Sujet mécanique automatique

CONCOURS 3° ANNEE
GENIE MECANIQUE
ECOLE NORMALE SUPERIEURE DE CACHAN
Session 2003
COMPOSITION DE MECANIQUE ET AUTOMATIQUE
Durée : 4 heures
AUCUN DOCUMENT N'EST AUTORISE
Moyens de calcul autorisés :
Calculatrice électronique de poche - y compris calculatrice programmable et
alphanumérique - à fonctionnement autonome non imprimante autorisée conformément à la
circulaire n° 86.228 du 28 juillet 1986.
NOTA. - A partir d'un support commun, l'épreuve comporte deux parties totalement
indépendantes :
1. Mécanique générale
2. Automatique (Systèmes asservis linéaires)
Le candidat traitera les deux parties.
Ces parties peuvent être traitées dans un ordre quelconque. Il est conseillé au candidat de lire
attentivement le sujet en entier et d'accorder un temps sensiblement égal pour chacune des
parties.
Les deux parties traitées seront rédigées sur des copies séparées et il faudra préciser sur
chaque copie :
• Le titre,
• Le repère de l'épreuve,
• La partie de l'épreuve traitée,
• Le nombre de feuilles constituant la copie.
Page 1
INTRODUCTION
L'usinage à grande vitesse (UGV) contribue à l'amélioration de la productivité en
permettant des gains de temps et de qualité sur les pièces fabriquées mais exige des
performances dynamiques de plus en plus élevées de la part des machines-outils.
L’amélioration des performances dynamiques est limitée sur les machines outils
classique à architecture série (les axes sont montés en série ) en raison des masses élevées des
axes. Par exemple, sur la figure 1, l'axe Y supporte l'axe X. Le moteur de l'axe Y doit donc
déplacer les deux corps massifs.
Pour diminuer les inerties, une solution très intéressante consiste à changer l'architecture
cinématique en plaçant les axes non pas en série mais en parallèle (architecture parallèle).
Les équipements à structure parallèle étaient, il y a encore quelques temps des
curiosités. Aujourd’hui le mouvement est lancé chez les constructeurs et chez les fournisseurs,
car les grands donneurs d’ordre passent commande (Boeing, Carterpillar, BMW). Ces
machines assurent une très grande productivité (amélioration de 30% par rapport à une
machine classique) tout en étant très flexibles, standardisées. Les accélérations peuvent
atteindre 50 m/s².
Ces machines se présentent sous trois architectures différentes :
Type bras fixes : Le porte-outil est au centre de bras à longueur fixe. Des actionneurs
font bouger la base des bras. (Renault Automation, Krause&Mauser, Toyoda),
Type simulateurs de vol : la structure repose sur des bras à longueur variable. (Neos
Robotics, Mikromat, Okuma , CMW, DS Technologie, Fanuc, Siemens, Softmovements),
Type exotique, inclassable : il s’agit d’une machine coréenne à architecture hybride qui
change en fonction des applications. (Sena technologies)
Fig. 1 - Machine-outil 3 axes d'architecture série
Fig. 2 - Machine-outil d'architecture parallèle (CMW)
Nous allons nous intéresser à la solution du type simulateurs de vol appelée machine
" hexapode ". La figure 2 montre un exemple de machine-outil parallèle hexapode où l'outil
est relié à une base fixe au moyen de six jambes télescopiques montées en parallèle. Les
masses en mouvement sont plus faibles que dans une machine-outil sérielle puisque chaque
moteur ne déplace que la plateau supportant l'outil. De plus, les jambes ne subissant aucune
contrainte de flexion, leur structure peut être allégée.
Page 2
PREMIERE PARTIE
MECANIQUE GENERALE
Nous vous proposons l'étude du système hexapode représenté en figure 3 composé
d’une plateforme mobile (représentée par le solide M) reliée à une embase fixe (représentée
par le solide F) par 6 vérins montés en « parallèle ». Chaque vérin est relié à l’embase fixe par
une liaison rotule de centre Ai et au plateau mobile par une liaison rotule de centre Bi.
Chaque vérin peut être modélisé par deux solides (un corps de vérin et une tige de vérin)
en liaison glissière d’axe A i Bi .
r
zF
r
zM
P
r
yM
OM
O'M
(M)
ui
B
Vérin n° i
h
r
xF
i
r
xM
OF
Ai
(F)
r
yF
Fig. 3 – Schéma d’architecture de la plateforme 6 axes
r r r
Le repère RF (OF , xF , yF , z F ) est lié à l’embase fixe notée F.
r r r
Le repère RM (OM , xM , yM , zM ) est lié au plateau mobile noté M.
On définit les vecteurs suivants :
r
r
r
OF OM = xM xF + yM yF + ( zM + h) z F
r
r
r
OM P = xP xM + yP yM + z P zM
r
r
r
OF G = X G xF + yG yF + ( zG + h) zF
Page 3
L’orientation de la plateforme mobile M est définie à partir les angles d’Euler θ1 , θ 2 et θ 3
suivants :
r
y1
r
z2
r
yF
r
xM
r
z1
r r
z F , z1
r
zM
r
y2
r
x1
r
xF
θ1
r
x2
r r
x1 , x2
r
y1
θ2
r r
y2 , y M
r
z2
θ3
Les centres des liaisons rotules entre les corps de vérins et l’embase fixe (points Ai
représentés en figure 4) sont répartis sur un cercle de centre OF et de rayon rF.
Les centres des liaisons rotules entre les tiges de vérins et la plateforme mobile (points Bi
représentés en figure 5) sont répartis sur un cercle de centre OM et de rayon rM :
r
yM
r
yF
B3
A2
A3
B4
rF
120°
120°
OF
120°
A1
α
rM
r
xF
120°
120°
β
r
xM
OM
A6
120°
A4
B2
B1
B5
A5
B6
Fig.4 – Paramétrage de l’embase fixe F
Fig.5 - Paramétrage de la plateforme mobile M
L’étude porte sur quatre analyses :
•
L’analyse géométrique nécessaire à la localisation et à l’orientation de la plateforme dans
l’espace en fonction de la longueur de chacun des 6 vérins,
•
L’analyse cinématique du mécanisme,
•
L'analyse statique pour déterminer les efforts appliqués sur les vérins,
•
l'analyse dynamique pour déterminer les efforts appliqués sur les vérins au cours d’un
mouvement prédéfini.
Page 4
A - Analyse géométrique de la plateforme
r r r
a.1 – Exprimer les coordonnées du vecteur OM P dans le repère RF (OF , xF , yF , z F ) lié à
l’embase fixe. En déduire la matrice BFM de changement de base permettant le passage de la
r r r
r r r
base BM ( xM , yM , zM ) à la base BF ( xF , yF , z F ) .
r r r
a.2 – Exprimer les coordonnées du vecteur OF P dans le repère RF (OF , xF , yF , z F ) lié à
l’embase fixe
a.3 – On se place dans une configuration où les 6 vérins ont la même longueur notée l. En
déduire les valeurs des paramètres suivants : xM , yM , zM , θ1 , θ 2 et θ 3 .Exprimer la longueur
l des vérins en fonction de la hauteur h du plateau mobile, des rayons rF et rM et des angles α
et β.
B – Modélisation cinématique de la plateforme
b.1 - Représenter le schéma cinématique minimal du mécanisme.
b.2 – Lister les mobilités utiles du mécanisme. En déduire le nombre de mobilité utile.
b.3 – Lister les mobilités internes du mécanisme. En déduire le nombre de mobilité interne.
b.4 - Déterminer le degré d’hyperstatisme de ce mécanisme.
b.5 – Proposer une solution pour éliminer les mobilités internes du mécanisme tout en
conservant le même degré d’hyperstatisme.
b.6 – On se place dans la configuration de la question a.3 où les 6 vérins ont la même
r
longueur notée l. On souhaite étudier un mouvement de translation verticale d’axe (OF , z F ) de
la plateforme M. Déduire à partir du résultat de la question a.3 la loi d’entrée/sortie du
mécanisme.
C – Analyse statique
Soit la plateforme mobile M de masse m et de centre de gravité G. On suppose que les vérins
r
r
ont tous la même longueur l et sont soumis au chargement Fiui . L’axe (OF , z F ) est dirigé
suivant la verticale.
c.1 –. Ecrire le torseur des actions de la pesanteur sur le plateau mobile {g → M} en G.
c.2 –. Ecrire les actions mécaniques du vérin n°i sur le plateau mobile {vérin n°i → M} en G.
c.3 – En déduire le torseur statique du plateau mobile en G. Exprimer l’effort F dans un vérin
en fonction de la masse m et des grandeurs géométriques h, rF , rM , α et β.
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D – Analyse dynamique
Soit la plateforme mobile M de masse m et de centre de gravité G. On se place dans la
configuration précédente où les 6 vérins ont la même longueur l et ont une masse négligeable.
On s’intéresse à un mouvement de translation verticale de la plateforme M suivant l’axe
(OF , zrF ) .
d.1 – A partir du Principe Fondamental de la dynamique, exprimer l’effort F dans les vérins
en fonction de l’accélération de la plateforme.
d.2 – La loi horaire de position de la plateforme est donnée sur le graphe suivant. En déduire
l’évolution de l’effort F dans chaque vérin

 πt  
zG = Z 1 − cos  
 2T  

zG
Z
T
T/2
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DEUXIEME PARTIE
AUTOMATIQUE
Systèmes asservis linéaires
Pour étudier la commande du système hexapode (HPS) nous utilisons la plate-forme 6 axes
EX800 développée par la société DELTALAB (figure 1). Cet équipement est livré avec un
septième vérin monté isolé sur une platine spécifique. Il permet, en outre, de tester l’influence
des paramètres de l’asservissement en s’affranchissant des phénomènes de couplage
dynamique rencontrés sur la plate-forme 6 axes.
Figure 1
Caractéristiques et données techniques
Vérin :
Longueur du vérin rentré : 340 mm,
Course : 140 mm,
Vitesse maximale : 32 mm/s,
Charge maximale : 3 kg,
Vis 3 filets au pas de 1 mm,
Constante du capteur de position : 0,07V/mm.
Motorisation du vérin : Moto-réducteur à courant continu avec génératrice
tachymétique
Moteur :
Tension nominale : 12 V,
Constante de couple : 15 mNm/A,
Constante électrique : 15 mV/rad/s ,
Inductance rotorique : 0,55 mH
Vitesse nominale : 7500 tr/min,
Inertie du rotor : 3,9 10-7 kg.m²,
Résistance rotorique : 12 Ω,
Réducteur :
Rapport de réduction : 12,5,
Inertie du pignon d’entrée : 0,5 10-7 kg.m².
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Génératrice tachymétrique :
Constante : 0,84 mV/ tr/min
Inertie du rotor : 0,3 10-7 kg.m²
1. Etude du moto-réducteur commandé en tension
Le schéma-bloc est le suivant :
Ω vis
Ωm
Avec :
U : tension de commande, R : résistance rotorique, L : inductance rotorique, Kt : constante de
couple, Cr : couple résistant, J = inerties des 3 rotors, Ωm : vitesse de rotation du moteur en
rd/s, Ke : constante électrique, Ktachy : constante tachymétrique, Ω vis : vitesse de rotation
de la vis en rd/s, x : position de la tige du vérin en mm, p étant la variable de Laplace.
Ω m (p )
en faisant Cr = 0.
U(p)
G
.
1.2. Mettre H 1 (p ) sous la forme canonique H 1 (p ) =
(1 + αp + β p 2 )
L
et β = τ e τ em . Calculer τ em .
1.3. On pose τ e =
R
G
1.4. A quelle condition peut-on approximer H 1 (p ) avec H 2 (p ) =
.
(1 + τ e p )(1 + τ em p )
1.1. Calculer littéralement la fonction de transfert H 1 (p ) =
1.5. Calculer numériquement H2(p) et vérifier l’hypothèse faite en 1.4..
1.6. Montrer alors que H2(p) peut se mettre sous la forme d’un premier ordre dominant dont
on donnera la valeur de sa constante de temps.
2. Asservissement de vitesse
Soit le schéma-bloc suivant :
Page 8
Avec : Cv : consigne vitesse, C(p) correcteur, A : amplificateur de puissance de gain 1,5,
65
Ad : adaptateur de gain 1,25, Kcr : constante, H2(p) arrondi à
.
1 + 0,025p
2.1. Calculer numériquement le coefficient Kcr (penser au déplacement de Cr vers le premier
Ωm
sommateur dans le schéma-bloc du moteur).
2.2. La dynamique de la consigne vitesse Cv étant limitée à ±10 V, justifier le gain de 1,25
pris pour l’adaptateur Ad.
On prend pour C(p) un correcteur proportionnel de gain C1 = 10 (20 dB).
2.3. Pour Cv = 10 u(t) (échelon de 10 V) et Cr = 0, calculer la vitesse stabilisée du moteur.
2.4. Calculer alors l’erreur statique de position en %.
2.5. Peut-on annuler cette erreur par la seule action sur C1, discuter.
2.6. On applique un couple résistant Cr = 5mNm, calculer la nouvelle valeur Cv2 qu’il faut
donner à Cv pour obtenir la même vitesse stabilisée qu’en 2.3.
1 + τ 2p
, Cr étant nul.
τ 2p
2.7. Calculer K2 et τ2 pour que le système en boucle fermée se présente comme un premier
ordre ayant un temps de réponse à 95 % de la valeur finale de 7 ms.
On prend pour C(p) un correcteur C2(p) = K 2
2.8. Quelle est l’utilité de ce correcteur ?
3. Asservissement de position
On adopte le montage suivant :
Ωm
Ωm
Avec : Cpos : consigne position, Cop : correcteur position, x : position du vérin en mm.
Correcteur vitesse C2(p) = 11
1 + 0,025p
0,025p
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3.1. Justifier le bloc
0,0382
assurant le passage de Ωm à x.
p
Avec Cr = 0, on donne les diagrammes de Bode du système en boucle ouverte (entrée Cpos,
sortie sur le capteur de position de gain 0,07).
On utilise un correcteur proportionnel de gain Copxx pour Cop(p).
3.2. Déterminer les gains proportionnels Cop45 et Cop75 qu’il faut donner au correcteur Cop
pour obtenir un système ayant respectivement une marge de phase de 45° et de 75°.
3.3. Avec le correcteur de gain Cop45 le système présente t-il un dépassement sur la réponse
indicielle ? Justifier votre réponse à l’aide de l’abaque donné en annexe.
On donne un gain de 500 (54dB) au correcteur Cop.
3.4. Ce correcteur convient-il pour un système ne présentant pas de dépassement sur la
réponse indicielle ?
On désire déplacer de 100mm la tige du vérin
3.5. Quelle valeur Cpos100 faut-il donner à la consigne Cpos pour obtenir ce déplacement ?
3.6. En appliquant un échelon Cpos100, quelle serait alors la tension appliquée au
moteur ?Discuter.
3.7. Cpos est une consigne rampe. Déterminer son gabarit (pente en V/s et valeur maximale)
pour obtenir un déplacement de 100 mm en respectant une vitesse maximale du moteur de
8000tr/min.
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Chauveau J.C. 1994
3.8. On veut remplacer le correcteur Cpos analogique par un correcteur numérique. Modifier
le schéma-bloc du §3. En spécifiant les fonctions ajoutées et la période d’échantillonnage
choisie.
Annexe : Abaque des dépassements transitoires
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