DS6 le 15 janvier 2016 : Calculatrices autorisées. EXERCICE 1 On note I =]0; +1[: On définit pour tout entier naturel n non nul et pour x 2 I; fn (x) = e nx Z 2e 2nx +1 fn (x)dx: 1. Justifier que pour tout entier naturel n non nul les fonctions fn sont intégrables sur I et calculer 0 Z +1 P+1 Que vaut alors la somme n=1 ( fn (x))dx? 0 P (a) Démontrer que la série de fonctions ( fn )n>1 converge simplement sur I: On note S la fonction somme . Déterminer une expression de S(x) à l’aide des fonctions usuelles. Z +1 P+1 (b) Démontrer que la fonction S est intégrable sur I: Que vaut alors et calculer ( n=1 fn (x))dx? 0 2. Donner sans aucun autre calcul la nature de la série P+1 n=1 ( Z +1 jfn (x)j)dx 0 EXERCICE 2 t 1. On considère la fonction f définie sur ]0; 1[ par : 8t 2]0; 1[; f (t) = 2. On pose pour tout x > 1; F (x) = Z 1 : Démontrer que f est bornée sur ]0; 1[ ln t 1 f (t):tx dt 0 (a) Montrer que F est définie sur ] 1; +1[ (b) Calculer limx!+1 F (x) (c) Montrer que F est de classe C 1 sur tout intervalle [a; b] ] 1; +1[ et exprimer F 0 (x) (d) En déduire une expression de F (x) à l’aide des fonctions usuelles, puis la valeur de F (0) Z 1 t 1 3. On se propose de retrouver F (0) = dt d’une autre manière. 0 ln t Z x t 1 Pour cela on considère la fonction G définie pour x 2]0; 1[ par G(x) = dt 0 ln t (a) Montrer que 8x 2]0; 1[; G(x) = Z x 0 t dt ln t Z 0 x 1 dt = ln t on procédera à un changement de variable judicieux dans Z 0 1 (b) Montrer que la fonction t ! ln t (c) En déduire que lim G(x) = lim x!1 x!1 1 t Z 1 x2 x x2 x 1 dt ln t t dt ln t est prolongeable par continuité au point t = 1 1 t x Z 1 dt; puis la valeur de F (0) 1 EXERCICE 3 > 0 un réel fixé. Pour n entier naturel non nul, on considère l’application fn de [0; +1[ vers R définie par x fn (x) = n (1 + nx2 ) P 1. Etude des différents modes de convergence de la série de fonctions ( fn ) P (a) Montrer que la série de fonctions ( fn ) converge simplement sur [0; +1[: P (b) Démontrer que la série de fonctions ( fn ) converge normalement sur [0; +1[ si et seulement si > 21 Soit (c) Soient a un réel strictement positif P Démontrer que pour tout réel > 0; la série de fonctions ( fn ) converge normalement sur [a; +1[ 2. Dans cette question = 21 : Pour x 2 [0; +1[; on pose pour tout entier naturel n>0; +1 X Rn (x) = fk (x) k=n+1 (a) Pour tout réel x > 0 et tout entier n 0; établir l’inégalité Z +1 x p du 6 Rn (x) u(1 + ux2 ) n+1 (b) Pour tout entier n (1) 0 et tout réel x > 0;établir l’égalité : Z +1 1 x p du = 2 arctan( p ) 2 u(1 + ux ) n + 1x n+1 On procédera à un changement de variable. P (c) En déduire que la série de fonctions ( fn ) ne converge pas uniformément sur [0; +1[: PROBLEME AUTOUR DE LA TRANSFORMATION DE FOURIER On note I l’intervalle de R: I = [0; +1[: C 0 (I) désigne l’espace vectoriel des fonctions définies et continues sur [0; +1[ à valeurs dans C. > 0 étant un réel donné, on note E l’ensemble des fonctions f 2 C 0 (I) telles que la fonction g : t ! g(t) = f (t)e t soit intégrable sur I: La notation f (k) désigne la dérivée d’ordre k de f: On se propose d’étudier la fonction T (f ) qui à un nombre réel x associe, lorsque cette intégrale a un sens, Z +1 T (f )(x) = eitx f (t)dt R +1 0 On notera pour tout entier naturel n , Mn (f ) = 0 tn f (t)dt lorsque ces intégrales ont un sens. > 0 est fixé et f un élément de E , donc t 7! f (t)e Dans toutes les questions qui suivent, 1. Etude de Mn (f ): On posera dans cette question = R +1 0 jf (t)j e t dt et g(t) = f (t)e t n (b) En remarquant que t f (t) = t e intégrable sur I, et montrer que t est intégrable sur I = [0; +1[ : la fonction g est donc intégrable sur I: (a) Soit n 2 N: Etudier les variations sur [0; +1[ de la fonction t ! tn e n t t ; et donner son maximum. g(t); prouver que pour tout n 2 N , la fonction t ! tn f (t) est n jMn (f )j 6 ( )n e n Pour la suite du problème , on notera donc que la fonction f est intégrable sur I : c’est le cas n = 0: 2 2. Continuité et dérivabilité de la fonction T (f ) Dans cette question on étudie quelques propriétés de la fonction x ! T (f )(x) (a) Montrer que l’on peut définir T (f )(x) pour tout réel x et que l’application T (f ) ainsi définie est continue sur R et bornée. R +1 (b) Montrer que la fonction T (f ) est de classe C 1 sur R et que 8x 2 R; [T (f )]0 (x) = 0 iteitx f (t)dt (c) Montrer que T (f ) est de classe C 1 sur R et prouver que pour tout entier p > 0 Z +1 eitx (it)p f (t)dt et [T (f )](p) (0) = ip Mp (f ) [T (f )](p) (x) = 0 3. Développement en série de T (f )(x) On se propose dans cette question de prouver que pour tout réel x 2 [ +1 X Mn (f ) n T (f )(x) = in x n! n=0 P+1 (a) Démontrer que la série n=0 in Mnn!(f ) xn converge lorsque jxj < équivalent de n! donné par la formule de Stirling ; ]; : on utilisera le 1:b ainsi qu’un (b) Expliciter la formule de Taylor avec reste intégral appliquée à la fonction x 7! T (f )(x) entre 0 et x à l’ordre n . P+1 (c) En déduire à l’aide de l’inégalité de Taylor que la somme de la série n=0 in Mnn!(f ) xn est égale à T (f )(x) pour x 2 [ ; ]. Indication: on majorera T (f )(n+1) (t) pour t 2 [0; x] ou [x; 0], et on utilisera le 1:c ainsi qu’un équivalent de (n + 1)!: 4. Limite en 1 de T (f ) dans un cas particulier. f appartient toujours à E ; et on suppose de plus que f est de classe C 1 sur I et que f 0 appartient à E . R +1 On peut donc considérer la fonction T (f 0 )(x) = 0 eitx f 0 (t)dt (a) Puisque f et f 0 appartiennent à E ; f et f 0 sont intégrables sur [0; +1[ d’après la question 1 a): Rt En remarquant que f (t) = f (0) + 0 f 0 (u)du; prouver que f admet une limite l en +1: Prouver alors que l = lim f (t) = 0 t!+1 (b) Prouver que pour tout réel x T (f 0 )(x) = f (0) ixT (f )(x) (c) On rappelle que T (f 0 ) est bornée sur R (Cf 2 a) Montrer que T (f ) admet pour limite 0 en +1 et en 1: 5. Etude d’un exemple. Dans cette question , f (t) = e t2 : (a) Déterminer l’ensemble des valeurs de > 0 telles que f 2 E (i) Montrer que 8n 2 N; M2n (f ) = 21 (n + 12 ) ou est la fonction d’Euler Qn 1 (ii) En déduire que M2n (f ) = ( 21n k=0 (k + 12 )) ( 12 ) p R +1 2 : En déduire la valeur de ( 12 ) puis l’expression de M2n (f ) à l’aide (iii) On admet que 0 e t dt = 2 de factorielles. Déduire de ces calculs , et du développement en série de T f (x) , que p Z +1 x2 t2 cos(tx)e dt = e 4 2 0 Fin de l’énoncé ____________________________ 3