e p h c

É COLE P RATIQUE DES H AUTES É TUDES C OMMERCIALES
ephec
INSTITUT D’ENSEIGNEMENT SUPÉRIEUR TECHNIQUE DE TYPE COURT
MATHÉMATIQUE, SYSTÈMES DE NUMÉRATION,
LOGIQUE, STATISTIQUE APPLIQUÉE
TRIGONOMÉTRIE : EXERCICES
A. DEWULF
Année académique 2010-2011
CH. LAMBEAU
1T ephec
TRIGONOMÉTRIE : exercices
MATHÉMATIQUES
EXERCICES
1) De mémoire, tracer un cercle trigonométrique, y placer l’axe des sinus et des cosinus ainsi
que le sens positif des angles, y placer les angles suivants (et les exprimer aussi bien en
degrés qu’en radians) :
a) 30° ............................................................................................................................. /6
b) 3/4............................................................................................................. 3 * 45°= 135°
c) 3.14159... rad .................................................................................................  rad = 180°
d) - 45° .......................................................................................................................... -/4
e) 4/3............................................................................................... 4 * /3 = 4 * 60° = 240°
f)
270° ................................................................................................. 270° = 3 * 90° = 3/2
g) -120° ............................................................................................. -120° = 2 * -60° = -2/3
h) - /2 ......................................................................................................................... -90°
2) Un triangle rectangle peut-il être isocèle ? peut-il être équilatéral ? quelles sont dans les
deux cas les valeurs des trois angles ?
..............................................................................isocèle oui (90°+45°+45°), équilatéral, non (3*90° > 180°)
3) Expliquez à quelqu’un ce qu’est un radian et un degré
4) Transformez : (sans calculatrice, bien sûr )
a) 25° 30’ 45’’
en radians avec 2 décimales exactes
30' = 0.5°; 45" = ¾' = 3/240° = 1/80° = 0.0125°; 25 + 0.5 + 0.0125 = 25.5125 = 25.51 (2 déc.)
b) 1.5 radian
en degrés, minutes et secondes
puisque 180° = 3.14159 rad, 1 rad < 60° : 1 rad  57.3°  57°18'; 0.5 rad = 28°39'; 1.5 rad = 85°57'
5) À une époque lointaine (quand l’auteur de ces lignes était à l’école primaire), on utilisait
l’approximation  = 22/7 ; quelle est l’erreur relative que l’on commettait alors ? (en
prenant comme référence  = 3.14159) ?
3.14159 / (22/7) = 2%
6) A la mesure d’un angle en degrés, on ajoute cette mesure mais en radians et l’on trouve
25.5 rad; quel est cet angle (en degrés et radians) ?
25.5 rad = x + x * /180 = x * (1 + /180)  1.02 * x => x = 25.5 / 1.02 = 25 rad  1432°23'40"
7) Si l’hypoténuse d’un triangle rectangle mesure 7 cm et un des deux autres côtés mesure 5
cm, quelle est la mesure du troisième côté ?
24 = 2 6
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h² = a² + b² => 49 = 25 + b² => b =
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TRIGONOMÉTRIE : exercices
MATHÉMATIQUES
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EXERCICES
1) Quelle est votre définition des termes suivants ?
a) quadrant
b) sinus
c) cosinus
2) Quel est le domaine (intervalle) des angles (en degrés et radians) ... et pourquoi
a) où le sinus et le cosinus ont le même signe ? ..................................................... Q1, Q3
b) où le cosinus a le même signe que la tangente ? ................................................ Q1, Q2
3) Que se passe-t-il avec la tangente d’un angle lorsque son amplitude s’approche de la valeur
de /2, puis la dépasse ?............................................................... tend vers +, revient de -
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4) Dans quel quadrant se trouvent les angles suivants (exprimez-les en degrés et en
radians) ?
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a)
30° ....................................................................... Q1, /6; sin=1/2, cos= 3 2 ,tan= 3
b)
-3/2 ........................................................................... Q1, -270°; sin=-1, cos=0, tan=-
c)
120° ................................................................ Q2, 2/3; sin= 3 2 , cos=-1/2, tan=- 3
d)
-270° ............................................................................. Q1, -3/2; sin=1, cos=0, tan=
e)
5/4 ................................................................Q3, 225°; sin=- 2 2 , cos=- 2 2 , tan=1
f)
-5/6 .............................................................. Q3, -150°; sin=1/2, cos=- 3 2 , tan=- 3
g)
quels sont les signes des trois nombres trigonométriques sin, cos et tan pour chacun
de ces angles ?
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TRIGONOMÉTRIE : exercices
MATHÉMATIQUES
EXERCICES
1) Les valeurs irrationnelles 2 et 3 reviennent souvent dans les valeurs des nombres
trigonométriques remarquables : pouvez-vous de mémoire en donner une valeur
approchée avec 2 décimales exactes ? ... et avec 4 décimales exactes ? non ... alors il est
temps de les mémoriser ! à vos calculatrices !
2) Dans la foulée, même question pour les valeurs
2 2,
3 2 et
3 3
3) Quels sont les angles (en degrés et en radians) dont le sinus et le cosinus ont la même
valeur mais des signes différents ?
4) Qu’est-ce que des angles complémentaires ? donnez-en un exemple représentatif et
énoncez une propriété importante quant aux nombres trigonométriques de tels angles
5) Quels sont les angles dont le sinus a pour valeur absolue 1.5 ?
non sens ! -1 <= sin <= 1
6) Si un angle est obtus, peut-il avoir un sinus négatif ? expliquez
s'il est > 
7) Quels sont les angles dont la tangente vaut +1 ?
/4 et 5/4
8) Retrouvez la formule Erreur ! Source du renvoi introuvable. géométriquement à partir
des triangles (fig.4.17) ... et dans la foulée, effectuez le même travail pour toutes les
formules (4.11) à (4.16) !
9) Quelle est (de mémoire) la valeur des nombres trigonométriques des angles suivants ?
a) cos(/3)............................................................................................................... 1/2
b) tan(-/2)............................................................................................................... -
c) sin(270°) ............................................................................................................... -1
d) cos(-60°) ............................................................................................................. 1/2
e) sin(2/9).............................................................. hors contexte ! (pas un angle remarquable)
f) tan 3.14159 rad ...................................................................................................... 0
10) Avez-vous un moyen (autre que les fonctions trigonométriques votre la calculatrice ) de
vérifier si oui ou non les deux valeurs suivantes sont correctes simultanément : sin 1rad
= 0.84 et cos 1rad = 0.60 ? .......................... vérifier que sin² + cos² = 1; ce n'est pas le cas ici !
11) Quelle propriété des angles utilisez-vous pour ramener les calculs suivants au premier
quadrant (et donnez tous les nombres trigonométriques équivalents) :
a) tan(90° + ) ................................................................................................. -1/tan()
b) cos(-270°) ..................................................................................................... cos(/2)
c) sin(/2 - ) ........................................................................................................ cos 
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d) cos(3/2 + ) .................................................................................................... sin 
e) tan(5/4 - ).............................................................................................. tan (/4 -)
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MATHÉMATIQUES
TRIGONOMÉTRIE : exercices
1T ephec
12) L’hypoténuse [BC] d’un triangle rectangle mesure 5 cm ; le côté [AB] mesure 3 cm ;
quels sont les nombres trigonométriques des angles B et C ?
le troisième côté vaut 4;
4 = 5 * cos C => cos C = 0.8; 3 = 5 cos B => cos B = 0.6;
avec sin² + cos² = 1, on trouve sin C = 0.6 et sin B = 0.8
13) Trouver le complément et le supplément des arcs suivants
a) 37°15’ .................................................................................................. 52°45’, 142°45’
b) -87°38’ ................................................................................................ 177°38’, 267°38’
c) /9 ............................................................................................................ 7/18, 8/9
d)  + 3/2................................................................................................ - - , - - /2
e)  - /2.................................................................................................. - + , 3/2 - 
f) calculer la valeur de cos²(/3) + sin²(/6) – sin(/4).cos(/4) ................................... 0
14) Ramener à plus simple et calculer
a) sin 330°................................................................................................ -sin(30°) = -1/2
b) tan 225° ................................................................................................... tan(45°) = 1
c) cos (7/3).............................................................................................. cos(/3) = 1/2
d) -sin (5/4) ......................................................................................... sin(/4) =
2 2
15) Quelles sont les relations qui existent entre les nombres trigonométriques de
a) 60° +  et 30° - ............................................................... complém. 60°++30°- = 90°
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b)  - 50° et 410° -  ................................................................ équiv. -50°+410°- = 360°
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TRIGONOMÉTRIE : exercices
MATHÉMATIQUES
EXERCICES
1) A l’aide d’un tableau de valeurs remarquables, montrer que la fonction sinus est
décroissante dans le deuxième quadrant
2) En utilisant uniquement ce qui figure dans ce chapitre, pouvez-vous dessiner le graphe de
la fonction cotangente ?
3) Pourquoi la fonction tangente est-elle toujours croissante ?
4) Utiliser le logiciel GeoGebra1 pour animer et visualiser les fonctions sinus, cosinus et
tangente entre 0 et 2 (le fichier anim_sincostan.ggb se trouve sur eCampus) :
a) cliquer-droit sur le curseur et lancer l’animation ...
figs. 5.8
 Ch.L./A.D. 2008-2011
b) ensuite, modifiez la définition du curseur pour pouvoir balayer l’intervalle de [-2 .. 2]
c) enfin, ajoutez et animez la fonction cotangente ...
1
Une note concernant ce logiciel constitue l’Annexe du présent chapitre
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MATHÉMATIQUES
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TRIGONOMÉTRIE : exercices
EXERCICES
2
)
6
2
)
6
6
2
)
1
4
, cos 165°= - 1
4
+
2
)
2
, cos 135°= - 2
2
2
6
6
2
)
(
1
4
(
(
, cos 105°=
(
1
4
d) 135° .............................................. cos(135°) = cos(90°+45°); sin 135° =
e) 165° ........................cos(165°) = cos(135°+30°); sin 165°=
+
, cos 75° =
(
+
1
4
2
)
+
, cos 15°=
2
)
(
1
4
(
c) 105° ........................ cos(105°) = cos(60°+45 °); sin 105° =
6
(
b) 75°.................................cos(75°) = cos(45°+30°); sin 75°= 14
6
a) 15°.................................. cos(15°) = cos(45°-30°); sin 15°= 14
6
2
)
1) connaissant les nombres trigonométriques des angles de 45° et 30°, déterminer ceux des
angles de
2) si cos  = 4/5 et cos  = 3/5, (et que  et  sont aigus),
à partir de sin² + cos² = 1 on trouve d'abord sin  = 3/5, sin  = 4/5
a) calculer sin(+)
sin(+) = 1
b) calculer cos(-)
cos(-) = 24/25
c) qu’est-ce qui change si  est obtus ?
d) qu’est-ce qui change si  est obtus ?
e) qu’est-ce qui change si  et  sont obtus ?
3) calculer (simplifier surtout ...)
a) sin 7 - sin 5......................................................................................... 2 sin  cos 6
b) cos 10° - cos 50° .................................................................. -2 sin 30° sin(-20°) = sin 20°
c) cos  – cos  . sin² ................................................................ cos  (1 – sin²) = cos³
d) cos²( + ) + cos² ( – ) – cos 2 cos 2....................................... 1 + 2 cos 2 cos 2
e) sin 3 . sin 2....................................................................................(cos  - cos 5)/ 2
f) sin 2. / sin  – cos 2. / cos  ..................... 2 sin cos/sin  - (2 cos² - 1)/cos  = 1/cos 
4) vérifier que
a) sin4 – cos4 = 2.sin² – 1.................... (sin² - cos²)(sin² + cos²) = sin² - (1 – sin²) ...
b) sin² – sin² = cos² – cos² ........................................sin² + cos² = sin² + cos² = 1
c) (sin  + cos )² + (sin  – cos )² = 2 ................................ les doubles produits s'annulent
d) 1 + sin 2 = 2 sin((+4)/4).cos((-4)/4).................................... à droite : sin p + sin q
poser /4 +  = (p+q)/2 et /4 -  = (p-q)/2 => p = /2 et q = 2
a) tan /2 = sin  / (1 + cos )
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b) tan (/4 + ) – tan (/4 - ) = 2 tan 2
5) on donne x = a sin  – b cos  , y = a sin  + b cos ; calculer x² + y²
......................................................................................................................................... 2(a²sin² + b²cos²)
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TRIGONOMÉTRIE : exercices
MATHÉMATIQUES
EXERCICES
1) A l’aide du logiciel GeoGebra, vérifier graphiquement les solutions obtenues pour chacun
des exemples des pages précédentes
2) Pour les exemples d’équations des pages précédentes, en vous limitant à l’intervalle 0..2,
placez les différentes solutions sur un cercle trigonométrique
3) Résoudre les équations suivantes, récrivez-les d’abord sous forme canonique
(x  ]-..+[) :
a) sin 2x = -1 ................................................ y = 2x; sin y = -1; y = 3/2 + 2k; x = 3/4 + k (k  Z)
b) 2 cos 2x + 1 = 0 ............................................ y = 2x; cos y = -1/2; x = /3 + k et 2/3 + k
c) cos x = sin (/3 + 2x) ............................................................sin(/2 – x) = sin(/3 + 2x);
............................................................ /2 – x = /3 + 2x + 2k et /2 – x =  - (/3 + 2x) + 2k
.............................................................................................................x = /18 + 2k/3 et x = 6 + 2k/3
d) 2 cos (2x + /3) =
2
...................... y = 2x + 3/2; cos y = 2 /2; y = /4 + 2k et -/4 + 2k
...............................................................................................x = y/2 - 3/4; x = k - 5/8 et k - 7/8
e) cos (x - /3) = sin (2x + /2)................................sin(/2 – (x - /3) = sin(2x + /2) ... etc ...
f) 2 sin²x – sin x – 1 = 0 .....................................second degré : sin x = ½ et sin x = -1 ... etc ...
g) cos²x = ¼ ............................................................ cos x = 2 /2 et cos x = - 2 /2 ... etc ...
h) sin 2x = cos²x
i)
1 – cos 3x = 1.........y = 3x; cos y = 0; y = /2 + 2k et 3/2 + 2k; x = /6 + 2k/3 et /2 + 2k/3
j) tan 2x = - tan x
k) 4 sin 2x = -6 cos x
l)
cos (3x + /4) = cos (x + /3)....................................... x = /24 + k et x = -7/48 + k/2
m) (tan x – 2).(4 sin x + 3) = 0
n) sin (x/3).cos (x/3) = ½ ........y = x/3; 2 sin y cos y = 0; sin(2y) = 0; Y = 2y; Y = 0 +2k et  + 2k;
............................................................................................................ x = 3Y/2; x = 3k et 3/2 + 3k
o) 3 cos²x + 2 sin²x = 2.75.......2(cos²x+sin²x) + cos²x = 2.75; 2 + cos²x =2.75; cos x = ± 3 2 ; ...
4) A l’aide du logiciel GeoGebra, vérifier graphiquement les solutions obtenues pour chacune
des fonctions en 3) ci-dessus
a) telles qu'elles sont rédigées (une fonction pour la partie à gauche du = et une autre
pour la partie à droite du =)
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b) en les réécrivant plus classiquement au préalable (tout ramener à gauche, de manière à
avoir = 0 à droite)
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TRIGONOMÉTRIE : exercices
MATHÉMATIQUES
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5) Résoudre les équations suivantes, récrivez-les d’abord sous forme canonique ; ensuite
trouvez-en les solutions dans les intervalles bornés suivants = x  [0..+2], x  [-..+], x
 [-/4..+2/3],
a) cos x = -½
b) sin 2x =
3 2
c) tan 3x = -1
d) cos x/2 = -½
indication importante : lorsqu’on récrit une équation dont l’inconnue est bornée sous forme
canonique, il ne faut pas oublier que l’éventuelle substitution de variable entraîne une modification
des bornes,
p.ex. si l’on veut résoudre cos 2x = -1 entre -/2 et /2 : en posant y = 2x, la nouvelle équation cos
y = 1 doit s’étudier entre - et  !
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6) A l’aide du logiciel GeoGebra, vérifier graphiquement les solutions obtenues pour chacune
des fonctions en 5) ci-dessus
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TRIGONOMÉTRIE : exercices
MATHÉMATIQUES
EXERCICES
1) Définir les concepts de pulsation, d'amplitude, de fréquence, de période
2) Vrai ou faux ? (et justifiez ou corrigez, bien entendu !)
a) une modification d'amplitude entraîne une modification de fréquence......................... F
b) quand on augmente la fréquence, la période augmente............................................. F
c) la pulsation est une vitesse ......................................................................................V
d) la période est un temps ...........................................................................................V
e) modifier l'amplitude déplace les racines de la fonction ............................................... F
f) un déphasage est un déplacement ...........................................................................V
g) on peut toujours trouver une correspondance entre un sinus et un cosinus.................V
3) Expliquer le rôle de chaque symbole dans f(x) = A sin(t + )
4) Écrire l’équation d’un signal
a) d’amplitude 0.2, de fréquence 2Hz, de déphasage 0 .................................... 0.2 sin(4 t)
b) d’amplitude 3, de pulsation /3, de déphasage 0........................................... 3 sin(/3 t)
c) d’amplitude 1, de période ¼ sec, de déphasage /6................................. sin(8 t + /6)
d) d’amplitude 2, de vitesse angulaire 20 tours/sec, de déphasage 60°
5) Quelle est la situation (retard/avance) de
a) cos( - 2) par rapport à sin  et à cos 
b) sin( + 1) par rapport à cos  et à sin 
c) cos( - 120°) par rapport à sin  et à cos 
6) Simplifier
a) 2 sin(2t) . cos(t) .............................................................................sin(3t) + sin(t)
b) 3 sin(t) . cos(t + /2)
c) 4 cos(t - /2) . cos(t + /2)................................................................ 2 (cos(t) – 1)
7) A l'aide du logiciel GeoGebra, dessiner le graphe des fonctions suivantes; pour chacune
déterminer l'amplitude A, la pulsation , le décalage vertical B (seuil) et le déphasage 
a) f(x) = 2 sin(3x)
b) f(x) = 1/3 sin(x - /2)
c) f(x) = 4 cos(4x + ) + 1
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d) f(x) = 2 sin(x/2 + /2)
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MATHÉMATIQUES
TRIGONOMÉTRIE : exercices
 Ch.L./A.D. 2008-2011
8) Écrire sous la forme
y(t)  A sin(t  ) ou y(t)  A cos( t  ) les
vants (déterminer les coefficients A,  et )
signaux
sui-
a)
0.5 cos(t)
b)
cos(t+/4)
c)
1.5(2t-/6)
d)
2 sin(9.5 t)
e)
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4 cos(t/3-/6)