Fiche : Nombres complexes - H

Fiche: Nombres complexes
Définitions
noté C, contient R, tel que i² = -1
z = a + ib où a et b sont 2 nombres réels : écriture algébrique du nombre complexe z
a = Re(z) et b = Im(z)
 si b = 0 alors le nombre complexe est réel
 si a = 0 alors le nombre complexe est dit imaginaire pur
le nombre conjugué de z, noté z , est le nombre réel a – ib
le module de z, noté |z| est le réel positif a²  b²
z est réel si z = z
z est un imaginaire pur  z = – z
Propriétés
Pour tous nombres complexes z et z’ :
 |z|² = z z





z  z' = z + z' ; z = z ; zz' = z × z'
 z'  z'
1 1
pour z ≠ 0,   = et   =
z z
z z
1 a  ib
=
z a²  b²
pour n Z, z n = z n
zz
zz
Re(z) =
et Im(z) =
2i
2
Equations du second degré
L’équation az² + bz + c = 0 (a, b, c réels et a ≠ 0) de discriminant Δ = b² – 4ac, admet :
b
_ si Δ = 0, une solution unique : –
2a
b Δ
-b- Δ
_ si Δ > 0, 2 solutions réelles :
et
2a
2a
-b-i -Δ
bi -Δ
_ si Δ < 0, 2 solutions complexes conjuguées :
et
.
2a
2a
Représentation graphique
z = a + ib, avec a et b réels, M de coordonnées (a ; b)
M point image de z  z affixe de M
OM vecteur image de z  z affixe de OM
_ Tout point M(a ; b) est le point image d’un seul couple z = a + ib. On dit que z est l’affixe
du point M et du vecteur OM .
On note M(z) pour signifier que le point M a pour affixe z.
_ Le plan est alors appelé Plan complexe.
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Forme trigonométrique
Pour tout nombre complexe z non nul, d’image M de coordonnées cartésiennes (x ; y) et de
coordonnées polaires (r ; α), on a :
une forme trigonométrique :
z = r (cos α + i sin α)
x
y
avec r = x²  y² = |z| cos(α) = et sin(α) =
r
r
α = arg(z) [2π].
Propriétés des modules
Soit z et z’ deux nombres complexes.
 |z| = 0  z = 0
 | z | = |z|
 |–z| = |z|
 |zz’| = |z| × |z’|
1 1
 pour z ≠ 0,
=
z z



z z
=
z' z'
 n Z, |zn | = |z|n
|z + z’| ≤ |z| + |z’|
pour z’ ≠ 0,
Propriété des arguments
Soit z et z’ 2 nombres complexes non nuls.
 arg( z ) = – arg(z) [2π]
 arg(–z) = π + arg(z) [2π]
 arg(zz’) = arg(z) + arg(z’) [2π]
1
 arg( ) = – arg(z) [2π]
z
z
 arg( ) = arg(z) – arg(z’) [2π]
z'
  n Z, arg(zn ) = n arg(z) [2π]
Forme exponentielle
z = r eiα : une forme exponentielle de z.
f(α) = cos α + i sin α : sous forme exponentielle eiα
zn  (rn ; nα)  z = rn einα
(cos α + i sin α)n = cos(nα) + i sin(nα)
Règles de calcul
Pour tous les réels α et α’, on a :
 ei α eiα’ = ei (α + α’)

1
= e–iα = eiα
e iα

eiα
= ei (α – α’)
iα '
e
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Distances et angles orientés
Soit A, B et C 3 points distincts 2 à 2, d’affixes respectives zA, zB et zC :

 |zB – zA| = AB et arg(zB – zA) = ( u ; AB ) [2π]
z -z 
z B - z C CB

=
et arg  B C  = ( CA ; CB ) [2π]
z A - z C CA
 zA - zC 


z -z 
A, B, C alignés  arg  B C  = 0 [2π]
 zA - zC 
z -z  
(CA)  (CB)  arg  B C  = [2π].
 zA - zC  2
Translation

t w (b) : M(z)  M’(z’)
z’ = z + b
Homothétie
h(Ω ; k) : M(z)  M’(z)
z’– ω = k(z – ω)
Rotation
r(Ω ; θ) : M(z)  M’(z)
z’– ω = eiθ (z – ω)
Equation complexe du cercle
Cercle C de centre A(a) et de rayon r > 0 :
z = a + reiθ avec M(z)  C et θ  [ 0 ; 2π].
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