Représentation géométrique des nombres complexes. Forme

Représentation géométrique des nombres complexes.
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Un plan orienté est rapporté à un repère orthonormal direct ( O , u , v ).
L’image ponctuelle M du nombre complexe z = x + iy est le point M ( x , y ). z est l’affixe de M.
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L’image vectorielle W du nombre complexe z = x + iy est le vecteur W = x u + y v . z est l’affixe de W .
L’axe des abscisses représente l’ensemble des réels, l’axe des ordonnées représente l’ensemble des
imaginaires purs.
En particulier, i a pour image le point de coordonnées ( 0 , 1 ).
Forme trigonométrique d’un nombre complexe.
Soit M le point du plan complexe, image de z = x + iy.
Le module du complexe non nul z = x + iy , noté z , est le réel positif z =
x2 + y2 .
z est la distance entre l’origine O du repère et le point M ( z ). ( On note parfois z sous la forme r )
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L’argument de z, noté arg z , est une mesure de l’angle orienté θ = ( u , OM ) en radians.
On a : x = z cos θ , et y = z sin θ .
L’écriture z = z ( cos θ + i sin θ ) est l’expression trigonométrique de z.
Egalité de deux complexes.
Deux nombres complexes z et z’ sont égaux si et seulement si leurs images respectives M et M’ sont
confondues.
Deux nombres complexes non nuls z et z’ sont égaux si et seulement si z = z ' et arg z= arg z’
[2 π ]
Somme de deux nombres complexes.
Soit M et M’ les points d’affixes z et z’ .
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Soit S le point tel que OS = OM + OM' , alors S a pour affixe z + z’.
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Soit W le vecteur d’affixe z et W' le vecteur d’affixe z’, alors W + W' a pour affixe z + z’.
Produit d’un nombre complexe par un réel.
Soit M le point d’affixe z, soit k un nombre réel.
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On appelle P le point défini par OP = k OM . Alors P a pour affixe kz.
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Soit W le vecteur d’affixe z et k un nombre réel. Alors k W a pour affixe kz.
Différence de deux nombres complexes.
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Soit M et M’ les points d’affixes z et z’ . MM' a pour affixe z’ – z.
Propriétés du conjugué.
Les points images de deux complexes conjugués sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses.
Propriétés du module.
z
2
=zz
1
1
=
z
z
zz ' = z × z '
z
z
=
z'
z'
zn = z
z = −z = z = −z
n
z + z' ≤ z + z'
Inégalité triangulaire :
Propriétés de l’argument.
Si θ est un argument de z et k un entier relatif, alors θ + 2 k π est aussi un argument de z.
Tout argument de ( - z ) s’écrit θ + π + 2 k π avec k entier relatif.
Tout argument de z s’écrit - θ + 2 k π avec k entier relatif.
arg z z’ = arg z + arg z’
1
arg = - arg z pour z ≠ 0
z
arg z n = n arg z
arg z = - arg z
arg
z
= arg z - arg z’
z'
pour z’ ≠ 0
Dire que z est un réel équivaut à dire que z = 0 ou arg z = k π avec k entier relatif.
π
Dire que z est un imaginaire pur équivaut à dire que z ≠ 0 et arg z = + k π avec k entier relatif.
2