Quand les nombres se transcendent

Quand les nombres se transcendent
Devoir maison 1
Un nombre réel a est dit algébrique s’il est racine d’un polynôme P non nul à coefficients dans Q.
Un nombre qui n’est pas algébrique est dit transcendant. Un tel polynôme P est appelé un polynôme
annulateur de a (On attire l’attention du lecteur que le fait que les coefficients du polynôme sont dans
Q et non dans R car sinon tout nombre réel a serait algébrique puisqu’il serait racine du polynôme
X − a). On note A l’ensemble des nombres algébriques.
Partie I. Quelques exemples
√ √ √
1. Montrer que 2, 3, 4 2 sont des nombres algébriques
2. Montrer que tout nombre rationnel est un nombre algébrique.
3. Soit a un nombre algébrique et P un polynôme de Q[X] annulateur de a de degré n.
√
a) Montrer que a est algébrique
b) Montrer que −a est algébrique.
c) Montrer que
1
a
(si a ≠ 0) est algébrique. On pourra considérer Q(X) = X n P ( X1 )
Partie II. Polynôme minimal associé à un nombre algébrique. On pourra noter la très forte
analogie entre le polynôme minimal associé à un nombre algébrique et le polynôme minimal associé à
un endomorphisme. Voir la construction du polynôme minimal d’un endomorphisme dans les exercices
du chapitre I.
Soit a un nombre algébrique. On note P l’ensemble des polynômes annulateurs de a et D l’ensemble
des degrés des polynômes de P non nuls. En d’autres termes :
P = { P ∈ Q[X] / P (a) = 0
}
D = {
n∈N
/ ∃P ∈ P ∖ {0}, n = deg(P ) }
1. Montrer que D admet un minimum. On pose n = M in(D).
2. Montrer qu’il existe un unique polynôme unitaire (cad de coefficient dominant égale à 1) de P de
degré n. On le notera µ, c’est le polynôme minimal associé à a.
3. On note (µ) l’ensemble des multiples de µ dans Q[X] c’est-à-dire que :
(µ) = {P ∈ Q[X] / ∃Q ∈ Q[X], P = µ.Q}
Montrer que (µ) est un sous espace vectoriel de Q[X].
4. Montrer que (µ) = P.
1
Partie III. Stabilité par × et + . Soient a et b des nombres algébriques, Pa et Pb des polynômes de
Q[X] annulateurs respectivement de a et b. Enfin notons na et nb les degrés de ces polynômes.
1. On pose :
Q(a, b) = vectQ {ap bq / p ∈ {0, . . . , na − 1}, q ∈ {0, . . . , nb − 1}}
√ √
Décrire les éléments de Q( 2, 3).
2. Soit n dans N. Montrer qu’il existe R dans Q[X] tel que deg(R) < na et an = R(a)
3. Montrer que ap bq ∈ Q(a, b) pour tous p et q de N.
4. Soit d = na .nb . Montrer que les familles de Q(a, b)
( 1, (a + a2 ), (a + b)2 , . . . , (a + b)d )
et
sont liées. En déduire que a + b et ab sont algébriques.
2
( 1, (ab), (ab)2 , . . . , (ab)d )