Forces centrales conservatives (Ex)

PCSI 2
Forces centrales conservatives
FORCES CENTRALES CONSERVATIVES
I Au cours d'un voyage interplanétaire, un vaisseau spatial de masse m = 1
t est transféré depuis la Terre jusqu'à la planète Mars. Ce transfert
Ellipse de
s'effectue suivant une orbite elliptique (ellipse d'Hohmann) tangente aux
Trajectoire
transfert
deux orbites coplanaires, pratiquement circulaires, de la Terre et de Mars,
de Mars
de rayons respectifs R1 = 1,5.108 km et R2 = 2,3.108 km, et dont le Soleil
est un foyer. On négligera l'attraction exercée par les planètes sur le
vaisseau et on ne considérera que l'attraction solaire.
On donne le masse du Soleil M = 2.1030 kg; constante de gravitation
Soleil
universelle G = 6,67.10-11 S.I.
Déterminer en fonction de R1, R2, G et M, puis calculer numériquement :
Trajectoire
1) l'excentricité e et le paramètre p de l'orbite de transfert d'Hohmann,
de la Terre
et la constante des aires C = pGM de cette orbite ;
2) la durée T de ce voyage interplanétaire Terre-Mars ;
3) l'augmentation de vitesse qu'il faut communiquer au vaisseau
a) lors du lancement depuis la terre ;
€ arrivée sur la planète mars ;
b) lors de son
4) la position relative angulaire que doit avoir la planète Mars par rapport à la Terre à l'instant où le vaisseau quitte la terre.
;T=
ΔvT =
⎞
⎟⎟ ; 45°.
⎠
€
€
RR
R2 − R1
2R1R2
;p=
; C = 2GM 1 2
R1 + R2
R2 + R1
R1 + R2
⎛
⎞
⎛
GM
2R2
GM
2R1
−1⎟⎟ ; ΔvM = ⎜⎜
⎜⎜1 −
R1 ⎝ R1 + R2
R2 ⎝
R1 + R2
⎠
€
€
€
Réponse : e =
II Satellite Hipparcos
3/2
π ⎛ R1 + R2 ⎞
⎜
⎟ ;
GM ⎝ 2 ⎠
€
Le satellite Hipparcos lancé le 8 août 1987 était constitué principalement d'un télescope de 30 cm de diamètre. Celui-ci a permis
d'établir un catalogue des positions, distances et éclats de plus de 118 000 étoiles avec une précision jamais atteinte.
Ce satellite devait être placé sur une orbite géostationnaire à une altitude H = 36 000 km. Un problème de mise à feu du moteur
d'apogée a laissé Hipparcos sur son orbite de transfert, son altitude variant entre h et H. Après utilisation des moteurs de
positionnement, l'altitude minimale a été portée à h = 500 km. Une programmation du satellite a permis de s'affranchir des problèmes
liés à cette orbite.
Au cours d'une révolution, il passe dans la ceinture de Van Hallen. On supposera que cette ceinture est comprise entre deux sphères de
rayon r1 = 8 400 km et r2 = 28 000 km et de centre celui de la Terre. La ceinture de Van Hallen est constituée de particules chargées
piégées dans le champ magnétique terrestre. Ces particules aveuglent les détecteurs d'Hipparcos interrompant les mesures des positions
des étoiles. Il est cependant utilisable à 65% .
On assimile la Terre à une sphère de centre O, de rayon R = 6 400 km et de masse M et le satellite à un point matériel (S, m). On
suppose le référentiel géocentrique Rgc galiléen. La période de rotation de la Terre dans ce référentiel appelée jour sidéral vaut
T = 86 164 s. On note G la constante de gravitation, sa valeur numérique n'est pas utile dans ce problème.
A Moment cinétique
1) Montrer que le moment cinétique L en O du satellite est une constante du mouvement.
2) On utilise les coordonnées cylindriques (O, ur ,uθ ,uz ) avec uz tel que L = L uz .
dθ
Montrer que le mouvement est plan et exprimer r2
en fonction de L et m.
€
dt
Quelle est le nom de cette grandeur ?
€
€
€
€
B Vecteur excentricité
2016 – 2017
€
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Forces centrales conservatives
L
V est une constante du mouvement ( V étant la vitesse du satellite).
GmM
2) On choisit l'origine de l'angle polaire pour avoir θ = ( e , uθ ).
p
Montrer
de la trajectoire peut se mettre sous€la forme : r(θ) =
où e est la norme de e .
€ que
€ l'équation
1− e cos θ
€
En déduire la trajectoire du satellite.
€ €
1) Montrer que e = uθ -
C Trajectoire d'Hipparcos
€
€
1) Exprimer et calculer e et p en fonction de h, H et R.
2) Exprimer et calculer le demi-grand axe a de la trajectoire.
D Période d'Hipparcos
1) Enoncer sans démonstration la troisième loi de Képler.
2) Exprimer la période Th de révolution d'Hipparcos en fonction de T, R, H et h. Calculer Th en heure.
E Ceinture de Van Hallen
1) Déterminer les valeurs numériques des angles θ1, θ2 d'entrée et de sortie de la ceinture de Van Hallen du satellite.
On donnera les valeurs comprises entre 0° et 180°.
2) Représenter sur un schéma clair la trajectoire du satellite et l'aire A balayée par OS lors d'un passage dans la ceinture de Van
Hallen.
Pour la question suivante, on prendra une valeur approchée de A = 200.106 km2.
3) Déterminer le rapport ρ = to/Th en fonction de A et Ae (aire de l'ellipse)€où to est la durée totale d'inactivité d'Hipparcos sur une
période. Commenter.
πp 2
On donne l'aire de l'ellipse : Ae =
.
3/2
1− e 2
(
)
3/2
⎛
H+h⎞
R
+
⎜
⎟
( R + h)( R + H ) ; a = R + H + h ; T = T
A
H−h
2
Réponse : e =
;€p = 2
.
⎜
⎟ ;ρ=2
h
A
R
+
H
2R + H + h
2R + H + h
2
e
⎜
⎟
⎝
⎠
€
€
€ entre proton et neutron
€
III Interaction nucléaire
€
Dans la théorie de Yukawa sur les forces nucléaires, l’interaction attractive entre un
neutron et un proton est caractérisée par l’énergie potentielle suivante, fonction de la
distance r qui sépare les deux particules :
K −r / a
Ep(r) =
e
r
a étant une distance caractéristique et K une constante négative d’interaction.
1) Donner l’expression de la force correspondante.
2) Donner l’expression de l’énergie potentielle effective Ep,ef en fonction de la masse
µ du système et de son moment cinétique L dans €le référentiel du centre de masse.
Le graphe Ep,ef(r) a l’allure représentée sur la figure ci-contre. Discuter les différents
mouvements possibles suivant la valeur de l’énergie E = Ec + Ep. Quelle est
l’équation qui relie les constantes L, a, µ, K à la valeur rm pour laquelle la dérivée
dEp,ef/dr est nulle ?
3) Calculer le moment cinétique L et l’énergie E dans le cas d’un mouvement
circulaire de rayon ro.
Ep,ef
E1
ro
0
r1
r
Eo
! K ⎛ r⎞
⎛ r ⎞
!
1 L2
L2
Réponse : F = 2 ⎜1+ ⎟e−r / a er ; E p,ef =
+ E p ; K ⎜1 + m ⎟e−rm / a +
=0 ;
2
⎝
2 µr
a ⎠
µrm
r ⎝ a⎠
⎛ r ⎞
K ⎛ ro ⎞ −ro / a
L = −µKro ⎜1+ o ⎟e−ro / a ; E =
.
⎜1− ⎟e
⎝ a⎠
2ro ⎝
a⎠
€
€
2016 – 2017
€
€
€
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IV Forces centrales en 1/ r 2
Partie A : Résultats généraux
€
On s’intéresse dans ce problème aux mouvements de satellites ou de météorites en interaction gravitationnelle avec la Terre. L’étude se
fera dans le référentiel géocentrique considéré comme galiléen, la Terre étant une sphère homogène de centre T , de rayon RT , et de
masse totale M T . Un objet quasi ponctuel P , de masse m évolue à une distance r du centre de la Terre et à une altitude h
(h + RT = r) .
On note G la constante de gravitation universelle.
€
€
€
On note
droite TP orienté
€ de T vers P .
€
€ u r le vecteur unitaire de la €
Dans tout le problème, on utilisera les valeurs numériques suivantes :
* Rayon terrestre : RT = 6400 km .
€
€
−2
* Intensité de la pesanteur
€ à la surface€de la Terre
€ : g o = 9,81m.s .
* Dans tout cette partie l’objet étudié ne sera soumis qu’à la seule
force de gravitation
exercée par la Terre.
€
€
1) Exprimer la force gravitationnelle F à laquelle P est soumis, en fonction
de m , M T , G et r , puis en fonction de m , RT , h et de g o .
€
€
2) Etablir que F est une€ force conservative
et donner l’expression de
E
l’énergie
potentielle
dont
dérive
cette
force
en
€
p
€ €
€
€ € €
€ fonction de G , M T , m et
r . On choisira la constante de manière à ce que l’énergie potentielle du
satellite
€ soit nulle s’il est infiniment éloigné de la Terre.
€ € €
€ par v la norme de la vitesse de P . Exprimer
3) On désigne
l’énergie mécanique E de P .
4) Quelle est, en fonction de la distance r , la vitesse minimale v min (r) qui permettrait à cet objet d’échapper à l’attraction terrestre.
€
€
€
€
5) Evaluer littéralement puis numériquement v lib = v min (RT ) (vitesse de libération à la surface terrestre) et v min (2RT ) .
€
€
6) Montrer que le mouvement de l’objet est plan et qu’il s’effectue suivant la loi des aires.
€
Partie B : Etude d’un satellite
€
1) Orbite géostationnaire
a) Le satellite a un mouvement circulaire de rayon r à l’altitude h .
α) Déterminer sa vitesse v en fonction de h , RT et g o .
β) En déduire sa période T en fonction de h , RT et g o , et son énergie mécanique totale en fonction de m , h , RT et g o .
γ) On veut que le satellite soit géostationnaire,
c’est
€ à dire qu’il soit immobile par rapport à un observateur lié à la Terre.
€
h
Déterminer numériquement
son
altitude
,
ainsi
que
sa vitesse orbitale v g . Préciser quel est alors le plan de la trajectoire.
€ €
g€
€
b) Zones de visibilité
€ :
€ €
€ €€
€
€
α) Déterminer la latitude maximale d’où un satellite géostationnaire est visible à la surface de la Terre.
β) En fait, à cause des perturbations apportées par l’atmosphère terrestre, un satellite n’est utilisable pour le repérage que s’il
€ latitude
est au moins 5° au dessus de€ l’horizon. Déterminer la nouvelle
maximale de visibilité.
γ) Pour le repérage, on utilise en fait des satellites d’orbite quasi-circulaire
de période T o égale à 12 heures. Déterminer leur altitude ho .
€
€
2) Lancement d’un satellite
On ne tiendra pas compte de l’effet de l’atmosphère terrestre.
€
Le satellite
est lancé depuis la surface de la Terre€avec une vitesse initiale
v i = 4 km.s−1 , et un angle de tir α (angle de la vitesse initiale avec l’horizontale
locale au point de tir cf figure (2)) de telle manière que l’apogée de la trajectoire
soit à une altitude hA = 300 km . On désignera alors par rA sa distance au centre
de la Terre.
€
a) Déterminer l’expression de l’énergie mécanique du satellite. En déduire sa
vitesse v A à l’apogée, ainsi que l’angle de tir α .
€
€
b) Déterminer le paramètre p et l’excentricité e de l’ellipse.
2016€– 2017
€
€
€
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Forces centrales conservatives
c) A l’apogée, on communique au satellite, de façon quasi-instantanée, une vitesse supplémentaire tangente à la trajectoire pour
effectuer une mise sur orbite circulaire de rayon rA à la vitesse v1 . Déterminer v1 et la vitesse supplémentaire Δv1 à
communiquer.
Partie C : Mouvements de météorites
€
€
€
€
1) Dans cette partie on étudie des météorites au voisinage de la Terre. Une météorite de masse m s’approche de la Terre. Au point
I tel que rI = 9RT , sa vitesse a pour norme v I et la direction de v I est portée par une droite à la distance d de T .
a) Exprimer l’énergie mécanique de la météorite en fonction uniquement de m , v I et v lib (vitesse de libération définie en A 5).
€
b) Exprimer la norme LT (P) du moment
€
€
€ cinétique de la météorite par
€ rapport T à en €
€ €
€
fonction de m , d et v .
€
I
c) Sur la figure (3) sont dessinées plusieurs
€
trajectoires où (1) et (5) sont €des segments de
droite,€(2) est une ellipse, (3) et (7) sont des arcs de
€
€ et (6) des arcs d’hyperboles.
parabole, (4)
Indiquer parmi ces trajectoires celles qui sont à
exclure et préciser pourquoi. Classer celles qui à
priori sont possibles en fonction de leur énergie
mécanique.
d) Quelle est la forme de la trajectoire
correspondant à rI = 9RT et v I = v lib ? Pouvezvous préciser la valeur de la norme de sa vitesse au
bout d’un temps très grand ?
€ les coordonnées
€ polaires r,θ dans le plan du mouvement. Une météorite P est observée très loin de la Terre avec une
2) On utilise
vitesse de norme v∞ .
€
€
€
Au point I à la distance rI = ro de la Terre la norme de sa vitesse est v I = v o 3
€
GM T
€
où v o =
.
€ ro
€
€
r
€
La météorite passe par le point J à la distance rJ = o de la Terre avec une vitesse
2
de norme v J et intercepte l’axe polaire au point K à la distance rK = r1 de la
Terre.
€
ro
€
L’équation de la trajectoire de la météorite
est : r(θ ) =
.
1+ 2€cos θ
€
€
a) Déterminer les angles polaires en I et J (attention aux signes !).
b) Exprimer r1 en fonction de ro .
c) Déduire de l’équation de la trajectoire, la nature de la conique et son
€
excentricité.
€ €
d) Exprimer l’énergie mécanique Eo de la météorite au point I en fonction de
€
€
m et v o . Commenter le résultat obtenu.
e) Exprimer en fonction de Eo les travaux W IJ et W JK effectués par la force de
gravitation entre les points
€ I et J et entre les points€J et K .
f) Exprimer v J et v K en fonction de v o . Vérifier que l’on obtient
€
v K = v o (1+ 2) . €
€
€
€
€ de v K ? Justifier. € €
g) Quelle est la direction
€
€ v∞ et le paramètre d’impact
€
b (distance de T à la droite qui
h) Déterminer
porte la vitesse à l’inifini).
€
Réponse : v lib = 2g o RT ; hg ≈ 36000km€; v g ≈ 3, 08km.s€−1 ; λ = 81,3° puis 76,3° ; ho ≈ 20300km ;
€
⎛ 1
1 ⎞
1 ⎛ 2 1
2⎞
v A = v i 2 + 2g o RT 2 ⎜
−
⎟ ; α = 32,5° ; p = 1159 km ; e = 0,827 ; v1 = 7,74 km.s-1 ; E = m⎜ v I − v lib ⎟ ;
⎠
2 ⎝
9
⎝ RT + hA RT ⎠
€
€
€
€
ro
8
π
π
; e= 2 ;
v lib ; θ I = − ; θ J = − ; r1 =
LT (P) = mdv I ; seuls (2) (3) (4) possibles ; (4) hyperbole ; v∞ =
3
2
4
1+ 2
€
2016 – 2017
€
€
€
€
€
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Eo =
Forces centrales conservatives
1
mv o 2 ; W IJ = 2Eo ; W JK = 2
2
(
V Dans
€ l’espace
Données :
€
)
2 − 1 Eo ; v J = 5v o ; v∞ = v o ; b = ro .
€
Masse de la Terre : MT = 5,97.1024 kg
Masse du Soleil : MS = 333.103.MT
Jour sidéral : Tsid = 86 164 s
€
€
Rayon de la Terre : RT = 6,38.106 m
Constante de gravitation universelle : G = 6,67.10-11 S.I.
1) Lancement d’un satellite
On étudie le lancement d’un satellite artificiel à partir d’un point O de la surface terrestre.
a) Etablir l’expression de la vitesse du point O dans le référentiel géocentrique Rg (assimilé ici à un référentiel galiléen) en
fonction de la vitesse angulaire de rotation de la Terre autour de l’axe de ses pôles Ω, du rayon terrestre RT et de la latitude du
lieu λ.
b) En déduire les conditions les plus favorables pour le lancement du satellite. Parmi les trois champs de tirs suivants, lequel
choisir de préférence ?
Baïkonour au Kazakhstan λ = 46° ; Cap Canaveral aux USA λ = 28,5° ; Kourou en Guyanne française λ = 5,23°.
2) Champ de gravitation
On considère que la Terre de masse MT et de rayon RT a une répartition de masse à symétrie sphérique et une masse volumique ρ.
a) Enoncer la loi de la gravitation universelle.
b) Montrer qu’en un point situé à une distance r du centre de la Terre (r > RT), le champ de gravitation peut se mettre sous la
!
!
GM !
forme : G = − 2 T er . Définir le vecteur er .
r
3) Lancement d’un satellite artificiel
a) Etablir l’expression de l’énergie
€ potentielle de gravitation du système {Terre-satellite} en fonction de l’altitude z du satellite
€ par rapport au sol. On prend pour référence une énergie potentielle nulle à l’infini. En déduire l’expression de l’énergie
mécanique du satellite sur sa base de lancement dans le référentiel géocentrique.
b) On appelle ici vitesse de libération vl, la vitesse verticale minimale qu’il faut communiquer initialement au satellite par
rapport au sol, pour qu’il puisse se libérer de l’attraction terrestre. Donner l’expression de vl. Calculer sa valeur numérique dans
le cas où le satellite est lancé de la base de Kourou.
4) Satellite artificiel en orbite
On considère un satellite artificiel de masse m en mouvement circulaire autour de la Terre.
a) Montrer que le mouvement du satellite est uniforme. Etablir l’expression de la vitesse du satellite en fonction de son altitude
ainsi que la troisième loi de Képler liant la période de rotation T du satellite au rayon r de sa trajectoire.
b) Calculer le rayon de l’orbite d’un satellite géostationnaire et définir son plan de révolution.
c) Quelle énergie cinétique minimale faut-il communiquer au satellite pour qu’il échappe à l’attraction terrestre s’il est
initialement en orbite circulaire autour de la Terre à l’altitude z ? A.N. : z = 36 000 km ; m = 6 t.
d) Soit un satellite d’énergie initiale Emo. Son orbite est relativement basse et il subit donc les frottements des hautes couches de
l’atmosphère. Il s’ensuit que l’énergie mécanique du satellite varie selon la loi : Em = Emo ( 1 + b t ), b étant un cœfficient
constant positif.
On suppose que la trajectoire reste approximativement circulaire.
Préciser le signe de Emo. Etablir l’expression du rayon r et de la vitesse v du satellite en fonction du temps. Comparer les
évolutions de r et de v ainsi que celles des énergies potentielle et cinétique. Que devient l’énergie perdue ?
5) Sonde solaire
On cherche à positionner une sonde spatiale de masse m en un point P de manière à ce que, abandonnée en ce point, la sonde reste
immobile par raport au système {Terre-Soleil}. Les positions correspondant à cette situation sont appelées « points de Lagrange ».
Soient :
•
P1 et P2 les positions de Lagrange pour lesquelles le point P est aligné avec le centre T de la Terre et avec le centre S du
Soleil ; T et P se trouvant du même côté du Soleil ;
•
x la distance entre la sonde et la Terre ;
•
d la distance Terre-Soleil ;
•
k = MS/MT.
La masse de la sonde est négligée par rapport aux masses de la Terre et du Soleil. On tiendra compte de la rotation de la Terre
autour du Soleil.
a) Déterminer les valeurs des distances SP correspondant à ces positions. Faire un schéma. On considère que x/d << 1.
b) Quel est l’intérêt de placer un satellite en l’un de ces points ? Donner un exemple de ces satellites particuliers.
2016 – 2017
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PCSI 2
Forces centrales conservatives
Réponse : v(O) = RT Ω cos λ ; E p = −
Ec = 2,82.1010 J ; r(t) = −
€
GmM T
1
GmM T
; Em = mRT 2Ω 2 cos 2 λ −
; vl =
RT + z
2
RT
d
GmM T
2E (1+ bt)
; v(t) = − mo
; x1 ≈ x 2 ≈
.
13
2Emo (1+ bt)
Gm
( 3k)
€
€
2GM T
− v 2 (O) ; v =
RT
GM T
;
RT + z
€
VI Mouvement
dans un champ
€ newtonien - Théorème du viriel
€
€
Le théorème du viriel affirme en particulier que si un point matériel M(x, y, z) possède une énergie potentielle Ep(x, y, z) vérifiant la
propriété Ep(λx, λy, λz) = λk.Ep(x, y, z) pour tout λ réel, alors il existe la relation k<Ep> = 2<Ec> entre les valeurs moyennes
temporelles au cours du mouvement de M à condition que la trajectoire soit bornée ; Ec désigne l’énergie cinétique de M et <f> la
valeur moyenne de f(t) au cours du temps.
Nous ne considérerons que des mouvements périodiques donc les moyennes seront calculées sur une période.
Dans tout le problème, l’étude est faite dans un référentiel galiléen (R) auquel est associé un repère orthonormé (O, x, y, z).
On considère un satellite de masse m se trouvant à une distance r du centre O de la Terre. On note G la constante de gravitation, M t
la masse de la Terre et r la distance entre O et le satellite.
1)
€
€
€
€
a) Comment s’écrit la force subie par le satellite ?
€
€
b) Déterminer
l’énergie potentielle E p du satellite (avec la convention E p = 0 à l’infini).
c) Comment s’exprime ici le théorème du viriel ? Quelle propriété de l’énergie retrouve-t-on pour un état lié ?
d) Dans le cas où la trajectoire du satellite est circulaire de rayon ro , déterminer sa vitesse vC .
€
€ à une distance r , avec une€vitesse orthoradiale (orthogonale au rayon vecteur) de module
Pour la suite, le satellite est lancé
o
vo = α
GM t
avec 1 < α < 2 .
ro
€
€
€
2)
€
€
a) Montrer
que le mouvement est plan. Celui-ci est repéré en coordonnées polaires (r,θ ) dans son plan ; montrer que la quantité
d
θ
est constante. Déterminer la valeur de cette constante que l’on notera C .
r2
dt
b) Montrer que la trajectoire est bornée.
C'
p€
c) Montrer que l’équation polaire de la trajectoire peut s’écrire r =€
avec p =
où C' est une constante que l’on
GM t
1 + e cos θ
!
C 2 ⎡ 1 ∂ 2 ⎛ 1 ⎞⎤!
déterminera. On donne la deuxième formule de Binet : γ = − 2 ⎢ + 2 ⎜ ⎟⎥er .
r ⎣ r ∂θ ⎝ r ⎠⎦
€
€
GM t m
€
En outre, il est rappelé que dans le cas d’une trajectoire elliptique l’énergie mécanique vaut E = −
avec a le demi-grand
2a
axe.
d) Déterminer le paramètre p de la trajectoire€du satellite en fonction de ro .
€
e) Déterminer l’excentricité de la trajectoire en fonction de α seulement.
€
f) Calculer les rayons au périgée et à l’apogée. Représenter la trajectoire en précisant le point départ, l’axe polaire, les foyers.
€
€
€
€
a) Exprimer l’énergie cinétique du satellite en fonction de G , m , M t , p , e et θ .
b) Exprimer de même l’énergie potentielle E p en fonction de G , m , M t , p , e et θ .
c) Déduire du théorème du viriel que < cos θ >= −e . Ce résultat vous surprend-t-il ? Que pensez-vous de < sin θ > ?
€ € € € € €
θ
4) Pour mieux cerner le résultat précédent on cherche à€évaluer les durées de
€ € € € € passage du satellite Δt1 pour un angle passant de
€
π
π
π
3
π
€
et Δt 2 pour un angle€θ passant de
à
.
− à
2
2
2
2
T 2 4π 2
€ de p , C et e . €
a) On rappelle la troisième loi de Kepler 3 =
; exprimer la période T en fonction
GM t
a
€
€
b) Exprimer la durée Δt que met
pour passer d’un angle polaire θ1 à θ 2 ; on donnera le résultat en fonction de la
€
€ le satellite
€
période et d’une intégrale sans dimension.
€
€
€ €
€
€
€
€
3)
2016 – 2017
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PCSI 2
Forces centrales conservatives
π /2
Si e = 0,5 , le calcul numérique donne le résultat suivant :
dθ
∫
− π / 2 (1+ e cos θ )
2
= 1,89 .
Ce résultat est-il en accord avec celui obtenu au 3) c) ?
€
!
GM t
GmM t OM
GmM t
Réponse : F = −
; Ep = −
; < E ><€0 ; vC =
; C = α GM t ro ; C' = C 2 ; p = α 2 ro ; e = α 2 − 1 ;
2
r
OM
r
r
o
GmM t
GmM
2πp 2
α 2 ro
2
t
E
=
1+
e
+
2e
cos
θ
E
=
−
1+
e
cos
θ
T
=
<
sin
θ
>=
0
;
;
;
;
;
;
rA =
r
=
r
(
)
c
p
P
o
2 32
2p
p
2 −α2
€
€
€
C
1−
e
€
€
€
€
€
θ2
T
dθ
2 32
Δt =
1− e
.
€
θ 1 1+ e cos θ 2
€2 π
(
)
€
€
€
(
(
)
(
)
) ∫
VII La comète 13P/Olbers
L’astronome allemand HEINRICH W. M. OLBERS (1758—1840) découvrit les astéroïdes Pallas et Vesta en 1802 et en 1807 ; en
1831, il réalisa la première observation de la comète qui porte son nom (13P/Olbers). Les caractéristiques orbitales de cette comète ont
été déterminées initialement par C. F. GAUSS et F. BESSEL. Elle a été observée pour la dernière fois lors de son passage au périhélie
(distance minimale au Soleil) le 10 janvier 1956. Certaines propriétés de cette comète sont examinées dans ce sujet.
Partie A. —Mouvements cométaires
On étudie dans cette partie le mouvement d’un corps ponctuel M de masse m, soumis à l’action d’un centre attracteur fixe à l’origine O
des coordonnées d’un référentiel galiléen R. On posera r = OM .
!
L’action de ce centre attracteur est décrite par une force unique F = −m.gradU (r) , où U est une fonction supposée connue. On note
!
!
!
!
aussi v la vitesse de M dans R, LO = mOM ∧ v , L = LO > 0 et C = L / m .
€
1 —Montrer que le mouvement de M est plan.
!
!
On choisira d’appeler (Oxy) ce plan, orienté par la €
convention LO = Lez ;€l’étude du mouvement de M dans (Oxy) s’effectuera en
€
€
coordonnées polaires
€ ( r,ϕ ) .
€
2 —On note E = mε l’énergie mécanique de M. Exprimer ε en fonction de r , C , r˙ et U(r) .
Le point M est en fait le centre d’une comète sphérique €
et homogène se déplaçant dans le champ de gravitation du Soleil (de masse
M S ). Pour tout le reste de la partie A, on adopte l’expression U (r) = −K / r où K est une constante, et l’on se place dans le référentiel
€
supposé
et sphérique.€De€plus, on néglige l’influence des tous les autres corps du
€ galiléen dans lequel le Soleil est fixe, homogène
€
€
€
système solaire.
3 — Exprimer K en fonction de la constante de la gravitation universelle G et de la masse du Soleil M S .
€
4— A quelle condition sur ε le mouvement de M vérifie-t-il rmin ≤ r ≤ rmax < ∞ avec rmin ≠ rmax ?
Les constantes rmin et rmax sont respectivement appelées périhélie et aphélie de la trajectoire.
On suppose désormais que la condition de la question 4 est vérifiée. L’origine des instants (t
€ = 0) et des angles polaires (ϕ = 0) sera
choisie de sorte que €
r(t = 0) = rmin , ϕ (t = 0) = 0 .
€
€
r +r
r r
€
ε et C en fonction de K, rmin et rmax puis en fonction de K, a = max min et p = max min .
5€
— Exprimer
2
a
6 — Quelle est, sans démonstration, la nature de la trajectoire de M ? Indiquer en justifiant votre réponse, la signification physique
€
€ r −r
e = max min ? Représenter la trajectoire de M en précisant les points et dimensions remarquables.
des paramètres
a,
p
et
€ €
rmax €
+ rmin €
€
€
7 — On étudie la partie de la trajectoire pour laquelle 0 < ϕ < π . Quel est alors le signe de r˙ ?
Exprimer r˙ en fonction de ε , K, C et r. Montrer que la durée τ de parcours de rmin à r(ϕ) le long de cette trajectoire s’écrit
€
a
K
∫
r
r(ϕ )
dr
rmin
€
a e − (r − a) 2 €
€
€
€ ξ est appelé anomalie excentrique. Exprimer la durée τ du
8 — On effectue le changement de variable r = a(1− e cos ξ ) . L’angle
trajet du mobile M depuis l’instant initial jusqu’à sa position actuelle repérée par ξ , en fonction de ξ , e, a et K puis de ξ , e et de
la période T du mouvement de M.
€
Quel est le nom de la relation qui lie T, K et a ?
€
€
On considère que la trajectoire de la Terre autour du Soleil est circulaire, de rayon a0 = 1 UA (unité astronomique) et de période T0 =1
€ 13P/Olbers sont
€ les suivantes : excentricité
€
année = 365,25 jours. Les caractéristiques orbitales, assez stables, de la comète
e = 0,930 ;
distance au Soleil au périhélie rmin =1,18UA. On admettra que les relations t ( ξ ) et r( ξ ) se généralisent à tout point de la trajectoire
de cette comète.
9 — A quelle date la comète reviendra-t-elle pour la prochaine fois au périhélie ? A quelle date la comète se trouvera-t-elle la
2016 – 2017
τ=
€
2 2
€
€
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prochaine fois à la distance r = 26,06 UA du Soleil ?
Partie B. — La
queue de la comète
En 1811, OLBERS proposa pour la première fois une théorie quantitative pour expliquer la formation de la queue des comètes, en
imaginant que les particules qui la composent sont soumises à une force répulsive d’origine électrique variant comme le carré de
l’inverse de la distance au Soleil. On connaît aujourd’hui le mécanisme de formation de la queue de la comète, en particulier si elle est
formée de poussières solides.
Les poussières sont entraînées par un flux de particules (le vent solaire) émises par le Soleil et se déplaçant à une vitesse de l’ordre de
400 km.s-1. On étudie pour simplifier (cf. ci-dessus) une comète se déplaçant en ligne droite à la vitesse de 30 km.s-1 ; la droite en traits
pleins désigne la trajectoire de la comète, et les traits pointillés la direction du vent solaire.
10 — En justifiant votre réponse, indiquer si le Soleil est disposé du côté S1 ou du côté S2 sur la figure ci-dessus.
11 — En justifiant tout autant la réponse et sur cette même figure, la comète se déplace-t-elle dans le sens C1 → C 2 → C 3 ou dans
le sens C 3 → C 2 → C1 ? Calculer l’angle φ entre la direction Soleil–comète et la direction moyenne de la queue de la comète.
⎛ K ⎞ C2
1⎛
C2 ⎞
r r
K
K
€
=−
Réponse : ε = U + ⎜ r˙ 2 + 2 ⎟ ; K = GM S ; ε < 0 ; ε = −
; C = 2K min max = Kp ; r˙ = 2⎜ε + ⎟ − 2 > 0 ;
⎝
2⎝
rmin + rmax
€
rmax + rmin
2a
r⎠ r
r ⎠
τ=
€
a3
T
(ξ − e sin ξ ) = (ξ − e sin€ξ ) ; 2025 ; 2041 ; S1 ; C1 → C 2 → C 3 ; φ ≈ 4,3° .
K
2π
€
€
€
VIII Satellisation.
2016 – 2017
€
€
€
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Données :
Forces centrales conservatives
Masse de la Terre : MT = 5,97.1024 kg
Rayon de la Terre : RT = 6,37.106 m
Jour sidéral : Tsid = 86164 s (période de rotation terrestre).
Constante de gravitation universelle : G = 6,67.10-11 S.I.
1) Champ de gravitation.
On considère que la Terre de masse MT et de rayon RT a une répartition de masse à symétrie sphérique centrée en O.
a) Enoncer la loi de la gravitation universelle décrivant l’interaction de la Terre avec un objet de masse m et de position M situé à
une distance r de son centre.
b) Le champ de gravitation, mesuré à la surface de la Terre, a pour module go = 9,81 m.s-2. Relier go aux caractéristiques de la Terre
(masse, rayon). Vérifier numériquement cette relation.
2) Lancement d’un satellite
On étudie le lancement d’un satellite artificiel à partir d’un point B de la surface terrestre (base de lancement).
a) Quel est le type de mouvement suivi par le point B dans le référentiel géocentrique avant le déclenchement du tir de la fusée ?
Etablir l’expression de la norme de la vitesse du point B dans le référentiel géocentrique Rg (assimilé ici à un référentiel galiléen) en
fonction de la vitesse angulaire de rotation de la Terre autour de l’axe de ses pôles Ω, du rayon terrestre RT et de la latitude du lieu
λ. Evaluer cette vitesse sur l’équateur.
On rappelle que la latitude λ correspond à l’angle existant entre le plan équatorial et la droite (OB) passant par le centre O de la
Terre et le point B considéré.
b) En déduire les conditions les plus favorables pour le lancement du satellite. Parmi les trois champs de tirs suivants, lequel choisir
de préférence ? Baïkonour au Kazakhstan λ = 46° ; Cap Canaveral aux USA λ = 28,5° ; Kourou en Guyane française λ = 5,23°.
3) Satellite artificiel en orbite circulaire
On considère un satellite artificiel de masse m = 4,0.103 kg en mouvement circulaire autour de la Terre.
a) Montrer que le mouvement du satellite est uniforme. Etablir l’expression de la vitesse du satellite en fonction du rayon orbital r.
b) Démontrer la troisième loi de Kepler liant la période de rotation T du satellite au rayon r de sa trajectoire.
c) Définir ce qu’est un satellite géostationnaire, en précisant en particulier les conditions imposées à son plan orbital. Calculer le
rayon de l’orbite d’un satellite géostationnaire.
4) Mise sur orbite d’un satellite.
La mise en orbite terrestre d’un satellite de masse m = 4,0.103 kg est réalisée en quatre étapes :
• phase de lancement : un lanceur place le satellite sur orbite circulaire basse ;
• phase de propulsion : l’action d’un second étage de propulsion, de brève durée, amène le satellite en phase balistique.
• phase balistique : le satellite s’éloigne de la Terre sur une ellipse dont l’un des foyers est situé au centre de la Terre, jusqu’à
atteindre l’apogée ;
• phase de satellisation : le satellite modifie sa vitesse grâce à l’action d’un propulseur pour être placé finalement sur son
orbite circulaire définitive.
a) Exprimer l’énergie mécanique du satellite en fonction de constante universelle de gravitation G, de la masse terrestre MT, de la
distance r entre le satellite et le centre de la Terre, de la masse m du satellite et du module de sa vitesse v.
GM T m
2r
Evaluer numériquement l’énergie correspondant à une orbite basse de rayon r = 8,00.103 km et celle correspondant à une orbite
haute de rayon r = 40,0.103 km.
b) Montrer que l’énergie mécanique s’écrit dans le cas d’une trajectoire circulaire de rayon sous la forme : Em = −
€ la suite que les trajectoires des
c) Montrer que les trajectoires décrites par le satellite sont nécessairement planes. On suppose pour
différentes phases sont coplanaires.
! ! !
La suite de l’étude est conduite en coordonnée polaires (r, θ), la base cylindro-polaire étant notée ( u r , uθ , u z ) .
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€
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d) Expliciter la norme du moment cinétique Lo du satellite en fonction de r et θ.
e) Justifier que l’énergie mécanique se conserve durant la phase balistique. Montrer que l’énergie mécanique se met alors sous la
1
L2
GM T m
forme : Em = mr˙ 2 + 0 2 −
2
r
2mr
f) On définit l’énergie potentielle effective comme le terme : E peff (r) = Em −
€ On donne ci-contre une allure du graphe E
peff
1 2
mr˙
2
Epeff(r)
(r).
Reprendre ce graphe et indiquer les niveaux d’énergie mécanique Em1 et Em2
€ circulaire et d’une trajectoire
correspondant respectivement au cas d’une trajectoire
elliptique.
Justifier la réponse.
0
r
g) Pour atteindre de très hautes altitudes, le satellite est transféré d’une orbite
circulaire basse (rb = 8,00.103 km) à d’une orbite circulaire haute (rh = 40,0.103 km)
en passant lors de la phase balistique par une orbite de transfert elliptique. Schématiser ces orbites, sachant que le périgée P de
l’orbite de transfert est situé sur l’orbite basse et que l’apogée A de l’orbite de transfert se trouve sur l’orbite haute.
Le changement d’orbite s’effectue par de brutales variations de vitesse du satellite à l’aide des moteurs de propulsion. On cherche
à évaluer l’énergie nécessaire à ces opérations.
h) On considère le mouvement sur l’orbite de transfert. Montrer à l’aide de la conservation de l’énergie mécanique que les valeurs
rb et rh sont solution d’une équation du second degré de la forme : r² + α.r + β = 0.
Exprimer α et β en fonction de G, MT, m, Lo et Em.
i) En remarquant que la somme des valeurs rb et rh est égal au grand axe de l’ellipse, noté 2a, montrer que l’énergie mécanique sur
GM T m
l’orbite de transfert répond à l’expression : Em = −
2a
j) On fournit ci-après un graphe présentant l’énergie potentielle effective en fonction du rayon r pour les trois orbites. Relever les
valeurs d’énergie mécanique correspondant à ces trois orbites à partir de ce graphe, en justifiant la réponse.
€
k)
La
variation
d’énergie
mécanique
nécessaire pour
passer de l’orbite basse à l’orbite de transfert est obtenue par la combustion d’un mélange carburant-comburant (propergol) dont le
pouvoir calorifique est d’environ 50 MJ.kg-1. Déterminer la masse mp de propergol nécessaire. Commenter.
5) Chute d’un satellite sur orbite basse.
Le frottement dans les hautes couches de l’atmosphère d’un satellite situé sur orbite basse l’amène inéluctablement à retomber sur
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Terre. La force de frottement est modélisée comme linéaire : . Le frottement est supposé néanmoins suffisamment faible pour que la
trajectoire du satellite reste quasiment circulaire. On obtient alors en quelque sorte une trajectoire circulaire « à rayon r(t) lentement
variable ».
GM T m
Dans ce cadre, l’expression de l’énergie mécanique reste de la forme : Em = −
2r(t)
GM T
et l’étude du mouvement conduit à maintenir formellement la relation exprimant le carré de la vitesse: v 2 (t) =
r(t)
€
dr 1
a) En exploitant le théorème de l’énergie mécanique, montrer que le rayon r(t) répond à l’équation :
+ r(t) = 0
dt τ
€
où τ est une constante que l’on exprimera en fonction de k et m. Montrer que τ est bien homogène
à un temps.
b) En déduire l’expression r(t). On supposera que le satellite est à l’instant t = 0 sur une orbite quasi-circulaire de rayon ro. Tracer
€
l’allure de r(t).
c) Pour une orbite initiale située à l’altitude de 800 km, on constate que le satellite descend de δ = 2,5 m par jour. Proposer une
valeur numérique pour k et déterminer l’intensité de la force de frottement s’exerçant alors sur le satellite à cette altitude.
En pratique, les satellites peuvent être équipés de moteur permettant de relever régulièrement leur orbite.
⎛ GM T 2 ⎞1/ 3
!
GM T m !
GM T
2πRT
r 3 GM T
GM T
T sid
er ; g 0 =
cos λ ; v =
Réponse : F = −
; v=
; 2 =
; r=⎜
⎟ = 4,14.10 7 m ;
2
T sid
r
RT2
r2
T
4π 2
⎝ 4π
⎠
2
−L0
GM T m
m
et β =
; Emb = - 100 GJ ; Emt = - 36 GJ ; Emh = - 20 GJ ; mp = 1280 kg ; τ =
; r(t) = r0e −t /τ ;
L0 = mr 2θ˙ ; α =
2mEm
Em
2k
€
€
k€= 8,1.10-9 USI ; f €
= 0,45 N.
€
€
€
IX €
Rosetta et Philae.
€
€
Rosetta est une mission de l'agence spatiale européenne (ESA) qui a pour
but d'étudier la comète Tchourioumov-Guérassimenko (67P/TG) et sur son
comportement à l’approche du Soleil.
La sonde a été lancée le 2 Mars 2004 par une fusée Ariane 5. Après un
voyage de près de 10 ans pendant lequel elle aura parcouru près de 6,5
milliards de km, Rosetta a atteint la comète en août 2014. La sonde est
constituée d'un satellite principal et d'un atterrisseur (Philae).
La sonde spatiale a été placée en orbite autour de la comète puis, après une
première phase d’observation d’environ 18 mois, Rosetta a envoyé le 12
Novembre 2014 un petit atterrisseur, Philae, se poser sur sa surface pour
analyser la composition de son sol et sa structure.
L'objet de cette épreuve est d'aborder quelques questions relatives à la mission
Rosetta. On désigne dans l'énoncé par v le module du vecteur .
Les données numériques utiles sont fournies à la fin du problème. On notera G la
constante universelle de gravitation.
V-1 A propos de la sonde Rosetta
1) Questionspréliminaires
a) Donner l'expression de la force de gravitation
que le Soleil, de masse MS exerce sur un objet de masse m situé à une distance
r de son centre (r > RS où RS est le rayon du Soleil). Préciser les notations employées et tracer un schéma.
b) Montrer que cette force est conservative et donner l'expression de l’énergie potentielle associée.
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c) Montrer que le mouvement d'un astre en orbite autour du Soleil est plan.
d) On suppose que le mouvement de la Terre autour du Soleil est circulaire. Montrer que le mouvement est uniforme et retrouver
l'expression (et la valeur) de la vitesse de la Terre.
2) Budgeténergétiquepourtransfertorbital
Une façon simple d'envoyer un engin spatial d'une orbite circulaire à une autre (coplanaire) est de lui faire parcourir une orbite
temporaire de transfert elliptique. Cette trajectoire est tangente aux orbites de départ et d’arrivée. Elle est appelée orbite de transfert de
Hohmann.
Deux impulsions sont nécessaires pour effectuer ce transfert. Une première impulsion engendre une variation de vitesse Δv1 (voir
figure 1) ce qui permet le passage de l'orbite circulaire de départ vers l’orbite elliptique de transfert. Une seconde impulsion, associée à
une variation de vitesse Δv2, permet le passage de l’orbite de transfert vers l’orbite d'arrivée.
On indique que l’énergie mécanique d'un objet de masse m en orbite elliptique autour d'un corps de masse M est donné par :
où a est le demi grand axe de l'ellipse.
a) Montrer que l'expression du paramètre Δv1 permettant de passer d'une orbite circulaire de rayon R1 à une orbite elliptique de
demi grand axe a = (R1+R2)/2 est :
.
Le lanceur Ariane 5G+ utilisé pour la mission place dans un premier temps Rosetta sur une orbite héliocentrique de même rayon que
celle de la Terre. La comète 67P/TG possède une trajectoire elliptique autour du Soleil dont le demi grand axe est de 3,5 ua. On
supposera que la Terre possède une orbite quasi circulaire.
On souhaite évaluer la valeur de Δv permettant de rejoindre la comète.
b) Le périhélie de la comète, c'est à dire le point de la trajectoire le plus proche du soleil est de l'ordre de 1 ua. On envisage une
injection directe dans l'orbite de la comète depuis l'orbite circulaire de la Terre. Déterminer la valeur Δv nécessaire à cette
manœuvre.
Cette grandeur (appelée aussi budget Δv) permet de déterminer la masse de carburant nécessaire aux différentes manœuvres. En
pratique, lorsque plusieurs manœuvres sont nécessaires, chacune associée à une valeur Δvi, le budget Δv correspond alors à la
somme de ces dernières.
On prendra pour la suite du problème une valeur de Δv pour rejoindre la comète 67P/TG de 9,2 km.s-1.
3) LienentrebudgetΔvetcarburant
La propulsion de Rosetta est assurée par 24 petits moteurs-fusées à ergols liquides. Les moteurs permettent d'effectuer les corrections
orbitales au cours du long périple de la sonde afin de placer celle-ci en orbite autour de la comète. Nous cherchons à estimer la masse
d'ergols nécessaire à la réalisation de la mission.
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a) L’éjection de gaz par les tuyères des propulseurs permet de modifier la vitesse de la sonde. On considère un mouvement
rectiligne de la sonde. L'équation du mouvement, que l'on ne demande pas de retrouver, s'écrit alors
où m est
la masse de la sonde à l'instant t, v la vitesse de la sonde et ve la vitesse d'éjection des gaz.
En considérant que la vitesse d'éjection est constante, montrer que
où Δm est la masse de carburant
utilisée pour produire une variation de vitesse Δv.
Cette relation est appelée équation de Tsiolkovski. Elle relie l'accroissement de vitesse au cours d'une phase de propulsion d'un
objet (sonde, fusée ...) doté d'un moteur à réaction au rapport de sa masse initiale à sa masse finale.
b) La quantité de carburant nécessaire à une mission est souvent quantifiée par le paramètre r défini comme :
. Déterminer la relation entre r et Δv.
c) À partir des résultats obtenus précédemment, on a
tracé (voir la figure 2 ci-contre) l’évolution de la valeur
du coefficient r en fonction de Δv, pour une valeur fixée
de la vitesse d’éjection ve = 3,5 km.s-1
Indiquer de façon argumentée, en vous aidant des
données fournies, si une trajectoire de Rosetta associée à
une injection directe sur l'orbite de la comète 67P/TG est
envisageable.
figure2
V-2 Atterrissage du module Philae
Dans cette partie, la comète est modélisée par une boule homogène de masse mcom et de masse volumique µcom.
La distance entre un point M et le centre O de la comète est notée r = OM.
a) Déterminer le rayon rcom de la boule équivalente à la comète.
Le champ gravitationnel
dû à la comète, s’écrit
(pour r > rcom) où
est le vecteur unitaire radial centrifuge.
b) Peut-on considérer le champ gravitationnel de la comète uniforme lors de la chute du module Philae suite à son largage ?
Approche numérique de l’équation du mouvement
On étudie la chute libre de l’atterrisseur Philae, dans un référentiel dont l’origine est le centre O de la comète et qui tourne avec
Rosetta, de sorte que le vecteur
être considéré comme galiléen.
pointe constamment vers l’atterrisseur (accélération
). On admet que ce référentiel peut
c) Etablir l’équation du mouvement de l’atterrisseur Philae, une fois séparé de Rosetta, en projection sur l’axe radial.
Cette équation peut être résolue numériquement. L’évolution temporelle de la distance r est représentée sur la figure 1, à partir de la
distance initiale r(t = 0) = rlarg, pour différentes vitesses verticales initiales
.
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d) Déterminer la durée τ0 de la chute de Philae s’il est abandonné par Rosetta avec une vitesse verticale nulle.
e) La durée réelle de chute est
. En déduire la vitesse verticale initiale communiquée à l’atterrisseur.
Différentes trajectoires de phase sont représentées sur la figure 2, en fonction de la vitesse verticale initiale.
f) Déterminer, par lecture graphique, la vitesse verticale atteinte par Philae au moment du contact avec la comète.
Approche énergétique
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Forces centrales conservatives
L’objectif est de retrouver la vitesse atteinte par l’atterrisseur au moment du contact avec la comète.
g) Donner sans démonstration l’expression de l’énergie potentielle gravitationnelle Epcom d’un point matériel de masse m situé à
la distance r > rcom du centre de la comète, en fonction de G, m, mcom et r (on fixe
).
h) Lors de la chute de Philae, préciser comment évolue l’énergie mécanique de l’atterrisseur.
i) En déduire, littéralement puis numériquement, la vitesse atteinte par l’atterrisseur lors du contact avec la comète.
Données numériques :
• Grandeurs physiques :
Masse du Soleil : MS = 2,0.1030 kg
Masse de la Terre : MT = 6,0.1024 kg
Rayon moyen de l'orbite de la Terre autour du Soleil : 1 unité astronomique (ua) = 150.106 km
Rayon de la Terre : RT = 6,4.103 km
Constante de gravitation universelle : G = 6,67.10-11 m3.kg–1.s–2
• Données techniques relatives à Rosetta :
Masse à vide de Rosetta : 1 300 kg
Charge utile du lanceur Ariane 5G+ : 6 950 kg
Masse de l’atterrisseur Philae : mph = 98 kg
Distance de largage par rapport au centre : rlarg = 22,5 km
• Caractéristiques de la comète Tchourioumov-Guérassimenko :
Masse de la comète : mcom = 1,0.1013 kg
Masse volumique de la comète : µcom = 400 kg.m-3
Période de rotation propre de la comète : Tcom = 12,4 h
Distance du Soleil au moment du rendez-vous avec Rosetta : 3,3 ua
Diamètre du noyau : 4 km
Albédo du noyau (fraction du rayonnement solaire incident réfléchie par le noyau) : 4%
Réponse : v =
Gm com
GM S
= 0 ; τ = 145000 s ; v0 = -0,75 m.s-1 ; v = - 1,1 m.s-1.
= 30km.s−1 ; r = e Δv / v e − 1 ; rcom = 1,8km ; ˙r˙ +
2
r
r
€
€
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€
€
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