Mouvement dans l’espace 99 ** EXERCICES Exercice 4.22 On donne les équations du mouvement d’un point ( M dans un repère O, i , j , k :22.4 M ): 1 3 x = bt 2 , y = ct , z = bt 2 2 2 Où b, c sont des constantes positives. 1/ Trouver la vitesse et l’accélération ainsi que leurs modules. 2/ Quelle est l’équation de la trajectoire du point m qui représente la projection verticale du point mobile M sur le plan XOY . ( : O, i , j , k 1 2 3 bt , y = ct , z = bt 2 2 2 . c, b . ! " # $ # % /1 # ' m # & /2 . XOY ) # $ M ( x= Exercice 4.23 Soit la trajectoire définie par : :* +, r = i .3cos 2t + j .3sin 2t + k . ( 8t 4 ) 1/ Trouver le vecteur unitaire T tangent à la trajectoire. 2/ Si est le vecteur position d’un point se déplaçant sur C au temps t , vérifier que dans ce cas x = R cos ; y = R sin , z=h R est le rayon du cylindre de révolution sur lequel est tracé l’hélice, h est une constante et l’angle que fait avec OX la projection OM ' de OM sur XOY . 1/ Donner en coordonnées cylindriques les expressions de la vitesse et de l’accélération. 2/ Montrer que le vecteur vitesse fait avec le plan XOY un angle constant. 3/ Montrer que le mouvement de rotation est uniforme, que le vecteur accélération passe par l’axe du cylindre et est parallèle au plan XOY . Calculer le rayon de courbure. . # $ 4/& # 12 % 5 T . " " - & 6 t 3 % /1 /0 /2 C # . v = v.T :24.4 1 OZ ' 8 7 # # : & 7 9 x = R cos ; y = R sin , z = h # #: ; +< ' R ! < 7 h 6 7 ! $ . XOY $ OM * OM ' # OX $ # $ #: = $0 /1 ." # 1 7 1 < $ # " - % , /2 . XOY ) # " - % 6 3 % , /3 ) # (7 #: , " # .> ; +< ?# % . XOY Exercice 4.25 Un mobile se déplace dans l’espace suivant la loi : x = R cos t ; y = R sin t , z = t Où , , R sont des constantes positives. 1/ soit m la projection de M dans le plan XOY : A.FIZAZI :23.4 C # r = i .3cos 2t + j .3sin 2t + k . ( 8t 4 ) v = v.T . Exercice 4.24 Un point M décrit une hélice circulaire d’axe OZ . Ses équations horaires sont : ) Univ-BECHAR :25.4 : 5 > 2@ A, ' x = R cos t ; y = R sin t , z = t . , , R 9:; LMD1/SM_ST Mouvement dans l’espace 100 a/ Quelle est la nature de la trajectoire de m dans le plan XOY ? b/ Quelle est la nature du mouvement de m suivant l’axe OZ ? c/ En déduire la nature de la trajectoire du mobile M . 2/ dans le système des coordonnés cylindriques : OM et représenter la base ( u , u , u z ) en un point M de : XOY ) # M B XOY m B OZ 5 m .M A # : #: 'E OM 12 " .> 2@ M .$ a/ écrire l’expression du vecteur position l’espace. b/ trouver la vitesse et l’accélération de M , ainsi que leurs modules. Déterminer leurs directions puis les représenter en un point de l’espace. d/ en déduire le rayon de courbure. Exercice 4.26 1/ A partir des expressions des vecteurs unitaires de la base (u , u ) ,u r en coordonnées cartésienne, 6M * " # $ # .> 2@ $ ! . ! .> (u , u ,u r 2/ Montrer ( ur , u , u ) ( a= r r ( +(r que .ur + cos .u l’accélération ) dans + r + 2r r 2 sin 2 r 2 )u r la base sin + 2r .sin + 2r r ) , un point ,u )u )u d’une sphère de rayon R . Ses deux coordonnées sphériques sont: ( ) 6 rad , ( +(r + cos = t2 , (u , u r & (u , u r ,u 2 r 2 )u r /2 % & + )u sin .cos sin + 2r .sin + 2r + cos )u :27.4 ) = H # ( = " # sin 2 r ) .ur + cos .u ) .$ ) 6 = OZ , OM = 12 4/! ,u ) , b/ calculer les modules de la vitesse et de l’accélération, c/ en déduire l’accélération normale. 2/ Partant cette fois de l’expression du vecteur position en coordonnées cartésiennes : a/ trouver la vitesse et l’accélération dans la A.FIZAZI 2 ; +< . Avec constante positive. 1/ Partant de l’expression du vecteur position en coordonnées sphériques : a/ trouver la vitesse et l’accélération de ce mobile dans la base r ,u + r + 2r M se déplace sur la surface = OZ , OM = r ( Exercice 4.27 Dans le système des coordonnées sphériques (u , u (u , u :? a= r + sin .cos ( sin u = s’écrit : 2 ) >?@ABCD >?;DE FGHI JDKAL@ MN AOPQRD /1 ur = .u + .sin .u ur = .u + .sin .u ( sin ; +< D #0 /C ;F E G 6 FST:UKAVCD JA:WD?;XAY u = .ur + .cos .u : .ur + .cos .u u = % /? ! ! , :26.4 s’assurer des expressions suivantes : u = # m /1 # & / " & /? $ D #0 /C = /2 . $ ? % / $ (u , u , uz ) $ M : & 6 & A 0 .R = t2 rad , .? " - . $ 1 ;F /1 : $ # % / 6 ( ur , u , u ) . $ " # 6" # 12 $ # ?# % /? . 3 " # D #0 /C " - . $ . 4/& ;F /2 : I= (i , j, k ) . $ Univ-BECHAR " # $ # %/ LMD1/SM_ST Mouvement dans l’espace base 101 ( i , j , k ) puis calculer de nouveau leurs modules D8 et vérifier qu’ils coïncident avec les résultats de la question 1/b, 3/ a/ Quelle est la trajectoire du point M ? la représenter qualitativement, b/ Quelle est la nature du mouvement du point M ? A.FIZAZI Univ-BECHAR 1 ! . @ G # ' BM BM ! ?# 6?/1 ' J# # & / /3 /? LMD1/SM_ST