École polytechnique 2012-2013 Théorie de Galois On rappelle que

École polytechnique
Théorie de Galois
2012-2013
Feuille d’exercices 3
On rappelle que si K/k est une extension de corps, et si x ∈ K est algébrique sur k, on note
Πx,k ∈ k[X] le polynôme minimal unitaire de x relativement à k. Si L est une autre extension
de k, les k-conjugués de x dans L sont les racines de Πx,k dans L. On note conjL/k (x) ⊂ L
l’ensemble (fini) de ces conjugués.
Exercice 1. (Critère de [Schönemann-]Eisenstein)
(i) Soit P = a0 + a1 T + · · · + an T n ∈ Z[T ] un polynôme non constant. Supposons qu’il existe
un nombre premier p tel que p divise a0 , a1 , · · · , an−1 , p ne divise pas an , et p2 ne divise pas a0 .
Montrer que P est irréductible dans Q[T ]. (On pourra utiliser le lemme de Gauß).
(ii) Montrer que pour tout entier n, il existe un polynôme irréductible de degré n dans Q[T ].
Exercice 2. (Extensions quadratiques de Q)
√
carré. Déterminer [Q( d) : Q], les Q-conjugués de
√ (i) Soit d ∈ Z un entier qui n’est√pas un √
d dans C, ainsi que HomQ−alg (Q( d), Q( d)).
√
√
(ii) Soient a, b ∈ Z des non carrés. Montrer que a ∈ Q( b) si et seulement si a/b est le
carré d’un nombre rationnel.
√
(iii) Montrer que si K/Q est telle que [K : Q] = 2, alors K = Q( d) pour un unique entier
non nul d sans facteurs carrés.
√ √
Exercice 3. Soit K = Q( 5, 7) ⊂ C.
(i) Montrer que [K : Q] = 4 et expliciter une base de K/Q.
(ii) Montrer que HomQ−alg (K, K) est isomorphe à Z/2 × Z/2.
(iii) Trouver tous les sous-corps de K.
(iv) Soit x ∈ K. Donner une condition nécessaire et suffisante sur x pour que Q(x) = K.
√
√
(v) Quels sont les Q-conjugués dans K de 5 + 7 ?
√
√
(vi) Déterminer les k-conjugués de 5 + 7 dans K pour chacun des sous-corps k trouvés
au (iii).
Exercice 4. Soient K, L deux extensions d’un corps k.
(i) (Rappel de cours) Soit x ∈ K un élément algébrique sur k, de polynôme minimal P ∈ k[X].
Montrer que l’application σ 7→ σ(x) induit une bijection entre l’ensemble des k-plongements de
k[x] dans L et l’ensemble des racines de P dans L.
On suppose maintenant que L est algébriquement clos.
(ii) Soient x, y ∈ K algébriques sur k. Montrer que les k-conjugués de x + y dans L sont
de la forme x0 + y 0 où x0 et y 0 sont des k-conjugués respectifs de x et y dans L. Est-ce que
réciproquement tous les tels x0 + y 0 sont des k-conjugués de x + y ?
(iii) Soit x ∈ L algébrique sur k, et L0 ⊂ L le sous-corps engendré par k et les k-conjugués de
x dans L. Montrer que L0 est une extension finie de k, puis que pour tout y ∈ L0 , conjL/k (y) ⊂ L0 .
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Exercice 5. Soit P un polynôme irréductible dans k[X] de degré d, et L son corps de décomposition dans
une clôture algébrique fixée de k.
(i) Montrer que [L : k] ≤ d!. À quelle condition a-t-on égalité ?
(ii) Donner un exemple du cas d’égalité avec d = 3.
Exercice 6. Soit K un extension de k de degré n, et soit P ∈ k[X] un polynôme irréductible de degré m.
(i) Montrer que si m ne divise pas n, le polynôme P n’a pas de racines dans K.
(ii) Montrer que si n et m sont premiers entre eux, le polynôme P est irréductible dans K[X].
Exercice 7. (Polynômes cyclotomiques pour p premier) Soit p un nombre premier.
(i) Montrer que Φp (X) = X p−1 + · · · + X + 1 est irréductible dans Q[X]. (On pourra considérer
le polynôme Φp (X + 1).)
(ii) En déduire la valeur de [Q[e2iπ/p ] : Q] puis celle de [Q[cos(2π/p)] : Q].
Exercice 8. Soit k un corps et notons L = k(T ) le corps des fonctions rationnelles en une variable T . Soient
P, Q ∈ k[T ] des polynômes irréductibles premiers entre eux. On pose U = P (T )/Q(T ) ∈ k(T ) et
K le sous-corps k(U ) de L.
(i) Montrer que T est algébrique sur K et déterminer son polynôme minimal.
(ii) En déduire que L est une extension algébrique de K et calculer son degré en fonction de
ceux de P et Q.
(iii) En déduire que le groupe Autk−alg (k(T )) est isomorphe à PGL2 (k).
Exercice 9. Soit L/k une extension algébrique. Montrer que si k est dénombrable, il en va de même de
L. En déduire que les nombres complexes transcendants forment un ensemble non dénombrable
(en particulier non vide).
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