Eléments de logique - Classe Preparatoire B/L Henri IV Beziers

Chap1 : Éléments de Logique Mathématique
Lycée Henri IV, Béziers
Prépa BL, Lettres Sup
2.2 Remarques
Eléments de logique
• Dans l’implication p⇒q, p s’appelle l’hypothèse et q la conclusion.
1 proposition logique
• L’implication q ⇒ p est appelée réciproque de p ⇒ q. On la note aussi p ⇐ q
définition 1.1 : On appelle proposition ou assertion une phrase à laquelle on peut attacher
une valeur de vérité : soit vraie soit fausse.
p
• On peut exprimer l’implication p⇒q de l’une des façons suivantes
i) Pour que p, il faut q ; q est une condition nécessaire de p
ii) Pour que q, il suffit p ; p est une condition suffisante pour q
iii) Si p, alors q.
Soit p une assertion, on appelle table de vérité de p la table :
définition 1.2 : une propriété, ou un théorème, est une proposition vraie
• On peut exprimer l’équivalence logique p⇔q de l’une des façons suivantes :
i) Pour que p, il faut et il suffit q
ii) p est une condition nécessaire et suffisante (CNS) pour q
iii) p si et seulement si q
2 opérateurs logiques
2.1 définitions
les opérateurs, ou connecteurs, logiques permettent de combiner les propositions pour en
obtenir des nouvelles:
• Négation : la négation d’une proposition p est notée ep ou p
3 propriétés des connecteurs logiques
• Conjonction : la conjonction de deux propositions p et q, notée p ∧ q, signifie p et q
3.1 Lois de Morgan
• Disjonction : la disjonction de deux propositions p et q, notée p ∨ q, signifie p ou q
¡
¢
1. e p ∨ q =ep∧eq
• Implication : elle est notée ⇒
¡
¢
2. e p ∧ q =ep∨eq
• Équivalence : elle est notée ⇔
3.2 distributivité
ils sont définis par la table de vérité suivantes :
1. La conjonction et la disjonction sont commutatives et associatives
2013/2014
p
q
V
V
V
F
F
V
F
F
ep
p∧q
p∨q
p⇒q
p⇔q
¡
¢ ¡
¢ ¡
¢
2. p ∨ q ∧ r = p ∨ q ∧ p ∨ r
¡
¢ ¡
¢ ¡
¢
3. p ∧ q ∨ r = p ∧ q ∨ p ∧ r
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ludovic garcia
Chap1 : Éléments de Logique Mathématique
Lycée Henri IV, Béziers
4 l’implication
Prépa BL, Lettres Sup
¡
¢
6. Méthode du contre exemple : pour montrer que p ⇒ q est faux , il suffit d’exhiber
un cas où p est vrai et q est faux . ( négation d’une implication )
4.1 preuve d’une implication ou d’une équivalence
• Pour montrer que p⇒q est vraie on suppose p vraie et on montre que q est vraie.
6 Quantificateurs
¡
¢ ¡¡
¢ ¡
¢¢
• propriété: p ⇔ q ≡ p ⇒ q ∧ p ⇐ q
Donc pour prouver une équivalence on prouve une implication et sa réciproque
6.1 Définitions
Soit P une proposition dépendant d’une variable x d’un ensemble E ( P est une fonction
propositionnelle). On introduit 2 nouveaux opérateurs :
4.2 propriétés
¡
¢
• p ⇒ q ≡ep ∨ q
¡
¢ ¡
¢
• p ⇒ q ≡ eq ⇒ep contraposée
• (∀x ∈ E , P (x)) se lit "quelque soit x" ou "pour tout x " de l’ensemble E, la proposition
P(x) est vérifiée.
• (∃x ∈ E , P (x)) se lit "il existe au moins un x" pour lequel la proposition P(x) est vraie.
4.3 Négation d’une implication
• (∃!x ∈ E , P (x)) se lit "il existe un x et un seul " pour lequel la proposition P(x) est vraie.
¡
¢
• e p ⇒ q ≡ p∧eq
B Si E = ;, alors pour toute fonction propositionnelle P définie sur E , la proposition P (x)
est toujours vérifiée si elle est précédée de ∀x ∈ E .
5 principaux types de raisonnement
¡
¢
¡
¢
6.2 Ordre des quantificateurs
¡
¢
1. Transitivité : de p ⇒ q vraie et q ⇒ r vraie on déduit p ⇒ r vrai
¡
¢
2. Syllogisme : de p vraie et p ⇒ q vraie on déduit q vraie
¡
¢
¡
¢
3. Disjonction des cas : de p ⇒ q vraie et ep ⇒ q vrai on déduit que q est vraie
¡
¢ ¡
¢
4. Contraposition : on sait que p ⇒ q ≡ eq ⇒ep
2 quantificateurs de même nature peuvent être permutés.
2 quantificateurs de nature différente ne peuvent être permutés.
6.3 Négation des quantificateurs
Soit P une proposition dépendant d’une variable x d’un ensemble E. Alors:
5. Raisonnement par l’absurde : Pour montrer qu’une proposition p est vraie, on suppose que p est faux et on montre que cela entraîne une contradiction ( on parle aussi
de tiers exclus : une proposition ne peut être à la fois vraie et fausse ).
2013/2014
• e (∀x ∈ E , P (x)) ⇔ (∃x ∈ E , eP (x))
• e (∃x ∈ E , P (x)) ⇔ (∀x ∈ E , eP (x))
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