4- Paramètres de position Les paramètres de position permettent de repérer la position d’un point M à une date t. 4.1- Vecteur position ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑴 a) Dans le repère 𝓡(𝑶, 𝒊, 𝒋) : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀 = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 - Si le point M est au repos dansℛ, ses coordonnées cartésiennes 𝑥et 𝑦sont indépendantes du temps. - Si le point M est en mouvement dansℛ, ses coordonnées 𝑥 et 𝑦 en fonction du temps t représentent les équations horaires de son mouvement : 𝑥 = 𝑥(𝑡) { 𝑦 = 𝑦(𝑡) L’équation de la trajectoire du mobile est obtenue en cherchant une relation indépendante du temps entre 𝑥 et𝑦. Exemple : Dans le repère cartésien(𝑂, 𝑖, 𝑗), ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀 = 2𝑡𝑖 + (−5𝑡 2 + 4𝑡)𝑗 𝑥 = 2𝑡 - Equation horaire du mobile : { 𝑦 = −5𝑡 2 + 4𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗0 |𝑥0 =0 - Coordonnées du vecteur position à t=0 : 𝑂𝑀 𝑦0 =0 - Equation de la trajectoire : 𝑥 = 2𝑡 ⟹ 𝑡 = 0,5𝑥 { 2 𝑦 = −5𝑡 + 4𝑡 D’où 𝑦 = −5(0,5𝑥)2 + 4(0,5𝑥) soit 𝑦 = −1,25𝑥 2 + 2𝑥 (équation d’une parabole dont la concavité tourne vers les 𝑦 <0). ⃗ ,𝒏 ⃗ ) : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ b) Dans le repère de Frénet (𝑴, 𝒖 𝑂𝑀 = −𝑅𝑛⃗ où 𝑅 : rayon de la trajectoire circulaire. 4.2- Abscisse curviligne 𝓼 et abscisse angulaire θ Après avoir orienté la trajectoire circulaire et choisi sur celui-ci une origineΩ, on peut définir : - L’abscisse curviligne du point mobile M : ̂ en mètre (à t=0, 𝓈0 = Ω𝑀 ̂0 < 0) 𝓈 = Ω𝑀 M(t>0) Son abscisse angulaire : - ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝜃 = (𝑂Ω 𝑂𝑀) exprimée en radian (rad) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ : vecteur fixe,𝑂𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ : vecteur mobile où 𝑂Ω ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et à t=0, 𝜃0 = (𝑂Ω, 𝑂𝑀0 ) = 0 𝑗 O ⨁ Loi horaire du mouvement : 𝓈 = 𝓈(𝑡) ou 𝜃 = 𝜃(𝑡) Relation entre 𝓼 et 𝜽 : 𝓈 = 𝑅 𝜃 où 𝓈 et 𝑅 en mètre et θ en radian 𝜃 𝑖 𝜃0 𝓈 𝛀 (origine) 𝓈0 MO(t=0) ⃗ 5- Vecteur vitesse 𝒗 5-1- Définition et caractéristiques - ⃗ , à la date t, d’un point M en mouvement par Par définition, le vecteur vitesse 𝒗 rapport à un repère d’observation (O, 𝒊 , 𝒋) attaché à un référentiel choisi est égal à la ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ de ce point : dérivée par rapport à t du vecteur position 𝑶𝑴 ⃗ = 𝒗 𝒅 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑶𝑴 𝒅𝒕 où 𝐝 𝐝𝐭 : opérateur dérivée par rapport à t