Diaporama sur la trigonométrie
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Le cercle trigonométrique Angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Fonctions trigonométriques [ La trigonométrie \ Paul DUPRAT Lycée du golfe de Saint Tropez Année 2013/2014 Lycée du golfe ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie Année 2013/2014 1 / 19 Le cercle trigonométrique Angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Fonctions trigonométriques 1 Le cercle trigonométrique Associer un point à un réel Valeurs particulières 2 Angles orientés Conversion degré-radians Angles associés 3 Cosinus et sinus Définition Les premières propriétés Les valeurs particulières Angles associés 4 Équations trigonométriques 5 Fonctions trigonométriques Représentation graphique Dérivation Lycée du golfe ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie Année 2013/2014 2 / 19 Le cercle trigonométrique Angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Fonctions trigonométriques Associer un point à un réel Valeurs particulières Définition Dans un repère orthonormé (O ; I ; J), le cercle trigonométrique est le cercle de rayon 1, centré sur l’origine et parcouru dans le sens positif (c’est à dire dans le sens inverse des aiguilles d’une montre). J x b M b b 0 b I ∆ Pour tout réel x repéré sur la droite ∆ on associe un point M sur le cercle trigonométrique que l’on obtient par « enroulement de la droite» sur le cercle. On dit que le point M est l’image du réel x Lycée du golfe ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie Année 2013/2014 3 / 19 Le cercle trigonométrique Angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Fonctions trigonométriques Associer un point à un réel Valeurs particulières Les valeurs remarquables π 2 b 3π 4 π 4 b b 0 π b b b − b 3π 4 − π 4 b − Lycée du golfe ( Lycée du golfe de Saint Tropez) π 2 Trigonométrie Année 2013/2014 4 / 19 Le cercle trigonométrique Angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Fonctions trigonométriques Associer un point à un réel Valeurs particulières Les valeurs remarquables 2π 3 π 3 b b b b 2π − 3 Lycée du golfe ( Lycée du golfe de Saint Tropez) − Trigonométrie π 3 Année 2013/2014 4 / 19 Le cercle trigonométrique Angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Fonctions trigonométriques Associer un point à un réel Valeurs particulières Les valeurs remarquables 5π 6 b b b − 5π − 6 Lycée du golfe ( Lycée du golfe de Saint Tropez) π 6 b Trigonométrie π 6 Année 2013/2014 4 / 19 Le cercle trigonométrique Angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Fonctions trigonométriques Associer un point à un réel Valeurs particulières Les valeurs remarquables π 2 2π 3 3π 4 π 3 b π 4 b b b 5π 6 b π 6 b b 0 π b b b b − 5π − 6 b − 3π 4 b − Lycée du golfe ( Lycée du golfe de Saint Tropez) π 6 b 2π 3 − b b − π 2 Trigonométrie π 4 π − 3 Année 2013/2014 4 / 19 Le cercle trigonométrique Angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Fonctions trigonométriques Associer un point à un réel Valeurs particulières Les valeurs remarquables 7π 12 2π 3 3π 4 5π 12 π 2 b b π 3 b π 4 b b b 5π 6 11π 12 b π 6 b b b π 12 b 0 π b − 11π 12 b − b b b b − 5π − 6 b − π 6 b 3π 4 b − Lycée du golfe ( Lycée du golfe de Saint Tropez) π 12 2π 3 − b b − b b 7π 12 − π 5π − 2 12 Trigonométrie π 4 π − 3 Année 2013/2014 4 / 19 Le cercle trigonométrique Angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Fonctions trigonométriques Conversion degré-radians Angles associés Mesure d’un angle Si M est le point image du réel x sur le cercle trigonométrique de centre O alors le ³− → −−→´ réel x est une mesure en radian de l’angle orienté OI ; OM , les autres mesures sont de la forme α = x + 2kπ (k ∈ Z). J M b α b 0 b I ³− → − →´ Un repère orthonormé (O; I; J) est direct lorsque OI ; OJ = Lycée du golfe ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie π 2. Année 2013/2014 5 / 19 Le cercle trigonométrique Angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Fonctions trigonométriques Conversion degré-radians Angles associés Conversion degré-radians Mesures en degré 0° Mesures en radians 0 Lycée du golfe ( Lycée du golfe de Saint Tropez) 30° π 6 45° π 4 Trigonométrie 60° π 3 90° π 2 120° 2π 3 180° π Année 2013/2014 6 / 19 Le cercle trigonométrique Angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Fonctions trigonométriques Conversion degré-radians Angles associés b x b −x Les images des réels x et −x sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses Lycée du golfe ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie Année 2013/2014 7 / 19 Le cercle trigonométrique Angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Fonctions trigonométriques π−x Conversion degré-radians Angles associés b b x Les images des réels x et π − x sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées Lycée du golfe ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie Année 2013/2014 7 / 19 Le cercle trigonométrique Angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Fonctions trigonométriques Conversion degré-radians Angles associés b x b π+x Les images des réels x et π + x sont symétriques par rapport à l’origine Lycée du golfe ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie Année 2013/2014 7 / 19 Le cercle trigonométrique Angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Fonctions trigonométriques π−x Conversion degré-radians Angles associés b b b b −x π+x Lycée du golfe ( Lycée du golfe de Saint Tropez) x Trigonométrie Année 2013/2014 7 / 19 Le cercle trigonométrique Angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Fonctions trigonométriques Définition Les premières propriétés Les valeurs particulières Angles associés Définition Si M est le point image du réel x sur le cercle trigonométrique alors le réel cos(x) est l’abscisse du point M; le réel sin(x) est l’ordonnée du point M;. J M sin(x) b x b 0 Lycée du golfe ( Lycée du golfe de Saint Tropez) b cos(x) Trigonométrie I Année 2013/2014 8 / 19 Le cercle trigonométrique Angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Fonctions trigonométriques Définition Les premières propriétés Les valeurs particulières Angles associés Proriétés Pour tout réel x, on a: −1 É cos(x) É 1 − 1 É sin(x) É 1 cos2 (x) + sin2 (x) = 1 Pour tout entier relatif k, on a: cos(x + 2kπ) = cos(x) Lycée du golfe ( Lycée du golfe de Saint Tropez) sin(x + 2kπ) = sin(x) Trigonométrie Année 2013/2014 9 / 19 Le cercle trigonométrique Angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Fonctions trigonométriques Définition Les premières propriétés Les valeurs particulières Angles associés Valeurs à connaitre Mesures en degré 0° Mesures en radians 0 cosinus 1 sinus 0 Lycée du golfe ( Lycée du golfe de Saint Tropez) 30° π 6 p 3 2 1 2 Trigonométrie 45° π 4 p 2 2 p 2 2 60° π 3 1 2 p 3 2 90° π 2 180° 0 −1 1 0 π Année 2013/2014 10 / 19 Le cercle trigonométrique Angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Fonctions trigonométriques π 2 2π 3 3π 4 π 3 b p 3 p2 2 2 b b 5π 6 Définition Les premières propriétés Les valeurs particulières Angles associés π 4 b b π 6 1 2 b b 0 π b b p p 1 − 23− 22 − 2 b 5π − 6 b − Lycée du golfe ( Lycée du golfe de Saint Tropez) 3π 4 b 2π − 3 1 2 1 −2 p − 22 p − 23 p p 3 2 2 2 b − π 6 b − b b − π 2 Trigonométrie π 4 π − 3 Année 2013/2014 11 / 19 Le cercle trigonométrique Angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Fonctions trigonométriques Définition Les premières propriétés Les valeurs particulières Angles associés Formules cos(−x) = cos(x) sin(−x) = − sin(x) sin(x) b x b cos(x) − sin(x) Lycée du golfe ( Lycée du golfe de Saint Tropez) b b −x Trigonométrie cos(π − x) = − cos(x) sin(π − x) = sin(x) cos(π + x) = − cos(x) sin(π + x) = − sin(x) ¢ ¡ cos¡ π2 + x¢ = − sin(x) sin π2 + x = cos(x) ¢ ¡ cos¡ π2 − x¢ = sin(x) sin π2 − x = cos(x) Année 2013/2014 12 / 19 Le cercle trigonométrique Angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Fonctions trigonométriques Définition Les premières propriétés Les valeurs particulières Angles associés Formules cos(−x) = cos(x) sin(−x) = − sin(x) π−x b b sin(x) − cos(x) Lycée du golfe ( Lycée du golfe de Saint Tropez) b x b cos(x) b Trigonométrie cos(π − x) = − cos(x) sin(π − x) = sin(x) cos(π + x) = − cos(x) sin(π + x) = − sin(x) ¢ ¡ cos¡ π2 + x¢ = − sin(x) sin π2 + x = cos(x) ¢ ¡ cos¡ π2 − x¢ = sin(x) sin π2 − x = cos(x) Année 2013/2014 12 / 19 Le cercle trigonométrique Angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Fonctions trigonométriques Définition Les premières propriétés Les valeurs particulières Angles associés Formules cos(−x) = cos(x) sin(−x) = − sin(x) sin(x) b b π+x − cos(x) b x b cos(x) b − sin(x) Lycée du golfe ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie cos(π − x) = − cos(x) sin(π − x) = sin(x) cos(π + x) = − cos(x) sin(π + x) = − sin(x) ¡ ¢ cos¡ π2 + x¢ = − sin(x) sin π2 + x = cos(x) ¢ ¡ cos¡ π2 − x¢ = sin(x) sin π2 − x = cos(x) Année 2013/2014 12 / 19 Le cercle trigonométrique Angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Fonctions trigonométriques Définition Les premières propriétés Les valeurs particulières Angles associés Formules π +x 2 cos(−x) = cos(x) sin(−x) = − sin(x) b b cos(x) sin(x) b b b x cos(x) − sin(x) Lycée du golfe ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie cos(π − x) = − cos(x) sin(π − x) = sin(x) cos(π + x) = − cos(x) sin(π + x) = − sin(x) ¡ ¢ cos¡ π2 + x¢ = − sin(x) sin π2 + x = cos(x) ¡ ¢ cos¡ π2 − x¢ = sin(x) sin π2 − x = cos(x) Année 2013/2014 12 / 19 Le cercle trigonométrique Angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Fonctions trigonométriques Définition Les premières propriétés Les valeurs particulières Angles associés Formules π −x 2 b cos(−x) = cos(x) sin(−x) = − sin(x) b cos(x) sin(x) b b b x cos(x) y= x sin(x) Lycée du golfe ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie cos(π − x) = − cos(x) sin(π − x) = sin(x) cos(π + x) = − cos(x) sin(π + x) = − sin(x) ¢ ¡ cos¡ π2 + x¢ = − sin(x) sin π2 + x = cos(x) ¡ ¢ cos¡ π2 − x¢ = sin(x) sin π2 − x = cos(x) Année 2013/2014 12 / 19 Le cercle trigonométrique Angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Fonctions trigonométriques Définition Les premières propriétés Les valeurs particulières Angles associés Formules π −x 2 π +x 2 b cos(−x) = cos(x) sin(−x) = − sin(x) b b cos(x) b sin(x) π−x − cos(x) b b π+x b b b x b cos(x) b sin(x) − sin(x) − sin(x) Lycée du golfe ( Lycée du golfe de Saint Tropez) b −x Trigonométrie cos(π − x) = − cos(x) sin(π − x) = sin(x) cos(π + x) = − cos(x) sin(π + x) = − sin(x) ¢ ¡ cos¡ π2 + x¢ = − sin(x) sin π2 + x = cos(x) ¢ ¡ cos¡ π2 − x¢ = sin(x) sin π2 − x = cos(x) Année 2013/2014 12 / 19 Le cercle trigonométrique Angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Fonctions trigonométriques Définition Les premières propriétés Les valeurs particulières Angles associés Formules Formules d’addition cos(a + b) = cos(a) cos(b) − sin(a) sin(b) cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) sin(a − b) = sin(a) cos(b) − cos(a) sin(b) Formules de duplication cos(2a) = cos2 (a) − sin2 (a) = 2 cos2 (a) − 1 = 1 − 2 sin2 (a) sin(2a) = 2 sin(a) cos(a) Lycée du golfe ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie Année 2013/2014 13 / 19 Le cercle trigonométrique Angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Fonctions trigonométriques a b cos(a) b b b −a cos(x) = cos(a) ⇐⇒ x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ (k ∈ Z) a b b b sin(a) π−a b sin(x) = sin(a) ⇐⇒ x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ (k ∈ Z) Lycée du golfe ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie Année 2013/2014 14 / 19 Le cercle trigonométrique Angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Fonctions trigonométriques Représentation graphique Dérivation Définition On appelle fonction cosinus la fonction définie sur R par x 7→ cos(x). On appelle fonction sinus la fonction définie sur R par x 7→ sin(x). Propriétes Pour tout réel x, on a: cos(x + 2π) = cos(x) et sin(x + 2π) = sin(x). Les fonctions cosinus et sinus sont des fonctions périodiques de période 2π. Pour tout réel x, on a: cos(−x) = cos(x) et sin(−x) = − sin(x). On dit que la fonction cosinus est paire et que la fonction sinus est impaire. Lycée du golfe ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie Année 2013/2014 15 / 19 Le cercle trigonométrique Angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Fonctions trigonométriques Représentation graphique Dérivation Fonction cosinus 1 −2π −π → − u π 2π −1 Propriétes → − La courbe est globalement invariante par la translation de vecteur u (2π ; 0). Lycée du golfe ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie Année 2013/2014 16 / 19 Le cercle trigonométrique Angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Fonctions trigonométriques Représentation graphique Dérivation Fonction sinus → − u 1 −2π −π π 2π −1 Propriétes → − La courbe est globalement invariante par la translation de vecteur u (2π ; 0). Lycée du golfe ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie Année 2013/2014 17 / 19 Le cercle trigonométrique Angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Fonctions trigonométriques Représentation graphique Dérivation Fonctions cosinus et sinus 1 −2π −π → − v π 2π −1 Propriétes → − ³π ´ ;0 . On passe d’une courbe à l’autre par la translation de vecteur v 2 Lycée du golfe ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie Année 2013/2014 18 / 19 Le cercle trigonométrique Angles orientés Cosinus et sinus Équations trigonométriques Fonctions trigonométriques Représentation graphique Dérivation Propriétes La fonction cosinus est dérivable sur R et a pour dérivée la fonction −sinus. La fonction sinus est dérivable sur R et a pour dérivée la fonction cosinus. La fonction x 7→ cos(a x + b) est dérivable sur R et a pour dérivée la fonction x 7→ −a sin(a x + b). La fonction x 7→ sin(a x + b) est dérivable sur R et a pour dérivée la fonction x 7→ a cos(a x + b). Lycée du golfe ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Trigonométrie Année 2013/2014 19 / 19
