Sujet

École des Mines de Douai — FI1A Mathématiques
Année 2008-2009
Devoir surveillé du 11 mai 2009
Durée : 2h. Aucun document n’est autorisé. La calculatrice école est autorisée.
L’orthographe et la clarté seront pris en compte dans l’appréciation de la copie.
Les trois problèmes sont indépendants ; on veillera à bien numéroter les questions sur la
copie.
Problème 1
L’objet de ce problème est l’étude, dans certains cas bien particuliers, de la loi de
probabilité de αX + βY lorsque X et Y sont des variables aléatoires indépendantes de
lois connues, et α, β des constantes réelles non nulles fixées.
1. Généralités
1.1 Démontrer que si X et Y sont indépendantes, alors αX et βY le sont également
quels que soient les réels α et β.
1.2 Exprimer la fonction de répartition de βY en fonction de celle de Y . On pourra
distinguer les cas selon le signe de β.
1.3 On suppose dans cette question que Y est une variable aléatoire continue. Donner
la densité de probabilité de βY en fonction de celle de Y .
2. Loi uniforme. On suppose dans cette question que X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes suivant toutes deux la loi U([a, b]) (où a et b sont deux réels tels que
a < b).
2.1 À l’aide d’un produit de convolution, montrer que la densité de probabilité de la
variable aléatoire Z = X − Y est donnée par
∀z ∈ R,


b − a + z



 (b − a)2

fZ (z) =  b − a − z


(b − a)2



0
si a − b 6 z 6 0
si 0 < z 6 b − a
sinon.
Représenter cette fonction graphiquement. Justifier l’existence de E[Z] et donner sa valeur.
Comment pouvait-on deviner celle-ci ?
2.2 Exprimer la fonction de répartition de |Z| à l’aide de celle de Z et en déduire
l’expression de la densité de probabilité de |Z|.
2.3 Un homme et une femme se donnent rendez-vous entre midi et treize heures. La
minute d’arrivée de l’homme est notée Y , celle de la femme est notée X, on suppose que
ces deux variables aléatoires sont indépendantes et suivent la loi U([0, 60]). Donner la
loi de probabilité du temps d’attente A du premier arrivé. En déduire l’espérance et la
variance de A.
3. Loi discrète uniforme. Cette fois X et Y suivent toutes deux la loi discrète uniforme
sur {0, . . . , n}, où n ∈ N∗ . Elles sont toujours indépendantes.
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3.1 Rappeler la définition de cette loi.
3.2 Quelles sont les valeurs possibles de la variable aléatoire Z = X − Y ? Démontrer
que
∀k ∈ {−n, . . . , n},
P (Z = k) =
n
X
P (X = `)P (Y = ` − k).
`=0
3.3 En déduire la loi de probabilité de Z, puis celle de |Z|.
Problème 2
Une variable aléatoire X a pour densité de probabilité la fonction f suivante :
f : R −−−→ R


C
x 7−−−→  xα
0
si x > 1
sinon
où C et α sont deux réels non nuls. On notera que X ∼ R(α).
1.
1.1 Déterminer les conditions éventuelles sur α et C pour que f soit bien une densité
de probabilité.
1.2 Expliciter la fonction FX de répartition de X.
1.3 Représenter graphiquement les fonctions f et FX pour α = 2.
2.
2.1 À quelle condition X admet-elle une espérance ? Calculer cette espérance.
2.2 À quelle condition X admet-elle une variance ? Calculer cette variance.
3. Soit (Xn )n∈N∗ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la même
loi R(α). Pour tout n ∈ N∗ on pose Yn = min{X1 , . . . , Xn }.
3.1 Déterminer la fonction de répartition de Yn . On pourra pour cela s’intéresser, pour
y > 1, à l’événement {Yn > y}.
3.2 En déduire que Yn ∼ R(n(α − 1) + 1).
Problème 3
Lors d’un concours d’entrée en école d’ingénieurs, 85 places sont offertes et les candidats sont appelés par vagues successives selon leur classement.
Chaque candidat ayant la faculté de choisir de ne pas intégrer l’école, le service admissions est conduit à opérer un surbooking afin de ne pas faire «traîner» la procédure
d’intégration trop longtemps.
À la première vague, 80 places ont été pourvues et l’on souhaite maximiser l’efficacité
du second appel, en minimisant le risque d’admettre plus de 5 candidats supplémentaires.
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On a étudié le comportement des candidats appelés en dernier lors de la première
vague, ce qui a montré que 20% d’entre acceptent d’intégrer l’école.
1. Quel est le risque d’admettre plus de 5 candidats si on en appelle 20 à la seconde
vague ?
2. Quel est le nombre maximum de candidats à appeler pour que ce risque soit inférieur
à 10% ?
Toute ressemblance avec des personnages existants serait évidemment fortuite.
Bon courage !
Barème indicatif :
Problème 1
Problème 2
Problème 3
Q. 1
1 1,5 1
1,5 1,5 1
3
Q. 2
4
2 2
1,5 1,5
3
Q. 3
1 1,5 2
2 2
Total
16
11
6
3