PC2

MAP311 Aléatoire
A. Dalalyan
Ecole Polytechnique
Année 2007-2008
P ETITE CLASSE 2 : Indépendance des événements. Variables
aléatoires discrètes
Exercice 1
Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé.
1. Montrer que tous les événements de A sont deux-à-deux indépendants si et seulement
si la probabilité de chaque événement est soit 0 soit 1.
2. La relation d’indépendance est-elle transitive ?
3. Montrer que la relation d’indépendance est transitive si et seulement si la probabilité
de chaque événement est soit 0 soit 1.
Exercice 2
Soit (Ω, A, P) = ([0, 1], B([0, 1]), dx ) où dx désigne la mesure de Lebesgue. Pour tout n ∈
N et pour tout w ∈ [0, 1], on définit ξ n (w) comme le nème chiffre après la virgule dans la
décomposition binaire du nombre w. Montrer que pour tout n 6= k les variables aléatoires ξ n
et ξ k sont indépendantes.
Exercice 3
Un sauteur tente de franchir des hauteurs successives numérotées 1, . . . , n, . . .. On suppose
que les sauts sont indépendants les uns des autres. On suppose que P(nème saut est réussi) =
1
n . Soit X le dernier saut réussi. Quelle est la loi de X. Calculer E( X ).
Exercice 4
Soit X une variable aléatoire qui prend ses valeurs dans N. Montrer que
∞
E( X ) =
∑ P ( X > n ).
n =0
Exercice 5
On note P l’ensemble des nombres premiers différents de 1. On sait que tout x ∈ N s’écrit de
manière unique comme produit de puissances entières de nombres premiers de P . Il existe
donc U p : N → N telle que
∀ x ∈ N,
x=
∏ pU ( x ) .
p
p∈P
Soit Q la probabilité sur N définie par
Q( x ) =
c
,
x2
1. Trouver la loi de U p , pour chaque p ∈ P.
(0 < c < 1).
2. Calculer Q(U p ≥ n), pour n ∈ N.
3. Montrer que pour Q, les variables (U p ) p∈P sont indépendantes.
4. Calculer la fonction génératrice de la v.a. U p . En déduire son espérance et sa variance.
Exercice 5∗
Soient X1 , . . . , Xn des variables aléatoires i.i.d. (indépendantes et identiquement distribuées)
suivant la loi de Bernoulli de paramètre p ∈]0, 1[ et S = X1 + . . . + Xn leur somme. Pour
s ∈ {0, . . . , n}, donner la loi conditionnelle de X1 sachant S = s et calculer E( X1 |S = s).
Exercice 6
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes uniformes sur {0, 1}, et Z égale a X + Y
modulo 2. Quelle est la loi de Z ? Est-ce que X et Z sont indépendantes ? Est-ce que Y et Z
sont indépendantes ? Est-ce que X, Y et Z sont indépendantes ?
Exercice 7
Soit (ξ n ) une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi. Soit ( Xn ) la suite de
variables aléatoires définies par
(
X0 = x,
X n +1 = X n − X n h K +
√
h K ξ n +1 ,
où x ∈ R et hK = 1 avec K ∈ N. La loi commune des ξ i est l’équirépartition sur {−1, 1}.
Calculer E( Xn ) et E( Xn2 ). Identifier les limites de E( XK ) et E( XK2 ) quand K tend vers l’infini.
Exercice 8
On jette, de façon indépendante, un dé biaisé (qui donne “pile” avec la probabilité p et “face”
avec la probabilité q = 1 − p) jusqu’à obtenir un nombre r (fixé par avance) de résultats
“pile”. Soit N le nombre de tirages surnuméraires (au delà de r) nécessaires pour obtenir ce
résultat. Calculer la fonction génératrice de N et en déduire sa loi. Que vaut E( N ).
Exercice 9 (Pour réflechir)
Soit ( Xn ) une suite de v.a.i.i.d. à valeurs dans N, et N une variable à valeurs dans N indépendantes des ( Xi ). On pose S = 0 si N = 0 et S = ∑kN=1 Xk sinon. On note GN la fonction
génératrice de N.
1. Calculer E(S) et Var (S) en fonction des moments de N et X.
2. On suppose maintenant que les L( Xi ) ∼ B( p) pour 0 < p < 1, et on désire déterminer
les lois de N telles que S et N − S soient indépendantes.
(a) Déterminer la loi de (S, N − S) si N ∼ P (θ ), et vérifier que S et N − S sont indépendantes.
(b) On suppose que S et N − S sont indépendantes. Montrer que pour z ∈ [−1, 1],
0 ( z ) /G ( z ).
GN (z) = GN ((1 − p) + pz) GN ( p + (1 − p)z). On pose h(z) = GN
N
i. si p = 1/2, vérifier que h(z) = h((1 + z)/2). En déduire que
h(z) = lim h(r ),
r →1−
puis que N est soit p.s. 0 soit suit une loi de Poisson.
ii. si p < 1/2, inspirez vous de la question précédente pour obtenir la loi de N.