"une loi" -qui -university "en fonction"

Fonction génératrice des moments
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. On pose, ∀k ∈ N, P
([ X = k ]) = p .
k
On lui associe la fonction suivante, dite fonction génératrice des moments de X :
( = E (t )) .
+∞
∀t ∈ [− 1,1] , GX ( t ) = ∑ pk t k
X
k =0
Justifier l'existence de G X .
a. Déterminer la fonction génératrice de la loi de Bernoulli, d'une loi binomiale, d'une loi de Poisson.
GX( k ) (0)
. En déduire que deux variables aléatoires ont une même fonction
k!
génératrice si et seulement si elles ont même loi.
c. Soit X 1 , …, X n des variables aléatoires indépendantes discrètes à valeurs dans N. Exprimer la
b. Vérifier ∀k ∈ N, pk =
fonction génératrice de la variable aléatoire Y = X 1 + … + X n en fonction des fonctions
génératrices de X 1 , …, X n .
d. Retrouver, à l'aide des fonctions génératrices, les résultats concernant la somme de deux v.a.r.
indépendantes de loi binomiale (resp. de loi de Poisson).
e. On peut montrer aussi que, si X est d'ordre n, GX admet une dérivée nème à gauche en 1 et
G X( n ) (1) = ∑ k ≥ n k (k − 1)...(k − n + 1) pk = E ( X ( X − 1)...( X − n + 1) )
(ce nombre est appelé moment factoriel d'ordre n).
Solution
Si X ( Ω ) = N avec P ([ X = k ]) = pk pour k ∈ N , la fonction génératrice des moments est définie
par : ∀t ∈ [ −1,1]
Comme
(t ) = ∑ p
GX ( t ) = E
X
k ∈N
k
tk .
∑ pk = 1 , la série entière converge au moins sur l’intervalle [ −1,1]
k ∈N
a) X ~ B (1, p )
X ( Ω ) = {0,1}
p0 = 1 − p
p1 = p
G X ( t ) = (1 − p ) + p t
X ~ B ( n, p )
n
GX ( t ) = ∑
k =0
X ~ P (λ )
X ( Ω ) = {0,1,..., n}
( ) ( pt )
n
k
(1 − p )
X (Ω) = N
GX ( t ) = ∑ e−λ
( λt )
k ∈N
b) ∀t ∈ [ −1,1]
k
k!
k
n−k
pk =
( )p
n
k
= (1 − p + pt )
pk = e − λ
k
(1 − p )
n−k
n
λk
k!
λ t −1
= e − λ eλ t = e ( )
∑ pk t k est le développement en série entière de GX
au voisinage de 0.
k ∈N
GX est indéfiniment dérivable sur ]− 1,1[ et ∀k ∈ N pk =
donc définie de façon unique à partir de GX
(k )
GX (0 )
. La loi de probabilité de X est
k!
⎛ ∑n X i
c) GY ( t ) = E ⎜ t i =1
⎜⎜
⎝
⎞
n
⎟ = E ⎛ t Xi
⎜∏
⎟⎟
⎝ i =1
⎠
n
⎞ n
Xi
E
t
=
=
⎟ ∏
∏ GX i ( t )
i =1
⎠ i =1
( )
(
car
les
variables
)
indépendantes, les variables t X1 ,…, t X n sont indépendantes.
Si de plus les v.a.r. X 1 ,…, X n sont de même loi que X, on a : GY ( t ) = ⎡⎣GX ( t ) ⎤⎦
d) X 1 ~ B ( n1 , p )
X 2 ~ B ( n2 , p )
X 1 et X 2 indépendantes Y = X1 + X 2
GY ( t ) = (1 − p + pt ) 1 (1 − p + pt ) 2 = (1 − p + pt ) 1
n
d'après b) Y
X 1 ~ P ( λ1 )
n
n + n2
~ B ( n1 + n2 , p )
X 2 ~ P ( λ2 )
X1 et X 2 indépendantes Y = X1 + X 2
λ t −1 λ t −1
λ + λ t −1
GY ( t ) = e 1 ( )e 2 ( ) = e( 1 2 )( )
d'après b) Y ~ P ( λ1 + λ2 )
n
( X1 ,…, X n ) étant