Cours de Mathématiques 1re S2 Première partie Logique 1 Chapitre 1 Logique élémentaire Définition 1.1 (Qu’est ce qu’une assertion ?). On définit une assertion comme toute phrase syntaxiquement correcte à laquelle on peut assigner une valeur de vérité : Vrai, ou Faux Soit H et C deux assertions quelconques, vraies ou fausses. "V" siginifie Vrai et "F" signifie Faux. On utilise des tableaux de vérité pour définir les symboles logiques. – Notion de disjonction, de conjonction et de négation : "ou" est le symbole de disjonction, "et" est le symbole de conjonction, "non" est le symbole de négation. Tableau de vérité H C H ou C H et C non H V V V V F V F V F F F V V F V F F F F V – Notion d’implication : H et C sont deux assertions, "=⇒" est le symbole d’implication Tableau de vérité H C H =⇒ C V V V V F F F V V F F V H =⇒ C : H est une condition suffisante à C C =⇒ H : H est une condition nécessaire à C 2 CHAPITRE 1. LOGIQUE ÉLÉMENTAIRE 3 – Notion d’équivalence : H et C sont deux assertions, "⇐⇒" est le symbole d’équivalence Tableau de vérité H C H ⇐⇒ C V V V V F F F V F F F V Deuxième partie Algèbre 4 Chapitre 2 Outils d’algèbre et d’analyse I Calcul numérique et algébrique 1 Vocabulaire et notation – Comment décrire un ensemble ? i). On donne la liste exhaustive des éléments de l’ensemble. Cette écriture s’appelle l’écriture en extension. ex : L’ensemle des élèves de première S2 est {Adjerad; . . . ; Zerbib} ii). On donne la nature des éléments de l’ensemble et leur propriété caractéristique 1 C’est l’écriture en compréhension. ex : [2 ; 5] = {r ; r ∈ R / 2 6 r 6 5} Vocabulaire – – – – Algèbre : transformation d’expressions contenant des variables développer : transformer une expression pour obtenir une somme factoriser : transformer une expression pour obtenir un produit réduire : conserver la nature de l’expression, mais en conservant le moins de termes possible – simplifier : transformer l’expression de manière à répondre à un type de problème posé – Une identité est une égalité qui dépend d’une ou plusieurs variables et qui est vraie pour toutes les valeurs de la ou les variables. – Une équation est une égalité qui dépend d’une ou plusieurs inconnues et qui n’est pas vraie pour toutes les valeurs de la ou les inconnues. 1. Propriété que seuls les éléments de l’ensemble ont. À différencier avec une propriété remarquable : propriété qu’ont les éléments de l’ensemble. 5 CHAPITRE 2. OUTILS D’ALGÈBRE ET D’ANALYSE 2 6 Théorèmes, propositions et résultats Théorème 2.2 (distributivité de la multiplicaton par rapport à l’addition). Pour tous a, b, c ∈ R, a (b + c) = ab + ac Théorème 2.3. Pour tous a, b, c ∈ R, a = b ⇐⇒ a + c = b + c Pour tous a, b ∈ R, pour tout c ∈ R∗ , a = b ⇐⇒ ac = bc Proposition 2.4. Le carré d’une somme de termes est égale à la somme de la somme des carrés de ces termes et à la somme des doubles produits de ces termes. Proposition 2.5. Soit n, k ∈ N, avec k 6 n. On note Ckn l’entier naturel de la k eme colonne et de la neme ligne du triangle de pascal (à noter : les numéros des lignes et des colonnes commencent à partir de 0). On a : Ckn + Ck+1 = Ck+1 n n+1 (2.1) Ckn = Cn−k n (2.2) L’égalité 2.2 se comprend comme le fait que les lignes du triangle de Pascal sont « symétriques ». De plus avec la convention de notation 00 = 1, on a pour tous réels a et b et pour tout entier naturel n : (a + b)n = C0n an + . . . + Ckn an−k bk + . . . + Cnn bn On a pour tous réels a et b et pour tout entier naturel non nul n : an − bn = (a − b)(an−1 + . . . + an−1−k bk + . . . + bn−1 ) 3 Expressions polynomiales du premier et du deuxième degré (à une variable réelle) Définition 2.6. On appelle expression polynomiale du premier degré à une variable réelle x toute expression du type ax + b où a et b sont des constantes réelles avec a 6= 0. On nomme a le coefficient dominant et b le coefficient constant CHAPITRE 2. OUTILS D’ALGÈBRE ET D’ANALYSE 7 Définition 2.7. Un zéro d’une expression dépendant d’une variable est une valeur de la variable pour laquelle l’expression est nulle. On peut aussi utiliser le terme racine. Théorème 2.8. Pour tout a ∈ R∗ , pour tout b ∈ R : b Pour tout x ∈ R, ax + b = 0 ⇐⇒ x = − a b Pour tout x ∈ −∞; − , ax + b est du signe contraire de a au sens strict. a b Pour tout x ∈ − ; +∞ , ax + b est du signe de a au sens strict. a Définition 2.9. On appelle expression polynomiale du deuxième degré à une variable réelle x toute expression de la forme ax2 + bx + c où a, b, c sont des constantes réelles avec a 6= 0. On appelle a le coefficient dominant et c le coefficient constant. Soit x un réel. On a, avec les notations précédentes : b c 2 2 ax + bx + c = a x + x + a a # " 2 2 b b b c = a x2 + x + − + a 2a 2a a " # 2 b b2 − 4ac =a x+ − 2a 4a2 La dernière expression s’appelle la forme canonique. On appelle discriminant de l’expression polynomiale du deuxième degré 2 ax + bx + c de la variable réelle x, le réel b2 − 4ac. Premier Cas : Supposons que le discriminant est strictement négatif, alors : b2 − 4ac >0 − 4a2 2 b2 − 4ac b >0 Donc pour tout x ∈ R, x + − 2a 4a2 " # 2 b b2 − 4ac Ainsi a x + − est du signe de a au sens strict. 2a 4a2 alors ax2 + bx + c est du signe de a au sens strict. CHAPITRE 2. OUTILS D’ALGÈBRE ET D’ANALYSE 8 Cette expression n’a pas de zéro. Supposons qu’elle soit factorisable en produit de deux expressions polynomiales du premier degré distinctes ou confondues. De ce fait elle aurait alors au moins un zéro. Donc elle n’est pas factorisable en produit de deux expressions polynomiales du premier degré. Second Cas : Supposons que le discriminant est positif ou nul, alors : # " 2 2 b − 4ac b − ax2 + bx + c = a x + 2a 4a2 √ √ b b2 − 4ac b2 − 4ac b =a x+ − x+ + 2a 2a 2a 2a ! √ √ −b − b2 + 4ac −b + b2 − 4ac x− =a x− 2a 2a −b + √ b2 − 4ac 2a Cette expression a deux zéros distincts ou confondus : √ −b − b2 + 4ac et . Les zéros sont confondus lorsque le discriminant est 2a nul et les zéros sont distincts lorsque le discriminant est strictement positif. b La somme des zéros est égale à : − . a c Le produit des zéros est égal à : . a b - Si b2 − 4ac = 0, les deux zéros sont confondus et valent − . 2a - Si b2 − 4ac > 0, les deux zéros sont distincts : Quand a > 0 : √ √ −b − b2 − 4ac −b + b2 − 4ac < 2a 2a Quand a < 0 : −b + √ √ b2 − 4ac −b − b2 − 4ac < 2a 2a On note α le plus petit des zéros et β l’autre zéro. - b2 − 4ac = 0 ⇐⇒ α = β. De plus si on a bien b2 − 4ac = 0, alors pour b tout réel x distinct de − , ax2 + bx + c est du signe de a au sens 2a strict. CHAPITRE 2. OUTILS D’ALGÈBRE ET D’ANALYSE 9 - b2 − 4ac > 0 ⇐⇒ α < β et si on a bien b2 − 4ac > 0, alors pour tout x ∈ ]−∞ ; α[ ∪ ]β ; +∞[, ax2 + bx + c est du signe de a au sens strict, et pour tout x ∈ ]α ; β[, ax2 + bx + c est du signe contraire de a au sens strict. 4 Racines, puissances et valeur absolue Définition 2.10. La racine carrée d’un réel positif ou nul a est le réel positif ou nul b, tel que b2 = a Définition 2.11. La valeur absolue d’un réel a, notée |a|, est le réel a si a > 0 et le réel −a si a < 0. Définition 2.12. Soit a un réel et b un entier naturel, avec b > 2. On note ab le produit de b facteurs égaux à a. On a : ab = |a × .{z . . × a} b fois a est appelé l’argument et b l’exposant. Théorème 2.13. Pour tout réel a, pour tous b et c des entiers naturels supérieurs ou égaux à 2, on a : ab+c = ab ac . À partir de cette règle de calcul, on s’aperçoit que : 3 × 34 = 35 , par exemple. De ce fait on est amené à penser qu’on pourrait dire que 3 = 31 , bien que l’on n’ait pas définit cette notation. De la même manière, on remarque que 53+0 = 53 = 53 × 1, ainsi on peut penser que 50 = 1. On est alors tenté d’ajouter à la définition 2.12 que pour tout réel a, a1 = a et que a0 = 1. Cependant on savait que jusqu’ici que la propriété « pour tout entier naturel b supérieur ou égal à 2, on a 0b = 0 » était vraie, en généralisant, on devrait avoir 00 = 0, or on vient de dire que 00 = 1. On a donc une incompatibilité entre ces deux propriétés. On décide alors de ne pas définir 00 (sauf convention de notation). On obtient alors la définition suivante : Définition 2.14. Soit a un réel non nul et b un entier naturel. Si b > 2, on reprend la définition 2.12. Si b = 1, on a ab = a et si b = 0, alors on a ab = 1. Définition 2.15. Soit a un réel non nul et b un entier relatif strictement négatif. On définit ab tel que : 1 a = −b = a b −b 1 a CHAPITRE 2. OUTILS D’ALGÈBRE ET D’ANALYSE 10 Proposition 2.16. Soit a, b, c et d des réels tels que les différentes écritures suivantes sont définies. On a : ab+c = ab ac c ab = abc II Équations 1 Concepts 2 Stratégies de résolution 3 Systèmes (a × b)c = ac × bc c c a(b ) = ab CHAPITRE 2. OUTILS D’ALGÈBRE ET D’ANALYSE III 1 11 Fonctions et applications Concepts Définition 2.17 (fonction). On appelle fonction tout triplet (E, F, Γ) où : – E est un ensemble, on l’appelle ensemble de départ. – F est un ensemble, on l’appelle ensemble d’arrivée – Γ est un « phénomène » qui permet d’associer à chaque élément de E, soit rien, soit un unique élément de F Notations et vocabulaires Soit E et F des ensembles. On peut noter « f une fonction de E vers F » : « f : E −→ F ». De même on peut noter « f une fonction de E vers F qui à tout élément x de son ensemble de définition associe un élément y de F » f : E −→ F x 7−→ y Soit x ∈ E et y ∈ F tels que par f à x on associe y. On appelle y l’image de x par f et x un antécédent de y par f . L’image de x par f , quand elle existe, est notée f (x), on notera souvent f : x 7→ f (x) . On ne peut pas donner de symbole pour l’antécédent faute d’unicité, en effet il peut ne pas y avoir unicité. Définition 2.18. (ensemble de définition) On appelle ensemble de défintion d’une fonction, l’ensemble des éléments de son ensemble d’arrivée qui ont une image par cette fonction. Lorsque l’on considérera une fonction f , on notera souvent Df l’ensemble de définition de f . Définition 2.19 (application). On appelle application toute fonction, telle que tous les éléments de son ensemble d’arrivée ont une image par cette fonction. Une application est donc une fonction dont l’ensemble de départ et l’ensemble de définition sont confondus. 2 Composition de fonctions Définition 2.20. Soit E, F et G des ensembles, et soit f et g des fonctions respectivement de E vers F , et de F vers G. On construit une nouvelle fonction h de E vers G et qui à tout x de E associe l’image par g de l’image par f de x (si elle existe). On note cette fonction g ◦ f et on a : g ◦ f : E −→ G x 7−→ g(f (x)) CHAPITRE 2. OUTILS D’ALGÈBRE ET D’ANALYSE 12 Question 2.21. La composée de deux applications (compatibles pour la composition) est-elle une application ? Proposition 2.22. Soit E, F et G des ensembles, et soit f et g des fonctions respectivement de E vers F , et de F vers G. Notons Df , Dg et Dg◦f les ensembles de définition respectifs de f , g et g ◦ f . On a : Dg◦f = {x ; x ∈ E/ x ∈ Df et f (x) ∈ Dg } IV Les fonctions en analyse Définition 2.23 (fonction numérique). On appelle fonction numérique toute fonction dont l’ensemble d’arrivée est un ensemble de nombres On considérera ici des fonctions numériques d’une variable réelle, et plus précisément des fonctions de R vers R, notamment pour pouvoir les composer. 1 Opérations sur les fonctions Soit f et g des fonctions de R vers R, et soit α un réel. – addition des fonctions : f + g : R −→ R x 7−→ f (x) + g(x) – multiplication des fonctions : f g : R −→ R x 7−→ f (x)g(x) – multiplication d’une fonction par un réel : αf : R −→ R x 7−→ αf (x) – passage à l’inverse : 1 : R −→ R f x 7−→ 1 f (x) CHAPITRE 2. OUTILS D’ALGÈBRE ET D’ANALYSE 13 – division de fonctions : f g : R −→ R x 7−→ f (x) g(x) – composition des fonctions : g ◦ f : R −→ R x 7−→ g(f (x)) Fonctions de référence Soit f une fonction de R vers R. – fonctions affines : f est une fonction affine s’il existe deux réels a et b tels que pour tout réel x, f (x) = ax + b – fonctions polynomiales de degré 2 : f est une fonction polynomiale de degré 2 s’il existe 3 réels a, b et c, avec a 6= 0, tels que pour tout réel x, f (x) = ax2 + bx + c – fonctions puissances d’exposant entier naturel : f est une fonction puissance d’exposant entier naturel, s’il existe un entier naturel non nul n, tel que pour tout réel x, f (x) = xn – fonction racine, fonctions circulaires, et autres : √ x 1 f : x 7→ x 1 f : x 7→ 2 x f : x 7→ f : x 7→ sin (x) f : x 7→ cos (x) Exercice 2.24. Écrire les fonctions suivantes comme résultat d’opérations sur les fonctions de référence : √ f: x → 7 cos x+3 f : x 7→ x2 + 3x + 1 + x sin (x) x sin (2x − 1) f : x 7→ √ x2 − 3x + 1 √ f : x 7→ (2x − 1) 3x + 2 + cos (x − 5) CHAPITRE 2. OUTILS D’ALGÈBRE ET D’ANALYSE 2 14 Courbes représentatives Définition 2.25 (repère du plan). On appelle repère du plan tout triplet (O ; ~ı, ~) avec O un point du plan et ~ı et ~ des vecteurs non colinéaires du plan. On dit que le repère (O ; ~ı, ~) est orthogonal si ~ı⊥~. On dit que le repère (O ; ~ı, ~) est orthonormal, s’il est orthogonal et si k~ık = k~k = 1 Définition 2.26 (courbe représentative d’une fonction). On considère le plan rapporté à un repère quelconque (O ; ~ı, ~). Soit f une fonction de R vers R, dont l’ensemble de définition est Df . On appelle courbe représentative de f dans le repère (O ; ~ı, ~), l’ensemble des points de couple de coordonnées (x, f (x)) où x ∈ Df . On notera souvent cette courbe (Cf ), avec (Cf ) = {M (x, f (x))/ x ∈ Df } = {M (x, y)/ x ∈ Df et y = f (x)} Il y a autant de courbes représentatives que de repères possibles. Définition 2.27. On dit qu’une courbe représentative d’une fonction est symétrique par rapport à un point ou bien une droite, si le symétrique, par rapport à ce point ou cette droite de tout point de la courbe, appartient à la courbe. On dit alors respectivement que le point ou la droite est un centre ou un axe de symétrie de cette courbe. Définition 2.28. Soit f une fonction de R vers R et dont l’ensemble de définition est Df . – f est dite paire si pour tout x ∈ Df : i). −x ∈ Df ii). f (−x) = f (x) – f est dite impaire si pour tout x ∈ Df : i). −x ∈ Df ii). f (−x) = −f (x) 3 Sens de variation Comment évolue l’image de la variable réelle x en fonction de cette variable ? Soit f une fonction de R vers R, définie sur un ensemble non vide E. (Attention : La nature de E peut avoir une influence.) CHAPITRE 2. OUTILS D’ALGÈBRE ET D’ANALYSE 15 – soit f n’est pas monotone dans E : il existe quatre réels a, b, c et d dans E avec a < b et f (a) < f (b) et c < d et f (c) > f (d) – soit f est monotone dans E : dans le cas contraire Définition 2.29. Soit f une fonction de R vers R, définie sur un ensemble non vide E. – f est dite monotone croissante (respectivement décroissante) sur E si pour tous a et b de E tels que a < b, on a f (a) 6 f (b) (respectivement f (a) > f (b)). – f est dite monotone strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur E si pour tous a et b de E tels que a < b, on a f (a) < f (b) (respectivement f (a) > f (b)). – f est dite constante sur E si pour tous a et b de E, f (a) = f (b), ou de manière équivalente s’il existe un réel λ, tels que pour tous x de E, f (x) = λ Remarque 2.30. Une fonction constante sur un ensemble non vide E est monotone sur E mais non strictement monotone. Théorème 2.31. Soit f une fonction de R vers R, définie sur un ensemble non vide E. Si f est croissante et décroissante sur E, alors f est constante. Démonstration. On reprend les notations du théorème précédent. Admettons que f à la fois croissante et décroissante. Soit a et b de E. 1er cas : Suppsons que a = b. On a bien évidemment f (a) = f (b). 2e cas : Supposons que a < b. On a f (a) 6 f (b) car f est croissante sur E, et on a f (a) > f (b) car f est croissante sur E. Donc f (a) = f (b). 3e cas : Supposons que b < a. On a f (b) 6 f (a) car f est croissante sur E, et on a f (b) > f (a) car f est croissante sur E. Donc f (a) = f (b). Donc pour tous a et b de E, on a f (a) = f (b). Alors f est constante sur E. Question 2.32. Soit f une fonction de R vers R, définie sur deux ensembles non vides E1 et E2 . Si f est croissante sur E1 et E2 , f est-elle croissante sur E1 ∪ E2 ? Théorème 2.33. Soit λ un réel. Soit f une fonction de R vers R, strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur ]−∞ ; λ[, strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur ]λ ; +∞[. f est strictement croissante (respectivement strictement décroissante) sur R. Démonstration. À venir CHAPITRE 2. OUTILS D’ALGÈBRE ET D’ANALYSE 16 Théorème 2.34. Soit E un ensemble non vide de réels, non réduit à un singleton, et f une fonction de R vers R, définie sur E. Si f est monotone sur E, sans être strictement monotone sur E, alors il existe deux réels a et b distincts, dans E tels que f (a) = f (b). Démonstration. À venir Théorème 2.35. Soit E un ensemble non vide de réels et f une fonction de R vers R, strictement monotone sur E. Alors tout réel a a au plus un antécédent par f dans E. Démonstration. À venir Théorème 2.36. La fonction f : x 7→ x est strictement croissante sur R. Démonstration. Soit a et b des réels, avec a < b. On a f (a) = a et f (b) = b. Comme a < b, alors f (a) < f (b). Donc pour tous réels a et b, si a < b, f (a) < f (b). Donc f est strictement croissante sur R. Théorème 2.37. La fonction f : x 7→ x2 est strictement décroissante sur R− et strictement croissante sur R+ . Démonstration. À venir Théorème 2.38. La fonction f : x 7→ x3 est strictement croissante sur R. Démonstration. À venir Théorème 2.39. Soit a et b des réels. La fonction f : x 7→ ax + b est strictement croissante sur R si a > 0, strictement décroissante sur R si a < 0, et constante sur R si a = 0. Démonstration. À venir Théorème 2.40. La fonction f : x 7→ sur R+ . √ x est strictement croissante Démonstration. À venir 1 Théorème 2.41. La fonction f : x → est strictement décroissante 7 x sur R∗− et strictement décroissante sur R∗+ . Démonstration. À venir CHAPITRE 2. OUTILS D’ALGÈBRE ET D’ANALYSE 17 Théorème 2.42. Soit n ∈ N∗ . Si n est pair, la fonction f : x 7→ xn est strictement décroissante sur R− et strictement croissante sur R+ , et la 1 fonction g : x 7→ n est strictement croissante sur R∗− et strictement x décroissante sur R∗+ . Si n est impair, la fonction f : x 7→ xn est strictement croissante sur 1 R, et la fonction g : x 7→ n est strictement décroissante sur R∗− et x strictement décroissante sur R∗+ . Démonstration. Résultat admis. Addition Multiplication par une constante réelle λ Multiplication de deux fonctions Passage à l’inverse Division de fonctions Table des matières A Logique 1 1 Logique élémentaire 2 B 4 Algèbre 2 Outils d’algèbre et d’analyse I Calcul numérique et algébrique . . . . . . . 1 Vocabulaire et notation . . . . . . . . 2 Théorèmes, propositions et résultats 3 Expressions polynomiales du premier degré (à une variable réelle) . . . . . 4 Racines, puissances et valeur absolue II Équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Stratégies de résolution . . . . . . . . 3 Systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . III Fonctions et applications . . . . . . . . . . . 1 Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Composition de fonctions . . . . . . . IV Les fonctions en analyse . . . . . . . . . . . 1 Opérations sur les fonctions . . . . . 2 Courbes représentatives . . . . . . . 3 Sens de variation . . . . . . . . . . . 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et du deuxième . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 5 6 . . . . . . . . . . . . . 6 9 10 10 10 10 11 11 11 12 12 14 14