Chapitre 6 OSPH Le mouvement circulaire uniforme page 25 6. Le mouvement circulaire uniforme 6.1. Accélération radiale. Soit une particule se déplaçant à vitesse constante v sur un cercle de rayon r. Supposons que, durant un court intervalle de temps t , son vecteur position tourne de l'angle , et que le déplacement de la particule, r r2 r1 , soit vertical. Comme v est toujours perpendiculaire à r , les directions de ces deux vecteurs varient selon le même angle durant un intervalle de temps quelconque. Sur le diagramme vectoriel de l'équation v 2 v1 v , nous voyons que v 2 v 1 v . La direction de v est horizontale et radiale vers l'intérieur, confondue avec la bissectrice de l'angle à l'intérieur du cercle. Les triangles OPQ et ABC sont deux triangles isocèles ayant les mêmes angles. Donc, r r v v v et nous en tirons v r r v v 2 Puisque r v t , nous voyons que t r Cette accélération est appelée radiale, car elle est toujours dirigée selon un rayon. Comme son sens pointe vers le centre, on l’appelle également accélération centripète. v D'après la définition a , nous savons que l'accélération t radiale est ar v2 r La période T est le temps nécessaire pour effectuer une révolution, c'est-à-dire pour parcourir 2r une distance égale à 2r ; la vitesse est donc v . Ainsi : T 4 2 r ar 2 T EXEMPLE: Un pilote effectue en avion un virage circulaire horizontal avec une accélération centripète de 5g. Si la vitesse de l'avion est égale à Mach 2 (deux fois la vitesse du son, qui vaut 340 m/s), quel est le rayon du virage? Chapitre 6 OSPH Le mouvement circulaire uniforme 6.2. La force de gravitation La loi de gravitation universelle a été énoncée par Newton en 1687 dans le but d’expliquer le mouvement des planètes autour du Soleil. Il existe, selon cette loi, une force d’attraction entre deux objets ponctuels de masse m : M m F G 2 r où G 6,67 10 11 N m 2 / kg 2 page 26 m M r En particulier, le poids d’un objet posé à la surface de la Terre peut se calculer grâce à cette formule. Applications : 1. Calculer la force d’attraction exercée par la Lune sur la Terre. 2. Extraire l’expression de g et calculer sa valeur à l’aide des informations suivantes : M Terre 5. 97 10 24 kg , RTerre 6370 km m MT RT Orbites de satellites en mouvement circulaire On suppose que la masse du corps central (Terre, Soleil) est beaucoup plus grande que la masse du corps en orbite (satellite, planète). Cela nous permet de traiter le corps central comme fixe. On néglige aussi les forces d’amortissement (frottement d’air dans les cas d’orbites basses). Selon la deuxième loi de Newton, on peut écrire : F ma GMm mv 2 r2 r GM La vitesse orbitale est donc : v orb r 2r La période de l’orbite est : T de sorte que : v orb 2 T r3 GM 4 2 3 Que l’on peut exprimer ainsi : T r GM T2 ou bien : 3 il s’agit de la troisième loi de Kepler, établie en 1619. r Application : Calculer le rayon de l’orbite d’un satellite géostationnaire. 2 Chapitre 6 OSPH Le mouvement circulaire uniforme page 27 6.3. Les lois de Kepler PREMIERE LOI OU LOI DES ORBITES ( 1605) : DEUXIEME LOI OU LOI DES AIRES (1604) : DANS LE REFERENTIEL HELIOCENTRIQUE, L'ORBITE DE CHAQUE PLANETE EST UNE ELLIPSE DONT L'UN DES FOYERS EST OCCUPE PAR LE SOLEIL. LE MOUVEMENT DE CHAQUE PLANETE EST TEL QUE LE SEGMENT DE DROITE RELIANT LE SOLEIL ET LA PLANETE BALAIE DES AIRES EGALES PENDANT DES DUREES EGALES Ellipse : F et F' sont les foyers ; 2a représente le grand axe , 2b le petit axe de l'ellipse M est la position du satellite et dans le cas d 'une ellipse on a : MF + MF' = Constante. TROISIEME LOI OU LOI DES PERIODES (1618) : POUR TOUTES LES PLANETES, LE RAPPORT ENTRE LE CUBE DU DEMI GRAND AXE (r) DE LA TRAJECTOIRE ET LE CARRE DE LA PERIODE (T) EST LE MEME. Cette constante est indépendante de la masse de la planète. Pour les différentes planètes du système solaire on a : Chapitre 6 OSPH Le mouvement circulaire et gravitation 1. 2. 3. 4. page 25 6.4. Exercices On fait tournoyer une pierre de 0,5 kg à l’aide d’un fil de 80 cm. Calculer la force exercée par le fil si la pierre tourne à raison de 1 tour par seconde. On néglige la pesanteur. Une voiture entre dans un virage de 30 m de rayon. L’adhérence maximale des pneus est de 4'000 N. Calculer la vitesse maximale à laquelle la voiture peut négocier cette courbe sans déraper. Calculer la valeur de force qui retient la Terre dans son orbite autour du Soleil. Calculer la force de gravitation exercée entre deux homme de 80 kg chacun distants de 20 cm. 5. Calculer la valeur de l’accélération d’un objet qui tombe à la surface de la Lune, de Mars. 6. Que devient la vitesse orbitale d’un satellite, en mouvement circulaire, s’il s’éloigne de la Terre ? 7. La lune Io de Jupiter est en orbite circulaire de rayon 4,22 10 5 km avec une période de 1,77 jour. Calculer la masse du Jupiter à l’aide de ces données. 8. Saturne est éloignée du Soleil environ 9,5 fois plus que ne l’est la Terre. Calculer sa période orbitale. 9. Calculer la vitesse d’un satellite géostationnaire. 10. Calculer la période de la station orbitale internationale sachant qu’elle vole au dessus de nos têtes à une altitude de 300 km. 11. Sur une orbite elliptique, la vitesse de la Terre au périhélie est de v p 3,03 10 4 m / s . Si les distances au Soleil au périhélie et aphélie sont de rp 1,47 1011 m et ra 1,52 1011 m , trouver v a .