Transition 1 S – Terminale S 1] Trigonométrie

Transition 1ère S – Terminale S
1] Trigonométrie
Dans toute la suite on admettra que :
𝜋
cos ( ) = 0
2
{
𝜋
sin ( ) = 1
2
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
4
4
8
8
1) Déterminez la valeur de cos ( ) , sin ( ) , cos ( ) et sin ( ).
𝜋
𝜋
2) a) A l’aide d’un triangle équilatéral, déterminez la valeur de cos ( 3 ) et sin ( 3 )
𝜋
𝜋
𝜋
𝜋
b) En déduire, la valeur de cos ( 6 ), sin ( 6 ), cos (12) et sin (12)
sin(𝑥)
3) On note tan ∶ 𝑥 ↦ cos(𝑥) la fonction « tangente ».
a) Quel est l’ensemble de définition de la fonction tangente ?
b) Soient 𝑎 et 𝑏 deux réels appartenant au domaine de définition de la fonction
tangente, exprimez tan(𝑎 + 𝑏) et tan(𝑎 − 𝑏) en fonction uniquement de tan 𝑎 et tan 𝑏.
4) On peut remplacer les coordonnées cartésiennes d’un point par ses coordonnées polaires
qui définissent également la position de ce point. Les coordonnées polaires sont un couple
de nombre (𝜌, 𝜃) où 𝜌 est la distance du point au centre du cercle trigonométrique et 𝜃
l’angle fait avec le centre du cercle trigonométrique et le point en question.
Prenons le cercle trigonométrique :
𝑣⃗
𝐴(𝑥, 𝑦)
𝜌
𝑂
𝜃
𝑢
⃗⃗
Dans le repère (𝑂, 𝑢
⃗⃗, 𝑣⃗) le point 𝐴 a pour coordonnées cartésiennes le couple (𝑥, 𝑦)
Déterminez les coordonnées polaires de 𝐴 en fonction de ses coordonnées cartésiennes.
5) Equations trigonométriques :
Résoudre dans ℝ :
a) cos ²(𝑥) + sin(𝑥) − 1 = 0
b) sin(𝑥) + cos(𝑥) − 1 = 0
1
c) sin(𝑥) cos(𝑥) = 2
d) cos2 (𝑥) sin ²(𝑥) = −2
2] Dérivation
1) Dérivez la fonction 𝑓 telle que :
1
a) 𝑓(𝑥) = √𝑥
b) 𝑓(𝑥) =
𝑥√𝑥+
1
𝑥
𝑥+1
𝑘
c) 𝑓(𝑥) = ∑𝑛𝑘=1 𝑥
d) 𝑓(𝑥) = |𝑥 +
1
√𝑥
|
1
e) 𝑓(𝑥) = √−𝑥 |𝑥|
f) 𝑓(𝑥) =
√𝑥
𝑥
1
g) 𝑓(𝑥) = √√𝑥
h) 𝑓(𝑥) =
1 𝑥−1
𝑥+1 |𝑥|
i) 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑢
⃗⃗. 𝑣⃗) où les coordonnées de ces deux vecteurs dans un repère
1
1
orthonormée du plan sont : 𝑢
⃗⃗ (𝑥²; 𝑥) et 𝑣⃗ (𝑥 ; √𝑥).
1
j) 𝑓(𝑥) = {
𝑥
𝑠𝑖 𝑥 ∈ ]0,1[
𝑥 2 𝑠𝑖 𝑥 ∈ ]−∞, 0] ∪ [1, +∞[
2) Soit 𝜑 la fonction définie par :
𝜑(𝑥) =
√𝑥 + 1
𝑥
a) Dérivez 𝜑 deux fois.
b) Etudiez le signe de sa dérivée seconde (dérivée de la dérivée).
c) On dit qu’une fonction 𝑓 est convexe si et seulement si sa dérivée première est
croissante. 𝑓 est-elle convexe ? Et si oui, sur quels intervalles ?
3) Soit 𝜙 une fonction définie par :
1
a) 𝑓(𝑥) = √𝑥+1
1
b) 𝑓(𝑥) = (𝑥+1)2
c) 𝑓(𝑥) = √(𝑥 − 1)2 + 1
1
d) 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 + 𝑥
1
e) 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 𝑥|
Dans chacun des cas, dérivez 𝜙. Plus, généralement, soit 𝜙 une fonction telle que :
𝜙(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) où 𝑓 et 𝑔 sont des fonctions quelconques. Quelle règle générale semble se
dégager quant à la dérivée de 𝜙 ?
4) Une primitive d’une fonction 𝑓 est une fonction 𝐹 qui vérifie :
Pour tout 𝑥 d’une partie du domaine de définition de 𝑓(𝑥) = 𝐹′(𝑥). Pour chaque fonction
𝑓 donnée, il existe une infinité de primitives associées.
Montrez que deux primitives ne diffèrent que par une constante.
5) Soit 𝐹 une fonction telle que :
1
a) 𝐹(𝑥) = 𝑥
b) 𝐹(𝑥) = √𝑥
𝑥+1
c) 𝐹(𝑥) = 𝑥−1
1
d) 𝐹(𝑥) = √
𝑥+
1
e) 𝐹(𝑥) = |𝑥|
1
𝑥
f) 𝐹(𝑥) =
1
𝑥 2 −1
g) 𝐹(𝑥) = √𝑥 − 1
Pour chacun de ces cas, pour quelles fonctions 𝐹 est-elle une primitive ?
6) Soit 𝑓 une fonction définie par :
a) 𝑓(𝑥) = 2
1
√𝑥
b) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 𝑛 où 𝑎 est un réel quelconque et 𝑛 un entier naturel non-nul
quelconque.
2
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2
Dans chacun de ces cas, déterminez l’ensemble des primitives de 𝑓.
3] Equations
1) Résoudre dans ℝ :
a) 𝑥 + √𝑥 − 1 = 0
1
b) 𝑥 + 1 = 𝑥 − 1
c) √√𝑥 = 1
d) 𝑥 − √𝑥 − 1 + 1 = 0
e) √𝑥 2 + 𝑥 − 1 = 0
f) 𝑥 2 − √𝑥 2 − 1 − 2 = 0
1
g) 5𝑥 2 − 2 √𝑥 2 − 4 − 1 = 0
h) 𝑥 2 − 𝑥 − 1 = 0
2) Soient 𝑥 ∈ ℝ et 𝑦 ∈ ℝ, résoudre :
𝑥2 − 𝑦2 = 0
a) {
𝑥+𝑦 =1
b) {
c) {
𝑥𝑚 + 𝑦 2 = 0
en fonction de l’entier 𝑚
𝑚(𝑥 − 𝑦) + 1 = 0
𝑥2𝑦 + 𝑦 2𝑥 = 0
𝑥+𝑦 =1
−𝑥 − 𝑦 = 0
d) { 2
𝑥 + 𝑦 2 = −1
1
e) {
+𝑦 =0
𝑥
2
𝑦 +𝑥 =0
3) a) Soit la fonction 𝑃 la fonction suivante :
Pour tout 𝑥 ∈ ℝ, 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. On sait que ce polynôme admet deux racines 𝑥1 et
𝑥2 , réécrire 𝑃(𝑥) en fonction de 𝑥1 , 𝑥2 et 𝑥 uniquement.
b) Soit 𝑓 une fonction de la forme :
Pour tout réel 𝑥, 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 avec 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 des réels. On sait que 𝑓 admet
un maximum local sur l’intervalle ]−2,2[ qui le point d’abscisse 1 + √2 et un minimum
local sur ]−2,2[ qui est le point d’abscisse 1 − √2. On sait aussi que la courbe de 𝑓 passe
par le point de coordonnées (3,14).
Déterminer l’expression de 𝑓(𝑥).
4] Suites
1) Démontrez que √1 + √1 + √1 + ⋯ = 1 +
1
1+
1
1+⋯
sachant que ce nombre est bien un réel.
2) On dit qu’une suite (𝑢𝑛 ) tend vers +∞ si et seulement si, pour tout réel 𝐴 il existe un
réel 𝑛0 tel que pour tout entier naturel 𝑛, 𝑛 > 𝑛0 ⇒ 𝑢𝑛 > 𝐴.
1
Soit (𝑣𝑛 ) la suite définie par : pour tout entier naturel 𝑛 non nul, 𝑣𝑛 = √ 1 , montrez que
𝑛
(𝑣𝑛 ) tend vers +∞. On notera : lim𝑛→+∞ 𝑣𝑛 = +∞
3) Le raisonnement par récurrence est un raisonnement mathématique qui permet de
démontrez des propriétés vraies pour tout entier naturel. Il se base sur le principe suivant :
Si une propriété est vraie au rang 𝑝 (c’est-à-dire pour l’entier naturel 𝑝) et que si cette
propriété est vraie au rang 𝑝 alors elle est aussi vraie au rang 𝑝 + 1, alors par récurrence
on peut conclure que cette propriété est vraie pour tout entier 𝑛 à partir de 𝑝.
Exemple : Soit (𝑢𝑛 ) la suite définie par : pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛2 + 1 et
𝑢0 = 1.
On cherche à montrer que (𝑢𝑛 ) est positive. C’est-à-dire, on cherche à montrer que pour
tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛 ≥ 0, c’est la propriété 𝓅(𝑛) qu’on veut démontrer.
On procède par récurrence :
Initialisation : pour 𝑛 = 0, on a :
𝑢0 = 1 donc 𝑢0 ≥ 1 la propriété 𝓅 est vraie au rang 0, on note : 𝓅(0) est vraie.
Hérédité : Dans la partie « hérédité », on montre que pour tout entier naturel 𝑛, 𝓅(𝑛) ⇒
𝓅(𝑛 + 1). C’est-à-dire que si 𝓅(𝑛) est vraie alors 𝓅(𝑛 + 1) est vraie aussi :
Si 𝓅(𝑛) est vraie, alors : 𝑢𝑛 ≥ 0.
𝑢𝑛 ≥ 0 ⇒ 𝑢𝑛2 ≥ 0 (car la fonction carrée est croissante
sur [0, +∞[)
𝑢𝑛2 ≥ 0 ⇒ 𝑢𝑛2 + 1 ≥ 0
𝑢𝑛2 + 1 ≥ 0 ⇒ 𝑢𝑛+1 ≥ 0
On vient donc de démontrer que si 𝑢𝑛 ≥ 0 alors 𝑢𝑛+1 ≥ 0.
Conclusion : On vient de montrer que 𝑢0 ≥ 0 (initialisation), mais si 𝑢𝑛 ≥ 0 alors 𝑢𝑛+1 ≥ 0
donc 𝑢1 ≥ 0, comme 𝑢1 ≥ 0 alors 𝑢2 ≥ 0 l’est également (d’après l’hérédité), etc.
Finalement, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛 ≥ 0.
a) Maintenant, essayez de démontrer par récurrence que (𝑢𝑛 ) est croissante,
c’est-à-dire que : pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛+1 ≥ 𝑢𝑛 .*
b) Démontrez l’inégalité de Bernoulli : pour tout entier naturel 𝑛 non nul et
pour tout réel ∈ ]−1,0[ ∪ ]0, +∞[ , on a : (1 + 𝑥)𝑛 > 1 + 𝑛𝑥 .
4) On trace le cercle trigonométrique qu’on note (𝒞1). On forme avec deux rayons à ce
cercle, perpendiculaires entre eux, un triangle rectangle d’hypoténuse ℎ1 . Avec cette
hypoténuse ℎ1 on trace le cercle de diamètre ℎ1 , c’est le cercle (𝒞2 ) et on trace également
avec deux rayons de ce cercle, perpendiculaires entre eux, un triangle rectangle
d’hypoténuse ℎ2 . Etc. On forme ainsi la suite des hypoténuses (ℎ𝑛 ).
Schéma de la situation :
(𝒞2 )
(𝒞1 )
ℎ1
Etc.
a) Vers quelle valeur (finie) tend ℎ𝑛 ?
b) Vers quelle valeur (finie) tend ∑𝑛𝑘=1 ℎ𝑘 ?
ℎ2