emmagasinée dans la bobine en
fonction du temps ?
𝑬
b- En appelant ELm l’énergie de la bobine en régime permanent calculer le rapport 𝑬 𝑳 pour t = τ
𝑳𝒎
Exercice 8
On se propose d’étudier l’établissement du courant à travers une bobine inductive et résistive lorsque celle-ci est
soumise à un échelon de tension.
Pour obtenir une indication sur la durée nécessaire à l’établissement d’un régime permanent, on utilise une grandeur
𝑳
notée Ԏ, appelée constante de temps du circuit et définie par Ԏ = 𝑹
I) Détermination expérimentale de la valeur numérique de Ԏ à partir de la courbe d’établissement du courant
On donne R = R’ + r = 50 Ω.
Un dispositif permet d’enregistrer l’évolution, en fonction du temps, de l’intensité
du courant traversant le circuit. A la date t = 0 s, on ferme l’interrupteur. Cette
action déclenche la réalisation de mesures ; on obtient la figure 1.
.
1) Soit I l’intensité du courant électrique qui
traverse le circuit en régime permanent.
a- Etablir son expression littérale à partir des
caractéristiques du circuit.
b- Déterminer sa valeur numérique.
2) On admet que l’intensité du courant atteint
63% de sa valeur maximale I au bout d’un
temps Ԏ. Déterminer la valeur de Ԏ, constante de
temps du circuit, à partir de la figure 1.
II) Vérification de l’expression littérale de Ԏ
Pour effectuer cette détermination, l’expérience réalisée dans la partie I. est reprise en conservant pour R la valeur de
50 Ω, mais en donnant à L différentes valeurs. Les enregistrements effectués permettent d’obtenir un faisceau de
courbes (figure2) donné ci-après.
1) Déterminer, à partir des enregistrements effectués, les valeurs de Ԏ correspondants aux différentes valeurs de L puis
compléter le tableau ci-dessous :
2)
Que constatez vous en remplissant la dernière ligne du tableau ? En déduire une relation entre Ԏ et L. Cette relation
est elle en accord avec celle donnée au début de l’énonce ?
3) En déduire une valeur expérimentale de R.
III. Détermination de la valeur de Ԏ à partir de l’exploitation théorique de la courbe d’établissement du courant
1) En utilisant la loi d’additivité des tensions dans un circuit série, établir que l’équation différentielle régissant
𝒅𝒊
l’établissement de l’intensité courant dans le circuit est bien : L.𝒅𝒕 + Ri = E
2) Vérifier que la fonction i(t) = A.eαt + B est bien une solution analytique de cette équation différentielle, pour
certaines valeurs de A, B et α à déterminer.
𝑬
3) En déduire que i(t) peut se mettre sous la forme : i(t) = 𝑹 .( 1 – e-t/Ԏ )
𝑬
4) Vérifier que le rapport 𝑹 est homogène à un temps
5) Quelle est la valeur de l’intensité à t = 0 s ? Comment s’écrit alors l’équation différentielle à cette date
6) En déduire l’équation de la tangente à la courbe d’établissement du courant à la date t = 0 s, et montrer que cette
droite passe par i = I à la date t = Ԏ.
7) Déduire graphiquement de la figure 3 la valeur numérique de Ԏ.