v - Olympiades de Physique
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Année scolaire 2009-2010 TS3 Lycée Louis-Le-Grand Paris Les Bermudes et la science : un triangle problématique Olympiades de Physique 2009-2010 Olivier CARREAU Emeric DE WAZIERS Nathan LOMBARD 2 Introduction Le 5 décembre 1945, à environ 14h10, cinq Avengers décollent de Fort Lauderdale, en Floride, pour une mission d’entraînement de routine avec quatorze membres d’équipage. Une fois la mission terminée, les appareils mettent le cap sur leur base. Pendant le retour, les pilotes font état par radio de phénomènes étranges, puis le contact est perdu. Les cinq appareils ne rentreront jamais à leur base. Le rapport de la Navy conclut que la cause et les raisons de cette disparition sont inconnues. Les épaves ne seront jamais retrouvées. Les cinq appareils ont disparus quelque part dans une vaste zone délimitée par la côte de Floride, l’île de Porto Rico et l’archipel des Bermudes. Ces trois points délimitent une zone devenue depuis célèbre : le Triangle des Bermudes. Nous allons nous intéresser à l’une des hypothèses les plus probables pouvant expliquer les disparitions d’avions et de bateaux au dessus du Triangle des Bermudes : la théorie des hydrates de méthane. Selon cette théorie, quels mécanismes sont responsables de ces nombreux naufrages ? En quoi l’étude physique de ces mécanismes justifie-t-elle la crédibilité de cette théorie ? Vue d’ensemble du Triangle des Bermudes D’après Google Earth 3 I) Le méthane et les bateaux A) La montée de la bulle 1) Montée de la bulle dans l’eau Les fonds marins du Triangle des Bermudes regorgent d’hydrate de méthane, qui est un composé organique assimilable à une fine cage de glace dans laquelle est piégé du méthane. Lorsque cette fine enveloppe fond, ou se brise, le méthane est relâché dans l’eau et remonte sous forme de très nombreuses fines bulles, assimilables à une poche. Nous ne nous étendrons pas sur les caractéristiques des hydrates de méthane et sur les facteurs qui entrainent leur libération, cela relevant davantage de la biochimie. Une « éruption » de méthane peut prendre à la surface des dimensions considérables. En effet, un mètre cube d’hydrate de méthane relâché au fond des océans correspond à une poche de 164 m3 de méthane gazeux à la surface de l’eau. D’après Science & Vie Junior n°139 On étudie dans cette première partie le mouvement ascendant de la bulle. On se place dans le référentiel terrestre assimilable à un référentiel galiléen ; on choisit le repère (Oz) dirigé vers le haut tel que O est le point de départ de la bulle. Bilan des forces s’appliquant à la bulle lors de la montée : → Son poids de direction verticale orienté vers le bas et de module P = mg0 → La poussée d’Archimède de direction verticale, orienté vers le haut et de module П = ρeVbg0 → Les forces de frottements qui vont dans la direction du mouvement mais en sens opposé. On se limite au cas où f=-λv. On a donc : ∑F ext = P +π + f Le bilan des forces appliquées à une bulle lors de son ascension. 4 On peut appliquer la 2ème loi de Newton, qui stipule que la somme des forces extérieures appliquées à un solide est égale à l’accélération de son centre d’inertie multipliée par sa masse : ∑F = m aG P +π + f = m a G ext On appelle v(1) la vitesse de montée de la bulle dans l’eau m g0 −ρeVb g 0 −λv(1) Soit g 0 − ρeVb m g0 − λ m =m v(1) d v(1) dt d v(1) = dt En projetant sur (Oz) : dv (1) ρV λ − g 0 + e b g 0 − v(1) = m m dt dv (1) ρV λ = g 0 e b −1 − v(1) dt m m Calcul de vlim: v(1) =v(1)lim ⇒ dv (1) ρ eVb λ −1 − v(1) lim = 0 = 0 ⇔ g0 dt m m ρV −m ⇔ v(1) lim = g 0 e b λ Résolution de l’équation différentielle (vitesse en fonction du temps) : m On multiplie par les deux membres de l’équation qui devient : λ m dv (1) ρ V −m + v(1) = g 0 e b λ λ dt soit m dv (1) + v(1) = v(1) lim λ dt On pose τ = m λ On a alors : dv τ (1) + v(1) = v(1) lim dt La solution générale de cette équation est de la forme : v(1) ( t ) = Ae Bt + C Donc v(′1) (t ) = ABe En remplaçant dans l’équation différentielle on obtient : Bt 5 τABe Bt + Ae Bt + C = v(1) lim ⇔ Ae Bt (τB +1) + C = v(1) lim ∗τB + 1 = 0 ⇔ B = − ∗C = v(1) lim 1 τ A t = 0, v(1) = 0 donc 0 = Ae 0 + C = A + v(1) lim ⇔ A = −v(1) lim Donc v ( t ) = −v (1) (1) lim e − t + v(1) lim τ 1 −e Soit v(1) (t ) =v(1) lim t − τ Côte z au cours du temps : Le mouvement est un mouvement vertical donc v(1)z = v(1) dz v(1) = dt Donc z = v (1) lim t +τv(1) lim e − t τ + cste Détermination de la constante : A t = 0, z = 0 On a donc : 0 = v(1) lim 0 +τv(1) lim e − 0 τ + cste ⇔ cste = −τv(1) lim D’où : z = v(1) lim t +τv(1) lim e − t τ −τv(1) lim τ −τ z =v(1) lim t +τe t − τ z =v(1) lim t −τ 1 −e t − Nous avons filmé, à l’aide d’une webcam, et analysés, grâce au logiciel Ipi32, la montée de bulles de différentes tailles dans un vase rempli d’eau afin de déterminer de manière expérimentale vlim (voir annexe I). Cette expérience nous a permis de dégager les conclusions suivantes : Dans les deux cas, le vase est trop petit pour que l’on puisse observer une vitesse limite. En revanche, la modélisation de la courbe y = f(t) grâce à la formule démontrée permet de déterminer cette vitesse. On remarque que cette vitesse limite est plus forte pour la grosse bulle que pour la petite, et donc que cette dernière met moins de temps à l’atteindre. Il doit donc y avoir une 6 corrélation entre le diamètre de la bulle et sa vitesse, ce qui peut s’expliquer par le fait que plus la bulle est grosse, plus la poussée d’Archimède est forte, et surtout plus elle est grande devant le poids de la bulle. Dans le Triangle des Bermudes, la profondeur étant en moyenne de 5000 mètres, les bulles atteignent très rapidement leur vitesse limite, tout comme, nous le verrons, les bateaux qui coulent. 2) Bilan des forces lorsque la bulle atteint le bateau Dans le plan vertical, le bateau est soumis à deux forces : le poids et la poussée d’Archimède. Lorsque le bateau flotte, ces deux forces se compensent. On a donc : Sur ce schéma, on note P et Pa les modules P +π = 0 respectifs du poids et de la poussée d’Archimède. Soit m g 0 − ρeVi g 0 = 0 Avec m la masse du bateau, ρe la masse volumique de l’eau salée (1022.61 kg.m-3 à 15°C), et Vi le volume de la partie du bateau immergée dans l’eau. Puisque ces deux forces se compensent, on a lorsque le bateau flotte : m = ρeVi Or, lorsque la bulle de méthane arrive à la surface, la masse volumique du fluide sous le bateau, qui est désormais le méthane, chute brutalement (ρm = 0,671 kg.m-3 à 15°C). L’égalité ci-dessus n’est donc plus vérifiée ; on a : m > ρmVi Soit : P >π Le bateau est donc entraîné par son poids vers le fond : il coule. B) La chute du bateau Le bateau chute dans la poche de méthane : coule. l’eau dans 7 Comme nous venons de le voir, lorsque la bulle atteint la surface, elle rend la poussée d’Archimède négligeable par rapport au poids du navire, le faisant ainsi sombrer. On étudie alors le mouvement de chute avec vitesse initiale v0 et avec frottements, du système suivant : le bateau, de masse m et de volume V, dans un référentiel terrestre supposé galiléen. Bilan des forces s’appliquant sur le bateau lors de la chute : → Son poids de direction verticale orienté vers le bas et de module P = mg0 → La poussée d’Archimède de direction verticale, orienté vers le haut et de module П = ρVg0 →les forces de frottements qui vont dans la direction du mouvement mais en sens opposé. On se limite au cas où f=-λv. ∑F On a donc : ext = P +π + f f π v a P Etant dans un référentiel supposé galiléen, la seconde loi de Newton s’applique. On a donc : ∑F ext avec G le centre de gravité du bateau et a G l’accélération du centre de = maG gravité. On a donc : P + π + f = maG soit mg − λv − ρVg = ma G [1] dv a = De plus l’accélération du bateau est aussi égale à : G dt m dv g.( m − ρV ) +v = donc l’égalité [1] devient : λ dt λ On peut donc projeter cette relation sur les axes Ox et Oy pour étudier les caractéristiques de la chute du bateau dans l’eau : Selon Ox : Tout d’abord, on sait que vx est de la forme : vx = AeBt + c donc = ABeBt De plus, selon Ox, gx=0 donc le membre droit de l’égalité [1] est nulle soit m dv x + vx = 0 λ dt 8 m = τ , on obtient que : λ τABeBt + AeBt + c = 0 AeBt . (τB+1) + c = 0 (τB+1) = 0 et c = 0 B = - et c = 0 En posant t On a donc v = Ae −τ x De plus, à t = 0, on a vx = v0.cosα donc A= v0.cosα Soit : v x = v 0 . cos α.e − t τ On peut donc étudier l’existence d’une vitesse dont la composante horizontale admet une limite : en effet lorsque t tend vers l’infini, l’exponentielle tend vers 0 donc au bout d’un certain temps le mouvement évolue en mouvement vertical. Connaissant la vitesse selon l’axe Ox, on peut en déduire l’accélération : t dv v . cos −τ ax = x = − 0 .e dt τ On peut donc étudier l’existence d’une accélération dont la composante horizontale admet une limite : en effet lorsque t tend vers l’infini, l’exponentielle tend vers 0 donc au bout d’un certain temps le mouvement se transforme en mouvement vertical. Connaissant la vitesse on peut aussi déduire l’abscisse du bateau au cours du temps : vx = dx dt x = τ.vo . cos α.(1 − e − t τ ) donc De nouveau on remarque que x devient constant au bout d’un certain temps ce qui confirme que le mouvement devient vertical au bout d’un certain moment. Selon Oz : On remarque que selon Oz, le mouvement se traduit par un mouvement de chute verticale avec frottements ayant pour vitesse initiale : vosinα on montre que ce mouvement admet une vitesse limite. On a en effet l’équation différentielle [1] qui s’écrit aussi quand on la projette selon Oz dv y m + λv y = g .( m − ρV ) dt Si on a une vitesse limite, cela veut dire que vy = constante dv y g .( m − ρV ) On a donc = 0 soit, dans ce cas, v y lim = λ dt dv y m On remarque donc que [1] s’écrit alors de telle sorte : τ + v y = v y lim avec τ = λ dt 9 On peut alors chercher une équation de la vitesse par rapport au temps : on sait que v y est de la forme AeBt + c dv y On a donc = ABe Bt dt On obtient alors : Ae Bt .(τB +1) + c = v y lim ↔ τB +1 = 0 et ↔B =− On a donc v y = Ae De plus à t = 0, − 1 τ et c = v y lim c = v y lim t τ + v y lim v y = v 0 . sin α − t donc v 0 . sin α = Ae soit A = v o . sin α −v y lim τ + v y lim L’équation horaire de la vitesse est donc : v y = v y lim (1 − e − t τ ) + v0 . sin α.e − t τ On remarque donc bien l’existence d’une vitesse limite verticale car quand t tend vers t l’infinie, e −τ tend vers 0, alors v y =v y lim . Comme dans le cas de l’étude selon Ox on peut maintenant définir l’accélération verticale du bateau et la côte. v y lim − v 0 . sin α −τt dv x ax = =( ).e dt τ On remarque que quand t est grand, l’accélération tend vers 0 ce qui confirme bien l’existence d’une vitesse limite. Connaissant la vitesse on peut aussi déduire l’abscisse du bateau au cours du temps : t dx − vy = τ y = v y lim .t +τ.( v o . sin α − v y lim ).(1 − e ) dt donc On remarque donc que a partir du moment où le bateau a atteint sa vitesse limite, on a y =v y lim .t car quand v = v y lim , cela signifie que t est très grand. De même que dans la première partie, nous avons utilisé le logiciel de pointage de façon a déterminer de façon expérimentale la vitesse de chute limite pour le bateau utilisé dans notre expérience (voir annexe II). On en déduit principalement que la vitesse limite est atteinte rapidement par le bateau. On peut cependant se poser la question suivante : pourquoi ne retrouve-t-on que très peu d’épave au fond du triangle des Bermudes ? 10 Ceci est dû au Gulf Stream, un courant océanique qui prend sa source entre la Floride et les Bahamas, au Sud-ouest du triangle des Bermudes, et qui s’atténue au large des côtes de Norvège. Sa température est comprise entre 24 °C et 28 °C. Au large de la Floride, le Gulf Stream est un véritable fleuve, de 30 à 150 km de large, circulant de 300 à 1200 m de profondeur. Il s'écoule à une vitesse de 2,5 m.s-1 (environ 9 km.h-1). Ainsi, dans leur mouvement de chute, les bateaux et les avions qui coulent dérivent plus ou moins fortement, en fonction de leur masse et de leur forme. Il est donc difficile de localiser l’endroit où se sont déposées les épaves. De plus, la profondeur est très importante. En effet, l’épave du Titanic, navire de plus de 250 mètres de long, n’a été découverte qu’en 1985, par hasard, alors qu’elle repose à moins de 4 000 mètres de profondeurs. Ainsi retrouver l’épave d’un bateau de taille moyenne ou d’un avion coulé par 5 000 mètres de fond relève presque de l’impossible. Le Gulf Stream et le Triangle des Bermudes De façon à illustrer la dérive d’une épave engendrée par le Gulf Stream, on a étudié le cas du Titanic qui a sombré en Atlantique Nord en 1912. (voir annexe III) II) Le méthane et les aéronefs 11 A) Montée de la bulle dans l’air De la même façon que pour la montée de la bulle dans l’eau. En appelant v 2 la vitesse de la bulle dans l’air, ρa la masse volumique de l’air et h la profondeur en un point considéré, ρ V −m → v( 2 ) lim = g 0 a b λ ( ) → v (t ) = v ( 2) (1) lim − v ( 2 ) lim e → z =τ(v ( 2 ) lim −v (1) lim ) e t − τ − t τ + v( 2 ) lim −1 +v (1) lim t +h B) Les différents phénomènes affectant un aéronef situé dans une bulle de méthane Lorsque la bulle de méthane parvient à l’avion, la trajectoire de ce dernier change plus ou moins fortement et rapidement, selon plusieurs facteurs. La conséquence générale de l’arrivée éventuelle de ses facteurs est une chute de la portance de l’avion, c'est-à-dire une chute de l’avion lui-même. Nous allons déterminer quels éléments influent sur la portance d’un avion, et dans quelles mesures certaines variations de l’environnement peuvent l’affecter, jusqu’à provoquer la chute de l’appareil. 1) La Portance a) Définition La portance est la composante de la force subie par un corps en mouvement dans un fluide qui s'exerce perpendiculairement à la direction du mouvement. Les surfaces verticales, comme les pales d’une hélice, peuvent développer des portances latérales. La portance provient de la différence de pression exercée par le fluide sur l’extrados et l’intrados de l’aile de l’avion. Ainsi la résultante des forces de pression est une force perpendiculaire au sens du mouvement, dirigée vers le haut dans le cas d’une aile d’avion. Coupe d’une aile d’avion, à l’arrêt et en vol 12 Bilan des forces appliquées à un avion en vol dont le mouvement est considéré comme rectiligne uniforme. La portance verticale s’exprime en Newton (N), par la relation suivante : Où : est la masse volumique du fluide, en kg.m-3 S est la surface de référence, en m2 V est la vitesse, en m.s-1 est le coefficient de portance (valeur sans dimension) Remarques: - La surface de référence est différente de la surface allaire, cette dernière désignant uniquement la surface des ailes, alors que nous nous intéressons ici à la surface de toutes les partie de l’avion dirigées vers le sol. - Le coefficient de portance est une variable qui dépend notamment de la forme de l’aile et de sa position. Ainsi il varie selon de multiples facteurs. Dans le but de simplifier, nous admettrons qu’il est constant. La portance varie donc selon trois facteurs principaux : la masse volumique du fluide traversé par l’avion, la surface de référence du véhicule et sa vitesse. C’est leur variation qui amène les principales perturbations dans le mouvement de l’avion, telles que les turbulences. Cependant, lorsque l’avion traverse une poche de méthane, ces variations sont beaucoup plus importantes, jusqu’à être fatales à l’appareil. Nous allons donc nous intéresser aux variations de la portance pour un avion quelconque, lorsque celui-ci traverse une bulle de méthane, puis nous reprendrons l’analyse appliquée à deux exemples d’avion précis : le Grumman TBF Avenger et le Lockheed Constellation. b) Variations de la portance – cas général α) La masse volumique Il s’agit ici de décrire l’évolution en fonction de la masse volumique du gaz traversé par l’avion. Dans ce cas, la masse volumique du gaz chute fortement. En effet, le méthane a une masse volumique : ρm = 0,671 kg.m-3, à t = 15 °C et Pa = 1 bar. Dans les mêmes conditions, l’air a une masse volumique : ρa = 1,226 kg.m-3. Le reste des facteurs influençant la portance sont ici considérés comme constants. On a donc la fonction f d’équation : y = k.ρ 13 β) La vitesse v « La portance est une fleur qui naît de la vitesse » Capitaine Fernand Ferber, pionnier de l'aviation Lorsque l’avion pénètre la poche de méthane, sa vitesse chute brusquement. Les raisons de cette baisse sont explicités plus longuement dans la partie Les moteurs – variations de la vitesse. On s’intéresse ici à l’évolution de la portance en fonction des variations de la vitesse, en prenant comme vitesse de départ la vitesse de croisière de l’avion et comme vitesse la plus faible, la vitesse de décrochage de l’avion (c’est la vitesse à partir de laquelle l’avion ne peut plus se maintenir dans les airs). Cependant, lorsque la vitesse chute, l’avion est déjà dans la poche de méthane, donc la variation de la vitesse ne dépendant plus de ρ a mais de ρm, on a donc ρ = ρm. Avec k’ = constante. On a donc une fonction g d’équation : y = k’.v² γ) La surface de référence S La surface de référence évolue elle aussi dans la bulle de méthane. En effet il est très rare que l’avion tombe verticalement, les ailes parallèles au sol. Ainsi il peut chuter sur le côté, où bien se mettre en piqué, ou en vrille. Là encore, ρ = ρm. La surface de référence maximale est la surface du dessous de l’avion, lorsqu’il est en vol pallier. La surface de référence minimale est la surface de maître couple de l’avion. En effet, les avions sont construits avec un souci d’aérodynamisme, c'est-à-dire que cette surface est limitée pour ne pas gêner le déplacement du véhicule. Lorsqu’un avion chute en piqué ou en vrille, s’il est exactement orienté vers le sol, alors la surface de référence sera la surface de maître couple. On a donc une fonction h d’équation : y = k’’.S c) Variations de la portance – cas particuliers α) Le GrummanTBF Avenger Le GrummanTBF Avenger est un bombardier torpilleur développé par l’armée américaine pendant la Seconde guerre mondiale. Le 5 décembre 1945, une patrouille de 5 Avenger disparut au dessus du triangle des Bermudes. Malgré les recherches, aucune épave n’a jamais été retrouvée. Grumman TBF Avengers en formation. 14 Etudions le comportement d’un appareil de ce type dans une poche de méthane. Données : Vmax = 443 km.h-1 = 123 m.s-1. Vmin = 108 km.h-1 = 30 m.s-1. Cz = 0,5. Smax = 62 m² (en vert sur le schéma) Smin = 8 m² (en rouge sur le schéma) Surfaces de référence Smax et Smin du Grumman TBF Avenger La masse volumique : y = A.ρ On a A = = 2,3.105. Soit la fonction fA telle que : yA = 2,3.105.ρ Courbe représentative de la fonction fA La vitesse : y = A’.v On a A’ = = 10. Soit la fonction gA telle que : yA = 10.v² Courbe représentative de la fonction gA D’autre part, on a la fonction g’ d’équation : y'A = yA. La surface de référence : y = A’’.S On a: Courbe représentative de la fonction g’A 15 A’’ = = 2,5.103. Soit la fonction hA telle que : yA = 2,5.103.S Courbe représentative de la fonction hA. Comparons désormais l’importance du rôle respectif de la masse volumique, de la vitesse et de la surface de référence dans la chute de la portance d’un Grumman TBF Avenger. Analyse du graphique : Tout d’abord, la baisse de la masse volumique fait chuter la portance de moitié, par rapport à sa valeur pendant le début du vol. Ensuite, on remarque que la chute de la taille de la surface de référence et la chute de la vitesse ont la même incidence sur la chute de la portance de l’appareil. Cependant, il est important de préciser que la diminution maximale de la surface de référence est un cas particulier, alors que la masse volumique baisse dans tous les cas, de même que la vitesse dans un premier temps – la chute fait de nouveau augmenter la vitesse de l’avion mais uniquement sa composante verticale. Ainsi, les deux facteurs déterminant sont bien la chute brutale de la masse volumique du fluide traversé et la perte de vitesse de l’appareil. β) Le Lockheed Constellation Le Lockheed Constellation est un avion de transport quadrimoteur américain construit par Lockheed de 1943 à 1958. Le 30 octobre 1954, un Super Constellation affrété par l’US Navy décolle du Maryland pour rejoindre les Açores. Les contrôleurs aériens perdent sa trace alors qu’il survole le Triangle des Bermudes. Les 52 passagers ainsi que l’épave de l’avion ne seront jamais retrouvés. Lockheed Super Constellation aux couleurs de l’US Navy. Effectuons la même analyse que pour le Grumman TBF Avenger : 16 Données : Vmax = 540 km.h-1 = 150 m.s-1. Vmin = 162 km.h-1 = 45 m.s-1. Cz = 2,0. Smax = 190 m² (en vert sur le schéma) Smin = 10 m² (en rouge sur le schéma) Surfaces de référence Smax et Smin du Lockheed Constellation. La masse volumique : y = C.ρ On a C = Soit la fonction fC telle que : yC = 4,3.106.r = 4,3.106. Courbe représentative de la fonction fC La vitesse : y = C’.v On a C’ 1,3.10². = = Soit la fonction gC telle que : yC = 1,3.10².v² Courbe représentative de la fonction gC D’autre part, on a la fonction g’ d’équation : y'C = yC. Courbe représentative de la fonction g’C 17 La surface de référence : y = C’’.S On a C’’ = = 1,5.104. Soit la fonction hC telle que : yC = 1,5.104.S Courbe représentative de la fonction hC. Comparons désormais l’importance du rôle respectif de la masse volumique, de la vitesse et de la surface de référence dans la chute de la portance d’un Lockheed Constellation. Analyse du graphique : Ce graphique est très semblable à celui établi pour décrire l’évolution de la portance de l’Avenger. L’analyse des courbes est donc la même : la surface de référence ne chutant pas dans tous les cas jusqu’à son minimum, les deux facteurs principaux qui entrainent la chute de la portance du Constellation sont la chute de la masse volumique du fluide traversé et la baisse de la vitesse de l’avion. Le Grumman TBF Avenger et le Lockheed Constellation sont deux avions très différents par leur aspect, leur fonction et leurs capacités. Ainsi, trouver une telle ressemblance entre les deux graphiques montre bien que deux avions n’ayant que peu de points communs réagissent de la même façon dans une bulle de méthane. Ce graphique permet ainsi de décrire l’évolution de la majorité des aéronefs dans une poche de méthane. 18 2) Les perturbations liées au fonctionnement des moteurs et la position de la bulle de méthane. a) Les moteurs – variations de la vitesse α) Le risque d’explosion Le méthane est un gaz inflammable, cependant réaction de combustion nécessite un comburant. Dans la poche de méthane, il n’y a pas d’oxygène, donc pas de comburant. Ainsi le risque d’explosion est nul. Cependant il peut arriver que l’espace environnant l’avion ne soit pas composé exclusivement de méthane, le risque d’explosion est alors plus élevé. Pourtant, lorsque le moteur d’un avion explose en vol, il est fréquent qu’on en retrouve des débris, d’autant plus qu’il peut arriver que l’aile soit arrachée, or les recherches de débris ont le plus souvent été infructueuse au dessus du Triangle des Bermudes. Le risque d’une explosion liée à la présence de méthane semble donc très restreint. β) Evolution de la poussée On distingue deus types de moteur d’avions principaux : le moteur à hélice et le turboréacteur. Le moteur à hélice La rotation de l’hélice est entraînée par un moteur fonctionnant au kérosène. L’absence d’oxygène dans le milieu parcouru par l’avion empêchant toute combustion, le moteur s’arrête. Cependant les hélices peuvent continuer à tourner pendant un certains temps, par inertie. Les pâles d’une hélice ont exactement la même structure qu’une aile d’avion, mais elles sont placées verticalement. Il y a donc une force de portance exercée sur chaque pâle dirigée dans le sens du mouvement. Celle-ci « tire » l’avion, c’est pour cela qu’il avance. Ainsi, lorsque l’avion pénètre dans la poche de méthane, la portance au niveau des hélices chute de la même façon qu’elle baisse au niveau des ailes. La portance diminuant ainsi brutalement, l’avion n’est plus « tiré », d’où une décroissance très rapide de la vitesse. Le turboréacteur 1. 2. 3. 4. Turboréacteur type avion de ligne. Admission de l'air Combustion Échappement Chambres de combustion 5. Bouche d'entrée de l'air Le fonctionnement d’un turboréacteur est basé sur la compression de l’air causée par son élévation très rapide à des températures très élevées, qui se dilate ensuite, propulsant l’avion en sens opposé à son dégagement. Ainsi l’efficacité d’un turboréacteur repose sur l’efficacité de la combustion, or celle-ci n’a pas lieu dans une poche de méthane, le moteur ne 19 fonctionne donc pas. Si les ailettes de la soufflante continuent de tourner par inertie, l’effet sera quand même négligeable, comme nous l’avons expliqué pour les pâles d’une hélice. Ainsi, dans tous les cas, la motorisation d’un avion devient inefficace dès son entrée dans la bulle de méthane, la vitesse décroît donc rapidement. Cependant, la diminution de la surface de référence fait augmenter de nouveau la vitesse. L’intensité de cette diminution dépend principalement d’un élément : la position de la bulle de méthane par rapport à l’appareil. b) La position de la bulle par rapport à l’avion On distingue ici plusieurs cas. Tout d’abord, voici sur ce schéma les parties de l’avion qui, s’ils elles sont plongés dans une poche de méthane, ne perturberont pas la portance au point de faire chuter l’avion (ce sont toutes les zones en dehors des pointillés rouges). Les extrémités de l’avion ne sont pas responsables du maintien de sa portance Ainsi, dès qu’une partie conséquente des ailes ou du centre du fuselage est noyée dans du méthane, cela affecte directement la portance de l’appareil. Nous pouvons alors distinguer deux cas de figures : - la bulle de méthane englobe l’avion dans son ensemble : dans ce cas, l’avion chute à plat. De très légères variations peuvent entraîner une forte inclinaison vers l’avant, l’arrière ou l’un des côtés, cependant, si le trajet dans la bulle de méthane est court, l’appareil peut se rétablir. - la bulle de méthane englobe une partie du côté de l’avion : dans cette situation, l’appareil s’incline vers la bulle de méthane, amorçant un piqué ou une vrille. Dans ce cas de figure, l’avion est presque certainement perdu. En effet, on peut assimiler chaque aile de l’avion comme un objet distinct de masse deux fois inférieure à la masse de l’avion, qui a une portance et un poids propres. En vol en palier, la portance et le poids de chaque aile s’équilibrent. Cependant, lorsqu’une aile (ici l’aile gauche) de l’avion pénètre dans la poche de méthane, sa portance propre diminue sensiblement. Cependant, la portance de l’autre aile se maintient, il y a donc un déséquilibre. Bilan des forces de portance lors de l’entrée partielle de l’avion dans la bulle de méthane. 20 La résultante des forces appliquées aux deux ailes, ici représentée par le vecteur , entraîne le basculement de l’avion dans la poche de méthane. En position de déséquilibre, la portance baissant d’avantage à cause des variations de la vitesse et de la surface de référence, l’appareil chute. Il ne se redressera pas. Ainsi, il est souvent fatal à un avion de rencontrer une poche de méthane émanant du fond de la mer. En effet, cette variation brutale de son environnement affecte sa portance et son équilibre de manière parfois dramatique. Trois étapes se produisent durant un très court laps de temps : variation de la masse volumique du fluide traversé d’abord, puis effondrement de la vitesse, et enfin, dans la majorité des cas, diminution rapide de la surface de référence. Cet enchaînement ne laisse parfois pas le temps au pilote de réagir efficacement, et l’avion chute jusqu’à la surface où il se désintègre avant de sombrer par cinq mille mètres de fond. C) Un avion sans moteurs peut-il s’en sortir ? Comme nous l’avons vu dans la partie précédente, lorsqu’un avion traverse une bulle de méthane, l’avion a deux possibilités, soit il perd sa portance très brusquement et part en vrille irrattrapable, ou alors le ou les moteurs peuvent s’arrêter ou même prendre feu. Si le moteur prend feu sans que le moteur se soit arrêté, le pilote est obligé de couper le moteur et surtout l’arrivée d’essence pour ne pas amplifier l’incendie. Dans ces deux cas, l’avion, privée de motorisation, se comporte comme un planeur et ne peut que parcourir une certaine distance. C’est en fonction de la finesse max de l’aéronef que ce dernier pourra rejoindre la terre ou qu’il devra amerrir. Nous allons donc voir les chances qu’à un avion de regagner la terre. Lorsque que l’avion est en plané, il n’a plus que trois forces qui s’exercent sur lui : son poids, la portance et la traînée qui est la composante des efforts exercées sur le corps dans la direction opposée à la vitesse relative du corps par rapport au fluide. La finesse max est le rapport, à une vitesse donnée, entre sa portance et sa traînée aérodynamique. Mais plus simplement, elle est égale au rapport entre la distance horizontale parcourue et la hauteur de chute, à vitesse constante et sans force de propulsion, en air calme. On peut donc l’assimiler au rapport entre la vitesse horizontale et la vitesse verticale (taux de chute). Par exemple, un avion ayant une finesse de 30 parcoura horizontalement 30 km alors qu’il perdra un kilomètre d’altitude. La polaire des vitesses est une courbe utilisée en aéronautique qui présente, pour un appareil ou un profil d'aile donnés, la vitesse de vol en abscisse et le taux de chute en ordonnée. Elle permet d'avoir un bon aperçu des performances du profil ou de l'appareil. Cette courbe permet de trouver la finesse maximale théorique, en traçant la tangente à la courbe passant par l'origine. 21 Polaire des vitesses d'un parapente de type école A : vitesse de décrochage B : Taux de chute mini C : finesse max (7,8) D : vitesse max accélérée Un avion en configuration de finesse max parcourra donc le plus de chemin en perdant le moins d’altitude. Appliquons cela au dessus du triangle des Bermudes en prenant tout d’abord un des avions d’aéroclub de tourisme le plus commun, le DR400. Ce dernier a une finesse max de 9.3 à 150 km/h. En croisière il vole environ entre 3 000 et 8 000 pieds soit entre 915 et 2 430 mètres d’altitude. Il pourra donc parcourir entre (0.915*9.3)/1= 8.5 km et (2.430*9.3)/1=22.6 km avant de devoir se poser. Dans le meilleur des cas, un DR400 peut voler à 15 000 pieds. Même si cela n’arrive presque jamais, cet appareil pourrait dans le meilleur des cas parcourir 42.5 km, or le triangle des Bermudes fait environ 4 millions de km². Prenons le cas ou l’avion vole à 8 000 pieds. Pour s’en sortir, il doit donc se trouver au maximum à 22.6 km d’une terre où il est possible de se poser d’urgence. Comme on le voit sur le schéma ci-dessus, l’avion ne peut donc pas voler s’éloigner des côtes mais voler seulement dans la zone bleue, donc tout avion de cette taille victime d’une panne au centre du Triangle des Bermudes n’a aucune chance de revenir. Cependant il en est de même pour un avion de taille supérieure, en effet, même avec une finesse max supérieure, il n’y a que très peu de chances qu’il soit assez proche d’une terre immergée. 1776 km 1707 km 1564 km De plus nous avons vu le cas où l’air est très calme et dégagé mais le triangle des Bermudes est connu pour une météo très instable et peu prévisible. Si le vent de lève et est face a l’avion (en rouge sur le schéma), la finesse max de l’avion diminue fortement car il parcourra moins de distance en perdant plus d’altitude mais, au contraire, si le vent est de dos (en bleu sur le schéma) il gagnera en distance franchissable. Notre analyse n’aborde pas le cas des avions de ligne modernes qui survolent le Triangle des Bermudes en très grand nombre. En effet, pour qu’un bulle de méthane fasse chuter un avion, il est nécessaire que sa taille soit relativement importante, et que le méthane ne soit dilué dans l’air que négligeablement, or ce n’est pas le cas à 10 000 mètres d’altitude. Ainsi il est très peu probable que des poches de méthane soient responsables de la chute d’avions de ligne. 22 Finesse max baisse Conclusion La théorie des hydrates de méthane est donc une théorie très crédible pour expliquer les nombreuses disparitions ayant eu lieu dans le Triangle des Bermudes. Se basant sur des faits concrets et démontrés, s’appuyant sur les lois de la mécanique newtonienne, elle permet d’expliquer assez rigoureusement la raison des disparitions d’avions et de bateau dans le Triangle des Bermudes. Pourtant le mystère demeure. En effet, le 28 août 1963, deux KC-135 Stratotanker de l’US Air Force disparurent simultanément à l’Est de la Floride, alors qu’ils volaient à plus de dix mille mètres d’altitude. Ainsi la théorie des hydrates de méthane n’explique pas tout. Cependant ce n’est pas l’unique théorie scientifique tentant d’expliquer ces étranges phénomènes. Par exemple, une théorie explique que ces disparitions sont la conséquence de perturbations anormales du champ magnétique terrestre spécifiques à cette zone du globe. Une autre théorie concerne plutôt la météorologie. En effet le climat dans le triangle des Bermudes peut être très instable. En quelques minutes, le ciel peut s’assombrir et des vents violents se lever. Des phénomènes dangereux et très localisés se produisent régulièrement, les avions et les navires peuvent donc se laisser surprendre. Malheureusement, aucune thèse n’a réussi à trouver une explication plausible à toutes les disparitions. Saura-t-on un jour ce que sont devenus les quelques soixante bateaux et cent quatre-vingt avions qui, un jour, naviguèrent au dessus du Triangle des Bermudes ? 23 Annexes Annexe I : Détermination pratique de la vitesse limite atteinte par la bulle lors de son ascension dans l’eau grâce à un dispositif de pointage. Nous avons filmé, à l’aide d’une webcam, et analysés, grâce au logiciel Ipi32, la montée de bulles de différentes tailles dans un vase rempli d’eau. - Bulles de petite taille (rayon de quelques centimètres) : Après traitement informatique des données, on obtient sur Regressi la courbe y = f(t). On ne s’intéressera pas ici à l’évolution de l’abscisse x, celle-ci étant constante. Courbe y = f(t) avant la modélisation Nous avons vu précédemment que la côté de la bulle obéissait à : t − τ z =v(1) lim t −τ 1 − e En modélisant par y = a*(t-b(1-e^(-c*t))), on aura a = vlim, b = τ et c = 1/τ 24 Courbe y = f(t) après la modélisation (1.1% d’écart expérience-modèle) On a : a = 0.6197 soit vlim = 0.6197 m.s-1 b = 0.5126 soit τ = 0.5126 Cherchons désormais le moment où v = vlim, c’est à dire le moment où le mouvement devient uniforme. Cherchons l’instant θ où la vitesse est égale à 99% de la vitesse limite. θ − τ =0.99 v v =0.99 v lim ⇔v lim 1 − e lim ⇔1− e ⇔e − θ τ = 0.99 θ − τ = 0.01 θ ⇔ − = ln ( 0.01 ) τ ⇔θ = −τ ( ln 0.01 ) On trouve θ = 2.36 s On peut donc estimer que la bulle atteint sa vitesse limite au bout de 2.36 secondes, or l’expérience a duré 1.1 secondes, d’après les mesures. La bulle était donc encore en phase d’accélération lorsqu’elle est arrivée à la surface. - Bulle de grosse taille (rayon d’une dizaine de centimètres) : 25 Courbe y = f(t) avant la modélisation Courbe y = f(t) après la modélisation (1.2% d’écart expérience-modèle) En procédant de la même façon et avec la même modélisation on trouve : a = 1.526 soit vlim = 1.526 m.s-1 b = 1.299 soit τ = 1.299 Cherchons désormais le moment où v = vlim , c’est à dire le moment où le mouvement devient uniforme. Cherchons l’instant θ où la vitesse est égale à 99% de la vitesse limite. 26 θ − τ =0.99 v v =0.99 v lim ⇔v lim 1 − e lim ⇔1− e ⇔e θ − τ − θ τ = 0.99 = 0.01 θ = ln ( 0.01 ) τ ⇔θ = −τ ( ln 0.01 ) On trouve θ = 5.98 s ⇔− On peut donc estimer que la bulle atteint sa vitesse limite au bout de 5.98 secondes, or l’expérience a duré 0.7 secondes d’après les mesures. La bulle était donc encore en phase d’accélération lorsqu’elle est arrivée à la surface. Annexe II 27 Détermination pratique de la vitesse limite de chute du bateau dans l’eau grâce à un dispositif de pointage. On applique donc les calculs effectués à notre bateau, en sachant que nous sommes dans un cas particulier où v0 = 0 m.s-1, même si la vitesse initiale du bateau est en fait non nulle mais négligeable. En effet, le bateau, en chutant dans la bulle, atteint une vitesse verticale d’environ 5.10-2 m.s-1 dans la bulle, ce qui est très faible et n’influerait que très peu sur les calculs que nous allons faire. Pour étudier le cas particulier de notre bateau nous avons utilisé le logiciel Ipi 32 qui permet de pointer les images d’une vidéo une à une de façon à pouvoir étudier le mouvement du bateau une fois qu’il est sous l’eau. Nous avons donc obtenu les valeurs de X et de Y suivantes : On remarque que X est une constante ce qui est normal car dans l’expérience la chute est verticale et Y est divisé en deux mouvement donc la deuxième partie n’est que très peu visible. La courbe de y en fonction du temps répond en effet a l’équation : y = v y lim .t +τ.( v o . sin α − v y lim ).(1 − e − t τ ) et y = v y lim .t +τ.v y lim (1 − e − v0=0 donc t τ ) Y est donc l’addition d’une fonction linéaire et d’une courbe exponentielle qui admet une limite et devient constante au bout d’un certain temps. La première partie de la droite est donc courbe alors que la deuxième est une droite de coefficient directeur v y lim . 28 Comme la vitesse est la dérivée de Y, on obtient des vitesses négatives, la courbe suivante représente donc l’opposé de la vitesse verticale de chute du bateau : On sait que la vitesse est de la forme : − t v y = v y lim (1 − e ) + v0 . sin α.e or avec v0= 0, on τ − t τ v y = v y lim (1 − e obtient : − t τ ) D’après la modélisation, on remarque bien que la vitesse atteint très vite une vitesse limite. On a d’après Regressi : vylim=0.5819 m/s et τ = 0.1251 s-1. De plus, τ = m/λ donc λ =m/τ On a donc déterminé le coefficient des forces de frottements qui est égal à 1.29 kg/s. De plus, on peut définir au bout de combien de temps la vitesse limite est atteinte. Soit θ la date où on atteint 99% de la vitesse limite. On a donc : Soit donc 1−e e θ τ − θ τ − 0.99 ×v y = v y lim (1 − e ) = 0.99 =1− 0.99 En d’autres termes : c'est-à-dire : θ τ − − θ 1 = ln( 0.01) = ln( ) = −ln( 100 ) τ 100 θ = 4.6 ×τ ≈ 5τ Dans le cas de notre bateau, la vitesse limite est donc atteinte au bout d’environ 0.66 s. On peut alors retourner au graphe de Y en fonction du temps et on remarque que c’est environ a ce moment que la partie curviligne de la courbe commence à se stabiliser. On trouve donc que c’est après avoir chuté de 410-71.04=339.04 mm que le bateau atteint sa vitesse limite. 29 Annexe III Dans la nuit du 14 au 15avril 1912, le RMS Titanic, plus grand paquebot de l’époque, sombra en Atlantique Nord, par plus de 3 800 mètres de profondeur. Sa position exacte lors de son naufrage était : 41°46' N et 50°14' O. Route prévue du RMS Titanic. La croix indique le lieu de son naufrage. Cependant, la zone où a sombré le Titanic est sur la trajectoire du Gulf Stream. Ainsi, avant de toucher le fond de l’océan, le Titanic a dérivé. En effet, l’épave a été retrouvée à la positon suivante : 41°43′N 49°56′O. Partout sur la Terre, un degré de latitude correspond à environ 110 kilomètres, tandis que la longueur en kilomètre d’un degré de longitude varie. A une latitude de 41° Nord, un degré de longitude correspond à environ 80 kilomètres de distance. Le Titanic s’est déplacé du Nord au Sud de 3 minutes d’angle, c'est-à-dire d’environ 5,5 kilomètres, tandis qu’il s’est déplacé d’Ouest en Est de 18 minutes d’angles, soit environ 24,3 kilomètres. Ainsi, en appliquant le théorème de Pythagore, on obtient un déplacement du navire dans le plan horizontal de : = 24,9 kilomètres. Cette distance n’est pas négligeable lorsqu’il s’agit de rechercher une épave. De plus, le Titanic mesurait 269 mètres de long, et pesait plus de 52 000 tonnes. Ainsi, en comparaison, les avions et les bateaux ayant disparus dans le Triangle des Bermudes sont moins gros et plus léger, ils sont donc moins facilement repérables, alors qu’ils dérivent plus fortement. 30 Annexe IV Sources Livres Aviation, un siècle de conquête De R. G. Grant Chroniques de l’aviation Sous la direction de Catherine et Jacques Legrand Military aicraft, 1914 to the present day De Robert Jackson et Jim Winchester Magazines Science et Avenir (mai 2001) Sites internet Wikipédia, dont : http://en.wikipedia.org/wiki/Grumman_TBF_Avenger http://fr.wikipedia.org/wiki/Lockheed_Constellation http://fr.wikipedia.org/wiki/Turbor%C3%A9acteur http://www.triangle-bermudes.com/index.html http://fanaviation.kazeo.com/Aviation-reelle,r144090.html http://www.intellego.fr/soutien-scolaire-1ere-S/aide-scolaire-Physique/ANIMATION-29PHYSIQUE-Mecanique--Bilan-des-forces-d-un-avion-en-vol-palier/15704 http://www.triangle-bermudes.com/disparitions-avions-Vol-19-Avenger.html http://www.triangle-bermudes.com/disparitions-avions-Vol-441-Super-Constellation.html http://www.hypnovillacorta.com/?page=quoi_avion http://www.air-and-space.com/20050513%20Van%20Nuys/DSC_0469%20L-1049G %20Super%20Constellation%20N6937C%20left%20front%20landing%20l.jpg 31
