Feuille d`exercices 3 Exercice 3. Soit K = Q( Exercice 4. Soit K = Q

École polytechnique
Théorie de Galois
2014-2015
Feuille d'exercices 3
(i) Soit G un groupe abélien ni. Montrer qu'il existe dans G un élément d'ordre le ppcm des
ordres des éléments de G.
(ii) Soit K un corps et G un sous-groupe ni de K × . Montrer que G est cyclique.
Exercice 1.
(Extensions quadratiques de Q)
√
carré. Déterminer [Q( d) : Q], les Q-conjugués de
√ (i) Soit d ∈ Z un entier qui n'est√pas un √
d dans C, ainsi que HomQ−alg (Q( d), Q( d)).
√
√
(ii) Soient a, b ∈ Z des non carrés. Montrer que a ∈ Q( b) si et seulement si a/b est le
carré d'un nombre rationnel.
√
(iii) Montrer que si K/Q est telle que [K : Q] = 2, alors K = Q( d) pour un unique entier
non nul d sans facteurs
(iv) Plus généralement, si k est un corps de caractéristique diérente de 2, montrer que toutes
√
les extensions quadratiques de k dans une clôture algébrique xée de k sont de la forme k( x)
avec x ∈ k× \ (k× )2 et que de plus k(x) = k(y) si et seulement si x/y est un carré.
Exercice 2.
√ √
Soit K = Q( 5, 7) ⊂ C.
(i) Montrer que [K : Q] = 4 et expliciter une base de K/Q.
(ii) Montrer que HomQ−alg (K, K) est isomorphe à Z/2Z × Z/2Z.
(iii) Trouver tous les sous-corps de K .
(iv) Soit x ∈ K . Donner une condition nécessaire et susante sur x pour que Q(x) = K .
√
√
(v) Quels sont les Q-conjugués dans K de 5 + 7 ?
√
√
(vi) Déterminer les k-conjugués de 5 + 7 dans K pour chacun des sous-corps k trouvés
au (iii).
Exercice 3.
Exercice 4.
√ Soit K = Q 2 + 2 ⊂ Q.
p
√
(i) Déterminer le polynôme minimal de 2 + 2 sur Q ainsi que ses conjugués.
(ii) Montrer que HomQ−alg (K, K) est isomorphe à Z/4Z.
(iii) Trouver tous les sous-corps de K .
p
Soient k un corps de caractéristique p et a ∈ k.
(i) Soit P (X) = X p −X −a ∈ k[X]. Montrer P est irréductible si et seulement si il ne possède
pas de racine.
(ii) Supposons p = 2. Montrer que les extensions quadratiques séparables de k sont de la
forme k(x) avec x2 − x ∈ k, x ∈
/ k , et que de plus étant donnés deux tels x et y , k(x) = k(y) si
et seulement si (x − y)2 − (x − y) ∈ k est de la forme b2 − b avec b ∈ k.
Exercice 5.
(Polynômes cyclotomiques pour p premier) Soit p un nombre premier.
(i) Montrer que Φp (X) = X p−1 + · · · + X + 1 est irréductible dans Q[X]. (On pourra considérer
le polynôme Φp (X + 1).)
(ii) En déduire la valeur de [Q[e2iπ/p ] : Q] puis celle de [Q[cos(2π/p)] : Q].
Exercice 6.
1
Soit P un polynôme irréductible dans k[X] de degré d, et L son corps de décomposition dans
une clôture algébrique xée de k.
(i) Montrer que [L : k] ≤ d!. À quelle condition a-t-on égalité ?
(ii) Donner un exemple du cas d'égalité avec d = 3.
Exercice 7.
Soit M une extension algébrique de F , et L, K ⊂ M deux sous-extensions de M . On pose
k = [K : F ] et l = [L : F ].
Exercice 8.
(i) Montrer que [KL : F ] ≤ kl.
(ii) On suppose que k et l sont premiers entre eux. Montrer que [KL : F ] = kl.
(iii) Trouver un exemple où [KL : F ] < kl.
Exercice 9. Soit x un nombre algébrique sur un corps F .
(i) On suppose que [F (x) : F ] est impair. Montrer que F (x2 ) = F (x).
(iii) Est-ce encore vrai si on remplace 2 par 3 et impair par premier avec 3 ?
(iii) Trouver une condition susante sur [F (x) : F ] pour que F (x3 ) = F (x).
Exercice 10. Soit k un corps et notons L = k(T ) le corps des fonctions rationnelles en une variable T .
Soient P, Q ∈ k[T ] des polynômes irréductibles premiers entre eux. On pose U = P (T )/Q(T ) ∈
k(T ) et K le sous-corps k(U ) de L.
(i) Montrer que T est algébrique sur K et déterminer son polynôme minimal.
(ii) En déduire que L est une extension algébrique de K et calculer son degré en fonction de
ceux de P et Q.
(iii) En déduire que le groupe Autk−alg (k(T )) est isomorphe à PGL2 (k).
Soit L/k une extension algébrique. Montrer que si k est dénombrable, il en va de même de
L. En déduire que les nombres complexes transcendants forment un ensemble non dénombrable
Exercice 11.
(en particulier non vide).
2