Seconde - Chapitre 12: Trigonométrie

Seconde - Chapitre 12:
Trigonométrie
Introduction.
On considère le cercle trigonométrique : Cercle C de centre 0, de rayon 1,
orienté (voir figure : sens + = sens direct ou sens trigonométrique). A un
angle x on fait correspondre la longueur de l’arc qu’il intercepte sur C. Le
périmètre p de C vaut 2π.
On définit le radian (unité de mesure d’angles) par la correspondance :
2π rad = 360◦
1
1.1
Cosinus et sinus d’un angle.
Définition
c Pierre-Vincent Quéré - 2006/2007
2
Le point M a pour coordonnées (cos; sin).
Remarque 1.1 Cette définition correspond bien à la définition de 3e (voir
module).
1.2
Valeurs remarquables.
x en rad
cos x
sin x
1.3
0 π
1 −1
0 0
π
2
0
1
π
3
1
√2
3
2
π
√4
2
√2
2
2
π
√6
3
2
1
2
Propriétés.
On ”enroule” la droite des réels sur le cercle trigonométrique (en plaçant
l’origine au bon endroit !) dans le sens trigonométrique.
On a alors pour tout réel x :
– −1 6 cos x 6 1.
– −1 6 sin x 6 1.
– cos2 x + sin2 x = 1 (nb : cos2 x = (cos x)2 ).
2
Fonctions cosinus et sinus (fonctions de référence).
2.1
Propriétés communes.
– Les fonctions cos et sin sont définies sur R.
– Les valeurs prises par ces fonctions sont comprises entre -1 et 1.
– Ces fonctions sont périodiques de période 2π :
∀x ∈ R, cos(x + 2π) = cos x et sin(x + 2π) = sin x.
2.2
La fonction cosinus : cos .
– Exercice.
c Pierre-Vincent Quéré - 2006/2007
3
1. Complèter les points sur le cercle trigonométrique.
2. Remplir le tableau suivant :
0
x
cos x
π
6
π
4
π
3
π
2
3. En déduire la courbe de la fonction cos dans un repère orthonormé
sur [−π; π], puis sur [−3π; 3π].
– Autres propriétes.
– La fonction cos est paire :
∀x ∈ R, cos(−x) = cos x.
– Les variations de la fonction cos sur [−π; π] sont les suivantes :
−π
0
π
x
1
cos x
ր
ց
-1
-1
– Son maximum (1) et son minimum (-1) sont atteints une infinité de
fois sur R.
2.3
La fonction sinus : sin .
– Exercice.
1. D’après la figure de l’exercice précédent, remplir le tableau suivant :
c Pierre-Vincent Quéré - 2006/2007
4
0
x
sin x
π
6
π
4
π
3
π
2
2. En déduire la courbe de la fonction sin dans un repère orthonormé
sur [−π; π], puis sur [−3π; 3π].
– Autres propriétes.
– La fonction sin est impaire :
∀x ∈ R, sin(−x) = − sin x.
– Les variations de la fonction sin sur [−π; π] sont les suivantes :
π
x
π
−π
− π2
2
0
1
sin x
ց
ր
ց
-1
0
– Son maximum (1) et son minimum (-1) sont atteints une infinité de
fois sur R.
3
Exercices et applications.
– Mesure principale d’un angle.
– Tangente.
– Période, fréquence : Observations et calculs.
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