Poly

MA 435 Paris Tech Shanghai : Introduction aux
corps finis

Table des matières
1 Groupes 3
1.1 Relations d’équivalence, structures quotient . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Groupes ................................. 6
1.2.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Sous-groupes, groupes quotients . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Groupes finis, groupes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.4 Groupe symétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Actionsdegroupes ........................... 14
1.4 Problèmes................................ 15
2 Anneaux 18
2.1 Anneaux, idéaux, anneaux quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Divisibilité dans les anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Anneaux principaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2 Algorithme d’Euclide étendu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.3 Anneaux factoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Problèmes................................ 26
3 Corps 28
3.1 Extensionsdecorps........................... 28
3.2 Corpsfinis................................ 32
3.2.1 Construction .......................... 32
3.2.2 Frobenius, norme et trace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2.3 L’anneau Z/nZ......................... 33
3.3 Polynômes irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 Problèmes................................ 39
4 Introduction à la cryptographie 42
4.1 Systèmes de chiffrement à clé publique . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.2 Codes corrécteurs d’érreurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
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Le cours MA 435 est un cours fondamental d’algèbre dont le but est d’introduire
les structures algébriques de base, à travers des exemples et l’étude de leurs proprié-
tés. Parmi ces structures algébriques on retrouve d’un côté des objets arithmétiques
déjà connus (les nombres entiers ou rationnels, des congruences) et de l’autre côté
on introduit le formalisme nécessaire pour étudier des structures plus générales,
ce qui est fondamental pour des cours avancés en algèbre, ainsi que pour des ap-
plications à la théorie des codes et à la cryptographie. En particulier, le standard
actuel de cryptographie à clé secrète (Advanced Encryption System AES) repose
sur l’arithmétique dans les anneaux de polynômes et dans les corps finis.
La rédaction de ces notes suit un cours de David Harari, ainsi que les livres
"Algèbre" de Xavier Gourdon, "Cours d’algèbre" de Daniel Perrin, "Arithmétique"
de Marc Hindry et d’autres.
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Chapitre 1
Groupes
1.1 Relations d’équivalence, structures quotient
Soit Eun ensemble (non vide), par exemple E=Zl’ensemble des nombres
entiers. Une relation d’équivalence sur Epermet d’identifier certains éléments de
E. Par exemple, si l’on s’intéresse à la parité de nombres entiers, on peut dire que
a∼bpour deux entiers aet bsi 2|a−b. On voit donc que l’on distingue certains
couples d’entiers (a, b)(ceux dont la différence est paire).
Définition 1.1.1. Soient Eet Fdeux ensembles. Le produit cartésien de Eet F
noté E×Fest l’ensemble des couples (x, y)où x∈Eet y∈F:
E×F={(x, y)|x∈E, y ∈F}.
Définition 1.1.2. Une relation binaire entre deux ensembles Eet Fest une partie
(un sous-ensemble) Rdu produit cartesien E×F. Pour x∈Eet y∈Fon note
xRyou x∼Ry(où même simplement x∼y) si (x, y)∈ R. Si E=Fon dit qu’on
a une relation binaire sur E.
Exemples
1. si f:E→Fune application entre deux ensembles, alors le graphe Γfde f
est une relation binaire entre Eet F:
Γf={(x, f(x)};
2. si Eest l’ensemble des points dans le plan R2et Fest l’ensemble des droites
de R2, alors l’ensemble d’incidence R={(x, L), x ∈E, L ∈F|x∈L}est
une relation binaire entre Eet F;
3. si E=R, on a une relation binaire sur E
R={(x, y)∈R×R,|x≤y}.
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Propriétés des relations binaires :
Soit Rune relation binaire sur l’ensemble E. On dit que la relation Rest
1. réflexive si pour tout x∈Eon a x∼x;
2. transitive si pour tous x, y, z ∈Eon a
x∼yet y∼z⇒x∼z;
3. symétrique si pour tous x, y ∈Eon a x∼y⇔y∼x;
4. antisymétrique si pour tous x, y ∈Eon a
x∼yet y∼x⇔x=y.
Définition 1.1.3. Une relation d’équivalence sur l’ensemble Eest une relation ré-
flexive, transitive et symétrique.
Exemples
1. soit Eun ensemble et soit Rla relation x=y(i.e. R={(x, x)}) ;
2. soit E=N,n∈Nun entier fixé et soit Rla relation de congruence x≡
ymod n:
R={(x, y), n |(x−y)};
3. si f:E→Gest une application vers l’ensemble G, la relation
R={(x, y)∈E|f(x) = f(y)}
est une relation d’équivalence sur E. (En particulier, on obtient le premier
exemple pour fl’application identité sur E). On verra dans la suite que toute
relation d’équivalence est de cette forme.
Définition 1.1.4. Une relation d’ordre sur l’ensemble Eest une relation réflexive,
transitive et antisymétrique.
Exemples
1. E=R,R={(x, y)|x≤y};
2. E=N,R={(x, y)|x|y};
Soit Rune relation d’equivalence sur l’ensemble E(par exemple, la relation de
congruence modulo 2), on peut alors voir l’ensemble Ecomme l’union de classes
des éléments équivalents (par exemple, les nombres paires et impaires) comme suit.
Définition 1.1.5. Soit Eun ensemble. Une partition de Eest un ensemble des
parties non vides deux à deux disjointes de Edont Eest la réunion.
Exemples
1. E={1,2,3,4,5,6}avec une partition {1,2},{3,5},{4},{6}.
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