resume complexe

Cours : Les Nombres Complexes
I.
Définitions :
On appelle un nombre complexe le nombre z = a + ib où (a,b)ℝ² et i le nombre tel que i²=-1
- a est appelée la partie réelle de z , notée : Re(z) ; b est appelée la parie imaginaires de z notée
Im(z).
- l’écriture du nombre complexe z = Re(z) +i Im(z) s’appelle la forme cartésienne de z ou bien
la forma algébrique de z.
- si a=0 z est dit imaginaire pure, si b=0 z est dit réel .
- l’ensemble des nombres complexes est noté : ℂ. On remarque bien que ℝ ⊂ℂ .
- (ℂ , + ,×) est un corps.
On appelle le conjugué du nombre complexe z le nombre 𝒛 = 𝒂 − 𝒊𝒃 .
On appelle le module du nombre complexe z le réel positif : 𝒛 =
II.
𝒂² + 𝒃².
Propriétés :
-à tout nombre complexe z = a+ib on peut lui associer le point du plan, rapporté au repère
𝑶, 𝒊, 𝒋 , le point M(a,b).On dit que le nombre z est l’affixe du point M.
Le Graphique
Le Module

𝐳 = 𝐳 , −𝐳 = 𝐳
 𝐳 = 𝟎 𝐳 = 𝟎
 𝐳 × 𝐳′ = 𝐳 × 𝐳′ , 𝐳 𝐧 = 𝐳
𝟏
𝒛
𝒛
𝟏

= 𝒛 , 𝒛′ = 𝒛′
𝒛
M(z)
b
𝐧
O
𝒛𝒏 = 𝒛
𝒏
,
𝟏
𝒛
=
𝟏
𝒛
 𝒛 + 𝒛 = 𝟐𝒂 , 𝒛 − 𝒛 = 𝟐𝒊𝒃
 Si z  ℝ alors 𝒛 = 𝒛
 Si z  iℝ alors 𝒛 = −𝒛
 𝒛×𝒛= 𝒛 ² , 𝒛=𝒛
III.
I
O
a
_z
_z
𝒛 + 𝒛′ = 𝒛 + 𝒛′ , 𝒛𝒛′ = 𝒛𝒛′

z_
-a
Le Conjugué

J
-b
_M( _z_)
M(-z)
Aspect graphique :
Dans l’ensemble ℂ


z = a + ib
ZB - ZA

z  zB
ZI  A
2
z  a²  b²

zB  z A


 
Dans le repère Cartésien O ,i , j
 M(a ,b)

AB

I est le milieu de [AB]

OM

AB

Par Mr : HADJ SALEM Habib




IV.

Aff ( u )
 
 ℝ ( v  0 )
Aff ( v )

Aff ( u )
 
  iℝ ( v  0 )
Aff ( v )
z ℝ
z i ℝ

 
u // v

 
u v


M (xx’)
M (yy’)
Forme trigonométrique & exponentielle :
Soit z = a+ib 0 et on pose r= 𝒛 =
𝒂
𝒂² + 𝒃²  0
a
r
𝒃
2
b
r
2
On peut écrire 𝒛 = 𝒓(𝒓 + 𝒊 𝒓 ) donc on a       1 et
ℝ tel que :
b
a
 1 ;  1 alors il existe
r
r
a
b
 cos  et
 sin  . Donc z = r( cos +i sin ) : c’est la forme
r
r
trigonométrie de z.
 est appelé l’argument de z notée : arg(z)
V.
Astuces pour déterminer l’argument :

0

6

4

3
Sin
0
1
2
2
2
2
2
3
2
1
2
3
2
Si arg(a+ib)   [2]alors :
cos
1

2
1
-z =-a+ib
0
arg(a-ib) -  [2]; arg(-a+ib)- [2]
arg(-a-ib) + [2]

 z  a et arg(z)  02  ,si a  0
z  a alors : 

 z  a et arg(z)   2  ,si a  0


 z  b et arg(z)  2 2  ,si b  0

z  ib alors : 
 z  b et arg(z)    2  ,si b  0

2



VI.
Propriétés :
 arg(z) ( Ox ,OM )2 


arg( z B  z A )  ( Ox , AB )2 
z  zC
arg( D
)  ( AB ,CD )2 
zB  z A
z =a-ib
z
Par Mr HADJ SALEM Habib
Propriétés de la forme polaire :
 arg( z  z' )  arg( z )  arg( z' )2 
 arg( z n )  n arg( z )2 
1
 arg( )   arg( z )2 
z
z
 arg( )  arg( z )  arg( z' )2 
z'
arg( z )   arg( z )2 
 
arg(  z )    arg( z )2 

cos( )  i sin( )n  cos( n )  i sin( n )
(formule de Moivre).
 Z=r(cos +i sin)=[r ,  ]=r ei c’est la
forme polaire et la forme exponentielle d’un
nombre complexe.

r ,  r' ,'   r  r' ,  ' 

r , n 

r ,    r ,  ' 

r' ,'   r'

r n ,n 
1
1

  , 
r ,   r 
La forme polaire est la plus utilisée pour les
simplifications des formes trigonométriques et
la résolution des équations du type : zn=a+ib.
Propriétés de la forme exponentielle :
 e i  cos( )  i sin( ) et ( e i )  e  i


e i  e  i  2 cos( ) 
 formules de Euler
e i  e  i  2i sin( )
ei n  ein ; eeii'  ei(  ' )
 e i  e i'  e i(  ' ) ;

.
1  ei0 ;
 1  e i ;
1
 e  i
i

e
i

i  e 2 ; i  e
i

2
Racines et Equations :
On considère l’équation zn =a où aℂ
On dit que z est la racine niéme de a pour résoudre l’équation on utilise la forme polaire ou
exponentielle
r n  a
En effet on pose z = [r , ϴ ] alors 
n  arg( a )2 
Soit l’équation suivante : a z² +b z +c =0 où (a,b,c)ℂ 3.
On calcule le discriminant =b²-4ac
b 
b 
 Si  ℝ + alors z' 
; z" 
2a
2a
bi 
bi 
 Si  ℝ - alors z' 
; z" 
2a
2a

 x²  y²  

-b 
Si ℂ alors on considère δ = x+iy tel que δ ² =   x²  y²  Re(  ) et z 
2a
2 xy  Im(  )


Par Mr HADJ SALEM Habib