MOUVEMENT KEPLERIEN Les données suivantes pourront être utilisées dans les différents exercices : • • • • • 1 rayon de la Terre RT = 6, 37.103 km champ de pesanteur au niveau de la mer : g = 9, 8 m.s−2 constante de gravitation : G = 6, 67.10−11 kg−1 .m3 .s−2 masse de la Terre : MT = 5, 97.1024 kg durée d’un jour sidéral Tsid = 86164 s Modèle de Bohr de l’atome d’hydrogène L’électron de masse m et de charge −e tourne autour du proton sur une orbite circulaire de rayon r à la vitesse constante v. a) Exprimer en fonction de r la vitesse v ainsi que la fréquence ν du mouvement de l’électron. b) Exprimer en fonction de r : l’énergie potentielle Ep de l’électron, son énergie cinétique Ec , son énergie mécanique Em = Ec + Ep . c) L’énergie d’ionisation de l’atome H dans son état fondamental étant de −13, 6 eV, calculer le rayon r1 de l’orbite de l’électron dans l’état fondamental. On donne ε0 = 8, 85.10−12 S.I. et e = 1, 60.10−19 C. 2 Satellite en orbite polaire Un satellite décrit une orbite circulaire autour du centre de la Terre, dont le plan contient les pôles. Au cours d’une même révolution ce satellite passe à la verticale de Marseille puis à la verticale de Paris. 1) Quel est l’intervalle de temps minimal ∆t entre ces deux passages, et préciser dans ce cas le sens de rotation du satellite sur son orbite ? 2) Déterminer ensuite : – sa période de révolution T – son altitude h. Données : • latitude de Paris : 48◦ 500 N – longitude de Paris 2◦ 200 E • latitude de Marseille : 43◦ 150 N – longitude de Marseille 5◦ 200 E Réponses : ∆t = 718 s ; T = 46, 3.103 s ; h = 21, 5.106 m. 1 3 Mouvement orbital de la Terre On suppose que la Terre n’est soumise qu’à la seule attraction solaire et qu’elle décrit dans son mouvement une ellipse dont le foyer se trouve au centre du Soleil. Quand la Terre est à son aphélie, sa distance au Soleil vaut rmax = 1, 52.1011 m et sa vitesse orbitale vmin = 2, 93.104 m.s−1 . Sachant qu’à son périhélie la Terre se trouve à la distance rmin = 1, 47.1011 m, exprimer puis calculer sa vitesse orbitale au périhélie. 4 Énergie de mise en orbite d’un satellite terrestre Un satellite terrestre de masse m est lancé d’une base Mo située à la latitude λ pour être placé sur une orbite circulaire de rayon r. 1) Rappeler dans quel référentiel on doit se placer pour étudier le mouvement de ce satellite. 2) Exprimer l’énergie mécanique initiale Em0 de ce satellite en M0 juste avant le lancement, puis l’énergie mécanique finale Em lorsqu’il est sur son orbite. En déduire l’expression de ∆Em = Em − Em0 , l’énergie minimale à fournir à ce satellite pour sa mise sur orbite. On exprimera ∆Em en fonction de G constante de gravitation, MT masse de la Terre, m, r, RT rayon de la Terre, Tsid durée du jour sidéral et λ latitude de la base de lancement. 3) On note les latitudes des trois bases de lancement : — Baïkonour au Kazakhstan : λ = 45, 9◦ — Cap Canaveral en Floride : λ = 28, 4◦ — Kourou en Guyane : λ = 5, 23◦ a) Laquelle de ces trois bases offre les meilleures conditions de lancement ? b) On considère un satellite de masse m = 6, 0 t en orbite circulaire à l’altitude h = 1, 0.103 km. Calculer ∆Em pour la base de Kourou puis calculer l’énergie gagnée entre Baïkonour et Kourou. Commenter. 5 Transfert d’orbite d’un satellite artificiel On considère un satellite artificiel placé sur une orbite terrestre circulaire C1 de rayon R1 . On veut transférer ce satellite sur une autre orbite circulaire C2 de rayon R2 . Le transfert s’effectue sur une orbite elliptique H tangente aux deux trajectoires précédentes. Une telle ellipse est appelée ellipse de Hohmann. a) Donner les expressions des vitesses circulaires v1 et v2 sur les orbites circulaires C1 et C2 . b) En déduire l’expression de l’énergie mécanique sur les orbites circulaires C1 et C2 . Que devient l’expression de l’énergie mécanique pour une orbite elliptique ? Donner alors l’expression de l’énergie mécanique sur l’ellipse de Hohmann. 2 c) En déduire les expressions des vitesses v10 en P et v20 en A sur l’orbite elliptique de Hohmann. d) Exprimer puis calculer les variations de vitesse ∆v1 = v10 − v1 et ∆v2 = v2 − v20 du satellite lors des transferts respectifs de C1 sur H et de H sur C2 . e) Calculer la durée du transfert sur l’ellipse de Hohmann. A.N : R1 = 8, 00.103 km ; R2 = 2R1 ; 6 Freinage d’un satellite en orbite quasi-circulaire On étudie le mouvement d’un satellite artificiel de la Terre dans le référentiel géocentrique RG supposé galiléen. Le satellite subit la seule force de gravitation de la Terre considérée à symétrie sphérique. On désignera par MT la masse de la Terre. On note G la constante de gravitation universelle. Le satellite M de masse m en orbire circulaire de rayon r subit dans les hautes couches d’air raréfié de l’atmosphère, une force de frottement de la forme : F~f = −αmv~v Le coefficient α est positif et v est le module de la vitesse ~v du satellite dans RG . La force de frottement étant très faible, la trajectoire du satellite reste quasi-circulaire et, pendant une révolution, le rayon de la trajectoire passe de la valeur r à la valeur r + ∆r, la variation de la distance au centre ∆r restant très inférieure à r en valeur absolue. La durée d’une révolution est notée T . 1) Dans le cas d’une trajectoire circulaire du satellite, alors que les frottements sont négligés, montrer que les énergies mécanique, cinétique et potentielle du satellite vérifient : 1 Em = −EC = Ep 2 avec Ep = 0 à l’∞ Ces relations restent valables dans le cas de la trajectoire quasi-circulaire 2) Déterminer pour une révolution, la variation ∆Ep de l’énergie potentielle de gravitation en fonction de G, m, MT , r et ∆r. En déduire la variation ∆Em d’énergie mécanique sur une révolution. 3) Calculer sur la même période, le travail Tf de la force de frottement en fonction de α, m, v et r. En déduire que : ∆r = −4παr2 Quel est l’effet des forces de frottement sur la trajectoire et sur la vitesse du satellite ? 4) En supposant que dr ' ∆r montrer que r suit une loi de la forme : dt T K est une constante à déterminer en fonction de α, G et MT . 3 p √ r(t) = r0 + Kt où 7 Distance de plus courte approche d’un météore Un météore, assimilable à un point matériel M de de masse m négligeable devant la masse MT − de la Terre, arrive de l’infini avec la vitesse → v o par rapport à la Terre. Son paramètre d’impact est OH = b, où O correspond au centre de la Terre. On note S le point de la trajectoire le plus proche du centre de la Terre. 1) Quelles sont les deux grandeurs physiques conservées au cours du mouvement ? 2) Soit ~σO le moment cinétique par rapport à O du point M . 2.a) Donner l’expression de ~σO lorsque M est à l’infini (M = M∞ ) en fonction de m, v0 , b et ~uz . 2.b) On note vS la norme de la vitesse de M lorsqu’il passe au plus près de la Terre (M = S). Donner l’expression de ~σO lorsque M est en S en fonction de m, vS , rmin et ~uz . 3) En utilisant la conservation des grandeurs données au 1), exprimer la distance rmin de plus courte approche de la Terre, en fonction de vo , b, MT , G constante de gravitation. À quelle condition le météore évitera-t-il l’impact avec la Terre ? s 2 GMT GMT Réponse : rmin = − 2 + + b2 v0 v02 4