Chapitre 1 : Notion de logique I°) Formulation de la logique par le calcul des propositions 1_ Vérité et mensonge Définition : Une proposition est un énoncé (mathématique) qui est vrai dans certaines conditions, et faux dans d’autres, mais dont on peut décider dans toute situation s’il est vrai ou faux. Exemple : « et est multiple de 5 ». Si , la proposition est vraie, si , elle est fausse. «Il pleut le vendredi » n’est pas une proposition car aucun critère de décision possible. Une proposition toujours vraie ou fausse est une assertion (ou conjecture). Exemple : « Tous les nombres premiers sont impairs » Faux : 2 « Il existe un nombre parfait impair » (i.e « un nombre parfait n dont la somme de ses diviseurs vaut 2n »). 6 est un nombre parfait, mais pair ( ) On ne sait pas si c’est vrai ou faux ! Définition : La négation « non P » d’une proposition P est la proposition qui est vraie lorsque P est fausse et fausse lorsque P est vraie. P V F Non P F V Exemple : { { P V H.S F Non P F H.S V { Proposition : La proposition non(non P) a même vérité que la proposition P. 2_ Conjonction et disjonction Définition : Soient P et Q des propositions. La proposition « P et Q » est la conjonction des 2 propositions, qui est vraie si « P est vraie » et « Q est vraie », et fausse dans le (les) cas P Q P et Q contraires. V V V Propositions : V F F 1°) (P et Q) et (Q et P) ont même vérité. F F V 2°) « P et (Q et R) » et « (P et Q) et R » ont même vérité. F F F On peut donc écrire P et Q et R. Définition : Soit P, Q des propositions. La proposition « P et Q » est la disjonction des 2 propriétés qui est vraie si au moins l’une des propositions P ou Q est vraie, et fausse dans le cas contraire. P Q P ou Q Proposition : V V V 1°) « P ou Q » et « Q ou P » ont même vérité. F V V 2°) « (P ou Q) ou R » et « P ou (Q ou R) » ont même vérité. V V F On écrit P ou Q ou R. F F F Proposition : 1°) non (P ou Q) a même vérité que « non P et non Q » 2°) non (P et Q) et (non P) ou (non Q) ont même vérité. 3_ Implication et équivalence Définition : L’implication de la proposition P vers la proposition Q est la proposition « P=>Q » qui est fausse si P est vraie et Q est fausse, et vraie dans le cas contraire. Proposition : P Q P => Q 1°) (P=>Q) et « (non P) ou Q » ont même vérité. V V V 2°) « P => Q est vraie » : Soit P est vrai alors Q est vrai. V V F Soit P est fausse, non P est vrai. F F V « P => Q » est fausse a même vérité que « P et non Q ». F V F Au lieu de « P=>Q », on dit « P implique Q », « Si P alors Q », « il suffit de P pour Q », « P est une condition suffisante pour Q ». Définition : La contraposée de l’implication « P=>Q » est l’implication « non Q => non P ». Proposition : 1°) Une implication et sa contraposée ont même vérité. 2°) Non (P=>Q) a même vérité que « P et (non Q) ». Supposons P=>Q vraie : -On veut montrer (Non Q=> non P) vraie. -On se place sous l’hypothèse non Q (Q est fausse) Soit (non P) est vraie, et c’est terminé. Soit (non P) est fausse, donc P vraie. Or on a (P=>Q) vraie donc Q vraie. Il y a contradiction ! Sous non Q vraie, j’ai forcément P vraie ! 3°) P=>(Q et R) a même vérité que « (P=>R) et (Q=>R) ». 4°) P=>(Q ou R) a même vérité que « (P=> Q) ou (P=>R) ». 5°) « P ou Q » => R a même vérité que « (P=>R) et (Q=>R) ». Définition : L’équivalence des propositions P et Q est la proposition « P Q » qui est vraie si P et Q sont toutes les 2 vraies, ou P et Q sont toutes les 2 fausses, et fausse dans le cas contraire. (PQ) vraie signifie que P et Q ont même vérité. Au lieu de « PQ », on dit « P et Q sont équivalentes », « P ssi Q ». 4_ Comment établir une démonstration On dispose d’objets mathématiques (propriété, axiomes,…, supposés vrais). On veut démontrer une autre propriété sur ces objets à l’aide de propositions. Différents plans de démonstrations. 1_Déduction directe : On veut montrer qu’une proposition Q est vraie. On dispose d’une proposition P qui est vraie. On montre que (P=>Q) est vraie, alors Q est vraie. C’est la règle du « modus ponens » « P et P => Q » => Q. 2_ Exclusion : On veut montrer que Q est vraie. On dispose d’une proposition P qui est vraie. On montre que « P et non Q » est fausse. On a alors nécessairement que Q est vraie. C’est la déduction par exclusion ou par incompatibilité. 3_ Contraposée : Démontrer que Q revient à montrer que non Q => non P. Exemple : ) ( ) ». On veut montrer que « ( On suppose par hypothèse que « ( ( ) ( ) » est vraie. La contraposée s’écrit : ) ) ( )) » ou encore ( ) ) «( (( (( ). ) 4_Raisonnement par l’absurde : C’est l’application de la règle suivante : On veut montrer que Q est vraie : -S’il existe une proposition P (non nécessairement vraie) telle que non Q=> P et non Q => non P soient vraies, alors Q est nécessairement vraie. Exemple : √ est irrationnel. Supposons que √ soit rationnel. Alors il existe tel que On peut supposer que p et q ne sont pas pairs ensembles. Donc 2|p (lemme de Gauss). √ . Puisque , c’est-à-dire Par conséquent 2|q² donc 2|q. Conclusion : => non P => Absurde. . II°) Quantificateurs 1_ Introduction Phrase courante : « tous les guichets sont fermés certains jours ». Les signes mathématiques qui expriment une quantification sont : -Le quantificateur universel : √ . -Le quantificateur existentiel : 2_ Définition et utilisation des quantificateurs Soit P(x) une proposition qui dépend d’une variable x dans un ensemble E. La proposition ( ) est vraie si P(x) est vraie pour tous les éléments x de l’ensemble E. Autrement dit, il n’y a pas d’éléments x dans E tel que P(x) soit fausse. Proposition : 1°) ( ) 2°) ( On écrit ( ) ( )) ( ). ( ) / ! \ Les propositions ( ) ( ( ). ( ( ) ). ( ) ( ) n’ont pas même vérité. Définition : La proposition « ( ) est vraie si P(x) est vraie pour au moins une valeur de x dans E. S’il existe exactement un seul x qui satisfait P(x), on écrit ( ). On lit : il existe un unique x dans E tel que P(x). Proposition : ( )) 1°) ( ( )) 2°) ( ( )) 3°) ( 4°) « ( ) ou Q(x) » « /!\ ( ) ( ( ). ( ). ( ) ( )). ( )» ( ). Il est parfois difficile de donner la négation d’une proposition écrite avec des quantificateurs. Exemple : . ( ) ( )| . | ( ) Donc, négation, f n’est pas continue en x0. ( ) | ( ) ( )| .