Cours n°1 : Mécanique 1) Mouvement d’un solide – cinématique La cinématique est la discipline de la mécanique qui étudie les mouvements des corps. 1.1) La relativité du mouvement Un objet est en mouvement par rapport à un autre objet ( celui qui sert de référence) si sa position au cours du temps change par rapport à cet objet de référence. On doit donc préciser le référentiel pour pouvoir déterminer la position d’un point mobile M. Exemple : j’observe une personne se déplaçant à vélo. Quel est le mouvement de cette personne ? Cette question n’a de sens physique que si l’on sait par rapport à quel objet il se déplace. La notion de mouvement est relative suivant l’objet par rapport auquel on l’étudie. 1.2) Mouvement d’un solide Un solide est par définition un corps indéformable à l’échelle macroscopique. 1.2.1) Solide en translation Un solide est en translation si tout segment constitué de deux points du solide reste parallèle à luimême au cours du déplacement. Ce déplacement peut être rectiligne (cabine d’ascenseur), circulaire (nacelle d’une grande roue) ou curviligne. B A B’ A’ ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 𝐴′𝐵′ Tous les points du solide ont le même vecteur vitesse à chaque instant. 1.2.2) Solide en rotation autour d’un axe fixe Un solide est en rotation autour d’un axe fixe si chaque point de ce solide a une trajectoire circulaire centrée sur l’axe de rotation. 1.2.3) Trajectoire d’un point La trajectoire d’un point est l’ensemble des positions prises par ce point au cours du temps. Le mouvement est rectiligne si la trajectoire est une droite, circulaire pour un cercle ou un arc de cercle et curviligne pour une courbe. Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 1 1.2.4) Vitesse linéaire L’unité de la vitesse dans le S.I. est le m/s. 1.2.4.1) Vitesse moyenne 𝒗𝒎 𝑣𝑚 = Δ𝑥 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑢𝑒𝑢𝑟 𝑑𝑢 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑜𝑢𝑟𝑠 = Δ𝑡 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑒𝑓𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑒𝑟 𝑐𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑜𝑢𝑟𝑠 1.2.4.2) Vitesse instantanée 𝒗(𝒕) 𝑣(𝑡) = lim ∆𝑡→0 Δ𝑥 𝑑𝑥 = = 𝑥̇ = 𝑥′(𝑡) Δ𝑡 𝑑𝑡 1.2.4.3) Conversions d’unités × 3,6 m/s km/h × 1 3,6 1.2.5) Vitesse angulaire La vitesse angulaire s’exprime en rad/s dans le S.I. Son symbole est 𝜔. 𝜔 = 2𝜋𝑓 où 𝑓 est la fréquence de rotation en tours par seconde ou par minute. En S.I., 𝑓 s’exprime en Hz 1.2.5.1) Vitesse angulaire moyenne 𝜔𝑚 = Δ𝜃 𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑏𝑎𝑙𝑎𝑦é 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑎𝑛𝑡 𝑙𝑒 𝑑é𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 = Δ𝑡 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑠 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑐𝑒 𝑑é𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 1.2.5.2) Vitesse angulaire instantanée Δ𝜃 𝑑𝜃 = = 𝜃̇ = 𝜃′(𝑡) Δ𝑡→0 Δ𝑡 𝑑𝑡 𝜔(𝑡) = lim Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 2 1.2.6) Lien entre vitesse angulaire et linéaire Δ𝑙 = 𝑟Δ𝜃 Δ𝜃 abscisse curviligne= longueur d’arc balayé Vitesse moyenne 𝑣𝑚 = Δ𝑙 Δ𝜃 =𝑟 = 𝑟𝜔𝑚 Δ𝑡 Δ𝑡 Vitesse instantanée 𝑣=𝑟 𝑑𝜃 = 𝑟𝜔 𝑑𝑡 2) Mouvement d’un objet ponctuel Le mouvement du centre d’inertie sera assimilé à celui d’un objet ponctuel de masse la masse du solide. 2.1) Repérage d’un point – le paramètre position Une fois le choix du référentiel fait, on lui associe un repère qui sera fixe par rapport au référentiel. Soit le repère (𝑂, 𝑖, 𝑗, 𝑘⃗ ) de centre 𝑂 muni d’une base orthonormale directe. Ce repère est associé au référentiel choisi. 𝑧 𝑀 𝑟 𝑘⃗ 𝑖 𝑂 𝑗 𝑦 𝑥 Un point M est repéré par ses coordonnées cartésiennes (𝑥; 𝑦; 𝑧). Le vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀 s’écrit : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘⃗ 𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = 𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ‖𝑂𝑀 Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 3 2.2) La vitesse La vitesse est la variation du vecteur position au cours du temps : 𝑣= 𝑣= ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑂𝑀 𝑑𝑟 = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑡 + 𝑑𝑦 𝑗 𝑑𝑡 + 𝑑𝑧 𝑘⃗ 𝑑𝑡 = 𝑥̇ 𝑖 + 𝑦̇ 𝑗 + 𝑧̇ 𝑘⃗ Le vecteur vitesse a pour caractéristiques : - direction = tangent en M à la trajectoire sens = celui du mouvement - 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 norme = ‖𝑣 ‖ = √( 𝑑𝑡 ) + ( 𝑑𝑡 ) + (𝑑𝑡 ) = √𝑥̇ 2 + 𝑦̇ 2 + 𝑧̇ 2 2 2 2 2.3) L’accélération L’accélération est la variation du vecteur vitesse au cours du temps : 𝑎= 𝑎= 𝑑𝑣 𝑑 2 𝑟 = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 𝑑2 𝑥 𝑖 𝑑𝑡 2 𝑑2𝑦 𝑑2 𝑧 + 𝑑𝑡 2 𝑗 + 𝑑𝑡 2 𝑘⃗ = 𝑥̈ 𝑖 + 𝑦̈ 𝑗 + 𝑧̈ 𝑘⃗ 2 ‖𝑎‖ = √( 2 2 𝑑2 𝑥 𝑑2 𝑦 𝑑2 𝑧 + + ) ( ) ( ) = √𝑥̈ 2 + 𝑦̈ 2 + 𝑧̈ 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 2.4 Base de Frenet C’est une base orthonormée locale qui suit le mobile étudié. Elle dépend donc du temps. Elle est constituée de deux vecteurs unitaires. Elle est notée (𝑡; 𝑛⃗). 𝑎𝑡 ⃗⃗⃗ 𝑡 : vecteur unitaire tangentiel porté par la tangente et dans le même sens que 𝑣 . 𝑎 𝑡 𝑀 𝑛⃗ 𝑛⃗ : vecteur unitaire normal pointé dans le sens de la concavité de la trajectoire. 𝑅 𝑎𝑛 ⃗⃗⃗⃗ 𝑂 Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 4 En base de Frenet, le vecteur accélération s’écrit : 𝑎 = 𝑎𝑡 𝑡 + 𝑎𝑛 𝑛⃗ = 𝑑𝑣 𝑣2 𝑡 + 𝑛⃗ 𝑑𝑡 𝑅 Où 𝑅 est le rayon de courbure de la trajectoire en 𝑀. Vecteur vitesse : 𝑣 = 𝑣𝑡 3) Analyse de mouvements particuliers 3.1) Mouvement rectiligne uniforme (MRU) 1D axe 𝑂𝑥 trajectoire : une droite 𝑥(𝑡0 ) = 𝑥0 𝑡2 𝑡1 𝑣0 𝑣0 𝑎=0 𝑣(𝑡) = 𝑣0 𝑥(𝑡) = 𝑣0 (𝑡 − 𝑡0 ) + 𝑥0 𝑠𝑖 𝑡0 = 0 ⇒ 𝑥(𝑡) = 𝑣0 𝑡 + 𝑥0 Exemple de MRU : Le chien et son maître Un chien et son maître sont séparés de 80 m. Le chien court à 12 m/s et le maître est immobile. A quelle date se rencontrent-ils ? Solution : C MRU 12 m/s M 𝑎 (𝑡) = 0 { 𝑀 𝑎𝐶 (𝑡) = 0 80 m 𝑣 (𝑡) = 0 { 𝑀 𝑣𝐶 (𝑡) = 12 𝑥𝐶 (0) = 0 𝑥𝑀 (0) = 80 𝑥 (𝑡) = 80 { 𝑀 𝑥𝐶 (𝑡) = 12𝑡 ils se rencontrent à la date 𝑡1 telle que : 𝑥𝑀 (𝑡1 ) = 𝑥𝐶 (𝑡1 ) 80 = 12𝑡1 80 ⇒ 𝑡1 = 12 = 6,67𝑠 Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 5 Exemple 2 : Deux trains roulent entre deux villes à la même vitesse (288 km/h). Etablir les équations du mouvement et indiquer l’instant où les deux trains se rencontrent, sachant que ces deux villes sont distantes de 600 km. Solution : 𝑡0 = 0 𝑥𝐴 (0) = 0 𝑥𝐵 (0) = 600 × 103 𝑣𝐵 𝑣𝐴 A B 600 km 288 288 𝑣𝐴 (𝑡) = 𝑥𝐴 (𝑡) = 𝑡 𝑎 (𝑡) = 0 3,6 3,6 ⇒{ ⇒ { 𝐴 { 288 288 𝑎𝐵 (𝑡) = 0 𝑣𝐵 (𝑡) = − 𝑥𝐵 (𝑡) = − 𝑡 + 600 ∙ 103 3,6 3,6 Les deux trains se rencontrent au temps 𝑡1 tel que : 𝑥𝐴 (𝑡1 ) = 𝑥𝐵 (𝑡1 ) 288 288 𝑡1 = − 𝑡 + 600 ∙ 103 3,6 3,6 1 2 × 288 600 ∙ 103 × 3,6 𝑡1 = 600 ∙ 103 ⇒ 𝑡1 = = 3750 𝑠 = 1 ℎ 2 min 30 𝑠 3,6 2 × 288 3.2) Mouvement rectiligne uniformément varié (MRUV) 1D suivant axe 𝑂𝑥 𝑥(𝑡0 ) = 𝑥0 𝑎(𝑡) = 𝑎0 𝑣(𝑡) = 𝑎0 (𝑡 − 𝑡0 ) + 𝑣0 1 𝑥(𝑡) = 𝑎0 (𝑡 − 𝑡0 )2 + 𝑣0 (𝑡 − 𝑡0 ) + 𝑥0 2 1 si 𝑡0 = 0 ⇒ 𝑣(𝑡) = 𝑎0 𝑡 + 𝑣0 ⇒ 𝑥(𝑡) = 2 𝑎0 𝑡 2 + 𝑣0 𝑡 + 𝑥0 MRUA Le mouvement rectiligne est uniformément accéléré si les vecteurs 𝑣 et 𝑎 ont même sens (𝑣 ∙ 𝑎 > 0) 𝑎 𝑎 𝑣 𝑂 𝑣 𝑂 𝑣1 𝑣2 𝑣2 𝑣1 Le mobile s’éloigne de O en accélérant le mobile se rapproche de O en accélérant Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 6 MRUD Le mouvement rectiligne est uniformément décéléré si les vecteurs 𝑣 et 𝑎 sont de sens opposés (𝑣 ∙ 𝑎 < 0) 𝑎 𝑎 𝑣 𝑂 𝑣1 𝑂 𝑣2 𝑣 𝑣2 𝑣1 le mobile se rapproche de O en décélérant Le mobile s’éloigne de O en décélérant Formule indépendante du temps 𝑣22 − 𝑣12 = 2𝑎(𝑥2 − 𝑥1 ) ⇔ ∆𝑣 2 = 2𝑎∆𝑥 Démonstration 𝑑(𝑣 2 ) 𝑑(𝑣 2 ) 𝑑𝑡 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑣 1 = 2𝑣 × 𝑑𝑡 𝑣 𝑑𝑣 =2 = 2𝑎 𝑑𝑡 𝑥2 𝑥2 𝑑(𝑣 2 ) 𝑑(𝑣 2 ) ⇒ = 2𝑎 ⇒ ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 2𝑎 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑥1 𝑥1 𝑜𝑟 𝑣(𝑥1 ) = 𝑣1 𝑒𝑡 𝑣(𝑥2 ) = 𝑣2 𝑥 𝑥 ⇒ [𝑣 2 ]𝑥12 = 2𝑎[𝑥]𝑥12 ⇒ 𝑣22 − 𝑣12 = 2𝑎(𝑥2 − 𝑥1 ) ⇒ ∆𝑣 2 = 2𝑎∆𝑥 3.3) Mouvement circulaire uniforme(MCU) 1D angulaire sur un arc de cercle ou un cercle 𝑦 𝜃(𝑡0 ) = 𝜃0 𝑣0 𝑅 𝑎 = 𝑎𝑛 𝜃 𝑂 Dr A. Sicard 𝑥 CapeSup Grenoble Page 7 𝑎𝑛 = 𝑣02 𝑅 = 𝑅𝜔02 𝜔 = 𝜔0 or 𝑑𝜃 𝑑𝑡 = 𝜔0 ⇒ 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑎𝑡 = et =0 𝑣 = 𝑣0 = 𝑅𝜔0 et 𝜃(𝑡) = 𝜔0 𝑡 + 𝜃0 3.4) Mouvement circulaire uniformément varié (MCUV) MCUA : mouvement circulaire uniformément accéléré 𝑣 et ⃗⃗⃗ 𝑎𝑡 ont même sens (𝑣 ∙ 𝑎 > 0) 𝑦 𝑣 𝑎𝑡 𝑎 𝑀 𝑎𝑛 𝑅 𝜃 𝑂 𝑥 MCUD : mouvement circulaire uniformément décéléré 𝑣 et ⃗⃗⃗ 𝑎𝑡 sont de sens opposés (𝑣 ∙ 𝑎 < 0) 𝑦 𝑣 𝑎𝑛 𝑅 𝑀 𝑎𝑡 𝑎 𝜃 𝑂 Dr A. Sicard 𝑥 CapeSup Grenoble Page 8